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2.1 函数的概念及其表示考点一 函数概念的辨析
【例1-1】（2024上海奉贤）以下图形中，不是函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2024山东青岛）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函
数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合 ，
，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从 到 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024北京·期中）若函数 的定义域为 ，值域为 ，那么函数 的图
象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024浙江湖州）（多选）下列对应关系 ： 是集合 到集合 的函数关系的是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
3．（2024海南）（多选）以下 与 的关系中，其中 是关于 的函数的有（ ）A． B． C． D．
考点二 无参函数的定义域
【例2-1】（1）（2024山西临汾） 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2024河北承德）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【例2-2】（1）（2024浙江）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2024北京）已知 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（3）（2024湖北）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024湖北荆门）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．2．（2024浙江丽水）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
3．（2024河南）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024山东）设函数 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024湖北荆州）若函数. 的定义域是[4,25]，则函数 的定义域是（ ）
A．[1,6] B．[2,5] C．[2,6] D．[4,7]
6．（2024湖北咸宁·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
7．（2023北京）若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
考点三 已知函数定义域求参数
【例3-1】（2024天津西青）若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 ．
【例3-2】（2024黑龙江哈尔滨）函数 在 上有意义，则实数a的取值范围为 ．【例3-3】（2024湖南株洲）函数 的定义域为全体实数，则 （ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024山西）若函数 的定义域为 ，则 的范围为 .
2（2024高三·全国·专题练习）若函数 的定义域为R，则实数a的取值范围为 ；
3．（2023·北京延庆·一模）已知函数 的定义域为 ，且 ，则 的取值范围是 ．
4．（2024陕西西安）已知函数 的定义域为 ，则实数 的值是 ．
5．（2024云南）已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 ．
考点四 函数的解析式
【例4】（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式
（1）已知 ，则 ．
（2）已知 是三次函数，且在 处的极值为0，在 处的极值为1，则 ．
（3）已知 的定义域为 ，满足 ，则函数 ．
（4）已知函数 是偶函数，且 时 ，则 时， ．
（5）已知函数 的定义域为R，且 ， ，请写出满足条件的一个
（答案不唯一）．
【一隅三反】
1．（2024安徽蚌埠）求下列函数的解析式：
(1)已知 ，求 ；(2)已知 是一次函数，且 ，求 ；
(3)定义在区间 上的函数 满足 ，求 的解析式．
（4）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则f(x)的解析式
2.（2024山东淄博·）求下列函数的解析式
（1） 是一次函数，且满足 ，求 的解析式;
（2）已知函数 ，求函数 的解析式．
（3）已知 ，求 的解析式．
（4）已知f(x＋ )＝x2＋ ，则函数f(x)的解析式
（5）已知f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)的解析式
考点五 同一函数的判断
【例5】（2024广东佛山）下列各组函数是同一个函数的是（ ）A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【一隅三反】
1．（2024海南省）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A． ， B． ，
C． D． ，
2．（2024北京东城）下列各组函数中，两个函数相等的是 （ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
3．（2023河北承德）下列函数中，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
考点六 无参函数的值域
【例6】（2024湖南衡阳）求下列函数的值域．
(1) ， ；(2) ， ；(3) ， .(4)
（5） (6) (7) （8） （9）y＝，x∈
（10） ，【一隅三反】
1．（2024河北石家庄）下列各函数中，值域为 的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2024甘肃）求下列函数的值域．
(1) (2) (3) .（4） （5）
(6) ；(7) .
考点七 已知函数值域求参数
【例7-1】（2024河北沧州）已知函数 ，若 的值域为 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】（2024四川广安）若函数 的值域为 ，则实数m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．【例7-3】（2023·湖北武汉·一模）已知函数 若 的值域为 ,则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024北京）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
2．（2024·四川成都·二模）已知函数 的值域为 .若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024河北保定）设函数 ，其中实数 ．若 的值域为 ，则a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点八 分段函数
【例8-1】（2024·陕西西安·三模）已知函数 ，则 （ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【例8-2】（2024·四川广安·二模）已知函数 .则 的值为 .
【例8-3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝ 设a＝ ，则f(f(a))＝ ．
【一隅三反】
1．（2024湖南衡阳）设函数 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．72．（2024·江西）设 ，若 ，则x的值为（ ）
A．1或2 B． 或 C．1 D．2
3．（2024江苏常州）设函数 ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2024重庆沙坪坝）若函数 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
一．单选题
1．（2024云南）已知函数 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2024·黑龙江哈尔滨）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024河南开封）下列表示同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
4．（2024福建福州·阶段练习）已知函数 的定义域是 ，值域为 ，则 的取值范围
是（ ）A． B． C． D．
5．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数 的图象过点 与 ，则函数 在区间
上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024湖北荆门·期末）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024重庆永川·期中）下列函数中，值域为[1， +∞)的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024山东济南）已知函数 的定义域与值域均为 ，则实数 的取值为（ ）
A．-4 B．-2 C．1 D．1
二．多选题
9．（2024重庆黔江）已知集合 ， ，下列从集合 到集合 的各个对应关系
是函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024福建龙岩）已知函数 则（ ）A． B． 的最小值为
C． 的定义域为 D． 的值域为
11．（2024重庆渝中）已知函数 ，定义域为 ，值域为 ，则下列说法中一定正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
三．填空题
12．（2024·北京怀柔·模拟预测）函数 的定义域是 .
13．（2024青海西宁）若函数 的值域为 ，则a的取值范围是 .
14．（2023·上海青浦·一模）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为 ．
四．解答题
15．（2024广东佛山·期中）根据下列条件，求 的解析式．
(1)已知 满足 ；
(2)已知 是二次函数，且满足 ， ；
(3)已知 满足 ．
16．（2024广西）已知函数 .
(1)求 的解析式；(2)求不等式 的解集；
(3)若存在 ，使得 ，求 的取值范围.
17．（2024江苏无锡·阶段练习）已知函数 是二次函数，且满足 ， ．
(1)求函数 的解析式；
(2)若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的最大值．
18．（2024北京·期中）已知函数 ，满足 .
(1)求 值；(2)在 上，函数 的图象总在一次函数 的图象的上方，试确定实数m的取值范围；
(3)设当 时，函数 的最小值为 ，求 的解析式.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，函数 （
）是奇函数．又已知 在 上是一次函数，在 上是二次函数，且在 时函数取得最
小值 ．
(1)证明： ；
(2)求 的解析式；
(3)求 在[4，9]上的解析式．
