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第07 讲：第四章 三角函数 章节总结 章节总结
第一部分：典型例题讲解
题型一：任意角
1．（24-25 高三上·安徽·阶段练习）下列各角中，与
角终边相同的角是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三·全国·阶段练习）若角
与
角的终边相同，角
与
角的终边相
同，则
与
之间的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三下·云南临沧·阶段练习）从午夜零时算起，钟的时针和分针一天内重合的次
数为（ ）
A．
次
B．
次
C．
次
D．
次
4．（23-24 高三下·江西·阶段练习）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
5．（25-26 高三上·全国·阶段练习）如图所示，半径为1 的圆的圆心位于坐标原点，点P 从
出发，以逆时针方问等速沿单位圆周旋转，已知点P 在
内转过的角度为
，经过
到达第三象限，经过
后又回到了出发点A 处，则
．
题型二：弧度制
1．（2025 高三·全国·专题练习）如图当
时，圆内接正六边形的周长为
，故
，即
.运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（ ）
A．
时，
B．
时，
C．
时，
D．
时，
2．（24-25 高一下·河北保定·期末）在某中学2025 年“创意之光”文创设计大赛中，一名
学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形
截去同心扇形
所得图形，已知
，
，
，则该扇面的近似面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·贵州·阶段练习）已知一个扇形的圆心角为
，且所对应的弧长为
，则
该扇形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高一下·上海闵行·期中）已知扇形的半径为
，弧长为
，则扇形的圆心
角
的弧度数为 ．
5．（24-25 高一上·甘肃武威·期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中
《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积
（弦×矢+矢
2），弧田（如
图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到
弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆
心角为
，弧长等于
的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据
）
题型三：任意角的三角函数
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设角
的顶点与原点
重合，
始边与
轴的非负半轴重合，终边经过点
，
，则
（ ）
A．-2
B．
C．
D．2
2．（2025·四川泸州·模拟预测）已知角
的顶点在原点，始边为
轴的非负半轴，终边经
过点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知角
按逆时针方向旋转
，其终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·河北保定·三模）已知角
的顶点与原点重合，始边与
轴的正半轴重合，终边
在直线
上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·云南玉溪·模拟预测）若角
的终边经过点
，则
．
题型四：同角三角函数的基本关系
1．（2025·河北·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江苏泰州·模拟预测）若
，则
．
3．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）若
，则
．
4．（24-25 高一下·辽宁抚顺·期中）若
，则
，
．
5．（2025 高三·全国·专题练习）若
，
是关于
的方程
的两个根，
求
的值．
题型五：诱导公式的计算
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，求
的值．
2．（2025 高三·全国·专题练习）化简：
(1)
，
；
(2)
，
．
3．（24-25 高一下·全国·课后作业）已知
，且
为第二象限角.
(1)求
，
的值；
(2)求
的值.
4．（23-24 高一上·江苏南京·阶段练习）已知
.
(1)化简
；
(2)若
，求
的值；
(3)若
，求
的值．
5．（24-25 高一上·吉林长春·期末）在单位圆中，锐角
的终边与单位圆相交于点
，连接圆心O 和P 得到射线
，将射线
绕点O 按逆时针方向旋转
后与单
位圆相交于点B，其中
．
(1)求出m 的值和锐角
的大小；
(2)求
的值；
(3)记点B 的横坐标为
，若
，求
的值．
题型六：三角函数的奇偶性
1．（2025·全国·二模）函数
是
上的偶函数，则
（
）
A．0
B．
C．
D．
2．（2025·安徽安庆·模拟预测）函数
.若存在
，使得
为
奇函数，则实数
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·山东·模拟预测）已知函数
，要得到一个偶函数的图象，可
以将
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
4．（24-25 高一下·上海·期末）已知函数
，若
，则
．
5．（2023·四川达州·一模）函数
，且
，则
的值为
.
题型七：三角函数的周期性
1．（2025·云南昆明·模拟预测）下列函数的周期不是
的为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·江苏苏州·阶段练习）下列四个函数中，以
为最小正周期，且在区间
上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 高三·全国·专题练习）下列函数中，最小正周期为
的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·广东揭阳·三模）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025 高三·全国·专题练习）求函数
的最小正周期．
题型八：三角函数的对称性
1．（2025·河北邢台·三模）已知函数
的图象过点
，将
的
图象向右平移
个单位长度后，得到函数
的图象，则
的图象的对称轴为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．（24-25 高一下·湖北·阶段练习）将函数
的图象向左
平移
个单位长度后，横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变得到函数
的图象，
若
满足
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数
的图像关于直线
对称，则函数
图像的一条对称轴为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 高三·广东江苏·专题练习）若点
是函数
的图象的一个
对称中心，则a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高一上·全国·课后作业）设函数
，若
在区间
上单调，且
，则
的最小正周期为 ．
题型九：三角函数的单调性
1．（2025·陕西汉中·三模）函数
的一个单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·上海浦东新·期末）函数
的单调递增区间是
．
3．（24-25 高一下·陕西渭南·阶段练习）函数
的单调增区间为
.
4．（24-25 高一下·上海浦东新·期末）函数
的单调区间为 ．
5．（24-25 高一下·安徽安庆·期末）已知函数
（
，
）的周
期为
，且过点
.
(1)求
，
的值；
(2)求函数
在
上的单调递减区间.
题型十：三角函数中与
有关的计算
1．（24-25 高一下·江西吉安·期末）已知函数
，且在
上是单调函数，其图象向左平移
个单位之后与
的图象关于
轴对称，则
可能的取值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．（23-24 高一下·湖北武汉·阶段练习）已知函数
的
图象关于原点对称，且在区间
上是减函数，若函数
在
上的图象与直线
有且仅有一个交点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高一下·山东淄博·期末）已知函数
在区间
上单
调递增，则
的取值范围为 .
4．（24-25 高一下·上海闵行·期中）已知函数
（其中
为
常数，且
）有且仅有5 个零点，则
的取值范围是 ．
5．（23-24 高二下·安徽六安·期末）已知函数
，将
的图象
向右平移
个单位长度得到函数
的图象，若
是偶函数，
在
上恰有4 个
零点，则
.
题型十二：根据图象求三角函数解析式
1．（24-25 高一下·四川成都·期末）函数
的图象如图所示，
为了得到
的图象，可以将
的图象（ ）
A．向右平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
2．（24-25 高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数
的部分图象如图所示，将函数
的图象向右平移
个单位长度得到
的图象，则
的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选）（福建省泉州市2024-2025 学年高一下学期期末质量监测数学试题）已知函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于原点对称
D．直线
是
的图象的对称轴
4．（多选）（24-25 高一下·湖北恩施·期末）函数
的部分图象如
图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点
是函数
的图象的一个对称中心
C．函数
图象上的所有点的横坐标缩短为原来的
，得到函数
的
图象
D．函数
的图象向右平移
个单位长度，得到的图象关于
轴对称
5．（多选）（24-25 高一下·江西上饶·期末）函数
的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数
的图象关于点
对称
C．将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象
D．若方程
在
上有且只有一个实数根，则
的取值范围是
6．（多选）（23-24 高一下·陕西渭南·阶段练习）如果若干个函数的图象经过平移后能够重
合，则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中，与
构成“互为生成函数”
的有（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十三：函数图象的变换
1．（24-25 高一下·河南南阳·期末）为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象（ ）
A．向右平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
是个单位长度
D．向左平移
个单位长度
2．（23-24 高一下·山东济宁·期中）为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动
个单位长度
B．向右平行移动
个单位长度
C．向左平行移动
个单位长度
D．向右平行移动
个单位长度
3．（23-24 高一下·四川绵阳·阶段练习）为了得到函数
的图象，只需要
把函数
图象（ ）
A．先将横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再向右平移
个单位
B．先将横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再向右平移
个单位
C．先向左平移
个单位，再将横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变）
D．先向右平移
个单位，再将横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变）
4．（23-24 高二上·云南昆明·期末）要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
题型十四：和差倍角计算
1．（江苏省南京市协同体十校2024-2025 学年高一下学期期中联合考试数学试卷）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（河南省平顶山市2024-2025 学年高一下学期7 月期末数学试题）
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高一下·四川成都·期末）计算：
=（ ）
A．-1
B．0
C．
D．
4．（江苏省南京市协同体十校2024-2025 学年高一下学期期中联合考试数学试卷）已知
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高一下·河南南阳·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高一下·山东淄博·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十五：拼凑角问题
1．（23-24 高一下·辽宁辽阳·期中）已知
，
，且
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
2．（23-24 高一下·吉林·阶段练习）已知
，
，且
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高一下·四川成都·阶段练习）若
，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高一下·江苏南通·期中）已知
，
，且
，
，求：
(1)
的值；
(2)
的值．
5．（23-24 高一下·江苏南京·期中）已知
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值.
6．（23-24 高一下·江苏·阶段练习）已知
，
，
，
，
(1)求
的值；
(2)求角
的值.
题型十七：三角函数综合（值域，最值）
1．（24-25 高一下·四川遂宁·期末）已知函数
，
(1)求函数
的单调递增区间；
(2)将函数
的图象横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移
个
单位长度后得到函数
的图象.当
时，求函数
的值域.
2．（24-25 高一下·河北保定·期末）已知函数
．
(1)求函数
的单调递增区间；
(2)求函数
在
上的最大值和最小值，并求出取得最值时对应x 的取值．
3．（24-25 高二下·广东梅州·期末）已知函数
．
(1)求
的最小正周期；
(2)解方程：
；
(3)当
时，求
的值域．
4．（四川省攀枝花市2024-2025 学年高一下学期普通高中教学质量监测数学试题）已知函
数
．
(1)求
的最小正周期；
(2)求函数
的单调递减区间；
(3)当
时，求
的最大值以及取到最大值时
的值．
5．（24-25 高一下·广西柳州·开学考试）已知函数
．
(1)若
，
，求
；
(2)求
，
的值域．
题型十八：三角函数综合（恒成立，有解问题）
1．（24-25 高一下·重庆·阶段练习）已知向量
，
，
其中
，函数
，且
．
(1)求函数
的解析式；
(2)求
在
上的值域；
(3)若对
，关于x 的不等式
恒成立，求
实数m 的取值范围.
2．（24-25 高一下·陕西汉中·期末）已知函数
.
(1)求函数
的单调递减区间；
(2)若方程
在区间
上有解，求实数
的取值范围.
3．（22-23 高一下·海南海口·期末）已知函数
．
(1)求
的最小正周期；
(2)将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象．证明：
，
．
4．（24-25 高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数
（
，
，
）的部分图象如图所示.
(1)求函数
的解析式及对称中心；
(2)设
，若对任意的
，
，都有
，求实数a 的取值范围.
5．（24-25 高一下·江西宜春·期末）已知函数
（
，
，
）的部分图象如图所示.
(1)求
的解析式及单调递减区间；
(2)将函数
的图象向左平移
个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原
来的2 倍（纵坐标不变），得到函数
的图象.若对任意的
，
，都有
，求实数
的取值范围.
题型十九：三角函数综合（零点问题）
1．（24-25 高二下·天津河东·期末）已知函数
(1)将函数
化简为
的形式(其中
(2)若
求函数
在
的取值范围；
(3)
的最小正周期为π， 若在
上恰有3 个零点，求a 的取值范
围．
2．（24-25 高一下·广西钦州·期末）已知函数
的部
分图象如图所示．
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
的图象的对称中心的坐标和对称轴方程；
(3)当
时，方程
有两个不相等的实数根
，
且
，求
的值．
3．（24-25 高一下·重庆北碚·期中）已知函数
的图象经
过点
，且相邻两条对称轴间的距离为
，将函数
的图象向右平移
个单位长
度，再关于
轴对称，得到函数
的图象.
(1)求函数
和
的解析式；
(2)设
，若
对任意
恒成立，求实数
的最
大值；
(3)若关于
的方程
在区间
上恰有三个实数根
，
，
，且
，求
的取值范围.
4．（2025·湖北襄阳·二模）已知函数
.
(1)求
的单调递减区间；
(2)将函数
的图象向右平移
个单位后得到
的图象，当函数
在
上有一个零点时，求k 的取值范围.
5．（24-25 高一下·北京·期中）已知下列三个条件：条件①：
的图象关于直线
对
称；条件②：
的图象过点
；条件③：
在区间
上单调递增．从这
三个条件中选一个作为已知条件，填在下面的横线处，并解答下列问题.
已知函数
的最小正周期为
，_______.
(1)求
的值；
(2)求函数
在区间
上的最小值；
(3)若关于
的方程
在
上恰好有20 个根，请直接写出实数的取
值范围．
题型二十：三角函数模型
1．（24-25 高三上·贵州·阶段练习）如图，某市拟在长为16km 的道路
的一侧修建一条
运动赛道，赛道的前一部分为曲线段
，该曲线段为函数
的图象，且图象的最高点为
；赛道的后一部分
为折线段
，为保证参赛运动员的安全，限定
．
(1)求
的值和
两点间的距离；
(2)若
，求折线段赛道
的长度．
2．（2024 高三·全国·专题练习）某市物价局调查了某种治疗H1N1 流感的常规药品在2014
年每个月的批发价格和该药品在药店的销售价，调查发现，该药品的批发价格按月份以12
元/盒为中心价随某一正弦型曲线上下波动，且3 月份的批发价格最高，为14 元/盒，7 月
份的批发价格最低，为10 元/盒．该药品在药店按月份以14 元/盒为中心价随另一正弦型
曲线上下波动，且5 月份的销售价格最高，为16 元/盒，9 月份的销售价格最低，为12
元/盒．
(1)求该药品每盒的批发价格
和销售价格
关于月份
的函数解析式；
(2)假设某药店每月初都购进这种药品
盒，且当月售完，求该药店在2014 年哪些月份是盈
利的？说明你的理由．
3．（24-25 高三上·安徽合肥·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐
在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离
地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，
游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动
后距离地面的高度为
，求在转动一周的过
程中，
关于的函数解析式；
(2)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高
度差（单位：m）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1m）．
参考公式：
．参考数据：
，
．
4．（23-24 高一下·广东佛山·阶段练习）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象
叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货
后，在落潮时返回海洋下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报.
时刻
水深m
时刻
水深/m
时刻
水深m
0:00
5.0
9：18
2.6
18：:36
5.0
3:06
7.4
12：24
5.0
21：:42
2.6
6:12
5.0
15：:30
7.4
24：00
4.0
(1)根据以上数据，可以用函数
来近似描述这一天该港口的水深与时间
的关系，请写出这段曲线的函数解析式.
(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为
，安全条例规定至少要有
的安全
间隙（船底与洋底的距离），请结合图像说明货船进港的必要条件，并求该船这一天何时
能进入港口？在港口能呆多久？
5．（23-24 高一上·江苏淮安·期末）如图1“Omniverse 雕塑”将数学和物理动力学完美融
合，遵循周而复始，成就无限，局部可以抽象成如图2，点P 以
为起始点，在以O 为圆
心，半径为2（单位：10 米），按顺时针旋转且转速为
rad/s（相对于O 点转轴的速度）
的圆周上，点O 到地面的距离为a，且
（单位：10 米），点Q 在以P 为圆心，半径为
1（单位：10 米）的圆周上，且在旋转过程中，点Q 恒在点P 的正上方，设转动时间为t
秒，建立如图3 平面直角坐标系
．
(1)求经过t 秒后，点P 到地面的距离PH；
(2)若
时，圆周上存在4 个不同点P，使得
成立，求实数a 的取值范围．
