文档文本内容
专题2.16 函数模型及其应用（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程】.............................................................................................1
【题型2 利用给定函数模型解决实际问题】.........................................................................................................3
【题型3 二次函数模型的应用】..............................................................................................................................4
【题型4 指数、对数函数模型的应用】..................................................................................................................5
【题型5 分段函数模型的应用】..............................................................................................................................6
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
C 组 真题·实战演练
【题型1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程】
1．（2026 高三·全国·专题练习）在中国天门山举行的WWL 翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如
图反映了他从某时刻开始的15 分钟内的速度v (x)与时间x的关系，若定义
速度差函数
“
”u(x)为时间段
[0, x)内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高二下·山东滨州·期末）如图，等腰梯形ABCD 的上底CD=1，下底AB=3，高为1．记等腰梯
形ABCD 位于直线x=t(0≤t≤3)左侧的图形的面积为 f(t)，则f(t)随t 变化时的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·湖北武汉·期末）一天，亮亮发烧了，早晨6 时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，
中午12 时亮亮的体温基本正常，但是下午18 时他的体温又开始上升，直到半夜24 时亮亮才感觉身上不那
么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0～24 时)体温的变化情况的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高一上·福建漳州·期中）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m
2）与时间t（单位：周）的关
系为y =a
t（a为常数），则下列说法中正确的是（ ）
A．浮萍每周增加的面积都相等；
B．t = 4时，浮萍面积就会超过20 m
2；
C．浮萍每周的增长率不是定值；
D．若浮萍面积为2m
2，3 m
2，6 m
2时所对应的时间分别是t1,t2,t3，则t1+t2=t3．
【题型2 利用给定函数模型解决实际问题】
5．（2026·重庆渝中·模拟预测）某科研团队研发了一款新型环保材料，其降解过程遵循指数衰减模型，实
验测得，该材料在自然环境下的质量M (t )（单位：克）与时间t（单位：天）满足关系式M (t )= M 0⋅a
−t
，其中M 0为初始质量，a为一个大于1 的常数，已知该材料在第10 天时，其质量的常用对数值（以10 为
底）比初始质量的常用对数值小0.15，若要将材料质量降解至初始质量的
1
1000
，至少需要经过（ ）天
A．198 天
B．199 天
C．200 天
D．201 天
6．（2026·北京海淀·一模）在某密码系统中，生成密码需要从含有94 个符号的字符集中随机选择字符.密
码熵H（单位：比特）的计算公式为H = log2(94
l)，其中l 为密码长度.根据密码熵估计表，当l =8时，
H ≈52.4比特.若某用户将密码长度从l =6增加到l =18，则密码熵的增加量约为（ ）
A．78.6 比特
B．86.4 比特
C．99.0 比特
D．104.8 比特
7．（2026·北京房山·一模）2025年我国新能源汽车产量突破1 600万辆．某车企研发了一款新型电池，使
用t (t ≤15)年后的容量为h(t )=0.25e
−λt +0.75，其中λ为常数．已知该电池使用3年后容量衰减为初始
(t =0时)容量的90%．若要保证电池容量不低于初始容量的80%，则该电池最长可使用约（ ）
（参考数据：ln3≈1.10，ln5≈1.61）
A．7年
B．8年
C．9年
D．10年
8．（2026·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量
和信噪比及信道带宽的关系，即C =W log2(1+ S
N)其中C是信道容量，单位bps；W 为信道带宽，单位
Hz；S
N
代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换
数千次频率将信道带宽由5MHz 扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由
17.3Mbps 提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：
2
3.46≈11，2
5.93≈60.97）
A．5
B．6
C．7
D．8
【题型3 二次函数模型的应用】
9．（25-26 高一上·辽宁·阶段检测）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行
售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5 万元，每件纪念品的生产成本为40 元，经市场调研预估，若以
60 元的单价出售，则能销售1 万件，在销售单价60 元的基础上，每降价1 元，销量在1 万件的基础上增加
1 千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（ ）
A．50 元
B．52 元
C．53 元
D．55 元
10．（25-26 高一上·江西·阶段检测）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的
火树银花触目
“
红
，是隋炀帝眼中的
灯树千光照，花焰七枝开
”
“
”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最
高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单
位：秒）之间的关系式为h=−3.6t
2+28.8t，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（ ）
A．第4 秒
B．第5 秒
C．第3.5 秒
D．第3 秒
11．（25-26 高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部
分），已知AB = AC =20 m，BC =24 m，则内接矩形花园面积的最大值为（ ）
A．84m
2
B．90m
2
C．100m
2
D．96m
2
12．（25-26 高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉
粽最为出名，被誉为
粽子之王
．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为
“
”
10 元．若按最低售价
出售，每天能卖出40 个；若每个肉粽的售价每提高1 元，日销售量将减少2 个．那么小嘉一天能获得的最
大收入是（ ）
A．440 元
B．450 元
C．460 元
D．470 元
【题型4 指数、对数函数模型的应用】
13．（2026·云南·模拟预测）大气压强P（单位：kPa）与海拔高度h（单位：m）之间的关系可由公式
P = P0⋅e
−kh近似描述，其中P0
为海平面标准大气压强，k为常数．已知在某地区，海拔4000 米处的大气
压强为60kPa，海拔8000 米处的大气压强为40kPa．若在该地区测得某地的大气压强为45kPa，则该地的
海拔高度约为（ ）（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
A．5400 米
B．6100 米
C．6800 米
D．7500 米
14．（2026·四川成都·二模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度I 0为
标准，天体的星等m与亮度I满足m=−5
2 lg I
I 0
，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星
与牛郎星的亮度之比为（ ）
A．10
5
2
B．10
−5
2
C．10
12
25
D．10
−12
25
15．（2026·四川成都·模拟预测）2021 年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造
作坊.利用碳14 测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14 的质量N 随时间t（单位：年）的衰
变规律满足N = N 0⋅(
1
2)
t
5730（N 0表示碳14 原有的质量）.经过测定，官庄遗址青铜布币一同出土的有机物
样本中碳14 的质量约是原来的
❑√2
2
至3
4
，据此推测青铜布币生产的时期距今约（ ）年（按区间的中点进
行估计，近似到十年）?（参考数据：log23≈1.6）
A．1880 年
B．2580 年
C．3550 年
D．4150 年
16．（2026·重庆·一模）我国某电子企业通过技术创新，于本月成功推出了首款5 纳米芯片，并且随着技
术的进步，每个月都会推出其改进型号，已知三年内该芯片的晶体管数目N与以后第t个月的关系满足
N =n0⋅a
t，单个晶体管的价格Y 与t的关系为Y =m0⋅b
t，每18 个月芯片的晶体管数目会变为之前的2
倍，每12 个月单个晶体管的价格会变成原来的一半，芯片的价格为晶体管数目与单个晶体管价格之积，则
以后第6 个月时推出的改进型号芯片的价格是首款芯片价格的（ ）倍.
A．(
1
2)
6
B．(
1
2)
1
6
C．(
1
2)
1
3
D．(
1
2)
3
【题型5 分段函数模型的应用】
17．（25-26 高一上·广西百色·阶段检测）某省对居民生活用电实行
阶梯电价
，计费方式如下表：
“
”
每户每年用电量
电价
不超过2160 千瓦时
0.60 元/千瓦时
超过2160 千瓦时但不超过4200 千瓦时的部分
0.65 元/千瓦时
超过4200 千瓦时的部分
0.90 元/千瓦时
若某户居民一年的电费为2712 元，则此户居民这一年使用的电量为（ ）
A．3750 千瓦时
B．3950 千瓦时
C．4300 千瓦时
D．4400 千瓦时
18．（25-26 高二下·北京朝阳·期末）某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药t (0≤t ≤12)小时后每毫
升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含
药量不少于4 毫克时治疗疾病有效，则12 小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（ ）
A．4 小时
B．5 小时
C．6 小时
D．7 小时
19．（25-26 高一上·河北邢台·期中）
空气质量指数（
“
AQI）
是定量描述空气质量状况的无量纲指数．
”
AQI 大于200 表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0∼24时的空气质量指数y随时间t变化的
趋势由函数y ={
4t +160,0≤t ≤12,
384
t
+176,12<t ≤24)
描述，则这天可开展户外活动的时长至多为（ ）
A．6 小时
B．8 小时
C．16 小时
D．18 小时
20．（2026·安徽淮南·一模）我国在2020 年9 月22 日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030 年前
实现碳达峰，争取在2060 年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，
进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）
与处理量x（单位：吨）( x∈[120,500])之间的函数关系可近似表示为y =¿，当处理量x 等于多少吨时，
每吨的平均处理成本最少（ ）
A．120
B．200
C．240
D．400
一、单选题
1．（25-26 高二上·湖北孝感·期末）某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如下图所示（收支
差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改
变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和
虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（ ）
A．
反映建议（
①
2），
反映建议（
③
1）B．
反映建议（
①
1），
反映建议（
③
2）
C．
反映建议（
②
1），
反映建议（
④
2）D．
反映建议（
④
1），
反映建议（
②
2）
2．（25-26 高一上·安徽安庆·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行
阶梯水
“
价
，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为
”
xm3，其缴纳的水费为y元，则（ ）
每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3 元/ m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6 元/ m3
超过18m3的部分
9 元/ m3
A．y ={
3 x ,0< x ≤12
6 x ,12< x ≤18
9 x , x>18 )
B．当x =13时，y =78
C．若y = 48，则x =14
D．若y =81，则x =13.5
3．（25-26 高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗
油Q（单位：L）与速度v（单位：km /h)(0≤v ≤120)的下列数据：
v
0
40
60
80
120
Q
0.000
6.667
8.125
10.000
20.000
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（ ）
A．Q =
1
v +1 +b
B．Q =a v
3+b v
2+cv
C．Q =0.5
v+a
D．Q =k logav +b
4．（2026·安徽·三模）股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金
融市场行为．已知某支股票的当前价格为12 元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%
（达到最大涨幅时称为
涨停板
），最大跌幅也为
“
”
20%（达到最大跌幅时称为
跌停板
），现在不考
“
”
虑其他限制，设x个交易日后该股票价格达到60 元每股，则x的最小值为（ ）（参考数据：lg2≈0.301，
lg3≈0.477）
A．7
B．8
C．9
D．10
5．（25-26 高一上·江苏扬州·阶段检测）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为
商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023 年10 月起开展网络销售与实体店体验安
装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足
函数关系式x =3−2
t +1
.已知网店每月固定的各种费用支出为3 万元，产品每1 万件进货价格为32 万元，
若每件产品的售价定为
进货价的
“
150%”与
平均每件产品的实体店体验安装费用的一半
之和，则该公
“
”
司最大月利润是（ ）万元.
A．45.5
B．37.5
C．36
D．35
6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）为实现国家
十四五
污水处理目标要求：城市污水处理率
“
”
≥98 %，
某市污水处理厂升级了过滤系统.已知过滤过程中，污水中的剩余污染物数量Y (mg/L)与时间t (h)的关系为
Y =Y 0e
−kt，其中Y 0
为初始污染物数量，k为常数.若在某次过滤过程中，前2 小时过滤掉了污染物的40 %
，则可得到前4 小时共能过滤掉污染物的（ ）
A．50 %
B．64 %
C．78 %
D．80 %
7．（2026·北京门头沟·一模）农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力
学模型，可用C =C0e
−kt（C0
，k 为正常数）描述，其中C 为喷施农药t 天后，果蔬表面的农药残留量（单
位：mg/kg），某品种有机磷农药的降解速率常数k =ln2
3
，现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为
8mg/kg，国家食品安全标准规定该农药的残留限值为1mg/kg，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为（ ）
A．3 天
B．6 天
C．9 天
D．12 天
8．（2026·北京海淀·二模）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是
五分视力记录方式（缪氏记录法）：L=5−1g kd
D
，其中，L为被测试眼睛的视力值，d为该眼睛能分辨清
楚的最低一行“E
形视标的笔划宽度（单位：毫米），
”
D为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1 所
示，k是与d , D无关的常量．图2 是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0 的人在距离该视力表5 米
处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2 中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3 米处进行
检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2 中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明
右眼的实际视力值最接近的为（ ）（参考数据：1g2≈0.30,1g3≈0.48）
A．4.5
B．4.6
C．4.8
D．5.0
二、填空题
9．（25-26 高一上·江苏镇江·阶段检测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来温度是T 1❑
∘C，空气温
度是T 0❑
∘C，则经过时间t分钟后物体温度T
oC可以由公式T =T 0+(T 1−T 0)⋅e
−0.25t求得．若把温度是
90
∘C的物体放在10
∘C的空气中冷却到50
∘C，大概需要___________分钟．（精确到0.01）
（参考数据：ln3=1.099，ln2=0.693）
10．（25-26 高一上·湖南·阶段检测）我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高
允许浓度为 18 mg/m³.为满足此要求，某地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后
废气中剩余二氧化硫的浓度y（单位：mg/m³）与处理时间t（单位：分钟）满足关系式： y = N 0(
9
10)
t
，
其中N 0为二氧化硫的初始浓度.若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100mg/m³，那么从现在
起至少经过__________分钟才能达到排放标准.（结果精确到整数，lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
11．（25-26 高一上·陕西西安·期中）为了研究中学生远程网络学习的学习效率，某研究小组将学习注意力
的集中情况用注意力指数进行量化，通过调查研究发现研究对象在40 分钟的远程网络学习中，注意力指数
y与时间t之间的关系近似满足如图所示的曲线．当t ∈（0，14 ]时，曲线是二次函数图象的一部分，当
t ∈[14，40）时，曲线是函数y =loga(t −5)+83(a>0 且a≠1)图象的一部分，根据专家研究发现，当
注意力指数不低于80 时，学习效率最佳．据此可以判断，研究对象在40 分钟的远程网络学习过程中，学
习效率最佳的时间共有___________分钟．（参考数据：
❑√2≈1.414；❑√3≈1.732，lg2≈0.301，lg3≈0.477 ）（结果保留小数点后两位有效数字）
12．（25-26 高一上·湖北襄阳·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是
由两个周长均为28m 的相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花
坛，造价为2000元/m
2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价75元/m
2；在四个空角
（图中四个三角形）铺上草坪，造价为200元/m
2.若要使总造价不高于28000元，则正方形MNPQ周长的
最大值为___________m.
一、单选题
1．（2026·湖北十堰·二模）冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节
中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水
果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y
（单位：小时）与贮藏温度x（单位：
）之间满足：
℃
y =e
ax +b（其中a，b 为常数）.若该蔬菜在贮藏温度
为9℃的环境下保鲜时间为261 小时，在23℃的环境下保鲜时间为29 小时，且该蔬菜所需物流时间为87
小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（ ）
A．12℃
B．14℃
C．16℃
D．18℃
2．（25-26 高一上·安徽马鞍山·期末）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．
茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度y（单位：❑
∘C）和泡茶时间t（单位：
min）满足关系式y ={
−5t +70,0≤t ≤5
165
t
+5,5<t ≤10)
，若喝茶的最佳口感水温大约是60
∘C，则需要等待的时间为
（ ）
A．1.5min
B．2min
C．3 min
D．4 min
3．（25-26 高一上·四川绵阳·期中）某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为300m
3，深度为3m.池底每平方
米的造价为100元，池壁每平方米的造价为50元，设计水池的最低总造价约为（ ）
A．12000元
B．15000元
C．16000元
D．24000元
4．（2026·浙江宁波·一模）大气压强p=
压力
受力面积
，它的单位是
帕斯卡
（
“
”
Pa），它随海拔高度h
（m）的变化规律可以近似的表示为p= p0e
−kh（其中e 为自然对数的底数，p0
是海平面大气压强，k为常
数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m，大气压强为90900Pa，宁波
城区一处的海拔约为4m，大气压强为101000Pa.现测得某山峰上一处的大气压强为80800Pa，请估计该处
的海拔高度（单位：m）位于以下哪个范围内？（ ）（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
A．(2900,3200) B．(2500,2800)
C．(2000,2300)
D．(1600,1900)
二、解答题
5．（25-26 高二下·上海·期末）某企业2025 年年初花费49 万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设
备使用后，每年的总收入预计为40 万元，设备使用 x (x ∈N
∗)年后该设备的总维修保养费用为 x
2+ 4 x
万元，盈利总额为y万元.
(1)求 y 关于 x 的函数关系式；
(2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年
数）
6．（25-26 高一上·福建泉州·期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源
汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的
年固定成本为2300 万元，每生产x(x∈N
∗)万件，需另投入可变成本G (x)万元，且
G( x)={
10 x
2+kx ,0< x ≤40, x∈N+
2020 x + 32000
x−5 −6600, x>40, x∈N+)
，已知当年产量为10 万件时，需另投入可变成本为
16600 万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000 元，且假定全年产量可当年全部售完．
(1)求年利润W ( x)（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
7．（25-26 高一上·湖南长沙·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，室温是
θ0℃，那么t min后物体的温度θ（单位：℃）可由公式θ =θ0+(θ1−θ0)a
t求得，其中a 是一个随着物体
与空气的接触情况而定的正常数，某日室温为20℃，上午9 点小泽使用某品牌电热养生壶烧1 升水（假
设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8 分钟后水温达到100℃，9 点18分
时，壶中热水自然冷却到60℃．
(1)求9 点起壶中水温θ（单位：℃）关于时间t（单位：分钟）的函数θ = f (t )；
(2)若当日小泽在1 升水沸腾（100℃）时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态，已知保温时养
生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值40℃时，设备不加热，当壶内水温不高于临界值
40℃时，开始加热至90℃后停止，加热速度与正常烧水一致，问养生壶（在保温状态下）多长时间后
第二次开始加热？（结果保留整数）
（参考数据：lg2≈0.301，lg7≈0.845）
8．（25-26 高一上·陕西渭南·期末）2025 年9 月22 日，歼-15T、歼-35 及空警-600 三型舰载机在福建舰上
完成电磁弹射起飞与着舰训练，这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注，对某海军舰艇模型专卖店过
去一个月（按30 天计）的销售情况进行调查后发现：舰艇模型第x天(1≤x ≤30)的销售单价P( x) （元）
的解析式为P( x)= 40+
k
❑√x +1
（k为常数），第x天的销售量Q( x)（个）的部分数据如下表所示：
x
3
8
15
24
Q( x)
40
50
60
70
已知第15 天该专卖店的销售收入为5100 元.（销售收入=销售量×销售单价）
(1)求实数k的值；
(2)根据表格判断①Q( x)= px +q，②Q( x)= p ❑√x +1+q这两个函数模型中哪个模型最符合题意，并求出
Q( x)的函数解析式；
(3)根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入f ( x)（元）在哪一天最低，最低收入是多少元?
一、单选题
1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要的时间
T =k log2 N（单位：h），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从10
6个单位增加到1.024×10
9
个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N 从1.024×10
9个单位增加到4.096×10
9个单位时，训练时
间增加（ ）
A．2h
B．4h
C．20h
D．40h
2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 d = S−1
ln N
是河流水质的一个评价指标，其中S , N分别表示河
流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
S没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）
A．3 N 2=2 N 1
B．2 N 2=3 N 1
C．N 2
2= N 1
3
D．N 2
3= N 1
2
二、填空题
3．（2026·北京·高考真题）音高y（单位:mel）与频率f（单位：Hz）满足y =lg(1+ f
700)，若
lg2≤y ≤3lg2，则f 的取值范围为___________．
4．（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形ABCD是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀
的区域，其余部分完好，曲线MN为以AD为对称轴的抛物线的一部分，DM = DN =3．工人师傅现要从
完好的部分中截取一块矩形原料BQPR，当其面积有最大值时，AQ的长为___________．
