文档文本内容
第07 讲函数的图象
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................3
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................3
高频考点一：画出函数的图象...................................................................................................................3
高频考点二：函数图象的识别...................................................................................................................8
高频考点三：根据函数图形选择解析式...................................................................................................11
高频考点四：函数图象的应用..................................................................................................................14
角度1：确定零点个数......................................................................................................................14
角度2：解不等式..............................................................................................................................18
角度3：求参数的取值范围...............................................................................................................22
第一部分：基础知识
1、平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能单独一个
加或者减，注意当
前系数不为1,需将系数提取到外面.
2、对称变换
①
的图象
的图象；
②
的图象
的图象；
③
的图象
的图象；
④
(
，且
)的图象
(
，且
)的图象.
3、伸缩变换
①
.
②
.
4、翻折变换（绝对值变换）
①
的图象
的图象；
（口诀；以
轴为界，保留
轴上方的图象；将
轴下方的图象翻折到
轴上方）
②
的图象
的图象.
（口诀；以
轴为界，去掉
轴左侧的图象，保留
轴右侧的图象；将
轴右侧图象翻折到
轴左侧；本
质是个偶函数）
5、图象识别技巧（按使用频率优先级排序）
①特殊值法（观察图象，寻找图象中出现的特殊值）
②单调性法（
；
；
，
；通过求导判断单调性）
③奇偶性法
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
④极限（左右极限）（
；
；
；
；）
⑤零点法
⑥极大值极小值法
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·全国甲卷·高考真题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】函数图像的识别
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入
可得
，可排除D.
【详解】
，
又函数定义域为
，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又
，
故可排除D.
故选：B.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：画出函数的图象
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）作出下列各函数的图象：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【知识点】函数图象的变换、画出具体函数图象
【分析】（1）化简
可得
，根据函数图象的平移规律即可得其图象；
（2）根据图象的翻折变换得到图象；
（3）根据图象的翻折变换得到
的图象，再由平移变换得解.
【详解】（1）原函数解析式可化为
，
所以函数图象可由函数
上的图象向右平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度得到，如图所示．
（2）
的图象可由函数
的图象保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分翻
折到x 轴上方得到，
如图所示．
（3）
，其图象可看作由函数
的图象向右平移1 个单位长度，再向下平移1 个单位长
度得到，
而
，其图象可由
的图象保留
时的图象，然后将该部分关于y 轴对称得
到，
所以
的图象如图所示．
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）作出下列函数的图象．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【知识点】画出具体函数图象
【分析】（1）分离常数，由反比例函数平移即可画图；
（2）由对数函数图像的平移和翻折即可解题；
【详解】（1）因为
，先作出
的图象，将其图象向右平移1 个单位长度，再向上平
移1 个单位长度，即得
的图象，如图所示．
（2）利用函数
的图象进行向左平移一个单位，再把
下方图像翻折变换，得到
的
图象如图实线所示．
精练高频考点
1．（2026 高三·全国·专题练习）作出下列各函数的图象．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【知识点】画出具体函数图象、函数奇偶性的定义与判断
【分析】（1）根据图象翻折变换求解即可.
（2）根据图象平移变换求解即可.
（3）首先根据题意得到为偶函数，再根据偶函数的性质画图即可.
【详解】（1）将函数
的图象向左平移1 个单位长度，
再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数
的图象，
如图①所示．
（2）原函数解析式可化为
，
故函数图象可由函数
的图象向右平移1 个单位长度，
再向上平移2 个单位长度得到，如图②所示．
（3）因为
，且函数为偶函数，
先用描点法作出
上的图象，再根据对称性作出
上的图象，
最后得函数图象如图③所示．
2．（23-24 高一上·江苏盐城·期末）画出下列函数的大致图象：
(1)
．
(2)
．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【知识点】对数函数图象的应用、函数图象的变换、画出具体函数图象
【分析】（1）由函数为偶函数，结合对数函数
的图象，利用对称性作图．
（2）利用函数图象的对称变换，把
的图象先关于y 轴对称，再关于x 轴对称即可.
【详解】（1）
，易知函数为偶函数，
所以函数
的图象如图所示：
（2）把
的图象先关于y 轴对称，再关于x 轴对称，即可得
的图象，
如图所示：
高频考点二：函数图象的识别
典型例题
例题1．（天津市河西区2024-2025 学年高三下学期总复习质量调查（三）数学试题）函数
的
图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心
【分析】求出
为奇函数，排除AB；由
排除D，得到答案.
【详解】
定义域为R，
，函数
为奇函数，
图象关于原点对称，排除AB；
又
，排除D.
故选：C.
例题2．（24-25 高一下·四川德阳·阶段练习）函数
的部分图象（虚直线方程为
）大致
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别
【详解】根据
的奇偶性排除CD；判断
时，
的符号可排除B，从而得到结果．
【分析】对于函数
，由
可得
，故函数
的定义域为
，
，故函数
为奇函数，可排除CD 选项，
当
时，
，可排除B，从而可得A 正确.
故选：A.
精练高频考点
1．（2025·天津南开·二模）函数
的部分图象大致为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】由奇偶函数的定义可排除BC，再由特值法可排除A.
【详解】
的定义域为
，
则
，
所以
为奇函数，故排除BC，
令
，则
或
，
则
或
，解得：
或
，
所以当
时，
的最小
为1，
则
，故A 错误，D 正确.
故选：D.
2．（2025·甘肃金昌·二模）如图，这是函数
的部分图象，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】结合图象的对称性，及具体点函数值符号，逐个判断即可.
【详解】由图可知，函数图象关于
轴对称，因此
为偶函数，
对于B，
的定义域为
，且
，奇函数；
对于D，
的定义域为
，
，奇函数；
因此排除选项B，D 这两个奇函数；
由图象知，若
取一个很小的正数，比如
，
对于A：
，函数值为正数，因此排除A.
对于C:
的定义域为
，
，
，综上只有C 符合，
故选：C.
高频考点三：根据函数图形选择解析式
典型例题
例题1．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】根据函数图象选择解析式、函数奇偶性的定义与判断
【分析】利用函数为偶函数排除B 选项，再根据特值
，排除AD，即可选出选项.
【详解】由图象可知
的图象关于
轴对称，即
为偶函数，
选项中函数
的定义域都是
，
对于A 项，
，为偶函数，
对于B 项，
，为奇函数，
对于C 项，
，为偶函数，
对于D 项，
，为偶函数，
排除B 项；
由图可知
，对于A 项，
，不符合题意；
对于C 项，
，符合题意；
对于D 项，
，不符合题意．
故选：C．
例题2．（2025·四川南充·三模）函数
的图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】根据函数图象选择解析式、函数奇偶性的定义与判断
【分析】依题意可得
为奇函数，即可排除A、C，由函数在
上的函数值的特征排除D，即可得解.
【详解】由图可知
的图象关于原点对称，则
为奇函数，
对于A ：
定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以
为偶函数，不符合题意，故A 错误；
对于C：
定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以
为偶函数，不符合题意，故C 错误；
对于D：
定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以
为奇函数，
当
时，
，
，所以
恒成立，不符合题意，故D 错误；
故利用排除法可知选项B 符合题意.
故选：B
精练高频考点
1．（24-25 高三上·河北沧州·期末）如图是下列选项中某个函数的部分图象，则该函数的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据函数图象选择解析式
【分析】由
时，
，可排除B，D；再由
可排除C.
【详解】由图可知当
时，
，故排除B，D；
设
，则
，故排除C．
故选：A．
2．（24-25 高三上·河南驻马店·阶段练习）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难
入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性
质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标
中抽象出一个图象如图，其对
应的函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】根据函数图象选择解析式
【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据
不成立排除选项C，即可得正确选项.
【详解】因为函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，
函数
与
的定义域均为
.
由图知
的定义域为
，排除选项A、D，
对于
，当
时，
，不符合图象
，所以排除选项C.
故选：B.
高频考点四：函数图象的应用
角度1：确定零点个数
典型例题
例题1．（多选）（2025·陕西·二模）已知函数
，则
的零点个数可能为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】ABC
【知识点】求过一点的切线方程、求函数零点或方程根的个数
【分析】转化为
与
的交点个数，分
，
和
三种情况，通过导数求切线斜
率，数形结合判断.
【详解】令
，即
，
，
故
的零点个数等价于
与
的交点个数，
画出
的图象，
当
时，
，如图，此时有2 个交点，
当
时，由于
恒过
，故
与
有1 个交点，
设
与
相切的切点坐标为
，
，此时切线斜率为
，解得：
，
，
当
时，
与
的交点个数为1，
此时
与
的交点个数为2，
当
时，
与
的交点个数为2，
故
与
的交点个数为3 个，如下图：
当
时，
与
的交点个数为0，
故
与
的交点个数为1 个，
当
时，设
与
相切的切点坐标为
，
，
恒过
，
此时切线斜率为
，解得
，
此时
，
所以当
时，
与
的交点个数为1，
则
与
的交点个数为1 个，如下图：
当
时，
与
的图象没有交点，
当
时，
与
的图象有2 个交点，
无论
取何值，
与
的图象不会由4 个交点.
故选：ABC.
例题2．（2025·江苏·三模）已知函数
满足
，且
，则方程
的实数解的个数为 ．
【答案】
【知识点】函数周期性的应用、余弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】首先可得
的周期为
，方程
的解，即为
与
的交点横坐标，画出
与
的图象，数形结合即可判断.
【详解】由函数
满足
，则
，所以
的周期为
，
由
，则
，
可得
的图象如图，
方程
的解，即为
与
的交点横坐标，
且当
时
，
由图可知两图象交点个数为，即方程
的实数解的个数为.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25 高三下·湖北·开学考试）已知函数
是定义在
上的奇函数，
是函数的一条对称轴，当
时，
，方程
恰有 个根.
【答案】50
【知识点】函数奇偶性的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】作出周期函数
的图象，再作出
的图象，根据数形结合求解即可.
【详解】因为函数
是定义在R 上的奇函数，所以
因为
是函数的一条对称轴，所以
所以
，所以
，所以
的周期为
时，
，
当
时，
则
，所以
当
时，
，则
，
又
，所以
当
，则
，所以
又
，所以
作出
在
的图象如图所示，
由题意可得
，令
，解得
或
由图可得方程
在
上有2 个根，在
上有2 个根，
又
的周期为4，所以
包含25 个周期，
所以方程
恰有
个根.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：把方程的根的问题，转化为两个函数图象的交点个数问题.
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
则函数
的零点个数为
．
【答案】6
【知识点】求函数零点或方程根的个数
【分析】令
，作出
的图象，由图可得出函数
的零点的个数及范围，再作出
的图象，结合图象即可得解.
【详解】令
，则
，
作出
的图象，如图（a）所示，
有3 个根，且
，
作出
的图象，如图（b）所示，
则
各有2 个根．
综上，函数
的零点个数为
．
故答案为：
.
角度2：解不等式
典型例题
例题1．（2025·河南·三模）已知定义在
上的函数
的图象是一条连续不断的曲线，且
满足
在区间
上单调递减，
，则关于
的不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】函数对称性的应用、函数图象的应用、根据函数的单调性解不等式
【分析】根据已知可确定函数的对称性，由
可得
，再结合函数的单调性与
对称性可得函数的大致图象，从而得不等式解集.
【详解】由
得
的图象关于直线
对称，
又
，得
，解得
，
由
在
上单调递减，可知
在
上单调递增，
画出
的大致图象如下所示，
结合图象及
可得
或
，
解得
或
，
不等式
的解集为
.
故选：D.
例题2．（2025·河南商丘·三模）已知定义在
上的奇函数
在
上的图象如图所示，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的应用、函数图象的应用、解不含参数的一元二次不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】先根据奇函数的图象特征补全图象，再应用符号法列不等式组，进而应用数形结合求解不等式即
可.
【详解】根据奇函数的图象特征，作出
在
上的图象如图所示，
由
，得
，
等价于
或
解得
或
，或
．
故不等式解集为
．
故选：C.
例题3．（2024·重庆·模拟预测）已知函数
是定义在
上周期为4 的奇函数，且
，则不等式
在
上的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】函数图象的应用、解分段函数不等式
【分析】由函数
的图象向右平移1 个单位长度，作出函数
在
上的图象，结合图
象，即可求解.
【详解】因为函数
是定义在R 上周期为4 的奇函数，且
，
所以当
时，
；
当
时，
，所以
；
当
时，
，所以
，
函数
的图象可由函数
的图象向右平移1 个单位长度得到，
作出函数
在
上的图象，如图所示．
由图可知不等式
在
上的解集为
．
故选：B．
精练高频考点
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，则不等式
的解集是
.
【答案】
【知识点】函数图象的应用、根据函数的单调性解不等式
【分析】用函数图象，结合单调性可解.
【详解】解析 画出函数
的图象如图所示：
所以函数
在
上为增函数，
由
，得
，
即
，解得
.
故答案为：
.
2．（23-24 高一上·广东茂名·期中）已知函数
的定义域为
的奇函数，
，对任意两个不等的
正实数
都有
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【知识点】函数奇偶性的应用、函数图象的应用、根据函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不
等式
【分析】先根据条件确定函数单调性，然后画出函数的草图，利用图象解不等式.
【详解】不妨设
，则
等价于
，
所以
在
上单调递增，
又函数
为奇函数，所以
在
上单调递增，
，作出
的图象如下：
结合
的图象得不等式
或
或
，
故答案为：
.
3．（2025 高三·全国·专题练习）函数
是周期为4 的偶函数，当
时，
，则不等式
在
上的解集为 .
【答案】
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数图象的应用、由函数奇偶性解不等式
【分析】根据函数的周期性、奇偶性以及
时的解析式，画出函数
的图像，由此求得
的解集.
【详解】根据函数周期为
的偶函数，以及
时，
，画出函数图像如下图所示，
由图可知，当
时
符合题意；
当
时，
符合题意；
综上所述，不等式的解集为
.
故答案为:
.
角度3：求参数的取值范围
典型例题
例题1．（2025·广西南宁·二模）已知函数
，
.若不等式
的解集为
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【知识点】函数图象的应用、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】根据
，对
讨论正负，即可结合函数图象，结合不等式的求
解.
【详解】
，
根据选项可知：只需要考虑
，
要使不等式
的解集为
，
当
时，
故
，解得
，
当
时，无法满足
的解集为
，故舍去，
故选：A
例题2．（24-25 高一上·湖南长沙·期末）已知函数
.若函数
有七个不同的零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数图象的变换、对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、指数函数图像应用
【分析】作出函数
的图象，根据
得
或
，问题转化为直线
与函数
的图象有3 交点，结合函数图象可得结果.
【详解】
如图所示，作出函数
的图象.
由
得，
，
∴
或
，
由图象可得直线
与函数
的图象有4 个交点，故方程
有4 个不相等的实数根，
要使函数
有七个不同的零点，需方程
有3 个不相等的实数根，即直线
与函数
的图象
有3 交点，
结合图象可得，的取值范围是
.
故答案为：
.
精练高频考点
1．（24-25 高三下·广东·阶段练习）已知函数
，若函数
恰有3 个零
点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个
数
【分析】转化为函数
与
的图象有3 个交点，结合
的图象可得答案.
【详解】若函数
恰有3 个零点，
即函数
与
的图象有3 个交点，
，
当
时，
，当
时，
，
函数
的图象如下，
结合图象可得
.
故选：A.
2．（24-25 高一下·陕西西安·阶段练习）设函数
的定义域为R，满足
，且当
时，
．若对任意
，都有
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】求二次函数的值域或最值、函数不等式恒成立问题、函数图象的应用
【分析】由题设条件画出函数
的简图，由图象分析得出
的取值范围.
【详解】由于
，故
，
当
时，
，
即当
时，
，故
，
同理当
时，
；
当
时，
.
以此类推，当
时，都有
.
函数
和函数
在
上的图象如下图所示：
由图可知，
，解得
，
即对任意
，都有
，即
的取值范围是
.
故选：A
