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8.9 幂函数（精练）（基础版）
题组一 幂函数的三要素
1．（2023·全国·高三专题练习）现有下列函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤
；⑥ ；⑦ ，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】幂函数满足 形式，故 ， 满足条件，共2个故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数 的图象经过点 ，则 的值等于（ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】D
【解析】设幂函数 ，幂函数 的图象经过点 ，所以 ，
解得 ，所以 ，则 ．
故选：D.
3．（2022福建）下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A ，则需要满足 ，即 ，所以函数 的定义域为 ，故A不符合题
意；
B ，则需要满足 ，所以函数 的定义域为 ，故B不符合题意；C ，则需要满足 ，所以函数 的定义域为 ，故C不符合题意；
D ，故函数 的定义域为 ，故D正确；故选：D.
4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数 是幂函数，则 的值为_____．
【答案】8
【解析】依题意得， ， ，则 ， 故答案为：8
5．（2022·上海）函数 的定义域为__________．
【答案】
【解析】函数解析式为 ，则 ，解得 .
因此，函数 的定义域为 .故答案为： .
题组二 幂函数的性质
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【答案】C
【解析】函数 是定义域R上的单调减函数，且 ，则 ，即 ，
又函数 在 上单调递增，且 ，于是得 ，即 ，
所以a、b、c的大小关系为 ．故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上是
增函数，则 的值为（ ）
A． B． C． D． 和
【答案】D【解析】因为 ， ，
所以当 时， ，由幂函数性质得，在 上是减函数；
所以当 时， ，由幂函数性质得，在 上是常函数；
所以当 时， ，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在 上是增函数；
所以当 时， ，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在 上是增函数；
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数 为偶函数，则实数 的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1或2
【答案】C
【解析】 幂函数 为偶函数，
，且 为偶数，则实数 ，故选：C
4．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）下列函数中，不是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A、D：由幂函数 定义域为R，当α为奇数， 是奇函数.故A、D为奇函数；
对于B： 为奇函数；
对于C： 为偶函数.
故选：C
5．（2021·全国·高三专题练习）已知幂函数 的图象经过点 ，且 ，则
的取值范围为( )
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知， ，解得， ，
故 ，易知， 为偶函数且在 上单调递减，
又因为 ，
所以 ，解得， 或 .
故 的取值范围为 .
故选：C.
6．（2022·黑龙江）已知 是幂函数，且在 上单调递增，则满足
的实数 的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意 ，解得 或 ，
又 在 上单调递增，所以 ， ，
所以 ， ，易知 是偶函数，
所以由 得 ，解得 或 .
故选：D.
7．（2022·河北·青龙满族自治县实验中学高三开学考试）“当 时，幂函数
为减函数”是“ 或2”的（ ）条件
A．既不充分也不必要 B．必要不充分
C．充分不必要 D．充要
【答案】C【解析】当 时，幂函数 为减函数，
所以有 ，
所以幂函数 为减函数”是“ 或2”的充分不必要条件，
故选：C
8．（2023·全国·高三专题练习）函数 与 均单调递减的一个充分不必要条件是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 单调递减可得 及 ；
函数 单调递减可得 ，解得 ，
若函数 与 均单调递减，可得 ，
由题可得所求区间真包含于 ，
结合选项，函数 与 均单调递减的一个充分不必要条件是C.
故选：C.
9．（2022·全国·模拟预测）已知 ， ， ，e是自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 .令 ，
则 ，当 时， ， 单调递减.因为 ，所以 ，即
，得 ，故 ，所以 ，
综上， ，
故选：B.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若当 时， 恒成立，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意， ，即 为奇函数，同时也为增函数，
∵ ，即 ，
∴ ，即 恒成立， ，
若不等式恒成立，只需 ，
令 ，
∴ ，∴ ．
故选：C
11．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，∵ ， 在R上单调递减， 在 单调递增，
∵ ，∴ ．
故选：D．
12．（2022·辽宁·黑山县黑山中学高三阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．当 时，函数 的图像是一条直线；
B．幂函数的图像都经过 和 点；
C．幂函数 的定义域为 ；
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．
【答案】D
【解析】对于A， 时，函数 的图像是一条直线除去 点，故 错误；
对于B，幂函数的图像都经过 点，当指数大于 时，都经过 点，当指数小于 时，不经过 点，
故B错误；
对于C，函数 ，故定义域为 ，故错误；
对于D，由幂函数的性质，幂函数的图像一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确.
故选：D.
13．（2022·全国· 课时练习）（多选）下列结论中正确的是（ ）
A．幂函数的图像都经过点 ，
B．幂函数的图像不经过第四象限
C．当指数 取1，3， 时，幂函数 是增函数
D．当 时，幂函数 在其整个定义域上是减函数
【答案】BC
【解析】A选项，当指数 时，幂函数 的图像不经过原点，故A错误；B选项，所有的幂函数在区间 上都有定义且 ，所以幂函数的图像不可能经过第四
象限，故B正确；
C选项，当α为1，3， 时， 是增函数，显然C正确；
D选项，当 时， 在区间 和 上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错
误.
故选：BC
14．（2022·广东）（多选）已知幂函数 的图象经过点 ，则（ ）
A．函数 为增函数 B．函数 为偶函数
C．当 时， D．当 时，
【答案】ACD
【解析】设幂函数 ，则 ，解得 ，所以 ，
所以 的定义域为 ， 在 上单调递增，故A正确，
因为 的定义域不关于原点对称，所以函数 不是偶函数，故B错误，
当 时， ，故C正确，
当 时，
，
又 ，所以 ，D正确．
故选：ACD.15．（2022·辽宁营口 ）已知幂函数 的图像经过点 ，则下列命题正确的有（ ）
A．函数 为非奇非偶函数 B．函数 的定义域为
C． 的单调递增区间为 D．若 ，则
【答案】AC
【解析】设幂函数 ， 为实数，
其图像经过点 ，所以 ，则 ，
所以 ，定义域为 ， 为非奇非偶函数，故A正确，B错误.
且 在 上为增函数，故C正确.
因为函数 是凸函数，所以对定义域内任意 ，
都有 成立，故D错误.
故选:AC.
16．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数 ，则下列结论中错误的是
（ ）
A． 的值域为 B． 的图象与直线 有两个交点
C． 是单调函数 D． 是偶函数
【答案】ACD
【解析】函数 的图象如图所示，由图可知 的值域为 ，结论A错误，结论C，D显然错误，
的图象与直线 有两个交点，结论B正确．故选：ACD
17．（2022·广西北海 ）已知幂函数 在 上单调递减，函数 ，对
任意 ，总存在 使得 ，则 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】因为函数 是幂函数，则 ， ，
在 上单调递减，则 ，可得 ，
， 在 上的值域为 ，
在 上的值域为 ，
根据题意有 ， 的范围为 .
故答案为： .
18．（2022·福建·泉州科技中学）已知幂函数 为奇函数，且在 上单调
递减，则 _______．
【答案】
【解析】因为幂函数 为奇函数，
所以 或1或3，又因为幂函数 在 上单调递减，
所以 ，
故答案为： .
19．（2021·全国·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ______．
① 为奇函数；
② 在 上单调递减；
③当 时， ．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】取 ，则 ，易知函数 为奇函数，满足①；
由 在 上单调递减，可知 在 上单调递减，满足②；
对于③，
，
当 时， ，即 ，满足③．
故答案为： （答案不唯一）.
20．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数 过点 ，则满足不等式 的实数
的取值范围是______
【答案】
【解析】由题意，不妨设 ，因为幂函数 过点 ，则 ，解得 ，
故 为定义在 上的奇函数，且 为增函数，
因为 ，则 ，
故 ，解得 ，
从而实数 的取值范围是 .
故答案为： .
题组三 二次函数根的分布
1．（2022·全国·高一专题练习）已知方程 的两根分别在区间 ， 之内，
则实数 的取值范围为______．
【答案】 .
【解析】方程
方程两根为 ，
若要满足题意，则 ，解得 ，
故答案为： .
2．（2023·全国·高三专题练习）若方程 有两个不相等的实根，则 可取的最大整数值
是______.
【答案】1
【解析】方程化为 ，
由 ， 解得 ，
所以 最大整数值是 .故答案为：1.
3．（2022·上海·高一专题练习）方程 的两根均大于1，则实数 的取值范围是_______
【答案】
【解析】： 的两个根都大于
，解得
可求得实数 的取值范围为
故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习）要使函数 在 时恒大于0，则实数a的取值范围是
______.
【答案】
【解析】因为函数 在 时恒大于0，
所以 在 时恒成立.
令 ，则 .
因为 ，所以 .
令 .
因为 在 上为减函数，所以 ，即因为 恒成立,所以 .
故答案为：
