专题2.3 导数大题证明不等式归类
近三年：1、导数与不等式的结合是近3 年的高考命题热点，以解答题为主，其分值高、难度大、区分度
强，是决定考生能否获得高分的“胜负手”．
2、它体现在：
① 综合性增强：单一方法难以解决，需要多种技巧组合
② 情境化背景：可能融入实际应用情境，但核心仍是导数工具运用；
③ 创新点预测：与三角函数、抽象函数等结合的可能性增大。
预测2026 年：1、导数与不等式的结合题极大概率会继续作为压轴题出现. 题可能会在函数形式上创新，
例如与三角函数(sinx, cosx)结合，增加函数本身的复杂性，但核心方法不变——求导、分析单调性、找最
值、证不等式。会更加注重对代数变形能力和逻辑推理能力的考查。单纯的套用模板会越来越难得分，需
要真正理解每一步推导的目的。
2、导数证明不等式的思想和方法，渗透在众多题型中：
① 零点问题： 要证明函数有唯一零点，往往需要先证明函数在零点两侧单调(利用不等式)，或证明函数
在某个区间内大于0 或小于0。
② 参数范围问题： 求使不等式恒成立的参数范围，是导数不等式的直接应用。
③ 数列不等式： 压轴题的最后一问有时会与数列结合，利用前面导数证明的结论进行放缩，求和证明数
列不等式。
内容导航
热点解读
题型突破
限时训练
热点内容解读
深度剖析 解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。
热点题型突破
逐一剖析 解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。
热点限时训练
模拟实战 巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。
题型01 直接构造函数法
解｜题｜策｜略
1 利用导数证明不等式，最简单的方法就是直接构造函数法：证明不等式f (x)> g( x)，转化为证明
F (x)= f (x)- g(x)>0，进而求构造函数F (x)的最值。
2 在构造函数时，要想想构造的函数是否复杂，计算量如何；求最值时，要确定构造的函数是否有最
值。
1（24-25 高二下·江苏连云港·月考）下列四个不等式①ln x< x<e
x②xln x ≥x -1③ln x ≥x -1④
sin x< x (x>0)中正确个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2(25-26 高三上·北京丰台·期中)已知函数f (x)= ln (1- x)．
(1)求曲线y = f (x)在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)求证：当x∈(-∞,0)时，f (x)>- 1
2 x
2- x.
3(2025·内蒙古赤峰·一模)已知函数f (x)=sin x.
(1)求函数f (x)在点(0,0)处的切线方程；
(2)证明：当x∈(0,+ ∞)时，f (x)< x；
(3)求函数g(x)= 1
2 x
2+cos x的最小值.
题型02 利用第一问结论求解
解｜题｜策｜略
在一些试题中，第一问往往会给到第二问一些提示信息，有如下几种情况：
1 可利用第一问的单调性提炼出不等式；
2 可利用第一问的最值提炼出常数不等式；
3 可利用第一问构造新的函数等等。
1(25-26 高三上·上海·单元测试)已知函数f (x)=ae
x- x -1，a∈R(e为自然对数的底数)．
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)当a≥1时，求证：f (x)≥0．
2(2023·吉林长春·模拟预测)已知函数f ( x)= 1
2 (x
2-1)- ln x.
(1)求f (x)的最小值；
(2)证明：ln 4
3 > 7
32
.
3(25-26 高三上·安徽·期中)已知函数f (x)= x
2+ax -a
e
x
.
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若a<-2，证明：当x>2时，f (x)< 2
e
2 .
4(25-26 高三上·安徽淮北·期中)设函数f ( x)= ln x + 3
2 a x
2+(3a+1)x
(1)a=-1时，求函数f ( x)的最大值.
(2)讨论f ( x)的单调性.
(3)当a<0时，证明：f ( x)≤- 1
2a -2.
题型03 证明数列不等式
解｜题｜策｜略
1 遇到数列的不等式，方法较多，比如数学归纳法、放缩法、导数法等；在利用导数法时，关键在于构
造函数；
2 要注意利用第一问或第二问的引导，从中找到构造函数的思路。
1(25-26 高三上·四川自贡·月考)已知函数f (x)=ax +ln(x +1)，x>-1，
(1)讨论函数f (x)的单调性：
(2)若不等式f (x)≤0在x∈(-1,+∞)上恒成立，求实数a的所有取值构成的集合；
(3)当a=1时，定义数列{bn}满足：b1=1，bn= f (bn+1)，n∈N
*，证明：1
bn+1
- 1
2 >2(
1
bn
- 1
2)
，
∀n∈N
*.
2(2025·甘肃武威·模拟预测)已知函数f (x)=aln x + 1
x
.
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若∀x∈(1,+ ∞)，f (x)< x，求a的取值范围；
(3)若an= ln (n+1)
n+1
，数列{an}的前n项积为T n，求证：2
n+1T n<1+
1
n+1.
题型04 证明数列不等式之无限和裂项型
解｜题｜策｜略
导数与数列结合的不等式证明近几年多见，不等式中有x1+ x2+⋯+ xn的话，我们会想到求和，在证明
中可利用一些裂项公式
1
n(n+1) = 1
n -
1
n+1，1
❑√n <
2
❑√n+ ❑√n-1 =2(❑√n- ❑√n-1)，ln n≤n-1等。
1(25-26 高三上·甘肃·月考)已知函数f ( x)= ln x - m( x -1)
x +1
.
(1)若f ( x)在(0,+∞)上单调递增，求实数m的取值范围；
(2)设n∈N
*，求证：ln ❑√n+1> 1
3 + 1
5 +⋯+
1
2n+1
.
2(25-26 高三上·四川广安·月考)已知a2= 1
6
，an-an+1=3anan+1．
(1)证明：{
1
an}
为等差数列，并求{an}的通项公式；
(2)令bn= an
an+1
，T n
为bn
的前n项之积，求证：
1
b1T 1
+
1
b2T 2
+
1
b3T 3
+⋯+
1
bnT n
<ln (n+1)．
3(2025·广东佛山·一模)已知函数f (x)=e
1- x -ax，a∈R.
(1)讨论f (x)的零点个数；
(2)若a为正整数n，记此时f (x)的零点为xn.证明：2ln n+2
2
< x1+ x2+⋯+ xn<2❑√n.
题型05 利用函数“凹凸性”证明不等式
解｜题｜策｜略
1 对于一些指幂对函数型函数，具有明显的“凹凸性”，在不等式中可分离出两个函数，而它们的凹凸
性是不同的，结合图形能较好得到解题思路；
2 或求出它们的最值再比较，或利用切线证明；
3 如何分离出两个具有不同凹凸性的函数，是个难点，了解一些常见的函数是必要的。
1(2025 高三·全国·专题练习)已知函数g(x)= x ln x，0<a<b，证明：g(a)+ g(b)-2g(
a+b
2 )>0．
2(25-26 高三上·山东青岛·月考)已知函数f (x)= x -a ln x -3e
x -1, x∈[1,+ ∞)．
(1)若f (x)是单调递减函数，求实数a的取值范围；
(2)当a≥1时，证明：f (x)+ x
2+1≤0．
题型06 同构法
解｜题｜策｜略
1 在证明不等式构造函数时，想直接看出来一般会有难度，可能要对不等式进行变形，此时就要用到同
构的方法；
2 一些常见的同构变形：
x + ln x = ln x∙e
x , x - ln x = ln e
x
x ，x e
x =e
x + ln x , e
x
x =e
x - ln x , x
e
x =e
ln x - x.
1 设x＞0，y＞0，若ex+lny＞x+y，则下列选项正确的是( )
A．x＞y
B．x＞lny
C．x＜y
D．x＜lny
2（2025·广东佛山·一模）若e
a+lnb>a+b，则下列结论可能成立的是（ ）
A．0<a<lnb
B．lnb<a<0
C．1<e
a<b
D．e
a<b<1
3（2022·陕西宝鸡·一模）已知a>1，b>1，则下列关系式不可能成立的是（ ）
A．e
bln a≤ab
B．e
bln a≥ab
C．ae
b≥b ln a
D．ae
b≤b ln a
题型07 切线放缩型
解｜题｜策｜略
1 证明不等式时，有时候要适当放缩，但是如何放缩与放缩到什么程度是个难点；
2 对于一些具有凹凸性的函数，我们可以采取切线放缩，此时要数形结合，了解构造的函数的基本图形
与性质，在极值点或最值点的位置往往是找到切线的关键；
3 常见的不等式
e
x> x ;e
x≥x +1(x =0时取到等号)；e
x≥ex (x =1时取到等号)；lnx ≤x -1(x =1时取到等号)；
lnx ≤x
e
(x =e 时取到等号)；lnx <1- 1
x 。
1 已知函数f (x)= ln x - x，g(x)=e
x- x，证明g(x)>f (x)+2。
2（25-26 高一上·新疆喀什·期中）已知函数f (x)=(x +a)e
x+1(a∈R).
(1)若f (x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：当x>0时，xe
e
x
>e(e
x -1).
3 已知函数f(x)＝ex
1
﹣﹣x﹣ax2．
(1)当a＝0 时，求f(x)的单调区间；
(2)当x≥0 时，若不等式f(x)≥0 恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)若x＞0，证明：(ex
1)
﹣
ln(x+1)＞x2．
题型08 极值偏移之和型
解｜题｜策｜略
1 在极值偏移问题中，证明类似x1+ x2>a和型的不等式是最常见和简单的，其中方法很多，对称化构造
函数或利用对数不等式等。
2 常见的有
(1)极值点偏移(f
'(x0)=0)
f (x1)= f (x2)⇒x2>2 x0- x1⇒x1+ x2>2 x0
(2)拐点偏移(f
' '(x0)=0)
f (x1)+ f (x2)=2f (x0)⇒x2>2 x0- x1⇒x1+ x2>2 x0。
1(2025 高三·全国·专题练习)若f (x)= x ln x -a有两个不等的零点x1, x2，且x1< x2，求证：
x2- x1< 3
2 a+1+ 1
2e
3.
2(25-26 高三上·山东菏泽·期中)已知函数f (x)=ax -(e
x)
2.
(1)a=1时，求曲线y = f (x)在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)f (x)有2 个零点x1，x2，且x1< x2.
(i)求a的取值范围；
(ii)证明：x1+ x2>1.
3(2025·四川眉山·模拟预测)已知函数f (x)=ln x +a x
2-3 x +2，且曲线y = f (x)在x =2处的切线与直线
2 x +3 y -3=0垂直.
(1)求a的值；
(2)求f (x)的极值；
(3)若f (x1)= f (x2)= f (x3)，且x1< x2< x3
，证明：2 x3+ x2- x1<3.
题型09 极值偏移之积型
解｜题｜策｜略
1 在极值偏移问题中，证明类似x1 x2>a积型的不等式也是常见的，它与和型的证明方法差不多；
2 有时候积型可以通过证明和型后再用基本不等式证明。
1(25-26 高三上·安徽六安·月考)已知函数f (x)= a
x + ln x(a∈R).
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)设f (x)的导函数为f
' (x)，若f (x)有两个不相同的零点x1
，x2
.
①求实数a的取值范围；
②证明：x1⋅x2>a
2.
2(25-26 高三上·山西·月考)已知函数f (x)=ln x - x
2+ 1
2 ax ,a∈R.
(1)若a=7，求f (x)的单调区间.
(2)若f (x)有两个不同的零点x1, x2(x1< x2).
(i)求a的取值范围；
(ii)证明：x1 x2
2> a
2
.
3(25-26 高三上·安徽·月考)已知函数f (x)=e
x -1
x
，g(x)= 1
2 x
2- x +aln x．
(1)分析函数g(x)的单调性；
(2)若函数e xf (x)-m ❑√x - x>1在(0,+∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(3)令h(x)= xf (x)- g(x)，若存在x1, x2使得h(x1)=h(x2)，证明：ln(x1 x2)< 2a
e
．
题型10 极值偏移之平方型
解｜题｜策｜略
1 在极值偏移问题中，证明类似x1
2+ x2
2>a平方型的不等式也是常见的，它与和型的证明方法差不多；
2 部分题目中可以得到和型或积型不等式后，再用基本不等式证明的。
1(25-26 高三上·河北·月考)已知函数f ( x)= ln x - x -a，且f ( x)有两个零点x1, x2.
(1)求a的取值范围；
(2)证明：x1
2+ x1 x2+ x2
2>3.
2(25-26 高三上·四川成都·期中)已知函数f (x)=a x
2-ln x -a．
(1)当a=1时，求f (x)在(1,f (1))处的切线方程；
(2)设g(x)=(x
2+1)ln x -a x
2-a,h(x)= f (x)+ g(x)；若x1, x2
是方程h(x)=0的两个不同实根，求证：
x1
2+ x2
2> 2
e
(3)若对任意x∈(0,+ ∞)，都有f (x +1)>asin x +
1
x +1 -e
- x，求实数a的取值范围．
题型11 比值换元型
解｜题｜策｜略
在证明不等式时，遇到类似
x2- x1
ln x2-ln x1
< x1+ x2
2
的不等式证明，我们会利用比值换元的方法证明，令
t = x2
x1
，则可把问题转化为证明lnt > 2(t -1)
t +1
.
1(25-26 高三上·天津蓟州·期中)已知函数f (x)=e
x+ax (a∈R)．
(1)求f (x)的单调区间；
(2)若f (x)有两个正零点x1, x2，且x1< x2．
(i)求a的取值范围；
(ii)求证：x1+ x2>2．
2(25-26 高三上·河南·期中)已知函数f (x)=a ln x - x.
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当a= 4时，若不等式(x
2+bx +c)f (x)≤0恒成立，求b
ln c
的值；
(3)若f (x)有两个不同的零点x1
，x2( x1< x2
)，且x1f
'(x1)+ x2f
'(x2)≤k (x1+ x2)恒成立，
求实数k 的最小值.
附：当x→1时，x -1
ln x →1.
3(25-26 高三上·山西运城·期中)已知A，B，C 为函数f ( x)图象上不同的三点．它们的横坐标x A , xB, xC依次
成等差数列，且函数f ( x)在点B处的切线斜率恒小于直线AC 的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差
偏移”函数．设函数f ( x)=e
2 x+bx．
(1)讨论函数f ( x)的单调性；
(2)已知函数F( x)= f (ln x)
①证明：当b>0时，F( x)是其定义域上的“等差偏移”函数；
②当b=1时，函数F( x)= f (ln x)，数列{an}满足an+1= F (an)-an
2+ an+1
2an
,a1= 3
2
．其前n项和为Sn
，试证
明：Sn<n+1．
题型12 三角函数型不等式证明
解｜题｜策｜略
1 三角函数型的不等式，在导数与不等式结合的题型中最近较为多见，难度较大；
2 证明三角函数型不等式，往往用到三角函数的有界性、必要性探路、分段处理等手段。
1（2025·山东济南·一模）已知0<α < β <π
2
，则（ ）
A．sin α -sin β <α - β
B．α - β <tan α - tan β
C．α sin β < β cosα
D．tan β >αβ
2(25-26 高三上·河南·月考)设函数f (x)=asin x + xcos x , x∈[0,π],a≥1.
(1)求证：函数f (x)不单调；
(2)当a=1时，求证：f (x)<2；
(3)若f (x)≤x + k的解集为[
π
2 ,π]，求实数k的取值范围.
3(2025·广东·模拟预测)设函数f (x)=asin x + xcos x , x∈[0,π].
(1)若a=-1，证明：当x∈[0,π
2 ]时，f (x)≤0；
(2)若a=1，证明：f (x)<2；
(3)若存在a≥1，使得当且仅当x∈[
π
2 ,π]时，f (x)≤x + k，求k的取值范围.
4(25-26 高三上·湖南长沙·月考)已知函数f (x)=sin x - xcos x.
(1)判断函数f (x)在区间(-π,π)上的零点个数，并说明理由；
(2)若函数kf (x)> x
2sin x在区间(0,π
2 )上恒成立，求正整数k的最小值；
(3)求证：(
1
2 -
1
3
n+1-1)π<∑
k =1
n
tanπ
3
k < 3 ❑√3
2
,n∈N
*.
(建议用时：60 分钟)
1（23-24 高二下·广东广州·期末）下列四个不等式①ln x< x<e
x，②e
x -1≥x，③ ln x ≥x -1，④
xln x ≥x -1中正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2（2022·江苏·二模）已知实数a，b∈(1，+∞)，且2(a+b)=e
2a+2ln b+1，e为自然对数的底数，则
（ ）
A．1<b<a
B．a<b<2a
C．2a<b<e
a
D．e
a<b<e
2a
3（2025 高三·全国·专题练习）已知函数f (x)=e
x -ax +a
有两个不同的零点x1, x2
且有x1< x2
，则下列说法
中错误的是（ ）
A．1< x1<lna< x2
B．a>e
2
C．(x1-1)(x2-1)>1
D．x1+ x2<2lna
4(25-26 高三上·天津蓟州·期中)已知函数f (x)= x
3-2 x.
(1)求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线斜率；
(2)当x∈(0,+ ∞)时，求证：f (x)≥x -2．
5(25-26 高三上·安徽·月考)已知函数f (x)= 1
2 ln x + a
x + x
2a
(a≠0,a∈R)．
(1)当a=-1时，求f ( x)的单调区间；
(2)设g(x)= a
2 x + x
2a - 1
2a
，当a>0时，证明f ( x)≥g( x)+1．
6(2024·江苏扬州·模拟预测)已知函数f (x)= ln (mx)- x (m>0)．
(1)若f (x)≤0恒成立，求m的取值范围；
(2)若f (x)有两个不同的零点x1, x2，证明x1+ x2>2．
7(25-26 高三上·云南红河·月考)已知函数f ( x)=e
x -1- xe
x，正项数列{an}满足a1=1，e
an+1=e
an-1
an
.
(1)求函数f ( x)的极值；
(2)判断数列{an}的单调性并说明理由；
(3)证明：2
nan>1.
8 (25-26 高三上·河北沧州·期中)已知函数f (x)= x ln x - 1
2 ae
ax．
(1)若∀x∈(1,+ ∞)，f (x)≤0，求a 的取值范围．
(2)当a=0时，g(x)= f (x +1)-t sin x．
①判断函数g(x)在(0,π)内的零点个数；
②证明：1
2 sin1+ 2
3 sin 1
2 + 3
4 sin 1
3 +⋅⋅⋅+
n
n+1 sin 1
n <ln (n+1)．
