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第 08 讲 函数的概念及其表示方法
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 一个数x，按照某种确定的对应关系f，
在集合B中都有 定 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝
f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素： 、 、 ．
(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数相等．
3．函数的表示法
解析法 图象法 列表法
就是把变量x，y之间的关系
就是把x，y之间的关系绘制 就是将变量x，y的取值列成
用一个关系式 y＝f(x)来表
成图象，图象上每个点的坐 表格，由表格直接反映出两
示，通过关系式可以由 x的
标就是相应的变量x，y的值. 者的关系.
值求出y的值.
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函
数．
5.常见函数的定义域：
(1)分式函数中分母 .
(2)偶次根式函数被开方式 .
(3)一次函数、二次函数的定义域为 .
(4)y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为 .
(5)y＝tan x的定义域为
(6)函数f(x)＝xα的定义域为 .
【2018年新课标1卷文科】已知函数 ，若 ，则 ________．
1、下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )2、下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝eln x，g(x)＝x
B．f(x)＝，g(x)＝x－2
C．f(x)＝，g(x)＝sin x
D．f(x)＝|x|，g(x)＝
3x2
f x lg3x1
3、函数 1x 的定义域是（ ）
1 1 1 1 1
, ,1 , ,
A． 3 B． 3 C． 3 3 D． 3
4、 (多选)(2022·雅礼中学高三月考)下列说法中，正确的有( )
A. 式子y＝＋可表示自变量为x，因变量为y的函数
B. 函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个
C. 若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝1
D. f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数
考向一 函数的概念
例1、（1）下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是( )（2）(多选)下列各组函数是同一函数的为( )
A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B.f(x)＝x－1，g(x)＝
C.f(x)＝，g(x)＝
D.f(x)＝，g(x)＝x
变式1、下列各对函数中是同一函数的是( ) ．
A．f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0 B．f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|；
C．f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)； D．f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2.
变式2、已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．
(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
方法总结：(1)定义是解题的重要依据，它有双重功能：一是判定；二是性质．要判定一个对应是不是从定
义域A到值域B的一个函数，就要看其是否满足函数的定义，反之亦然；
(2)函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数，
而定义域、值域和对应法则中有一个不同就不是同一函数．
考向二 函数的定义域
例1、 求下列函数的定义域：
(1) f(x)＝；
(2) f(x)＝.
变式1、（1）函数f(x)＝ln(4x－x2)＋的定义域为( )
A.(0，4) B.[0，2)∪(2，4]
C.(0，2)∪(2，4) D.(－∞，0)∪(4，＋∞)
（2）.函数f(x)＝ ·lg的定义域是( )A.[1，2] B.[2，＋∞)
C.[1，2) D.(1，2]
变式3、.已知函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A.[0，1] B.(0，1)
C.[0，1) D.(0，1]
方法总结：1.求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或
不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.
考向三 函数的解析式
例2、 (1) 已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式；
(2) 已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋1)＝2f(x).若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，求当－1≤x≤0
时，函数f(x)的解析式；
(3) 已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足3f(x)＋5f＝＋1，求函数f(x)的解析式．
变式1、(1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；
(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
变式2、求下列函数的解析式：
(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.
方法总结：函数解析式的常见求法
函数解析式的求法主要有以下几种：(1)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(2)配凑法：由已知条件f(g(x))＝f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析
式；
(3)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数f(x)可设为f(x)＝
ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a，b，c即可．
(4)解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f(或f(－x))等，
可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
考向四 分段函数
例3、（1）已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.
（2）、已知 则f(7） =______.
（3）已知函数f(x)＝若f(a－1)＝，则实数a＝________．
（4）、已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥－1的解集是________．
变式1、设函数 ，则满足 的 的取值范围是___．
方法总结：(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，再通过分类讨论求解；
(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分
别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．
1、设函数 , ( )
A．3 B．6 C．9 D．12
C
P
2、设函数 则使得 成立的l 的取值范围是________.
3、(2022·泰州中学期初考试)下列关于x，y的关系中为函数的是（ ）
A. B.
C. D.4、(2022·湖南省雅礼中学开学考试)已知函数，则 ．
5、(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)已知定义在 上的偶函数 和奇函数 满足
，则 （ ）
A. B. C. D.
6、(2022·沭阳如东中学期初考试)(多选题)设函数y＝f(x)定义域为D，若存在x，y∈D，且x≠y，使得，则
称函数y＝f(x)是D上的“S函数”，下列函数是“S函数”的是
A． B．y＝x－sinx＋1 C．y＝lnx D．y＝
7、已知f ＝x4＋，则f(x)＝__________.
