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第10 讲：第五章 平面向量及解三角形 章节总结
目录
第一部分：典型例题讲解.........................................................................................................1
题型一：用基底表示向量.................................................................................................1
题型二：平面向量共线定理及推论..................................................................................3
题型三：平面向量共线（垂直）的坐标表示...................................................................7
题型四：平面向量数量积（含最值，范围）.................................................................10
题型五：平面向量的模（含最值，范围）.....................................................................15
题型六：向量的夹角.......................................................................................................21
题型七：投影向量...........................................................................................................25
题型八：利用正、余弦定理解三角形.............................................................................28
题型九：三角形形状问题...............................................................................................30
题型十：三角形个数问题...............................................................................................33
题型十一：三角形周长（边长）问题.............................................................................37
题型十二：三角形面积问题............................................................................................45
第二部分：新定义题..............................................................................................................56
第一部分：典型例题讲解
题型一：用基底表示向量
1．（24-25 高二下·贵州毕节·期末）如图，已知
，
，
都是等边三角
形，设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用图形，根据向量的线性运算求解.
【详解】由题，可得
，
，
所以
.
故选：A．
2．（24-25 高一下·江苏盐城·期中）设D 为
所在平面内一点，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意可知
，以此可解决此题．
【详解】根据题意可知
.
故选：B.
3．（24-25 高一下·内蒙古·期末）在平行四边形
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作出符合题意的图形，结合平面向量的加法和减法法则求解即可.
【详解】因为
，所以
是
的中点，
，
因为
，所以
是
上靠近
的三等分点，
，
如图，连接
，
，作出平行四边形
，
由题意得
，故C 正确.
故选：C
4．（24-25 高一下·新疆哈密·期末）已知
为
所在平面内的一点，
，
为
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用平面的线性运算法则求解即可.
【详解】因为
为
的中点，所以
，
又
，所以
.
所以
.
故选：A
5．（多选）（24-25 高一下·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD 中，E，F 分别是
CD 边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据向量的线性关系及加减法计算求解判断各个选项即可.
【详解】对于A，由题意知，E，F 分别是
边上的两个三等分点，且
与
方向相
同，则
，故A 正确；
对于
，
，故B 正确；
对于C，
，故C 错误；
对于
，
，所以
，故D 正确．
故选:ABD．
题型二：平面向量共线定理及推论
1．（2025 高三·全国·专题练习）在
中，
，P 是BN 上一点．设
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题设得
，进而有
，根据三点共线有
，即
可得.
【详解】由
，得
，则
，
因为B，P，N 三点共线，所以
，所以
.
故选：B
2．（25-26 高三上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在
中，
，过点P 的直线分
别交直线AB，AC 于不同的两点M，N．设
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】B
【分析】利用向量基本定理得到
，由共线定理的推论得到方程，求出
，然后根据“1”的代换结合均值不等式求解最小值即可.
【详解】
，
因为
，
，所以
，
又
，
，
三点共线，所以
.
由于
，
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立.
故
的最小值为
.
故选：B
3．（24-25 高一下·湖南邵阳·期末）在
中，点
在线段
上，且满足
，点
为线段
上任意一点（除端点外），若实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．9
【答案】D
【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得
，且
，再
根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案.
【详解】由点
在线段
上，
，得
，
而点
为线段
上除端点外的任意一点，则
，且
，
因此
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为9.
故选：D
4．（24-25 高一下·广西南宁·期末）在
，点
是中线
上一点（不包含端点），且
，则
的最小值是（ ）．
A．8
B．16
C．18
D．25
【答案】D
【分析】利用共线向量定理的推论可得
，且
，再根据“1”的代换，运
用基本不等式可解.
【详解】由
是
的中点得
，所以
，
因为
三点共线，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值是25.
故选：D
5．（24-25 高二下·河北邯郸·期末）如图，在
中，点
在边
上，过点
的直线与
，
所在的直线分别交于点
，
，且
是
的中点，若
，
（
，
），则
的最小值为 .
【答案】
【分析】先根据平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算，得到
的关系，再利用
基本不等式，求和的最小值.
【详解】因为点
在
上，所以
，
因为
是
的中点，所以
，
又因为
，
（
，
），
所以
，
所以
，
，计算可得
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
6．（24-25 高一下·上海·期末）若等边
的边长为3，N 为AB 的中点，且AB 上一点
M 满足：
（
，
），则当
取得最小值时，
．
【答案】
【分析】利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出
，再利用数量积的运
算律求解即得.
【详解】由AB 上一点M 满足：
，得
，而
，
则
，当且仅当
，即
时取等号，
因此当
取得最小值时，
，
，而
，
由等边
的边长为3，得
，
所以
.
故答案为：
题型三：平面向量共线（垂直）的坐标表示
1．（24-25 高一下·安徽合肥·期中）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算列式求解.
【详解】由向量
，
，得
，
由
，得
，
所以
.
故选：B
2．（24-25 高二下·河南·阶段练习）已知向量
，
，若
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用数量积的坐标运算即可.
【详解】因为
，所以
，得
，所以
.
故选：B
3．（24-25 高一下·新疆·期末）已知向量
，
，且
，则
（ ）
A．3
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】应用向量的线性运算求
，再由向量平行的坐标表示列方程求参数.
【详解】因为
，
，所以
，
由
，得
，解得
.
故选：A
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知向量
，
，若向量
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据共线的坐标关系即可求解.
【详解】因为向量
，且
，
所以存在实数
，使得
，
即
，即
解得
，故
，
故选：D
5．（24-25 高一下·吉林长春·阶段练习）已知向量
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量共线的坐标表示即可求解；
（2）根据向量减法的坐标表示和向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】（1）∵向量
，
，
∴
，解得
.
（2）∵向量
，∴
.
∵
，
∴
，解得
.
6．（24-25 高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知向量
，
.
(1)若
，求m 的值；
(2)若向量
，且
，求向量
，
的夹角.
【答案】(1)
或
.
(2)
【分析】（1）先根据平面向量的线性运算的坐标表示得出
和
的坐标；再根据平
面向量垂直的坐标表示列出方程求解即可.
（2）先根据平面向量线性运算的坐标表示及向量平行得出
，从而得
；再
根据平面向量模及数量积的坐标运算得出
，
，
；最后根据平面
向量夹角的计算方法即可求解.
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
.
又因为
，
所以
，解得：
或
.
（2）因为
，
，
所以
，
.
又因为
，
，
所以
，解得：
，
则
.
所以
，
.
设向量
，
的夹角为
，
由
，得
所以向量
，
的夹角为
题型四：平面向量数量积（含最值，范围）
1．（24-25 高一下·江苏盐城·期中）如图所示，在边长为4 的正八边形
中，点
为正八边形的中心，点
是其内部任意一点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据正八边形
的边长为4，求出外接圆的半径
和内切圆的半径
，再根据平面向量的数量积求出
的最小值和最大值，即可得出结果
【详解】正八边形
中，
，
所以
，
，
连接
，过点
作
，交
、
于点
、
，交
于点
，
设
，
中，由余弦定理得，
，
△OAF 中，
，
所以
，解得
，
，解得，
所以
，
当
在
上的投影点与
重合时，
在
上的投影向量为
，
此时
取得最小值为
，
当
在
上的投影点与
重合时，
在
上的投影向量为
，
此时
取得最大值为
，
因为点P 是其内部任意一点，所以
的取值范围是
．
故选：A．
2．（24-25 高一下·广东深圳·期中）已知
是边长为2 的正八边形
内的一点，
为其中心，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先由正八边形的对称性和向量的运算法则将
转化为
，然
后求出正八边形的内角大小，根据数量积
的几何意义，将问题转化为求解
的最值，结合图形可得取得最值时
的位置，最后结合平面几何知识求得结果.
【详解】由正八边形的对称性可知，
，
易知正八边形的每个内角为
，
设
与
的夹角为
，则
，
所以当
最大时，
取得最大值，当
最小时，
取得最小值.
如图，过点
作
垂直
的延长线于点
，过点
作
垂直
的延长线于点，
可知当
在线段
上时，
取得最大值，
，
此时
.
当
在线段
上时，
取得最小值，此时
，
此时
，
故
的取值范围为
.
故选：A.
3．（2025 高一·全国·专题练习）如图，等边
的边长为2，顶点
分别在
轴的非
负半轴、
轴的非负半轴上滑动，
为
的中点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，则点的坐标，再应用数量积的运算律计算结合辅助角公式应用正
弦函数值域求解即可.
【详解】设
，则
，
，
由题意可得
，
，
所以
，其中
，
所以
的最大值为
．
故选:B．
4．（24-25 高一下·陕西商洛·期末）在梯形
中，
，
，
，点E 在线段
上，则
的取值范围为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，以
为坐标原点，
为x 轴，以
为y 轴建立平面直角坐标系，设
点
.根据点E 在线段
上，所以设
，其中
，结合平面向量的线
性运算及数量积的坐标表示即可求解.
【详解】根据题意，以
为坐标原点，
为x 轴，以
为y 轴建立平面直角坐标系如图
所示，
则
，
，
，
，
所以
，
，
.
设点
.
因为点E 在线段
上，所以设
，其中
，
所以
，所以
，
所以
.
故选：D.
5．（24-25 高一下·重庆·期末）在等腰梯形
中，
，
，P
是底边
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题设条件，建系，写出相关点的坐标，利用向量坐标的数量积运算将其化成
二次函数，即可求得最值.
【详解】根据题意，以A 为原点，射线AB 为x 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，
因
，易推得
，则
，
，
设
，其中
，则
，
，
于是，
，
故当
时，
取得最小值为
.
故答案为：D．
6．（24-25 高一下·广东汕头·期末）已知
为直角三角形，
，
，
，
为
的中点.若点
在射线
上运动，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】以点
为原点，建立平面直接坐标系，得直线
的方程为
，设点
，利用数量积的坐标运算得
，最后由二次函数即可
求解.
【详解】由题意：以点
为原点，建立平面直接坐标系，则
，
所以直线
的方程为
，设点
，
所以
，
所以
，
当
时，
的最小值为：
.
故答案为：
.
7．（24-25 高一下·广东深圳·阶段练习）已知
中，
，且
的最小值为
，若P 为边AB 上任意一点，则
的最小
值是 .
【答案】
【分析】由题设，取
，结合平面向量基本定理，可得
为等腰直角三角
形，再建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算，结合二次函数配方法求得最值即
可．
【详解】取
，连接
，如图所示，
则
，
设
，则B，D，E 三点共线，
由
，可知当
时，
有最小值
，
故
，即
为等腰直角三角形，
以A 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则
，
，设
，
，
则
，
，
故
，
故当
时，可得
的最小值是
故答案为：
题型五：平面向量的模（含最值，范围）
1．已知平面向量
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】设
，得
，则
，再由向量的模公式求解即
可．
【详解】设
，
因为
，所以
，得
，
得
，
则
，
当
时，
取得最小值，为3.
故选：D
2．已知向量
满足
，且
的夹角为
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【分析】根据平面向量模长的坐标表示和数量积的运算律求解即可.
【详解】因为
，且
的夹角为
，
所以
，
，
所以
.
故选：B
3．已知平面内三个不同的单位向量
，
，，满足
，
，
，则
可能的取值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示出
，求出其取值范围，再进行判断
即可.
【详解】如图：
设
，
，因为
，
，
，
，
所以可取
，
，由题意
点在第四象限，设
，
，则
.
所以
.
因为
，所以
，所以
.
所以
，
所以
.
故选：B
4．已知在
中，
，
，
是线段
上的动点，且
，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】依题意作图并建立坐标系，如图，可设
，利用数量积和模
的坐标运算得
，利用余弦函数值域求解.
【详解】依题意作图并建立坐标系，如图，
，
可设
，
则
，
，
则
，
由
，
得
，
，
，
又因为
，所以
，故
.
故答案为：
5．如图，M，N 分别是四面体
的棱OA，BC 的中点，
是
上靠近点
的三等
分点，
，
，
．
(1)以
为基表示
；
(2)若
，
，
，
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的线性运算结合图形计算即可；
（2）根据
结合数量积的运算律计算即可.
【详解】（1）
．
（2）
，
故当
时，
取得最小值
，所以
．
6．如图，在梯形
中，已知
，
，
，点E、F 分别
在直线
和
上，且
，
，连接
交
于点P.
(1)设
，用
和
表示
，并求实数t 的值；
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合题意求得
、
、
的坐标，然后求出
，
，结合平面向量基本定理求出
和
表示
的式子，再根据B、P、D 三点共线，列式算出实数t 的值；
（2）根据平面向量的坐标运算法则求出
，然后根据向量模的公
式，结合二次函数的性质求出求
的取值范围.
【详解】（1）以A 为坐标原点，
所在直线为x 轴，过点A 作
的垂线为y 轴，建立
平面直角坐标系，
则
，
，
，
，
可得
，
，
，
则
，
根据平面向量的加法法则，可得
，
设
，
可得
，解得
，
所以
；若
，
则根据B、P、D 三点共线，可知存在实数m，使
，
所以
，解得
.
（2）因为
，
，
可得
，
所以
，
即
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的取值范围为
.
7．已知单位向量
的夹角为锐角且
的最小值为
，若向量满足
，求
的取值范围.
【答案】
【分析】通过单位向量的性质及夹角条件得出
的夹角为
，再由向量方程对向量的约
束及数形结合，解出
的取值范围.
【详解】设
的夹角为
，则
，
，
当
时取等号，即
，则
.
设
，
则
，
展开得
，整理后
，
因此向量的终点位于圆心为
，半径为
的圆上，
圆心到原点距离为
，
所以
得最小值为
，最大值为
。
综上，
的取值范围为
.
题型六：向量的夹角
1．已知两个向量
、
满足
，
，
，且向量
与
的夹
角为钝角．则实数的
取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据条件转化为数量积小于0，以及两向量不平行，列式求解.
【详解】若
和
的夹角为钝角，则
，且不平行，
所以
，
解得：
，
若向量
和
平行，则
，得
，
综上可知，
取值范围为
.
故答案为：
2．若向量
与
的夹角为钝角，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由向量夹角与数量积正负的关系，列出不等式求解即可.
【详解】由向量
与
的夹角为钝角，
可得：
，
解得
，
由当
时，
，与
共线反向，舍去，
所以实数的取值范围为
，
故答案为：
3．已知向量
，
．
(1)若
，求x；
(2)若
在
方向上的投影向量为
，且
与
的夹角是锐角，求实数λ 的取值范
围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量垂直的充要条件及向量坐标的数量积运算即可得解；
（2）先根据投影向量的计算公式求出x，然后根据向量夹角为锐角即可得出
，且
与
不共线，然后列出关于λ 的不等式组，解出范围
即可．
【详解】（1）∵
，
，
，
∴
，
解得
；
（2）∵
在
方向上的投影向量为
，
∴
，解得
，
∴
，
，
，
∵
与
的夹角为锐角，
∴
，且
与
不共线，
∴
，解得
且
，
λ
∴的取值范围为：
．
4．已知平面向量
，
满足：
，
，
与
的夹角为
.
(1)求
；
(2)设平面向量
，
，若
，
的夹角为锐角，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量数量积的定义求解即可；
（2）利用向量夹角为锐角的充要条件是两向量积大于0 且这两向量不同向共线，再利用向
量积的运算和共线运算即可.
【详解】（1）因为
，
，
与
的夹角为
，
所以
；
（2）因为向量
与
的夹角为锐角，
所以
且
与
不同向共线.
可得：
，
将
，
，
代入上式可得：
，
整理得：
，可得
.
若两向量同向共线，则存在实数
，使得
，即
.
所以
，解得
.
所以当两向量不同向共线时，
.
综合以上两个条件，实数
的取值范围是
.
5．已知：a、b、是同一平面内的三个向量，其中
(1)若
且
， 求的坐标;
(2)若
且
与
的夹角为锐角，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）设
，由
，可得
，解方程求得
值．
（2）求出
，由
与
的夹角为锐角可得
，解得
的范围，而当
与
共线且方向相同时，求出对应的
的值，从而得到
的取值范
围．
【详解】（1）
，
，
故可设
，由
，可得
，
解得
，
或
．
（2）
，
，
，
与
的夹角为锐角，
，
，
．
而当
与
共线且方向相同时，
，
，
解得
，
故
的取值范围为
．
6．已知向量
满足
．
(1)求向量
的夹角；
(2)若向量
与
的夹角是钝角，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的运算律求出
，再利用夹角公式求
解.
（2）由（1）的信息，利用夹角公式及共线向量定理列式求解.
【详解】（1）设向量
的夹角为
，
由
，得
，即
，
由
，得
，即
，
则有
，又
，解得
，
，
因此
，所以向量
的夹角为
.
（2）由（1）知
，则
，
由向量
与
的夹角是钝角，得
，
且向量
与
不共线，因此
，解得
且
，
所以实数
的取值范围为
.
题型七：投影向量
1．已知
的外接圆圆心为
，且
，
，则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据条件作图，可得
为等边三角形，
为等腰三角形，
为直角
三角形，即
，
，再根据投影向量的概念求解即可.
【详解】如图，由
，可得
为
的中点，
又因为
为
的外接圆圆心，所以
，
又因为
，所以
，
所以
为等边三角形，即
，
为等腰三角形，即
，
为直角三角形，
，
所以向量
在向量
上的投影向量为
.
故选：D.
2．已知平面向量
，
，则向量
在向量
上的投影向量的坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标公式计算即可.
【详解】由
，
，可得
，
，且
，
则
，
，
则向量
在向量
上的投影向量为：
，
故向量
在向量
上的投影向量的坐标为
.
故选：D.
3．已知
，
，则
在
上的投影向量的模为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】直接根据
在
方向上的投影向量公式求出投影向量，从而求出向量的模即可求
解．
【详解】
，
，，所以
，
，
则
在
上的投影向量为
，
其模为
，
故选：B．
4．在
中，
，
，
，
是
边上的中线，则向量
在向量
上的投影向量为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出
，然后利用投影向量公式求解.
【详解】由题意得，
，
，
根据投影向量的计算公式，向量
在向量
上的投影向量是
.
故选：C
5．已知向量
，若
，
，则向量
在
方向上
的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，
，
，求得
，
，再根据投影向量的计算公式，即可
求解.
【详解】因为
，
，
所以
，解得
，所以
，
又
，
，所以
，解得
，所以
，
所以
，
，
故向量
在
方向上的投影向量为
.
故选：A．
6．已知平面向量
，
满足：
，
，
．
(1)求
与
的夹角
；
(2)求向量
在向量
上的投影向量的模．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先应用数量积运算律化简求解得出
，余弦公式计算求解；
（2）应用数量积运算律结合模长公式计算，再应用投影向量模长公式计算求解.
【详解】（1）
，
，
又
，
，
，
．
又
，
．
（2）
，
．
向量
在向量
上的投影向量的模为
题型八：利用正、余弦定理解三角形
1．（24-25 高一下·天津·期末）在
中，三个内角为
.若
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，角化边并利用余弦定理求解即得.
【详解】在
中，由
及正弦定理得
，
令
，则
，由余弦定理得
.
故选：D
2．（24-25 高一下·贵州铜仁·期末）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由余弦定理
直接计算求解即可.
【详解】由题意得
，
又
，所以
.
故选：A
3．（22-23 高二下·黑龙江鸡西·期中）已知
中，
的对边分别为
．若
，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
，则对应
，再利用三角形内角和和正弦定理求解即可.
【详解】因为
，所以
，
则
，
由正弦定理
，代入可得
，
又
，
根据计算可得
.
故选：A
4．（24-25 高一下·四川成都·期末）在
中，角
所对的边分别为
，
，则
．
【答案】
/
【分析】使用正弦定理与余弦定理的结合即可计算.
【详解】在
中，
，所以
，又
，则
，
由
，得
.
故答案为：
5．（24-25 高一下·福建漳州·期末）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
若
，
，
，则
．
【答案】
【分析】根据三角形内角和得
，再利用正弦定理求解即可.
【详解】因为
，
，所以
，
根据正弦定理
得
.
故答案为：
6．（2025 高三·全国·专题练习）记
的内角
的对边分别为
，已知
，且
，则
．
【答案】
【分析】利用余弦定理结合题干条件化简得出
，从而得出
关系，再将
其代入
即可.
【详解】由余弦定理
结合
，得
，
整理可得
，
因为
，所以
，
代入
中得
，所以
．
故答案为：
题型九：三角形形状问题
1．记
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，且
，则
是（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．等边三角形
D．钝角三角形
【答案】A
【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式、诱导公式可求出
的值，结合角
的取
值范围可得出角
的值，由此可得出结论.
【详解】因为
，所以
，
由正弦定理得
，
整理得
，
因为
，所以
，故
，故
，所以
为直角三角形．
故选：A．
2．设
的面积为，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
，若
，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】由余弦定理可得出
的值，由平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式化
简得出
的值，结合三角形内角的取值范围得出
、
的值，进而可得出角
的值，即
可得出结论.
【详解】因为
，所以
，
因为
，故
，
因为
，即
，
即
，化简得
，
因为
，故
，可得
，则
，故
，
因此，
为直角三角形，
故选：B.
3．在
中，若对任意
恒成立，则
为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．形状不确定
【答案】B
【分析】化简
，带入不等式两边同时平方进行化简，最后用余弦定理化
简，得出答案.
【详解】
,两边平方得到：
，
因为若对任意
恒成立，所以
，
即
化简不等式得：
，
由余弦定理得：
，化简得：
，
所以，
为直角三角形.
故选：B
4．在
中， 记角A，B，C 的对边分别为a，b，c， 若
，则
的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】由正弦定理得
，进一步讨论得
或
即可判断.
【详解】因为
，所以
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，所以
符号相同，
若
，则
，而这会导致
，这与三角形内角和矛盾，
从而只能
，所以
，
所以
或
，
所以
或
,
所以
的形状是等腰三角形或直角三角形.
故选：D.
5．（多选）记
的内角
的对边分别为
，
，，
为边
的中点，则下列
说法正确的是（ ）
A．若
，则
是等边三角形
B．若
，则
是直角三角形
C．若
，则
是锐角三角形
D．若
，则
是钝角三角形
【答案】BD
【分析】利用正弦定理可得
，结合条件可判断A；根据正弦定理可得
进而判断B；利用特值法可判断C；根据
及余弦定理结合条件
可判断D.
【详解】对于A，由正弦定理可得
，故
，
而
为三角形内角，故
为直角，故
是等腰三角形，不足以推出等边三角
形，故A 错误；
对于B，因为
，由正弦定理得
，所以中线等于斜边的一
半，故
是直角三角形，故B 正确；
对于C，取
，则
，
，因为
，故
存在，
故
存在，
此时由余弦定理得
，故三角形内角
为钝角，故
是钝角三角
形，故C 错误；
对于C，因为
，故
，故
，
由余弦定理可得
，
故
，故三角形内角
为钝角，故
是钝角三角形，故D 正确；
故选：BD
6．在
中，已知
，则
的形状为
【答案】等腰或直角三角形
【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦及正弦函数性质推理判断即
可.
【详解】在
中，由
及余弦定理，得
，
整理得
，即
，
而
，因此
或
，
所以
或
，即
为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰或直角三角形
题型十：三角形个数问题
1．在
中，角
所对的边分别为
，则满足以下条件的三角形的解个数为两
个的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的内角和定理，逐项分析判
断，即可求解.
【详解】对于A 中，由正弦定理
，可得
，
则这样的三角形不存在，所以A 错误；
对于B 中，由
，可得
，
又由
，则这样的三角形是唯一的，所以B 不符合题意；
对于C 中，由余弦定理，可得
，
所以
，则这样的三角形是唯一的，所以C 不符合题意；
对于D 中，由正弦定理
，可得
，
因为
，可得
，所以
或
，则这样的三角形有两个，所以D 符合题
意.
故选：D.
2．
的内角A，B，C 的对边分别为
，
，，
，
，如果
有两解，
则
的值可能为（ ）
A．9
B．
C．11
D．12
【答案】A
【分析】根据正弦定理及三角形解的个数，求边
的取值范围，确定选项.
【详解】由正弦定理得：
，且
有两解，
所以
，且
，所以
，
故符合题意的只有A.
故选：A
3．已知
的内角
的对边分别为
，
，，且满足
，
的三角形有
两个，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解.
【详解】由
有两解，得
即
解得
，
故选：A．
4．在
中，角
的对边分别为
，符合下列条件的三角形有且只有一个的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】A 利用三角形全等的判定方法可判断；B 利用大边对大角可判断；C 利用
可判断；D 由正弦定理得
，结合
可判断.
【详解】对于A，根据三角形全等的判定方法，可知满足条件的三角形只有一解，故A 正
确；
对于B，因为
，所以
，又
为钝角，所以
不存在，
所以满足条件的三角形不存在，故B 错误；
对于C，因为
，所以三角形不存在，故C 错误；
对于D，因为
，所以
，
因为
且
，所以
有两解且这两个解互补，故D 错误.
故选：A
5．（多选）在
中，
，
．若
有两个解，则
的取值可能为
（ ）
A．9
B．8
C．10
D．11
【答案】ACD
【分析】根据
有两个解，可得
，解不等式即可得解.
【详解】在
中，
，
，
因为
有两个解，所以
，
即
，故
，结合选项可知ACD 符合题意．
故选：ACD
6．（多选）记
的内角
的对边分别为
.已知
，若角
有两
解，则
的值可以是（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】CD
【分析】由正弦定理先计算出
，而角
有两解，则需要满足
且是最大边进
而求出
的范围.
【详解】角
有两解，即角
有两解，由正弦定理可知：
，
角
要有两解，则需满足
且
，解得：
.
故选：CD
7．（多选）在
中，
，若该三角形有且只有一解，则AC 的值可能为
（ ）
A．6
B．2
C．4
D．8
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用正弦定理表示出
，再按
的取值情况分段求解.
【详解】在
中，
，
，
由正弦定理，得
，即
当
时，
，
有且只有一个解，
；
当
，且
时，
，
有两解，
；
当
时，
，
有且只有一个解，
，
所以AC 的值可能为2 或4，AD 错误，BC 正确.
故选：BC
8．在△ABC 中，
请给出一个
值 ，使该三角形有两解.
【答案】3（答案不唯一）
【分析】先由正弦定理得到
，由三角形有两个解，可得
且
，进而可
得答案.
【详解】根据正弦定理得到
，
因为三角形有两个解，
且
，
即
且
，可得
所以
时，三角形有两个解.
故答案为：3（答案不唯一）.
题型十一：三角形周长（边长）问题
1．（24-25 高一下·贵州贵阳·阶段练习）在锐角三角形
中，角
、
、
的对边分别
为
、
、、，若
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理结合辅助角公式和正弦函数的性质可求
的取值范围.
【详解】因为
，故
，
由正弦定理可得
，而
为三角形内角，故
，
故
，而
为三角形内角，故
为锐角，
故
，故
，故
即
，
故
（
为外接圆半径），故
，
因为
，
，所以
，则
.
故
，
其中
，且
，
由锐角三角形
可得
，故
，
故
，
因为
，且
，故
，则
，
，
所以
时，
，
取得最大值.
当
时，
，
当
时，
，
故
，
故选：C.
2．（24-25 高一下·云南昭通·期中）锐角
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理边化角得
，又
，进而可求范围.
【详解】由正弦定理可得
，
又因为在锐角三角形中
，
，则
，
所以
．
故答案为：
3．（24-25 高一下·安徽·阶段练习）已知向量
，
，
，其中A 是
的内角，
.
(1)求角A 的大小；
(2)若角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出
，由
可得
，由
可得B 为钝角，由
此可求结论；
（2）根据正弦定理证明
，
，化简可得
，根
据
在
上单调递减即可求解.
【详解】（1）因为
，
所以
，
所以
，由
，得B 为钝角，
则A 为锐角，故
，所以
，故
；
（2）因为
，由正弦定理得
，
所以
，
，
则
，
因为函数
，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，
代入值计算得
，
故
的取值范围为
.
4．（24-25 高一下·四川成都·期中）在
中，角
的对边分别为
，已知
.
(1)求角
；
(2)若
是锐角三角形，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）结合
是锐角三角形可得
，进而根据正弦定理、两角差的正弦公式及同
角三角函数的基本关系化简可得
，进而根据正切函数的性质求解即可.
【详解】（1）由
，
根据正弦定理得
，
则
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
.
又
，所以
.
（2）因为
是锐角三角形，且由（1）知
，
所以
，即
，解得
，
由正弦定理得：
，
因为
，所以
，
又
，则
，
所以
，则
，
所以
的范围为
.
5．（24-25 高一下·新疆克拉玛依·期中）已知，在
中，角A，B，C 所对的边分别为
a，b，c，且有
．
(1)求A；
(2)若
为锐角三角形，求B 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，已知
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦定理将已知条件转化为关于角
的方程，解出角
的值；
（2）结合三角形内角和及锐角三角形的条件通过角度关系确定
的范围；
（3）应用正弦定理将边转化为角的正弦表达式，通过三角恒等变换化简目标式，结合角度
范围求取值.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
所以
，
解得：
，因为
，所以
.
（2）
为锐角三角形，所以
，
所以
，解得：
.
（3）因为
，
，所以由正弦定理可得：
，
所以
因为
，所以
，
所以
，所以
的取值范围为
.
6．（24-25 高一下·安徽合肥·阶段练习）在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，
b，c，且
．
(1)求
的大小；
(2)若
，求
周长的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）由条件，利用正弦定理化边为角可得
，再利用两
角和公式及三角恒等变换化简可得
，由此可求结论；
（2）设
的外接圆半径为
，利用正弦定理求
，结合正弦定理可得
，结合两角和关系消
并化简，求
的范围，结合正弦函数
性质求结论.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
又
，
所以
，
因为
，则
，所以
，
因为
，所以
，
（2）设
的外接圆半径为
，
因为
，
，
，
因为锐角
，
.
，
周长
.
7．（24-25 高一下·江苏连云港·阶段练习）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，
b，c，已知
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，且
为锐角三角形，求
的周长的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
．
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到
，即
可得解;
（2）利用正弦定理将
转化为关于A 的三角函数，结合三角形为锐角三角形求出A 的
范围，即可求出
的范围得解.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可得
，
，
，则
，
，又
，
；
（2）在
中，由正弦定理
，
，
，
又
为锐角三角形，
，
，
，
，
，
，
故
周长的取值范围为
．
8．（24-25 高一下·河北沧州·阶段练习）锐角
的内角
，
，
的对边分别为
，
，.已知
.
(1)求
；
(2)若
，求
面积的最大值；
(3)若
，求
周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
.
【分析】（1）依题意可得
，再由两角和的正切公式求
出
，即可得解；
（2）利用余弦定理及基本不等式求出
的最大值，再由面积公式计算可得；
（3）利用正弦定理得到
，
，从而转化为关于
的三角函数，再结合
的范围计算可得.
【详解】（1）由
，
可得
，
又
为锐角三角形，则
，
所以
，
所以
，又
，所以
.
（2）由余弦定理知，
，
当且仅当
时，等号成立.
因为
，所以
，
故
的面积
，
所以
面积的最大值为
.
（3）由正弦定理知
，
所以
，
，则
的周长为
.
因为
，
所以
.
因为
为锐角三角形，所以
，解得
，
所以
，则
，
故
周长的取值范围为
.
题型十二：三角形面积问题
1．（24-25 高三下·河南信阳·阶段练习）在锐角
中，内角
的对边分别为
，且满足
，若
，则
面积的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由余弦定理化简已知式可得
，由正弦定理得
，再代入三角
形的面积公式化简结合角
的范围，即可求出答案.
【详解】∵
，∴
，
∴由余弦定理可得：
，
又∵
，∴
.
∵
，∴由正弦定理可得：
，
∴
，又∵
，
∴
∵在锐角
中，∴
，∴
，
∴当
，即
时，
取最大值，最大值为
.
故选：B.
2．（24-25 高三上·江西·阶段练习）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，
，且满足
.
(1)求
；
(2)若内角
的角平分线交
于
点，且
，求
的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，化简后求解即可；
（2）根据角平分线性质，求得
和
，再将
转化为
与的
关系，利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）∵
，∴由正弦定理得
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，∴
，∴
，∴
，
∴
.
（2）
如图，由题意及第（1）问知，
，且
，
∴
，
∴
，化简得
，
∵
，
，∴由基本不等式得
，∴
，
当且仅当
时，等号成立，
∴
∴
，
故
的面积的最小值为
.
3．（24-25 高二上·河北秦皇岛·开学考试）在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为
a，b，c，若
，
．
(1)求角B 的大小和边长b 的值；
(2)求
面积的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简已知等式可得
，结合B 为锐角，
可得B 的值，由正余弦定理化简已知等式即可求解b 的值．
（2）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式可求
，由题意可求范围
，利用正弦函数的性质即可
求解其范围．
【详解】（1）∵
，∴
，
∴
，∴
，
∵B 为锐角，∴
，∵
，
由正余弦定理可得：
，
整理可得
，解得
．
（2）∵
，
∴
，
，
∴
，
，
∵
，
，∴
，
∴
，∴
，
∴
4．（24-25 高二上·湖南湘西·阶段练习）已知锐角
的内角A，B，C 所对的边分别是
a，b，c．且
．
(1)求角A；
(2)若
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理进行边化角，然后结合三角恒等变换运算求解；
（2）根据题意利用正弦定理和面积公式，并结合三角恒等变换可得
，求角C 的范围，结合
的范围运算求解.
【详解】（1）因为
，
可得
，
由正弦定理得
，
又因为
，
可得
，
且
，则
，可得
，则
，
又因为
，则
，可得
，所以
．
（2）由正弦定理
，可得
，
则
面积
，
因为
为锐角三角形，故
，解得
，
所以
，则
，可得
，
所以
的取值范围为
．
5．（24-25 高三上·四川资阳·阶段练习）在
中，内角A、B、C 所对的边分别为a、
b、c，且
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
的周长为6，求
面积S 的最大值．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）利用余弦定理可得
，整理后可知
，
进而可求解.
（2）由三角形周长可得
，利用基本不
等式可解得最值.
【详解】（1）由余弦定理，得
，即
则
，
所以
又
，所以
．
（2）由题意，
，
根据余弦定理，得
，
则
，
所以
，
当且仅当
时取等号
所以
面积
，
故
面积S 的最大值为
．
6．（24-25 高一下·重庆万州·阶段练习）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
已知
.
(1)若
，求
的外接圆的周长和面积.
(2)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
的外接圆的周长为
，
的外接圆的面积为
；
(2)
面积的取值范围为
.
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合内角和关系和三角恒等变换公式化简求
，再
由正弦定理求外接圆半径，由此可得结论；
（2）由条件结合三角形面积公式可得
的面积
，结合正弦定理将其转化为角
的解析式，结合
的范围，由此可求
面积的取值范围.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
因为
，
，
所以
，又
，
所以
，故
，
所以
，
又
，所以
，
所以
，因为
，
所以
，故
，
设
的外接圆半径为
，
由正弦定理可得
，又
，
所以
，
所以
的外接圆的周长为
，
的外接圆的面积为
；
（2）由三角形面积公式可得，
的面积
，
又
，
，
所以
，
由正弦定理可得
，
所以
，
所以
，
因为
为锐角三角形，所以
，
，
所以
，
所以
，所以
，
所以
，
故
面积的取值范围为
.
7．（24-25 高三上·广东·阶段练习）在
中，内角
所对的边分别为
，设
，
(1)求角
；
(2)若
，且
，求
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理，化简得到
，得到
，进而求得
的大小；
（2）解法一：由余弦定理化简得到
，再根据
，化
简得到
，两式联立，结合基本不等式，求得
，进而的面积的最大
值；
解法二：延长
至
，使
，连
，在
中，由余弦定理和基本不等式求得
，结合
，即可求解.
【详解】（1）解：因为
，
由正弦定理，可得
，
整理得
，
可得
，
即
，
因为
，则
，所以
，
可得
，即
，
又因为
，可得
，所以
，所以
.
（2）解法一：在
中，由余弦定理得
，即
，①
因为
，所以
且
，即
，
在
和
中，由余弦定理可得
，
即
，即
，②
联立①②消去
，可得
，
因为
，当且仅
时，等号成立，所以
，即
，
所以
的面积
.
故
面积最大值为
.
解法二：延长
至
，使
，连
，则
且
，
可得
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，所以
的面积
.
故
面积最大值为
.
8．（24-25 高一下·广东广州·期中）已知
的内角
、
、
的对边分别为
、
、
，
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式以及两角和的正弦公式化简得出
的值，结合
角
的取值范围可得出角
的值；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得
的最大值，结合三角形的面积公式可求得
面积的最大值.
【详解】（1）解：因为
，
由正弦定理可得
，
即
，
所以，
，
因为
、
，则
，所以，
，故
.
（2）解：由余弦定理可得
，即
，
当且仅当
时，等号成立，
所以，
，
故
面积的最大值为
.
9．（24-25 高一下·广西南宁·期末）请从①
；②
；③
这三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填
写到答题卡对应位置上）.
(1)求角C 的大小；
(2)若
，D 为
的外接圆上的点，
，求四边形ABCD 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，通过二倍角公式的化简求解；选②，通过余弦定理求解即可；选③，
通过边角互化求解即可；
（2）将条件
转化为
，然后结合基本不等式求取四边形面积的最大
值；
【详解】（1）选①：
，根据二倍角公式化简得：
即
因为
解得：
或
（舍去），
所以
；
选②
，根据正弦定理得：
根据余弦定理得：
又因为
，所以
；
选③
，根据正弦定理得：
因为
，
解得：
，所以
；
（2）
，根据数量积定义可知：
所以
，则有：
，
如图所示：
,
根据正弦定理得：
，
因为
根据基本不等式解得：
，当且仅当
时，等号成
立，
即
，
代入
，
解得：
，
综上四边形ABCD 面积的最大值为
.
10．（23-24 高三上·河北邢台·期中）在锐角三角形
中，内角
的对边分别为
，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）对等式两边同时乘以
可得
，正弦定理结合两角
和的正弦公式化简即可得出答案；
（2）由正弦定理求出
，表示出
面积结合三角函数的性质即可得
出答案．
【详解】（1）由已知条件得
，
由正弦定理得
，
即
．
因为在
中，
，
所以
．
又
是锐角，所以
．
（2）由正弦定理得
，
则
，
所以
．
由
，得
，
所以
，所以
，
所以
．
所以
面积的取值范围为
．
第二部分：新定义题
1．（多选）（24-25 高一下·山东青岛·期末）“费马点”指平面内到三角形三个顶点距离
之和最小的点.在
中，当最大内角小于
时，费马点P 满足
；当最大内角不小于
时，最大内角的顶点为费马点.若
，
，
，点P 为
的费马点，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】A 选项，由三角恒等化简
，正弦定理转化
边角关系，由余弦定理化简得到答案；B 选项，解
得到所有边角的大小，再证明
与
相似，利用相似比出答案；C 选项，由B 结论设
，则
，
,解出数值，解
得到
，从而得到
；D 选项，利用向量内积
计算可得答案.
【详解】A 选项，由余弦二倍角公式得：
变为
，整理得：
，
由正弦定理得
，再由正弦定理化简为：
，
解得：
，A 正确
B 选项，由余弦定理得
，
带入整理得：
，解得：
由正弦定理得
，带入整理得：
，
所以
，
最大内角为
，满足
，
，
，
，
与
相似，
,化简得：
，B 错误
C 选项，
设
，则
，
,
中，由余弦定理得
解得：
（舍去负根）
则
，
，
由正弦定理得：
，
解得：
,
，
，C 正确
D 选项，
，D 正确
故选：ACD
2．（24-25 高一下·江苏盐城·期中）已知是直线
外一点，点
、
在直线
上（点
、
与点
、
任一点均不重合）．我们称如下操作为“由点对
施以视角运
算”：若点
在线段
上，记
；若点
在线段
外，记
，并且记
．记
的内角
、
、
的对边分别为
、
、．已知
，
，
是射线
上一点，现由
点对
施以
视角运算，得到
．
(1)若
，求
的值；
(2)射线
上的点
满足
．
①求
；
②求
的最小值．
【答案】(1)
(2)①
；②
【分析】（1）根据所给定义及条件得
为
的角平分线，在
中，由余弦定理
求出
，再利用平面向量数量积的运算性质化简可得结果；
（2）①根据所给定义及条件计算
，结合（1）问的
得
，然后化简求值即可；
②由
及面积公式得
，再由基本不等式计算即可．
【详解】（1）因为
，所以点
在线段
上，如图①所示，
又
，所以由
，
得
，
因为
，且
，
，
所以
（舍）或
，
所以
为
的角平分线，
又
，所以
，
在
中，
，
由余弦定理得
，故
，
因为
，则
，
即
，故
.
（2）记
，①因为
，
所以点
在线段
的延长线上，如图②所示，
即
，
因为
，所以
，
化简得
，即
，
可得
，即
，
因为
，所以
；
②因为
，则
，
即
，所以
＝
，
当且仅当|
时，即当
时，等号成立，
故
的最小值为
．
3．（24-25 高一下·黑龙江·期末）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中
提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．托里拆利确定费马点的
方法如下：
①当
三个内角均小于
时，满足
的点
为费马点；
②当
有一个内角大于或等于
时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上知识解决下面的问题：
已知
的内角
、
、
所对的边分别为
、
、，点
为
的费马点，
且
(1)求角
；
(2)求
；
(3)已知在
中，若点
为
平面上任意一点，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题设及三角形内角性质，应用和角正弦公式得
，进而有
，结合
，即可得；
（2）由题设
，
，再应用等面积法得
，向量数量积的定义即可得；
（3）构建合适的直角坐标系，设点
，应用向量加减、模长的坐标运算及
的几何意义有点
为
的费马点时，
取最小值，即可得.
【详解】（1）因为
，又
，
所以
，
因为
，则
，故
，
因为
，所以
，
又
，则
，故
为等腰直角三角形，所以
.
（2）由
，知
，
由费马点定义知，
，
设
，
，
，
，
，
，
由
得：
，
整理得
，
则
.
（3）在
中，
，
，
以点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
、
轴建立平面直角坐标系，
则
、
、
，设点
，
则
，
，
所以
，
则
的几何意义是点
到点
、
、
的距离
之和，
因为
，
，则
为等腰直角三角形，故
，
易知
，故
，
所以，
的“费马点”为点
，故
的最小值为
.
4．（24-25 高一下·江苏南通·阶段练习）三角形内到三个顶点距离之和的最小的点称为
“费马点”，当
的三个内角均小于
时，满足
的点
为其费马点；当
有一个内角大于或等于
时，最大内角的顶点为其费马点.
(1)在
中，角
的对边分别为
，满足
，
.
①若
，求
，并求费马点
到顶点
的距离之和；
②求
周长的取值范围.
(2)若
是平面内的向量，且
，
，求
的最小值.
【答案】(1)①2；②
(2)
.
【分析】（1）根据题中条件结合正弦定理或余弦定理化简计算得到角
①结合
，计算
，进而求得费马点
到顶点
的距离之和；②根据三角形周长公式和
正弦定理边化角，利用三角形内角和定理，结合角的范围求出三角形周长的取值范围；
（2）设
，结合条件令
，
得到
，
，
，代入所求式子
，
进而设点
，
，
，
转化为所以原式为求
最小值.在
中，因为
，
关于x 轴对称，
，根据余
弦定理的推论判断
为锐角三角形，结合P 点在
内到三个点距离之和最小，
利用费马点定义和性质，计算得到
得到答案.
【详解】（1）法一：因为
，由正弦定理
所以
因为
，
所以
即
，因为
所以
，
，
所以
.
法二：由余弦定理得，
所以
所以
，
所以
①当
，则
，
所以
.
因为
，依据“费马点”性质，此时P 与点A 重合，
所以
.
②三角形
的周长为
，
由正弦定理得，
所以
因为
，所以
所以
，
所以
.
（2）设
，因为
，
，
令
，
所以
，
，
所以
设点
，
，
，
所以原式为求
最小值.
在
中，因为
，
关于x 轴对称，
，
因为
，即
所以
为锐角三角形..
P 点在
'内到三个点距离更小，利用费马点定义和性质，转化为在
内找一点
P 使得
，利用对称性知P 在
的高
上，且
，
所以
，
，
所以
所以
最小值为
.
5．（24-25 高一下·辽宁·期末）A 是直线PQ 外一点，点M 在直线PQ 上（点M 与点P，Q
任一点均不重合），我们称如下操作为“由A 点对PQ 施以视角运算”：若点M 在线段
PQ 上，记
；若点M 在线段PQ 外，记
．在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，点D 在
射线BC 上．
(1)若三角形ABC 为等边三角形，点D 在BC 延长线上，满足
，则A 点对BC 施以
视角运算，求（B，C；D）的值；
(2)若
，
，由A 点对BC 施以视角运算，
，求
的最小值；
(3)若
，
，由A 点对BC 施以视角运算，
，求AD 的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题目所给信息结合题目条件可得答案；
（2）由题目条件可得
，然后利用
，可得
，最后利用基本不等式可得答案；
（3）由题目条件可得
，结合向量知识可得
，
又
，可得
，然后结合正弦定理与和差化积，积化和差公
式可得答案.
【详解】（1）由题目所给信息，又D 在线段BC 外，则
，
如图，因三角形ABC 为等边三角形，
，
则
，
从而
，
，
则
；
（2）因
，则D 在线段BC 内，
则
，
因
，则
.
则
，
则
，
从而
，
当且仅当
时取等号；
（3）因
，则D 在线段BC 内.
则
又
，则
均为锐角，如图过B，C 做AD 所在射线的垂线，
垂足分别为E，F，则
，
则
，又注意到
，则
，
从而
，则
，
从而
，
则
，
又
，则
.
则
，
由正弦定理得
，
由和差化积公式：
，
则
.
由积化和差公式：
.
注意到
，则
，则当
时，
，即
，
则
.
