专题2.1 函数的概念及其表示（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域
(2)会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数
(3)了解简单的分段函数，并会应用
考点
2024 年
2025 年
2026 年
高考真题
统计
函数的概念
及其表示
新课标I 卷：第8
题，5 分
上海卷（春考）：第
9 题，5 分
上海卷（秋考）：第
2 题，4 分
北京卷：第7 题，4
分
命题规律
分析
1、函数的概念及其表示
函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的重要内容，从近三年的
高考情况来看，高考对函数的概念考查相对稳定，考查内容、频率、题
型、难度均变化不大，在高考中较少单独考查。预计明年高考对本节的考
查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域为主，主要在选择题
中考查，以基础题为主。
知识点
1
函数的定义域与值域
函数的概念及其表示
考点1
1．求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子
( 运算
) 有意义
为准则，列出不等式或
不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2．求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a ≤ g ( x )≤
b 求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x [
∈a,b]上的值域.
3．求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；
(2)反解法；
(3)配方法；
(4)不等式法；
(5)单调性法；
(6)换元法；
(7)数形结合法；
(8)导数法.
知识点
2
函数的解析式
1．函数解析式的四种求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x)，便得f(x)的表
达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想：已知关于f(x)与
或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程
组，通过解方程组求出f(x).
知识点
3
分段函数
1．分段函数的应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即
分段函数问题，分段解决．
【题型1 求函数值】
【例1】（2026·山西·模拟预测）已知f (f (x))= x
2−x +1，则f (1)=（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．2
【答案】B
【解题思路】将f (f (1))看成一个整体，利用f (f (x))= x
2−x +1求解即可.
【解答过程】f (f (x))= x
2−x +1，
故f (f (1))=1−1+1=1，
所以f (f (f (1)))= f (1)= f
2(1)−f (1)+1，
故f
2(1)−2f (1)+1=0，解得f (1)=1.
故选：B.
【变式1-1】（2026·重庆·三模）已知定义在R上的函数f (x)满足对任意的
a,b∈R ,f (a+ f (b))−b= f (f (a)),f (0)=1. 则f (1)=（ ）
A．−2
B．0
C．2
D．1
【答案】C
【解题思路】赋值分别令a=0,b= x、a= x ,b=0可得f (x +1)= x + f (1)，再令x =−1即可得解.
【解答过程】因为对任意的a,b∈R ,f (a+ f (b))−b= f (f (a)),f (0)=1，
令a=0,b= x，则f (f (x))−x = f (f (0))= f (1)，即f (f (x))= x + f (1)；
令a= x ,b=0，则f (x + f (0))= f (f (x))，即f (x +1)= f (f (x))；
可得f (x +1)= x + f (1)，
令x =−1，则f (0)=−1+ f (1)=1，解得f (1)=2.
故选：C.
【变式1-2】（2026·辽宁锦州·二模）f (x)是定义在R上的函数，满足2f (x)+ f (x
2−1)=1对∀x∈R都成
立，则f (−❑√2)=（ ）
A．0
B．1
3
C．1
2
D．1
【答案】B
【解题思路】根据已知条件，依次代入特殊值−❑√2，1，0，−1联立方程组，即可求出f (−❑√2).
【解答过程】令x =−❑√2，则2f (−❑√2)+ f (1)=1
，
①
令x =1，则2f (1)+ f (0)=1
，
②
令x =0，则2f (0)+ f (−1)=1
，
③
令x =−1，则2f (−1)+ f (0)=1
，
④
联立
，解得
③④
f (0)= 1
3，f (−1)= 1
3，将f (0)= 1
3代入
，解得
②
f (1)= 1
3，
再将f (1)= 1
3代入
，解得
①
f (−❑√2)= 1
3.
故选：B.
【变式1-3】（2026·辽宁葫芦岛·一模）已知函数f (x)的定义域为R ,f (x +1)>f (x)+ f (x−1)，且当x<4
时，f (x)= x
2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．f (8)>100
B．f (8)<100
C．f (16)>1000
D．f (16)<10000
【答案】C
【解题思路】由f (1)=1、f (2)= 4 ,f (3)=9，利用题目所给的函数性质f (x +1)>f (x)+ f (x−1)，结合不等
式的性质，逐渐递推即可判断.
【解答过程】因为当x<4时，f (x)= x
2，所以f (1)=1，f (2)= 4 ,f (3)=9，
又因为f (x +1)>f (x)+ f (x−1)，所以f (4)>f (3)+ f (2)=13，
f (5)>f (4)+ f (3)>22，
f (6)>f (5)+ f (4)>35，f (7)>f (6)+ f (5)>57，
f (8)>f (7)+ f (6)>92，f (9)>f (8)+ f (7)>149，
f (10)>f (9)+ f (8)>241，f (11)>f (10)+ f (9)>390，
f (12)>f (11)+ f (10)>631，f (13)>f (12)+ f (11)>1021，
f (14)>f (13)+ f (12)>1652，f (15)>f (14)+ f (13)>2673，
f (16)>f (15)+ f (14)>4325，
故C 正确，A 错误，且无证据表明BD 正确.
故选：C.
【题型2 具体函数的定义域】
【例2】（2026·山东·一模）函数f (x)=
❑√7 x
x−5的定义域是（ ）
A．[0,5)∪(5,+ ∞)
B．(−∞,5)∪(5,+∞)
C．[0,+ ∞)
D．(−∞,−5)∪(−5,+∞)
【答案】A
【解题思路】根据具体函数的定义域的求解方法直接求解即可.
【解答过程】要使函数f (x)=
❑√7 x
x−5有意义，只需满足{
7 x ≥0
x−5≠0)，解得x ≥0且x≠5，
所以函数f (x)=
❑√7 x
x−5的定义域是[0,5)∪(5,+ ∞)
故选：A.
【变式2-1】（2026·陕西商洛·模拟预测）函数f (x)=
1
x−1 + ❑√x +5的定义域是（ ）
A．{x| x>−5且x≠1}
B．{ x| x ≥−5且x≠1}
C．{ x| x ≥−5}
D．{ x| x≠1}
【答案】B
【解题思路】求出使式子有意义的自变量的范围即得．
【解答过程】由题意{
x−1≠0
x +5≥0)，解得x ≥−5且x≠1，
故选：B．
【变式2-2】（2026·上海虹口·一模）函数y = ❑√
x +1
x−2
的定义域为__________.
【答案】(−∞,−1)∪(2,+ ∞)
【解题思路】根据偶数根式被开方数非负，结合分式不等式的解法，即可得答案.
【解答过程】由题意得x +1
x−2 ≥0，即{
( x +1)( x−2)≥0
x−2≠0
)，解得x>2或x ≤−1，
所以定义域为(−∞,−1)∪(2,+ ∞).
故答案为：(−∞,−1)∪(2,+ ∞).
【变式2-3】（2026·北京·二模）函数f (x)= ❑√x +1+ 3
x
2的定义域为___________．
【答案】[−1,0)∪(0,+ ∞)
【解题思路】根据函数的解析式有意义，得到不等式组{
x +1≥0
x
2≠0 )，进而求得函数的定义域，得到答案.
【解答过程】由函数f (x)= ❑√x +1+ 3
x
2有意义，则满足{
x +1≥0
x
2≠0 )，解得x ≥−1且x≠0，
所以函数f (x)的定义域为[−1,0)∪(0,+ ∞).
故答案为：[−1,0)∪(0,+ ∞).
【题型3 抽象函数、复合函数的定义域】
【例3】（25-26 高一下·江西九江·开学考试）已知函数y = f (x)的定义域为[−7,5)，则函数y = f (3 x +2)的
定义域是（ ）
A．[−7,5)
B．[−3,1)
C．[0,5)
D．[−1,3)
【答案】B
【解题思路】由抽象函数定义域可得−7≤3 x +2≤5即可求解.
【解答过程】令3 x +2=t，
函数
∵
f (x)的定义域为[−7,5)，
∴t ∈[−7,5)，即−7≤3 x +2≤5，
解得−3≤x ≤1，
所以函数f (3 x +2)的定义域是[−3,1)．
故选：B．
【变式3-1】（25-26 高一上·安徽合肥·期末）已知函数f (3 x−1)的定义域为[−1,3]，则函数
g( x)= f ( x +2)
x−3
的定义域为（ ）
A．[−6,3)∪(3,6]
B．[−3,1]
C．[−1,3)
D．[−2,3)∪(3,6]
【答案】A
【解题思路】根据给定函数，结合抽象函数定义域列出不等式组求解.
【解答过程】函数f (3 x−1)的定义域为[−1,3]，当−1≤x ≤3时，−4≤3 x−1≤8，
则函数f ( x)的定义域为[−4,8]，在函数g( x)= f ( x +2)
x−3
中，{
x−3≠0
−4≤x +2≤8)，
解得−6≤x ≤6且x≠3，所以函数g( x)的定义域为[−6,3)∪(3,6].
故选：A.
【变式3-2】（25-26 高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数y = f (x)的定义域为[0,4)，则函数g(x)= f (2 x)
x−1
的定义域为（ ）
A．{x∣x∈R且x≠1}
B．{x∣0≤x ≤2且x≠1}
C．{x∣0≤x ≤4且x≠1}
D．{x∣0≤x ≤8且x≠1}
【答案】B
【解题思路】由函数g(x)有意义的条件，结合函数y = f (x)的定义域即可求解.
【解答过程】函数y = f (x)的定义域为[0,4)，函数g(x)= f (2 x)
x−1 有意义，
则有0≤2 x ≤4且x−1≠0，解得0≤x ≤2且x≠1，
所以函数g(x)= f (2 x)
x−1 的定义域为{x∣0≤x ≤2且x≠1}.
故选：B.
【变式3-3】（25-26 高一上·安徽·期中）已知函数f ( x)的定义域为(0,5)，则函数
g( x)= f ( x−1)+
1
❑√x−2的定义域为（ ）
A．[2,4)
B．[2,6)
C．(2,4)
D．(2,6)
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，结合抽象函数的定义域列出不等式组求出定义域.
【解答过程】由函数f ( x)的定义域为(0,5)，函数g( x)= f ( x−1)+
1
❑√x−2有意义，
得{
0< x−1<5
x−2>0 )，解得2< x<6，
所以所求定义域为(2,6).
故选：D.
【题型4 函数值域的求解】
【例4】（25-26 高一上·河南新乡·期中）若函数f (x)= 12
x 的定义域为[2,4)，则函数f (x)的值域为（ ）
A．[3,6)
B．[5,8)
C．[2,3)
D．[4,5)
【答案】A
【解题思路】根据函数定义域及不等式的性质求解值域即可.
【解答过程】函数f (x)= 12
x 的定义域为[2,4)，
由2≤x ≤4，可得1
2 ≥1
x ≥1
4 ，
∴6≥12
x ≥3，即函数f (x)的值域为[3,6).
故选：A.
【变式4-1】（25-26 高一上·浙江嘉兴·期中）函数f (x)= ❑√1−2 x−x的值域为（ ）
A．(−∞,−1)
B．(−∞,−1
2)
C．[−1,+∞)
D．[−1
2 ,+∞)
【答案】D
【解题思路】令t = ❑√1−2 x ≥0，则t
2=1−2 x，可得x = 1−t
2
2
，可得出f (x)= 1
2 t
2+t −1
2，利用二次函数
的单调性可求出f (x)的值域.
【解答过程】令t = ❑√1−2 x ≥0，则t
2=1−2 x，可得x = 1−t
2
2
，
所以f (x)= ❑√1−2 x−x =t −1−t
2
2
= 1
2 t
2+t −1
2，
因为二次函数y = 1
2 t
2+t −1
2在[0,+ ∞)上为增函数，
当t ≥0时，y = 1
2 t
2+t −1
2 ≥−1
2，故函数f (x)的值域为[−1
2 ,+ ∞).
故选：D.
【变式4-2】（25-26 高一上·北京·期中）下列函数中，值域为(0,+ ∞)的是（ ）
A．y = x + 1
x
B．y = x
2+ x +1
C．y =
1
x
2+1
D．y = 1
❑√x
【答案】D
【解题思路】对A，由基本不等式即可得到值域；对B，根据二次函数性质即可得到值域；对CD 求出分
母的范围即可得到值域.
【解答过程】对A，当x>0时，y = x + 1
x ≥2❑√x⋅1
x =2，
当x<0时，y = x + 1
x =−[(−x)+ 1
−x)≤−2❑√
(−x)⋅1
−x =−2，
则其值域为(−∞,−2)∪[2,+∞)，故A 错误；
对B，y = x
2+ x +1=(x + 1
2)
2
+ 3
4 ≥3
4 ，则其值域为[
3
4 ,+∞)，故B 错误；
对C，因为x
2+1≥1，则y =
1
x
2+1
∈(0,1)，故C 错误；
对D，y = 1
❑√x 的定义域为(0,+ ∞)，则❑√x∈(0,+ ∞)，则y = 1
❑√x ∈(0,+∞)，故D 正确.
故选：D.
【变式4-3】（25-26 高一上·重庆沙坪坝·期中）函数f (x)= ❑√x−2−x , x∈(2,6)的值域为（ ）
A．(−∞,−7
4)
B．[−4 ,−7
4)
C．[−4 ,−2)
D．[−4 ,−2)
【答案】B
【解题思路】利用换元法结合二次函数性质求解值域即可.
【解答过程】由题意得x∈(2,6)，令t = ❑√x−2∈(0,2)，
可得t
2= x−2，则x =t
2+2，即原函数化为g(t )=−t
2+t −2，
由二次函数性质得g(t )在(0, 1
2)上单调递增，在[
1
2 ,2)上单调递减，
而g(
1
2)=−7
4 ，g(2)=−4，当t →0时，g(t )→−2，
可得g(t )∈[−4 ,−7
4)，即f (x)的值域为[−4 ,−7
4)，故B 正确.
故选：B.
【题型5 同一函数的判断】
【例5】（25-26 高一上·天津武清·阶段检测）下列四组函数中，是同一个函数的是（ ）
A．f (x)= x−1，g(x)= x
2
x −1
B．f (x)=|x)，g(x)=
❑√x
2
C．f (x)= x
4，g(x)=(❑√x)
8
D．f (x)=|x)，g(x)=(❑√x)
2
【答案】B
【解题思路】利用相同函数的定义逐项判断即得.
【解答过程】对于A，函数f (x)= x−1的定义域为R，g(x)= x
2
x −1的定义域为{x∈R| x≠0}，A 不是；
对于B，函数f (x)=|x)与g(x)=
❑√x
2的定义域均为R，且❑√x
2=| x|，即对应法则相同，B 是；
对于C，函数f (x)= x
4的定义域为R，g(x)=(❑√x)
8的定义域为[0,+∞)，C 不是；
对于D，函数f (x)=|x)的定义域为R，g(x)=(❑√x)
2的定义域为[0,+ ∞)，D 不是.
故选：B.
【变式5-1】（25-26 高一上·湖北·阶段检测）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．f (x)= x +1, g(x)= x
2−1
x−1
B．f (x)=
❑√x
2, g(x)=|x)
C．f (x)=1, g(x)= x
0
D．f (x)= ❑√(x−1)(x +1), g(x)= ❑√(x−1)❑√(x +1)
【答案】B
【解题思路】根据函数的定义域与对应关系逐项验证函数是否为同一函数即可得结论.
【解答过程】对于A，f (x)= x +1的定义域为R，g(x)= x
2−1
x−1 的定义域为(−∞,1)∪(1,+ ∞)，
两个函数的定义域不同，不是同一函数，故A 不符合；
对于B，f (x)=
❑√x
2, g(x)=|x)的定义域均为R，又f (x)=
❑√x
2=|x)= g(x)，
则两个函数的定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故B 符合；
对于C，f (x)=1的定义域为R，g(x)= x
0的定义域为(−∞,0)∪(0,+ ∞)，
两个函数的定义域不同，不是同一函数，故C 不符合；
对于D，f (x)= ❑√(x−1)(x +1)的定义域满足(x−1)(x +1)≥0，解得x ≤−1或x ≥1，即f (x)的定义域为
(−∞,−1)∪[1,+ ∞)，
g(x)= ❑√(x−1)❑√(x +1)的定义域满足{
x−1≥0
x +1≥0)，解得x ≥1，即g(x)的定义域为[1,+∞)，
两个函数的定义域不同，不是同一函数，故D 不符合.
故选：B.
【变式5-2】（25-26 高一上·广东汕头·期中）与函数y = x
2是同一函数的是（ ）
A．y =(❑√x)
4
B．y = x
3
x
C．y =
3√x
6
D．y =(
1
x)
−2
【答案】C
【解题思路】根据相同函数的概念逐项分析可得.
【解答过程】函数y = x
2的定义域为R.
对于A，函数y =(❑√x)
4的定义域为[0,+∞)，所以与函数y = x
2不是同一函数，所以A 不正确；
对于B，函数y = x
3
x 的定义域为{x| x≠0)，所以与函数y = x
2不是同一函数，所以B 不正确；
对于C，函数y =
3√x
6= x
2的定义域为R，且对应关系相同，所以与函数y = x
2是同一函数，所以C 正确；
对于D，函数y =(
1
x)
−2
的定义域为{x| x≠0)，所以与函数y = x
2不是同一函数，所以D 不正确.
故选：C.
【变式5-3】（25-26 高一上·重庆·期中）下列各组函数中，f (x)与g(m)是同一个函数的是（ ）
A．f (x)=3 x +2,g(m)=3m+2
B．f (x)= x−1,g(m)= m
2−1
m+1
C．f (x)= x
2−2 x
x
, g(m)=m−2
D．f (x)=|x), g(m)=(❑√m)
2
【答案】A
【解题思路】根据题意，由两个函数是同一函数的定义，结合函数的定义域与对应关系，逐项分析判断，
即可求解.
【解答过程】对于A，函数f (x)=3 x +2与g(m)=3m+2的定义域都是R，且对应关系也相同，
所以两个函数为同一函数，所以A 符合题意；
对于B，f (x)= x−1的定义域为R，g(m)= m
2−1
m+1 的定义为(−∞,−1)∪(−1,+∞)，
两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以B 不符合题意；
对于C，函数f (x)= x
2−2 x
x
的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，g(m)=m−2的定义域为R，
两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以C 不符合题意；
对于D，由函数f (x)=|x)的定义域为R，函数g(m)=(❑√m)
2=m的定义域为[0,+∞)，
两个函数的定义域和对应关系都不同，所以两个函数不是同一函数，所以D 不符合题意.
故选：A.
【题型6 求函数的解析式】
【例6】（25-26 高一上·山东枣庄·阶段检测）若函数f ( x)是一次函数，并且满足
f (g( x))=9 x +1,g( x)=3 x +1，则f ( x)的解析式为（ ）
A．f ( x)=3 x
B．f ( x)=3
C．f ( x)=3 x−2
D．f ( x)=3 x + 1
3
【答案】C
【解题思路】利用换元法可求答案.
【解答过程】令t =3 x +1，则x = t −1
3
，
f (g( x))=9 x +1即为f (t )=9× t −1
3
+1=3t −2，
所以f (x)=3 x−2.
故选：C.
【变式6-1】（25-26 高三·全国·二轮复习）已知函数f (1−x)= 1−x
2
x
2
(x≠0)，则f (x)=（ ）
A．
1
(x−1)
2 −1(x≠0)
B．
1
(x−1)
2 −1(x≠1)
C．
4
(x−1)
2 −1(x≠0)
D．
4
(x−1)
2 −1(x≠1)
【答案】B
【解题思路】利用换元法求解析式.
【解答过程】令1−x =t，则x =1−t，
因为x≠0，所以t ≠1．
由f (1−x)= 1−x
2
x
2
(x≠0)，可得f (t )= 1−(1−t )
2
(1−t )
2
=
1
(1−t )
2 −1(t ≠1)，
∴f (x)=
1
(1−x)
2 −1=
1
(x−1)
2 −1(x≠1)．
故选：B．
【变式6-2】（25-26 高一上·福建福州·期中）若函数f (x)是二次函数，满足f (0)=2，f (x +2)−f (x)= 4 x
，则f (x)=（ ）
A．x
2+ x +2
B．x
2−2 x +2
C．x
2−x +2
D．x
2+2 x +2
【答案】B
【解题思路】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案.
【解答过程】设f (x)=a x
2+bx +c（a≠0），由f (0)=2，则c =2，
由f (x +2)−f (x)= 4 x，则a(x +2)
2+b(x +2)+2−(a x
2+bx +2)= 4 x，
整理可得4 ax + 4 a+2b= 4 x，则{
4 a= 4
4 a+2b=0)，解得{
a=1
b=−2)，
所以f (x)= x
2−2 x +2.
故选：B.
【变式6-3】（25-26 高一上·福建三明·阶段检测）已知f (❑√x +1)= x +2❑√x−1，则f (x)=（ ）
A．x
2−2(x ≥1)
B．x
2−2
C．x
2(x ≥1)
D．x
2
【答案】A
【解题思路】利用配方法，将f (❑√x +1)= x +2❑√x−1化为f (❑√x +1)=(❑√x +1)
2−2，再结合换元法即可求
得答案.
【解答过程】由题意知f (❑√x +1)= x +2❑√x−1，即f (❑√x +1)=(❑√x +1)
2−2，
令t = ❑√x +1，因为❑√x +1≥1，故t ≥1，
则可得f (t )=t
2−2,(t ≥1)，
故f (x)= x
2−2,(x ≥1)，
故选：A.
【题型7 分段函数及其应用】
【例7】（25-26 高一上·江苏南京·期末）已知函数f (x)={
x
3−2 x ,
x>0
f (x +1),
x ≤0)，则f (−1)=（ ）
A．1
B．−3
C．0
D．−1
【答案】D
【解题思路】根据分段函数的解析式和自变量的范围计算函数值即可.
【解答过程】f (−1)= f (0)= f (1)=1−2=−1.
故选：D.
【变式7-1】（2026·云南曲靖·一模）设函数f (x)={
x (x−1), x ≥0
2−f (−x), x<0)，则满足f (x)>2的x 的取值范围是
（ ）
A．(−∞,−1)
B．(2,+∞)
C．(−1,0)∪(2,+∞)
D．(−1,0)∪(0,2)
【答案】C
【解题思路】根据分段函数的特点，分段列不等式求解最后取并集即可.
【解答过程】当x ≥0时，f (x)= x (x−1)，
令x (x−1)>2，即x
2−x−2>0，解得x<−1（舍去）或x>2；
当x<0时，f (x)=2−f (−x)=2−(−x)(−x−1)=2−x (x +1)，
令2−x (x +1)>2，即x (x +1)<0，解得−1< x<0.
综上，f (x)>2的x 的取值范围是(−1,0)∪(2,+∞).
故选：C．
【变式7-2】（2026·贵州·模拟预测）已知函数f ( x)={
log2 x，x ≥2
x
2+ x +2，x<2)则f (f (1))=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解题思路】根据分段函数解析式即可求得函数值.
【解答过程】因为f (1)=1
2+1+2= 4，
所以f (f (1))= f (4)= log24 =2．
故选：B.
【变式7-3】（25-26 高一上·河南·期中）已知函数f (x)={
f (x +1), x<0
x
2+2 x−3, x ≥0)，则f [f (−2)+ f (2))=（ ）
A．−6
B．5
C．2
D．-3
【答案】B
【解题思路】先根据函数解析式求得f (−2)=−3，f (2)=5，然后再利用f [f (−2)+ f (2))= f (2)求解即可.
【解答过程】由题意可知，f (−2)= f (−1)= f (0)=−3，f (2)=2
2+2×2−3=5，
所以f (−2)+ f (2)=−3+5=2，
所以f [f (−2)+ f (2))= f (2)=5.
故选：B.
一、单选题
1．（2026·江西上饶·一模）已知函数f (3 x +1)=(x +5)
2，则f (−2)=（ ）
A．4
B．9
C．16
D．25
【答案】C
【解题思路】令3 x +1=−2，解得x =−1，再利用原式求解f (−2).
【解答过程】因为f (3 x +1)=(x +5)
2，令3 x +1=−2，解得x =−1，
所以f (−2)= f (−3+1)=(−1+5)
2=16．
故选：C.
2．（2026·广东·一模）函数f (x)=
❑√x−4
x−5 的定义域为（ ）
A．[4 ,+∞)
B．[4,5)∪(5,+∞)
C．(4,5)∪(5,+∞)
D．(−∞,−5)∪(4,5)
【答案】B
【解题思路】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可.
【解答过程】要使函数f (x)=
❑√x−4
x−5 有意义，
则{
x−4≥0
x−5≠0)，解得x ≥4且x≠5，
故函数f (x)的定义域为[4,5)∪(5,+ ∞)．
故选：B．
3．（2026·江西上饶·二模）若函数y =
1
x
2−1的定义域为[0,1)∪[2,+ ∞)，则此函数的值域为（ ）
A．[−1, 1
3)
B．(−∞,−1)∪(0, 1
3)
C．[−1,0)∪(0, 1
3)
D．
[−1,0)∪[
1
3 ,+∞)
【答案】B
【解题思路】根据定义域确定x
2−1的范围，再结合反比例型函数得到值域即可．
【解答过程】函数y =
1
x
2−1的定义域为[0,1)∪[2,+∞)，
则−1≤x
2−1<0或x
2−1≥3，
当−1≤x
2−1<0时，
1
x
2−1
≤−1，
当x
2−1≥3时，0<
1
x
2−1
≤1
3，
综上，此函数的值域为(−∞,−1)∪(0, 1
3)．
故选：B．
4．（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线x =a,a∈R与函数y = f (x)的图象的交点个数为
（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．无法确定
【答案】C
【解题思路】由函数的概念，结合函数定义域的范围即可判断.
【解答过程】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个x，只有唯一的y与之对应，
若a在函数定义域内，则直线x =a,a∈R与函数y = f (x)的图象的交点个数为1，
若不在函数定义域内，则直线x =a,a∈R与函数y = f (x)的图象的交点个数为0，
所以函数y = f (x)的图象与直线x =a(a∈R)的交点个数为0 或1.
故选：C．
5．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）已知定义在R上函数f (x)满足f (x1+ x2)= f (x1)f (x2)，若f (−1)= 1
4 ，则
f (4)=（ ）
A．1
B．16
C．128
D．256
【答案】D
【解题思路】由题设可得f (0)=0或f (0)=1，结合已知排除f (0)=0，再由f (0)= f (1−1)= f (1)f (−1)
得f (1)= 4，结合f (4)=[ f (2)]
2=[ f (1)]
4即可得.
【解答过程】由题设f (0)= f (0+0)=[ f (0)]
2，则f (0)=0或f (0)=1，
若f (0)=0，令x1= x , x2=0，则对于任意x有f ( x)= f ( x)f (0)=0，而f (−1)= 1
4 ，不符；
所以f (0)=1，则f (0)= f (1−1)= f (1)f (−1)=1，故f (1)=
1
f (−1) = 4，
由f (4)= f (2+2)=[ f (2)]
2=[ f (1)]
4= 4
4=256.
故选：D.
6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数f ( x)满足：当0≤x ≤2时，f ( x)= f (2−x)；当x<0时，
f ( x)= f ( x +2)；且当x ≥1时，f (x)= x +1，则f(−7
2)=（ ）
A．−3
2
B．−5
2
C．3
2
D．5
2
【答案】D
【解题思路】根据分段函数的定义域，逐步将自变量x =−7
2转化到已知解析式的区间上，再代入相应的解
析式进行计算.
【解答过程】当x<0时，f ( x)= f (x +2)，
则f(−7
2)= f(−7
2 +2)= f(−3
2)= f(−3
2 +2)= f(
1
2).
当0≤x ≤2时，f ( x)= f (2−x)，则f(
1
2)= f(2−1
2)= f(
3
2).
当x ≥1时，f ( x)= x +1，所以f(
3
2)= 3
2 +1= 5
2，即f(−7
2)= 5
2 .
故选：D．
7．（25-26 高三上·浙江·阶段检测）下列函数f (x)和g(x)为同一函数的是（ ）
A．f (x)= x +1和g(x)=
❑√(x +1)
2
B．f (x)= x
2+ x
0和g(x)= x
3+ x
x
C．f (x)= x
2+ x和g(x
2)=(x
2+ 1
2)
2
−1
4
D．f (x)= ❑√
x
2−3 x
x
2
和g(x)=
❑√x
2−3 x
x
【答案】B
【解题思路】根据同一函数的定义判断各选项即可.
【解答过程】对于A，函数f (x)= x +1的定义域为R，
函数g(x)=
❑√(x +1)
2的定义域为R，而g(x)=
❑√(x +1)
2=|x +1)，
所以函数f (x)和g(x)不为同一函数；
对于B，函数f (x)= x
2+ x
0的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
函数g(x)= x
3+ x
x
的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
而f (x)= x
2+ x
0= x
2+1，g(x)= x
3+ x
x
= x
2+1，
所以函数f (x)和g(x)为同一函数；
对于C，函数f (x)= x
2+ x的定义域为R，
函数g(x
2)=(x
2+ 1
2)
2
−1
4 ，则g(x)=(x + 1
2)
2
−1
4 的定义域为[0,+∞)，
所以函数f (x)和g(x)不为同一函数；
对于D，函数f (x)= ❑√
x
2−3 x
x
2
的定义域为(−∞,0)∪[3,+∞)，
函数g(x)=
❑√x
2−3 x
x
的定义域为(−∞,0)∪[3,+∞)，
而f (x)= ❑√
x
2−3 x
x
2
=
❑√x
2−3 x
|x)
，
所以函数f (x)和g(x)不为同一函数.
故选：B.
8．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，当x≠0时，有f (x)+ x⋅f(
1
x)=0，对
∀x , y ∈R，都有f (x)+ f ( y)= f (x + y)−1，则f (2026)=（ ）
A．0
B．1
C．2025
D．2026
【答案】C
【解题思路】利用题中给出的函数性质，代入特殊值，求出f (2026).
【解答过程】因为x≠0，f (x)+ x⋅f(
1
x)=0，
当x =1时，f (1)+1⋅f(
1
1)=2f (1)=0，
因为∀x , y ∈R，都有f (x)+ f ( y)= f (x + y)−1，
所以f (x + y)= f (x)+ f ( y)+1，
f (2)= f (1+1)= f (1)+ f (1)+1=0+0+1=1，
f (4)= f (2+2)= f (2)+ f (2)+1=1+1+1=3，
f (8)= f (4+ 4)= f (4)+ f (4)+1=3+3+1=7，
f (16)= f (8+8)= f (8)+ f (8)+1=7+7+1=15，
f (32)= f (16+16)= f (16)+ f (16)+1=15+15+1=31，
f (64)= f (32+32)= f (32)+ f (32)+1=31+31+1=63，
f (128)= f (64+64)= f (64)+ f (64)+1=63+63+1=127，
f (256)= f (128+128)= f (128)+ f (128)+1=127+127+1=255，
f (512)= f (256+256)= f (256)+ f (256)+1=255+255+1=511，
f (1024)= f (512+512)= f (512)+ f (512)+1=511+511+1=1023，
f (2048)= f (1024 +1024)= f (1024)+ f (1024)+1=1023+1023+1=2047，
f (20)= f (4+16)= f (4)+ f (16)+1=3+15+1=19，
f (22)= f (20+2)= f (20)+ f (2)+1=19+1+1=21，
f (2048)= f (2026+22)= f (2026)+ f (22)+1= f (2026)+21+1=2047，
所以f (2026)=2047−21−1=2025．
故选：C．
二、多选题
9．（2026·江西·模拟预测）对于任意的x , y ∈R，函数f ( x)满足
f ( x +1)−f ( x−1)= f (2)+ 4 x−6,f (−2)=6，则下列结论正确的是（ ）
A．f (0)=1
B．f (2)=6
C．f (2026)−f (2024)=8100
D．f (6)=36
【答案】BC
【解题思路】利用赋值法求得f (0)=2，f (2)=6，f (6)=36判断ABD，题干等式转化为
f ( x +1)−f ( x−1)= 4 x，再赋值求解判断C.
【解答过程】根据题意可知，函数f ( x)满足f ( x +1)−f ( x−1)= f (2)+ 4 x−6，
令x =1，得f (2)−f (0)= f (2)+ 4−6，解得f (0)=2，故A 错误；
令x =−1，得f (0)−f (−2)= f (2)−4−6，即f (2)+ f (−2)= f (0)+10，
因为f (0)=2,f (−2)=6，所以f (2)=6，故B 正确；
因为f (2)=6，则f ( x +1)−f ( x−1)= 4 x，
令x =2025，则f (2026)−f (2024)= 4×2025=8100，故C 正确；
又f (6)= f (4)+ 4×5= f (4)+20,f (4)= f (2)+ 4×3=18，
则f (6)=18+20=38，故D 错误.
故选：BC.
10．（2026·新疆喀什·模拟预测）已知函数f ( x)=
2
x
2+1，则（ ）
A．f ( x)+ f (−x)=0
B．f ( x)≤2
C．f ( x)+ f ( 1
x )=2
D．f (3)+ f (2)+ f (1)+ f ( 1
2 )+ f ( 1
3 )=5
【答案】BCD
【解题思路】根据f (x)的解析式，进行相关的运算判断各个选项即可.
【解答过程】对于A，f (x)+ f (−x)=
2
x
2+1
+
2
(−x)
2+1
=
4
x
2+1
≠0，故A 错误；
对于B，由f (x)=
2
x
2+1
≤2
1 =2，故B 正确；
对于C，f (x)+ f(
1
x)=
2
x
2+1
+
2
(
1
x)
2
+1
= 2(x
2+1)
x
2+1
=2，故C 正确；
对于D，由选项C 知f (x)+ f(
1
x)=2，且f (1)=1，
∴f (3)+ f (2)+ f (1)+ f(
1
2)+ f(
1
3)=2+2+1=5，故D 正确.
故选：BCD.
11．（2026·广东江门·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，f (x +98)≤f (x)+100，
f (x +100)≥f (x)+102，且f (2023)=100，则f (2025)的值可能为（ ）
A．101
B．102
C．103
D．104
【答案】BCD
【解题思路】由题意得f (x +98)−100≤f (x)≤f (x +100)−102，进而得出f (x +98)+2≤f (x +100)，再
令x =1925即可.
【解答过程】因f (x +100)≥f (x)+102，则f (x)≤f (x +100)−102，
因f (x +98)≤f (x)+100，则f (x +98)−100≤f (x)，
则f (x +98)−100≤f (x +100)−102，即f (x +98)+2≤f (x +100)，
令x =1925，则f (2023)+2≤f (2025)，
因f (2023)=100，则f (2025)≥102，
则f (2025)的值可能为102,103,104.
故选：BCD.
三、填空题
12．（2026·上海·三模）函数f (x)= ❑√2 x−3+
1
x−2的定义域为__________．
【答案】[
3
2 ,2)∪(2,+ ∞)
【解题思路】根据二次根式的性质及分式中分母不能为零，求出函数定义域即可.
【解答过程】由题意知，{
2 x−3≥0
x−2≠0 )，解得x ≥3
2且x≠2.
所以函数f (x)= ❑√2 x−3+
1
x−2的定义域为[
3
2 ,2)∪(2,+ ∞).
故答案为：[
3
2 ,2)∪(2,+ ∞).
13．（2026·河北唐山·一模）已知f ( x)= x| x−2|，若f ( x)=3，则x =__________.
【答案】3
【解题思路】由题意可得：f ( x)= x|x−2)=3，分x ≥2和x<2两种情况讨论，去绝对值解方程即可.
【解答过程】由题意可得：f ( x)= x|x−2)=3，
当x ≥2时，可得x (x−2)=3，即x
2−2 x−3=0，解得x =3或x =−1（舍去）；
当x<2时，可得x (2−x)=3，即x
2−2 x +3=0，方程无解；
综上所述：x =3.
故答案为：3.
14．（2026·重庆·一模）若函数f (x)满足:对任意的x>0，都有f (x +2)= f (x)+
1
x (x +2)，且f (4)= 1
200，
则f (100)=___________.
【答案】1
8
【解题思路】由f (x +2)−f (x)=
1
x (x +2) = 1
2(
1
x −
1
x +2)，通过累加即可求解.
【解答过程】由f (x +2)= f (x)+
1
x (x +2)，
得f (x +2)−f (x)=
1
x (x +2) = 1
2(
1
x −
1
x +2)，
即f (6)−f (4)= 1
2(
1
4 −1
6)，
f (8)−f (6)= 1
2(
1
6 −1
8)，
⋯
f (100)−f (98)= 1
2(
1
98 −1
100)，
累加可得：f (100)−f (4)= 1
2(
1
4 −1
100)，
又f (4)= 1
200，
得f (100)= 1
8，
故答案为：1
8.
四、解答题
15．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知f (x)+ f(1−1
x)=1+ x ,( x≠0且x≠1)，求函数f (x)的解析式．
【答案】f (x)= x
3−x
2−1
2 x
2−2 x
,( x≠0且x≠1)
【解题思路】利用解方程组法，分别用x−1
x
，
1
1−x 代换题设式子中的x，得到方程组求解即可.
【解答过程】f (x)+ f(1−1
x)=1+ x，①
将
中的
①
x用x−1
x
代换得f(
x−1
x )+ f(
1
1−x)= 2 x−1
x
②
再将
中的
①
x用
1
1−x 代换得f(
1
1−x)+ f (x)= 2−x
1−x ③
则由①+③−②
2
得f (x)= x
3−x
2−1
2 x
2−2 x
,( x≠0且x≠1)．
16．（25-26 高三·全国·一轮复习）求函数y =
x
2−x +1
2 x
2−2 x +3
的值域．
【答案】[
3
10 , 1
2)
【解题思路】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合t的值域构造不等式，解不等式求函数的
值域．
【解答过程】令t = x
2−x，则t =(x−1
2)
2
−1
4 ≥−1
4 ，原函数化为：y = t +1
2t +3，
整理得2ty +3 y =t +1即(2 y −1)t =1−3 y，当y = 1
2时显然不合题意；
当y ≠1
2时，t = 1−3 y
2 y −1，
∴1−3 y
2 y −1 ≥−1
4 ，即10 y −3
4 (2 y −1) ≤0，等价于{
(10 y −3)(2 y −1)≤0
2 y −1≠0
)，解得3
10 ≤y < 1
2，
∴原函数的值域为[
3
10 , 1
2).
17．（25-26 高三·全国·三轮复习）求下列函数的定义域：
(1)f ( x)= 3 x
x−4 ；
(2)f ( x)= 1
❑√x
2；
(3)f ( x)=
6
x
2−3 x +2
；
(4)f ( x)=
❑√4−x
x−1
．
【答案】(1){x∣x≠4}
(2){x∣x≠0}
(3){x∣x≠1且x≠2}
(4){x∣x ≤4且x≠1}
【解题思路】（1）根据分式中的分母为不为零直接求解即可；
（2）根据分式中的分母为不为零以及偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可；
（3）根据分式中的分母为不为零直接求解即可；
（4）根据分式中的分母为不为零以及偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可.
【解答过程】（1）∵x−4≠0，∴x≠4，
所以定义域为{x| x≠4 }；
（2）∵
❑√x
2≠0, x
2≥0，∴x≠0，
所以定义域为{x| x≠0}；
（3）∵x
2−3 x +2≠0，∴x≠2且x≠1，
所以定义域为{x| x≠2且x≠1}；
（4）∵x−1≠0,4−x ≥0，∴x ≤4且x≠1，
所以定义域为{x| x ≤4且x≠1}.
18．（25-26 高三·全国·一轮复习）（1）已知f (❑√x +1)= x +2❑√x，求f (x)的解析式．
（2）已知f (x)是一次函数，并且f (f (x))= 4 x +3，求f (x)．
（3）函数f (x)满足方程2f (x)+ f(
1
x)=2 x，x∈R且x≠0，求f (x)．
【答案】（1）f (x)= x
2−1，x ≥1；
（2）f (x)=2 x +1或f (x)=−2 x−3；
（3）f (x)= 4
3 x−2
3 x ，x≠0.
【解题思路】（1）利用换元法求函数的解析式；
（2）利用待定系数法求函数的解析式；
（3）用x代替1
x ，构造函数方程，求函数的解析式.
【解答过程】（1）设❑√x +1=t，则❑√x =t −1，x =(t −1)
2，且t ≥1，
所以f (t )=(t −1)
2+2(t −1) =t
2−1，t ≥1.
用x代替t，得：f (x)= x
2−1，x ≥1.
（2）因为f (x)为一次函数，可设f (x)=kx +b，k ≠0.
所以f (f (x))= f (kx +b)=k (kx +b)+b =k
2 x + kb+b，
又f (f (x))= 4 x +3，
所以{
k
2= 4
kb+b=3) ⇒ {
k =2
b=1)或{
k =−2
b=−3).
所以f (x)=2 x +1或f (x)=−2 x−3.
（3）因为2f (x)+ f(
1
x)=2 x①，
用x代替1
x ，得2f(
1
x)+ f (x)= 2
x ②，
①×2−
得：
②
3 f (x)= 4 x−2
x ⇒ f (x)= 4
3 x−2
3 x ，x≠0.
19．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知一次函数f ( x)满足f (f ( x))= x +3．
(1)求f ( x)的解析式；
(2)若g(x)=
x
f (x)−1
2
，求g(1)+ g(2)+⋯+ g(2024)+ g(
1
2024 )+ g(
1
2023 )+⋯+ g( 1
2 )的值．
【答案】(1)f ( x)= x + 3
2
(2)4047
2
【解题思路】（1）运用待定系数法列出方程组即可求得解析式；
（2）所求式子为对称结构，通过验证发现g( x)+ g( 1
x )=1，再通过分组求和即可求解.
【解答过程】（1）设f ( x)=ax +b(a≠0)，
则f (f ( x))= f (ax +b)=a(ax +b)+b=a
2 x +ab+b= x +3，
故有{
a
2=1
ab+b=3)，解得{
a=1
b= 3
2)
，
故f ( x)= x + 3
2.
（2）由（1）知g( x)=
x
x +1，则g( 1
x )=
1
x
1
x +1
=
1
x +1，
则g( x)+ g( 1
x )=
x
x +1 +
1
x +1 = x +1
x +1 =1，
故g(2)+ g( 1
2 )= g(3)+ g( 1
3 )=⋯= g(2024)+ g(
1
2024 )=1，
且当x =1时，可得2 g(1)=1，解得g(1)= 1
2，
因此g(1)+ g(2)+⋯+ g(2024)+ g(
1
2024 )+ g(
1
2023 )+⋯+ g( 1
2 )= 1
2 +2023×1= 4047
2
.
