专题1.4 不等式与复数（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 不等式的性质及其应用】..........................................................................................................................1
【题型2 利用基本不等式求最值】..........................................................................................................................2
【题型3 基本不等式中的恒成立问题】..................................................................................................................2
【题型4 解常见的不等式】......................................................................................................................................3
【题型5 一元二次不等式恒成立、有解问题】.....................................................................................................3
【题型6 复数的四则运算】......................................................................................................................................3
【题型7 复数的几何意义】......................................................................................................................................4
【题型8 与复数有关的最值问题】..........................................................................................................................4
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
【题型1 不等式的性质及其应用】
1．（2025·云南昭通·模拟预测）a,b,c∈R，b>c，下列不等式恒成立的是（ ）
A．a+b
2>a+c
2
B．a
2+c<a
2+b
C．ab>ac
D．a
2c<a
2b
2．（2025·河北石家庄·一模）如果ab>0，那么“a>b 是
”
“1
a < 1
b
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知2<a≤4，−1<b≤0，则2a−b的取值范围（ ）
A．[4,9)
B．(4,9)
C．(5,8)
D．(5,8)
4．（2025·北京海淀·二模）设a、b、c∈R，abc≠0，且a>b>c，则（ ）
A．a
b + b
c >2
B．b
a + c
b <2
C．2a>b+c
D．a+b>c
【题型2 利用基本不等式求最值】
5．（2025·四川绵阳·模拟预测）若a>0，b>0，且a+ 4 b=5，则1
a + 4
b
的最小值是（ ）
A．16
B．25
C．4
D．5
6．（2025·全国·模拟预测）已知x，y 为正数，则2 x
2+3 y
2
xy
的最小值为（ ）
A．4
B．3 ❑√2
C．3
D．2❑√6
7．（2025·广东梅州·模拟预测）已知正实数x , y满足xy + x +2 y = 4，则x +2 y的最小值是（ ）
A．4 ❑√3−4
B．4
C．2❑√3−2
D．2❑√3
8．（2025·辽宁盘锦·三模）已知正数m、n满足4 m+6n=1，则1
m + 2m
n
的最小值为（ ）
A．2+ 4 ❑√3
B．4+ 4 ❑√3
C．7+ 4 ❑√3
D．7+2❑√3
【题型3 基本不等式中的恒成立问题】
9．（25-26 高一上·江苏扬州·期中）已知实数x>0，y >0，1
x + 4
y =3，且x + y ≥m恒成立，则实数m的取
值范围为（ ）
A．{m|m≤9}
B．{m)m≤3)
C．{m)m≥9)
D．{m)m≥3)
10．（25-26 高一上·辽宁大连·期中）设实数x , y满足x> 3
2 , y >3，不等式
k (2 x−3)( y −3)≤8 x
3+ y
3−12 x
2−3 y
2恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12
B．24
C．32
D．48
11．（25-26 高一上·江苏南京·期中）已知x>0，y >0，且2
x + 1
y =1，若x +2 y >m
2+2m恒成立，则实数
m的取值范围是（ ）
A．(−2,4)
B．(−4,2)
C．(−∞,−2)∪[4 ,+ ∞)
D．(−∞,−4)∪[2,+∞)
12．（25-26 高一上·山东·期中）已知a，b为正实数，且3a
2−2ab+ 4 =0，若不等式b−1
2 a≥m恒成立，
则实数m的取值范围是（ ）
A．(−∞,2)
B．(−∞,4)
C．(−∞,2❑√2)
D．(−∞,4 ❑√2)
【题型4 解常见的不等式】
13．（2025·河南·模拟预测）若集合A ={x|−2≤x ≤0))，B ={x|x
2−x −2≤0))，则A ∩B =（ ）
A．[−2,2)
B．[−1,0)
C．[−2,0)
D．[−1,2)
14．（2025·湖北黄冈·三模）已知集合A =¿，则A ∩B =（ ）
A．(−∞,1)∪(2,+ ∞)
B．(1,2)
C．(−∞,1)∪[2,+ ∞)
D．(−∞,1)∪[2,+∞)
15．（2025·上海杨浦·三模）不等式x +1
x−2 ≤2的解集为
．
16．（2025·上海·模拟预测）ax +b<0 的解集为 (−∞,−1)，则 (ax−b)(x +2)<0 的解集为
．
【题型5 一元二次不等式恒成立、有解问题】
17．（2025·河南·模拟预测）已知命题“∃x∈R , x
2−mx +m<0 是假命题，则实数
”
m的取值范围为（ ）
A．[0,4)
B．(0,4)
C．[0,2)
D．(0,2)
18．（2025·浙江·模拟预测）若不等式k x
2+(k −6) x +2>0的解为全体实数，则实数k的取值范围是
（ ）
A．2≤k ≤18
B．−18<k <−2
C．2<k <18
D．0<k <2
19．（2025·辽宁·三模）若“∃x∈(0,+ ∞)，使x
2−ax + 4<0 是假命题，则实数
”
a的取值范围为
.
20．（2025·山东·二模）已知不等式3 x
2+(a−2) x + 4≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，则实数a 的最小值
为
．
【题型6 复数的四则运算】
21．（2025·山东·三模）若复数z满足
z
1−i =2i，则|z)的值为（ ）
A．❑√3
B．❑√2
C．2
D．2❑√2
22．（2025·河南·模拟预测）已知复数z满足z−i=
1
1−i
，则z的虚部是（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．3
2
D．−3
2
23．（2025·云南·模拟预测）已知复数z =1+i，则|z)+ z
z =（ ）
A．2−i
B．2+i
C．❑√2−i
D．❑√2+i
24．（2025·浙江·模拟预测）已知i是虚数单位，复数z满足z⋅i
3+2i =1−i，则|z)=（ ）
A．❑√29
B．3 ❑√3
C．❑√26
D．5
【题型7 复数的几何意义】
25．（2025·四川成都·模拟预测）已知复数z满足(1+i) z =7−i，则在复平面内复数z所对应的点位于
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
26．（2025·全国·模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点为(3,4)，则z
| z| =（ ）
A．5
3 −5
4 i
B．5
4 + 5
3 i
C．3
5 −4
5 i
D．4
5 + 3
5 i
27．（2025·陕西西安·模拟预测）若复数z =3+mi(m∈R)在复平面内对应的点在直线x−3 y =0上，则
z (1−i)=（ ）
A．4−4i
B．2−4i
C．3−2i
D．4−2i
28．（2025·甘肃白银·三模）已知复数z满足z
1−i =−2+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【题型8 与复数有关的最值问题】
29．（2025·湖南·模拟预测）若z是复数，|z−2i)=1，则|z)的最大值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
30．（2025·辽宁·模拟预测）已知复数z1, z2
分别满足|z1)=1，|i z2+3+ 4i)=2，则|z1−z2)的最大值为
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
31．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知复数z满足|z−1)=1，则|z−i)的最小值为
.
32．（2025·上海杨浦·二模）已知复数z满足| z−1+i|=1，其中i为虚数单位，则|z)的最小值为
.
A 组 基础跟踪练
一、单选题
1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知全集U ={x|1≤x ≤4}，集合A ={x| 2 x−5
x−3 ≤1}，则∁U A =（ ）
A．{x|1≤x ≤2或3≤x ≤4}
B．{x|1≤x<2或3< x ≤4}
C．{x|1≤x ≤2或3< x ≤4 }
D．{x|1≤x<2或3≤x ≤4}
2．（2025·河南·模拟预测）若复数z满足i z =2+3i，则z的虚部为（ ）
A．−2
B．3
C．−2i
D．3i
3．（2025·海南·一模）不等式x
2−x−2
x +1
>0的解集为（ ）
A．(−1,+ ∞)
B．(2,+ ∞)
C．(−1,2)
D．(−∞,−1)∪(2,+∞)
4．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知复数z =
1
1+3i
，则z对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知a，b，c均为实数，则下列说法正确的是（ ）
A．若a>b，则ac>bc
B．若a>b，则c−a>c−b
C．若b<a<0，则1
a < 1
b
D．若a>b，c≠0，则a
c
2 < b
c
2
6．（2025·河南信阳·模拟预测）已知a+b=1(ab>0)，则1
a + 1
b
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．9
4
7．（2025·四川成都·一模）已知复数z =(3+i)(2−ai)，a∈R，i为虚数单位，若z为纯虚数，则|z)=
（ ）
A．10
B．20
C．9
D．18
8．（2025·湖北·模拟预测）已知实数a，b满足(
1
a −2)(
1
b −3)=6，则ab的最大值为（ ）
A．1
25
B．1
24
C．1
12
D．1
4
二、填空题
9．（2025·上海静安·一模）已知复数z满足(3−i) z =3+i（其中i为虚数单位），则复数z = ．
10．（2025·上海杨浦·一模）不等式x−2
x +3 <0的解集为
.
11．（2025·云南昆明·模拟预测）若复数z满足|z)+8i= z + 4，则在复平面内，复数z所对应的点位于第
象限.（填一、二、三、四中的一个）
“
”
12．（2025·四川眉山·模拟预测）已知a,b∈R
+，4 a+b=1，则a+b
ab
的最小值是
.
B 组 培优提升练
一、单选题
1．（2025·上海杨浦·一模）已知实数a，b，c，d 满足：a>b>c>d，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．a−c>b−d
B．a+c>b+d
C．ab>cd
D．ac>bd
2．（2025·湖北孝感·模拟预测）已知a>0,b>0，且a+b= 1
a + 9
b + 4，则a+b的最小值为（ ）
A．2❑√5−2
B．2❑√5−1
C．1+2❑√5
D．2+2❑√5
3．（2025·吉林松原·模拟预测）已知O为原点，复数z1, z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2，则“
|z1+ z2)=|z1−z2) 是
”
“⃗O Z1⋅⃗O Z2=0 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2025·山东济宁·模拟预测）已知x>0，y >0，且xy +2 y
2−36=0，则x y
2的最大值（ ）
A．12
B．6 ❑√6
C．36
D．24 ❑√6
5．（2025·四川·模拟预测）已知一元二次函数f (x)的定义域为R，若f (−2−x)= f (x)，f (−2)<f (−1)，
且该二次函数的图象经过P(2,m
2+ 4)、Q (n,4 m)不同两点，则n的取值范围是（ ）
A．(−∞,−4)
B．(−∞,−4)∪(2,+ ∞)
C．(2,+∞)
D．(−∞,−4)∪(2,+ ∞)
6．（2025·甘肃庆阳·三模）已知i为虚数单位，则下列命题为真命题的是（ ）
A．
(1+i)
2是实数
B．对任意的复数z，(z−1)(z−1)为实数
C．对于任意的复数z，z
2=|z)
2
D．cosα +isin α
cos β +isin β =cos(α + β)+isin (α −β)
二、填空题
7．（2025·上海·三模）在复平面内，复数z0= a+2i
1+i
（i是虚数单位，a∈R）是纯虚数，其对应的点为Z0
，Z为曲线|z)=1上的动点，则Z0与Z之间的最小距离为
．
8．（2025·四川泸州·模拟预测）已知随机变量ξ满足ξ ~ N (2,σ
2)，P(ξ ≤0)=0.2，P(ξ ≥a)=0.2，正实数
x、y满足x + y =a，则1
x + 4
y
的最小值为
.
