文档文本内容
第01 讲 集合
目录
第一部分：基础知识....................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾.............................................................................................................3
第三部分：高频考点一遍过.........................................................................................................4
高频考点一：集合的基本概念...............................................................................................4
高频考点二：元素与集合的关系...........................................................................................5
高频考点三：集合中元素的特性...........................................................................................7
高频考点四：集合的表示方法...............................................................................................8
高频考点五：集合的基本关系.............................................................................................10
高频考点六：集合的运算.................................................................................................... 12
高频考点七：
图的应用...............................................................................................16
高频考点八：集合新定义问题.............................................................................................19
第四部分：典型易错题型...........................................................................................................22
第一部分：基础知识
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：
和
.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（
图）.
（4）常见数集和数学符号
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这
个集合中就确定了.给定集合
，可知
,在该集合中，
,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合
应满足
.
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合
和
是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“
”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，
在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合
、
，如果集合
中任意一个元素都是集合
中的元
素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合
为集合
的子集 ，记作
（或
），读作“
包含于
”（或“
包含
”）.
（2）真子集（proper subset）：如果集合
，但存在元素
，且
，我们称集合
是集合
的真子集，记作
（或
）.读作“
真包含于
”或“
真包含
”.
（3）相等：如果集合
是集合
的子集（
，且集合
是集合
的子集（
），此时，集合
与集合
中的元素是一样的，因此，集合
与集合
相等，记作
.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作
；
是任何集合的子集，是任何非空
集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合
且属于集合
的所有元素组成的集合，称为
与
的交集，记作
，即
．
（2）并集：一般地，由所有属于集合
或属于集合
的元素组成的集合，称为
与
的并集，记作
，即
．
（3）补集：对于一个集合
，由全集
中不属于集合
的所有元素组成的集合称为集合
相对于全集
的补集，简称为集合
的补集，记作
，即
．
4、集合的运算性质
（1）
，
，
．
（2）
，
，
．
（3）
，
，
．
5、高频考点结论
（1）若有限集
中有
个元素，则
的子集有
个，真子集有
个，非空子集有
个，非空真
子集有
个．
（2）空集是任何集合
的子集，是任何非空集合
的真子集．
（3）
．
（4）
,
．
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·北京·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】并集的概念及运算
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得
.
故选：C.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据集合
的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.
【详解】依题意得，对于集合
中的元素
，满足
，
则
可能的取值为
，即
，
于是
.
故选：C
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】补集的概念及运算、交集的概念及运算
【分析】由集合
的定义求出
，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为
，所以
，
则
，
故选：D
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：集合的基本概念
典型例题
例题1．（2024·西藏拉萨·一模）集合
中的元素个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】列举法求集合中元素的个数、常用数集或数集关系应用
【分析】列举法表示集合，可得解.
【详解】
，该集合中的元素有个，
故选：B.
例题2．（23-24 高三上·重庆渝中·阶段练习）已知集合
，
，
，
，若
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合、常用数集或数集关系应用
【分析】根据对描述法表示的集合的理解，设出
的表示形式，得到
，判断其与集合的关系即可.
【详解】因为
，
，
则由题意可设
，
，其中
，
则
，且
，
故
，
故选：D．
精练高频考点
1．（2025·黑龙江·模拟预测）下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、常用数集或数集关系应用
【分析】根据元素与集合的关系以及集合与集合的关系对选项逐一判断即可.
【详解】对于A，0 是自然数，
，故A 错误；
对于B，
不是有理数，
，故B 错误；
对于C，Z 是整数集，Q 是有理数集，Z 是Q 的子集，故C 错误；
对于D，
是方程
的解集，
，故D 正确.
故选：D.
友情提醒：集合
是用描述法来表示集合，解题时注意一般元素代表
，养成细心的解题习惯。
2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）下列四个命题正确的个数是（ ）
①
是空集；②若
，则
；③集合
有两个元素；④集合
是
有限集
A．1
B．2
C．3
D．0
【答案】D
【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合、空集的概念以及判断、集合的分类
【分析】对①，根据空集的定义可判断；对②，根据元素与集合的关系判断；对③，求出方程的根可判
断；对④，根据集合的表示，无限集合定义可判断.
【详解】对于①，
不是空集，空集中无任何元素，故①错；
对于②，若
，当
时，
，故②错；
对于③，集合
，只有一个元素，故③错；
对于④，集合
是无限集，故④错；
综上，正确的命题有0 个.
故选：D.
高频考点二：元素与集合的关系
典型例题
例题1．（2025·陕西汉中·二模）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可.
【详解】因为
，
设
,则：有理数部分：
，无理数部分
，
,
,符合条件，所以
，故A 错误；
设
,则有理数部分
，无理数部分:
，
,
,符合条件，故
，故B 错误；
设
,则：有理数部分
，无理数部分：
，故
,故C 正
确；
设
,则有理数部分：
(非整数，矛盾)，故
，故D 错误．
故选：C.
例题2．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合
，且
，则实数
的值为
．
【答案】3
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数、集合元素互异性的应用
【分析】因为
，则
或
，由此可解出
，再代入集合
验证，需要满足集合的互异
性，由此可得答案.
【详解】因为
，所以分为以下两种情况：
①
或
，当
时，集合
满足题意；
当
时，集合
，违反了集合的互异性，故舍去；
②
，此时集合
，违反了集合的互异性，故舍去；
综上所述，
.
故答案为：3.
精练高频考点
1．（2025·重庆·二模）已知全集
，集合
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】判断元素与集合的关系、补集的概念及运算
【分析】根据补集可得
，根据元素与集合之间的关系逐项分析判断.
【详解】因为全集
，
，可得
，
所以
，
，
，
.
故选：D.
2．（2025·辽宁·二模）设集合
.若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据元素与集合的关系，求
的取值范围.
【详解】因为
，所以
，所以
.
故选：C
高频考点三：集合中元素的特性
典型例题
例题1．（2025·全国·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
的取值集合为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据交集结果求集合或参数
【分析】根据集合中元素的特性及交集运算求解即可.
【详解】由
，得
或
，
解得
，
或
.
当
时，
，不符合题意；
当
时，
，这与集合
中有两元素相矛盾，不符合题意；
经检验
符合题意.
故选：A.
友情提醒：集合元素的互异性是考察重点，求解时注意回代检验是否符合集合
的互异性。
例题2．（24-25 高三上·河北邢台·阶段练习）已知集合
，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．6
【答案】A
【知识点】根据两个集合相等求参数、集合元素互异性的应用
【分析】由已知结合集合相等的条件及集合元素的互异性即可求解.
【详解】因为集合
，
若
，则
或
，
解得
或
，
当
时，
，与集合元素的互异性矛盾，舍去，
故
，
，符合题意，此时
.
故选：A.
精练高频考点
1．（24-25 高三下·广东清远·开学考试）集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．
或2
【答案】C
【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数
【分析】根据题设有
，讨论
、
，结合集合中元素的性质求参数值.
【详解】由题设
，若
，则
，此时
，集合A 不满足元素的互异性，排除；
若
，可得
或
（舍），
当
时，
，
，满足题设，
所以
.
故选：C
2．（24-25 高三上·上海·阶段练习）设
，若集合
中的最大元素为3，则
．
【答案】1
【知识点】判断元素与集合的关系、利用集合元素的互异性求参数
【分析】先根据元素在集合内，再分
分别检验是否符合题意.
【详解】因为集合
中的最大元素为3，
所以
,所以
或
.
当
时，
不合题意舍；
当
时，不符合集合的互异性舍；
当
时，集合
中的最大元素为3；
所以
.
故答案为：1.
高频考点四：集合的表示方法
典型例题
例题1．（24-25 高三上·江西·阶段练习）已知集合
，则用列举法表示
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】列举法表示集合
【分析】由题意可得
可为
、
，计算即可得.
【详解】由题意可得
可为
、
，
即
可为
，即
.
故选：B.
例题2．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组
的解集是（ ）
A．
，或
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合
【分析】解方程组，用集合表示即可判断.
【详解】由方程组
，解得
，所以该方程组的解集为
，
而
.
故选：D.
友情提醒：集合的表示方法常使用①列举法②描述法③韦恩图法。
在使用描述法时注意一般元素代表及其表示范围。
精练高频考点
1．（23-24 高三上·四川乐山·期中）集合
用列举法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】列举法表示集合
【分析】利用不等式性质进行计算的结果
【详解】由
得
，则
．
故选：C
2．（2024 高三·全国·专题练习）用列举法写出集合
＝ .
【答案】
【知识点】列举法表示集合
【分析】根据列举法可得结果.
【详解】由
且
，得
或
或
或
或
或
或
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
，当
时，
，当
时，
.
故
.
故答案为：
3．（23-24 高三·全国·课后作业）已知集合
，用列举法表示M＝ ．
【答案】
【知识点】列举法表示集合
【分析】由
直接求解.
【详解】根据题意，
应该为6 的因数，故可能取值为1，2，3，6，其对应的值分别为：4，3，2，
.
又
，所以
的值分别为：4，3，2.
故集合
.
故答案为：
高频考点五：集合的基本关系
典型例题
例题1．（24-25 高三下·北京海淀·期中）已知集合
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】判断两个集合的包含关系、用弧度制表示角的集合
【分析】先将
分别变形，然后根据数值的奇偶判断出
的关系.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
因为
表示所有奇数，
表示部分奇数，
所以
.
故选：
.
例题2．（2025·云南·一模）已知集合
，
，若
，则实数
的值可以
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】根据
和
，求出
的值,判断选项.
【详解】由
，则
，
再由
，则
.
故选：C.
例题3．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，这样的集合
有 个．
【答案】7
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、并集的概念及运算
【分析】分析题意可得
里一定包含元素
，并将其看为
与另一个从
里抽取元素的集合
取
并集构成，再结合真子集的性质求解即可.
【详解】因为
，
所以
，
对于由
个元素的集合，真子集个数为
个，
则由真子集性质得集合
共有
个，故集合
共有7 个．
故答案为：7
精练高频考点
1．（2025·河南·模拟预测）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】分
和
两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案.
【详解】①当
时，解得
，此时
，满足题意，
②当
时，解得
，此时
，满足题意，
故选：C.
2．（2025·四川·模拟预测）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】判断两个集合的包含关系
【分析】根据子集的定义以及符号表示，可得答案.
【详解】由
，则
.
故选：B.
3．（24-25 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知集合
,
，则集合
的真
子集个数为（ ）
A．3
B．5
C．7
D．15
【答案】C
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】由
知道
为奇数，从而求出集合
，然后由集合的真子集公式求得结果.
【详解】∵
，∴
为奇数，∴
，∴集合
中有3 个元素，∴集合
的真子集个数为：
.
故选：C
高频考点六：集合的运算
典型例题
例题1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】交集的概念及运算、利用不等式求值或取值范围
【分析】先求集合
，利用集合的交集运算即可求解.
【详解】因为
，
，
所以
.
故选：C.
例题2．（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】解不等式求得
，由已知可得
，进而可求实数
的取值范围.
【详解】由
，可得
，解得
，
所以
，由
，可得
，
又
，所以
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：A.
例题3．（24-25 高三上·上海·期中）集合
，集合
.
(1)求集合
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
或
【知识点】根据交集结果求集合或参数、补集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】（1）利用分式不等式的性质，转化为
，即可求解，
（2）根据
,即可分类求解.
【详解】（1）由
可得
，
结合
，
故
，
（2）由
可得
或
，
由
可得
，故
，
，故
,
或
，
故
或
友情提醒：解分式不等式
，不可以直接将分母“
”乘到右边，这
样容易造成误解，另外注意考虑分母不能为“0”
例题4．（24-25 高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合
，
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求实数
的取值组成的集合
．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算
【分析】（1）解方程可得集合
与
，结合集合间的运算可得解；
（2）由
，分
与
两种情况讨论.
【详解】（1）由已知
，
又
，则
，
则
，
；
（2）由（1）得
，
又
，
当
，即
时，
，
当
时，
，则
或
，
解得
或
；
综上所述，
或
或
，
即
.
精练高频考点
友情提醒：本例中第（2）问，
这个条件要优先考虑
，解题时大部分学生
容易忽略这个结论而造成错解。
1．（24-25 高三上·湖南娄底·期中）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】交集的概念及运算、分式不等式
【分析】解分式不等式化简集合B，然后利用交集运算求解即可.
【详解】
，解得
，
，
又
，
.
故选：B.
2．（2025·江西·三模）已知集合
.若
，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】解不等式求得集合
，由已知可得
，进而可求得
的取值范围.
【详解】由
，可得
，解得
，所以
，
因为
，所以
，所以
.
所以
的取值范围为
.
故选：A.
3．（23-24 高三下·北京朝阳·期中）设
为全集，集合
，
．
(1)若
，求
，
；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、求二次函数的值域或最值
【分析】（1）先求出集合
，
，然后结合集合的交集及补集运算即可求解；
（2）由已知结合集合的包含关系对集合
是否为空集进行分类讨论即可求解．
【详解】（1）由题意可得
，
当
时，
，
所以
，
因为
，
所以
（2）由（1）知，
，
若
，即
，解得
，此时满足
；
若
，要使
，则
，解得
，
综上，若
，所求实数
的取值范围为
．
4．（23-24 高三上·辽宁盘锦·期中）设集合
.
(1)若
，求实数
的值；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
或
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数
【分析】（1）求出集合A，由给定交集的结果，求出a 并验证得解.
（2）由给定条件，可得
，再利用集合的包含关系讨论求解即得.
【详解】（1）依题意，
，
由
，得
，则
，解得
或
，
当
时，则
，满足
；
当
时，则
，满足
，
所以
或
.
（2）由（1）可知，
，
，
若
，则
，解得
；
若
，则
，无解；
若
，由（1）知
；
若
，则
，无解，
所以实数
的取值范围是
.
高频考点七：
图的应用
典型例题
例题1．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）学校举办运动会，高三
班共有28 名同学参加比赛，有15
人参加游泳比赛，有8 人参加田径比赛，有14 人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3 人，
同时参加游泳比赛和球类比赛的有3 人，没有人同时参加三项比赛.若从该班参加比赛的同学中随机抽取1
人进行访谈，则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】容斥原理的应用、计算古典概型问题的概率
【分析】根据14 人参加游泳比赛，同时参加游泳和田径的有3 人，同时参加游泳和球类比赛的有3 人，可
以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数以及只参加田径一
项比赛的人数，结合古典概型的概率求法即可求解．
【详解】设同时参加田径比赛和球类比赛的人数为x，只参加田径比赛的人数为y，
只参加球类比赛的人数为z，
只参加游泳比赛的有
人，
作出韦恩图，
由韦恩图得
，解得
，
，
只参加田径一项比赛的人数为
所以从该班参加比赛的同学中随机抽取1 人进行访谈，
则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为
故选：A
例题2．（23-24 高三·湖南长沙）已知某校高三（1）班有51 名学生，春季运动会上，有17 名学生参加了
田赛项目，有22 名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9 名同学，则该班学生中田赛和径赛都没
有参加的人数为（ ）
A．25
B．23
C．21
D．19
【答案】C
【知识点】容斥原理的应用
【分析】根据
进行求解.
【详解】设高三（1）班有51 名学生组成的集合为
，参加田赛项目的学生组成的集合为A，
参加径赛项目的学生组成的集合为
，
由题意集合A 有17 个元素，
有22 个元素，
中有9 个元素，
其中
，
所以
有
个元素.
所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为
.
故选：C.
精练高频考点
1．（24-25 高三上·云南·阶段练习）用
表示有限集合
中元素的个数，例如，
，则
.对于任意两个有限集合
，若
，则
（ ）
A．10
B．12
C．14
D．18
【答案】A
【知识点】容斥原理的应用、利用Venn 图求集合
【分析】直接画出韦恩图求解即可.
【详解】由已知作集合
的韦恩图，则
故选：A
2．（23-24 高三上·新疆喀什·阶段练习）2022 年春节期间，《长津湖之水门桥》《狙击手》《奇迹·笨小
孩》三大片集体上映.春节过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部大片，在已观影的市民中随
机抽取了100 人进行调查观看情况和想法，其中观看了《长津湖之水门桥》的有49 人，观看了《狙击手》
的有46 人，观看了《奇迹·笨小孩》的有34 人，统计图如图.计算图中a，b，c 的值.
【答案】
【知识点】容斥原理的应用
【分析】根据韦恩图及已知条件列方程求参数即可.
【详解】由题设知：
，可得
.
高频考点八：集合新定义问题
典型例题
例题1．（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成
就之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的
形
式表示
和
除以
的余数相同．已知集合
满足
，
，
．对于集合
中的任意一个元素，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】等差数列的应用、集合新定义
【分析】根据同余的定义式，分别求出集合
中元素满足的式子，进而得到集合
，再利用同余的定义
式检验ABD 选项，最后取特殊值
，检验C 选项.
【详解】因
，则
，
因
，则
，
又
，
，
则
又
，则
，故A 正确；
，则
，故B 正确；
，则
，故D 正确；
不妨取
，不满足
，故C 错误.
故选：C.
例题2．（24-25 高三下·浙江·开学考试）定义：
为在集合
中去掉一个元素
后得到的集合；
为
集合
中的所有元素之和.已知由
个正整数组成的集合
，若对于
，都存在两个集合
，使得
，且
，就称集合
为“完美集”.
(1)若
，判断
是否为“完美集”，并说明理由；
(2)若集合
是“完美集”，证明：
是奇数；
(3)若集合
是“完美集”，且
中所有元素从小到大排序后能构成一个等差数
列，则称
为“等差完美集”.已知集合
是“等差完美集”，求
的最小值.
【答案】(1)不是；理由见解析
(2)证明见解析
(3)7
【知识点】集合的应用、根据交并补混合运算确定集合或参数、集合新定义
【分析】（1）根据“完美集”的定义即可判断；
（2）由
是偶数，所以
与
必定同奇同偶.再分奇数偶数讨论；
（3）先假设最小值为
，推出矛盾，再求当
时成立即可.
【详解】（1）
不是“完美集”，
因为去掉2 时，
所有元素和为15，无法拆分为两个和相等的集合；
（2）记
为集合
中的所有元索之和，
是偶数，
所以
与
必定同奇同偶.
当
为奇数时，
也是奇数，
是奇数个奇数相加，故
是奇数：
当
为偶数时，
也是偶数，设
，则
也是“完美集”，
重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“完美集”，此时集合元索个数是奇数；
所以得证：
（3）
最小值是7.
设
是等差数列，
.
当
时，去掉
时，
，不成立：
当
时，
，不妨设
，
去掉
，假设
可以拆分成两个交为空且和相等的集合，
则有两种情况：
①
，因为
，这与
矛盾；
②
，因为
，这与
均为正整数矛盾，故假设不成立：
故
，下证
的最小值为7.
当
时，构造
（写出一个即可），
.
去掉
；
去掉
；
去掉
；
去掉
；
同理去掉
；
去掉
；
去掉
；
所以，
是“等差完美集”.
综上所述，
的最小值为7.
【点睛】思路点睛：对于第二小问：由
是偶数，
所以
与
必定同奇同偶.再分奇数偶数讨论；
第三小问：先假设最小值为
，推出矛盾，再求当
时成立即可.
精练高频考点
1．（2025 高三下·全国·专题练习）已知有限集合
，定义集合
中的元素的个数为集合
的“容量”，记为
.若集合
，则
；若集合
，且
，则正整数
的值
是 .
【答案】 3 2025
【知识点】集合新定义
【分析】第一空，直接由定义即可求解，第二空，由新定义得到
，再由元数个数即可求解；
【详解】
，则集合
，
所以
.
若集合
，则集合
，
故
，解得
.
故答案为：3；2025
2．（2025·山东临沂·二模）对集合
，定义集合
，记
为有限集合
的元素个数．
(1)若
，求
；
(2)给定集合
的子集
，求集合
的元素个数；
(3)设
为有限集合，证明：
．
【答案】(1)
(2)4
(3)证明过程见解析
【知识点】交并补混合运算、集合新定义
【分析】（1）根据定义直接写出结果即可；
（2）利用组合计数的方法可求集合中元素的个数；
（3）对任意元素
，可证
或
，故可证题设中的不等式.
【详解】（1）因为
中的元素是要么只属于
，要么只属于
，
所以
；
（2）设
，则
，因为
，
故符合条件的
的个数为
.
（3）对任意元素
，因为
恰属于集合
之一，不妨设
且
．
若
，则
；若
，则
．
故
，从而
．
因此
，结论成立．
第四部分：典型易错题型
易错点一：忽视集合互异性，求解参数时没有回代检验集合是否满足互异性而
造成错误
1．（23-24 高二下·上海浦东新·期末）已知集合
，且
，则实数
的值为
.
【答案】
或0.
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】根据题意，考虑到各种可能性，分别解方程，并注意检验集合元素的互异性，即可得到答案.
【详解】若
，则
或
当
时，
，符合元素的互异性；
当
时，
，不符合元素的互异性，舍去
若
，则
或
当
时，
，符合元素的互异性；
当
时，
，不符合元素的互异性，舍去；
故答案为：
或0.
【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系，检验集合元素的互异性排除不符合答案是解题的关
键，属基础题.
易错点二：忽视空集，特别提醒当
时，优先考虑
1．（多选）（25-26 高三上·全国·课后作业）已知集合
，若
，则实数a 的值
可以为（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】ABC
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】按照B 为空集和B 不为空集，根据集合的包含关系分类讨论求得实数a 的值，进而做出正确判断.
【详解】若B 为空集，则方程
无解，解得
；
若B 不为空集，则
，由
解得
，
所以
或
，解得
或
．
综上，a 的值可以为
，0，
．
故选：ABC.
2．（24-25 高三上·山东枣庄·阶段练习）已知集合
，
，
，
.
(1)求p，a，b 的值；
(2)若
，且
，求m 的值.
【答案】(1)
，
；
(2)
或
或
.
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数
【分析】（1）根据交集结果有
求
，再由并集结果有
，结合根与系数关系求参数
值；
（2）由包含关系并讨论
、
求对应参数值，即可得.
【详解】（1）由
，故
，可得
，则
，
又
，则
，故
；
所以
，
；
（2）由
，
若
，即
，满足题设，
若
，即
，则
，或
，
综上，
或
或
.
3．（24-25 高三·福建厦门·阶段练习）已知全集
，集合
.
(1)求
和
；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】（1）求得
集合，再根据交集、并集及补集的定义求解即可；
（2）由题意可得
，分
、
分别求解即可.
【详解】（1）集合
，
，
所以
，
，所以
；
（2）因为
，所以
当
时，
，解得
．
当
时，则
，解得
．
综上，
的取值范围为
．
