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2.1 函数的概念及其表示考点一 函数概念的辨析
【例1-1】（2024上海奉贤）以下图形中，不是函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，A选项中存在一个自变量对应两
个函数值，所以A不是函数图象.故选：A
【例1-2】（2024山东青岛）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函
数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合 ，
，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从 到 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据函数的定义，在集合 中任意一个数在 中有且只有一个与之对应，
选项A中集合 中2对应的数有两个，故错误；
选项B中集合 中3没有对应的数，故错误；
选项C中对应法则为从 到 的函数，箭头应从 指向 ，故错误；
选项D中集合 中任意一个数在集合 中都有唯一数与之对应，故D正确，故选：D
【一隅三反】
1．（2024北京·期中）若函数 的定义域为 ，值域为 ，那么函数 的图
象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A：函数的定义域为 ，但是值域不是 ，故A错误；
对于B：函数的定义域不是 ，值域为 ，故B错误；
对于C：函数的定义域为 ，值域为 ，故C正确；
对于D：不满足函数的定义，不是一个函数的图象，故D错误.
故选：C
2．（2024浙江湖州）（多选）下列对应关系 ： 是集合 到集合 的函数关系的是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【答案】AC
【解析】对于A中，集合 ， ，可得 为多对一对应，
所以 是函数关系，符合题意；
对于B中，集合 ，可得集合 中的元素 ，在集合 中没有元素与之对应，所以 不
是函数关系，不符合题意；
对于C中，集合 ， ，可得 为多对一对应，
所以 是函数关系，符合题意；
对于D中，集合 ， ，可得集合 中的一个元素，在集合 中有两个元素与之对应，所以
不是函数关系，不符合题意.
故选：AC.
3．（2024海南）（多选）以下 与 的关系中，其中 是关于 的函数的有（ ）A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】根据函数定义，A选项，对于任意的 ，只有唯一确定的 与其对应，满足函数定义，A正确；
B选项，对于任意的 ，均由唯一确定的 与其对应，满足函数定义，B正确；
C选项，对于 ，有 和 与其对应，不是函数，C错误；
D选项，对于任意的 ，均由唯一确定的 与其对应，满足函数定义，D正确.故选：ABD
考点二 无参函数的定义域
【例2-1】（1）（2024山西临汾） 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2024河北承德）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】（1）B（2）B
【解析】（1）要使函数 有意义，必须满足 ，解得 ，
函数 的定义域为 .故选；B.
（2）函数 的意义，则 ，即 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .故选：B【例2-2】（1）（2024浙江）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2024北京）已知 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（3）（2024湖北）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）A（2）C（3）C
【解析】（1）因为函数 的定义域为 ，所以 ，解得 或 ，
故函数 的定义域为 ，故选：A.
（2）因为 的定义域为 ，即 ，则 ，所以 ，所以 的定义
域为 .故选：C.
（3）函数 的定义域为 ，所以 ， ，
所以 的定义域为 ，对于函数 ，由 ，得 ，所以函数 的定义域
为 .故选：C
【一隅三反】
1．（2024湖北荆门）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由 .所以函数的定义域为 故选：B
2．（2024浙江丽水）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【解析】由题可知 ，解得 且 .故选：D
3．（2024河南）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】要使 有意义，需满足 ，解得 且 ．所以定义域为 .
故选：B．
4．（2024山东）设函数 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得， ，解得 函数 满足 ，解得 ，即函数 的定义域为
.
故选:A
5．（2024湖北荆州）若函数. 的定义域是[4,25]，则函数 的定义域是（ ）A．[1,6] B．[2,5] C．[2,6] D．[4,7]
【答案】D
【解析】 函数 的定义域是 的定义域是 ，
故对于函数 ，有 ，解得 ，从而函数 的定义域是 .故选：D
6．（2024湖北咸宁·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，函数 的定义域为 ，所以 ，即函数 的定义域为 ，
所以在函数 中有 ，解得 ，所以 的定义域为 ，故选：A.
7．（2023北京）若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】分母有意义的条件是 得 分子有意义的条件是 ，则 ．
所以函数 的定义域是 ．故选：C．
考点三 已知函数定义域求参数
【例3-1】（2024天津西青）若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可知： 在 上恒成立，若 ，则 ，符合题意；
若 ，则 ，解得 ；
综上所述：实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【例3-2】（2024黑龙江哈尔滨）函数 在 上有意义，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意函数 在 上有意义，
即 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，解得 ，故实数a的取值范围为 ，答案为：
【例3-3】（2024湖南株洲）函数 的定义域为全体实数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 的定义域为全体实数，
则 时， 恒成立，
当 时，不等式为 ，恒成立，符合题意；
当 时，则 ，解得 ，综上知， ，故选：C.
【一隅三反】
1．（2024山西）若函数 的定义域为 ，则 的范围为 .
【答案】【解析】由于函数 的定义域是 ，
故条件即为 ，这等价于 对任意实数 成立.
若 对任意实数 成立，取 知 ，即 ；
若 ，则对任意实数 都有 ，
故 对任意实数 成立.综上， 的取值范围是 .故答案为： .
2（2024高三·全国·专题练习）若函数 的定义域为R，则实数a的取值范围为 ；
【答案】
【解析】 的定义域为R，则 恒不为零，即 没有实数根，
所以 ，解得 ，所以实数a的取值范围为 .故答案为： .
3．（2023·北京延庆·一模）已知函数 的定义域为 ，且 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由 ，可知 ，解得 ，故答案为： .
4．（2024陕西西安）已知函数 的定义域为 ，则实数 的值是 ．
【答案】2
【解析】由题意，要使函数 有意义，则 ，即 ，
所以 ，此时由 ，可得 ，符合题意.故答案为：2.
5．（2024云南）已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 ．【答案】
【解析】函数f（x）＝lg（ ax）的定义域为R，∴ ax＞0恒成立，∴ ax恒成立，
设y ，x R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x；
∈
令y＝﹣ax，x R；它表示过原点的直线；
∈
由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y 的下方，画出图形如图所示；
∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a<0，解得﹣1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．
考点四 函数的解析式
【例4】（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式
（1）已知 ，则 ．
（2）已知 是三次函数，且在 处的极值为0，在 处的极值为1，则 ．
（3）已知 的定义域为 ，满足 ，则函数 ．
（4）已知函数 是偶函数，且 时 ，则 时， ．
（5）已知函数 的定义域为R，且 ， ，请写出满足条件的一个
（答案不唯一）．
【答案】（1） （2） （3） （4） （5）1, （答案不唯
一）
【解析】（1）设 ，则 ，代入原式有 .
故 .
（2）设 ，则 ，由题意得 ，即 ，解得 ，所以 .
（3）用 代替 中的x，得 ，
由 ，消去 ，解得 ．
（4）由函数 是偶函数，可得 图象关于直线 对称，所以 .
设 ，则 ，所以 = ，
因为 ，所以 .
故答案为： ； ； ； .
（5）令 ，则 ，又 ，
所以 ，即 ，所以函数为偶函数，
不妨取偶函数 ，则 ，
也可取 ，则 ，满足题意.故答案为： , （答案不唯一）
【一隅三反】
1．（2024安徽蚌埠）求下列函数的解析式：
(1)已知 ，求 ；
(2)已知 是一次函数，且 ，求 ；
(3)定义在区间 上的函数 满足 ，求 的解析式．
（4）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则f(x)的解析式【答案】(1) (2) 或 (3) （4）f（x）=
【解析】（1）解法一（换元法）：令 ， ，则 ，
所以 ，所以 ．
解法二（配凑法）： ，因为 ，所以 ．
（2）设 ，则 ，
所以 ，解得 或 ，所以 或 ．
（3）对任意的 有 ，由 ，①得 ，②
联立①②解得， ．
(4因为函数 的定义域为 ， 为偶函数，
所以 ，即 ，
又 为奇函数，所以 ，即 ，
所以 ，解得 .故答案为：
2.（2024山东淄博·）求下列函数的解析式
（1） 是一次函数，且满足 ，求 的解析式;
（2）已知函数 ，求函数 的解析式．
（3）已知 ，求 的解析式．
（4）已知f(x＋ )＝x2＋ ，则函数f(x)的解析式
（5）已知f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)的解析式【答案】（1） ；（2） ；（3） ， （4）x2－2(|x|≥2)
（5）f(x)＝ln x＋1
【解析】（1）由已知 是一次函数，设函数 ， ，
则 ，即 ，
即 ，解得 ，所以 ；
（2）由 ，则 ；
（3）由已知 ①， ，则 ②，
所以① ②得 ， ，所以 ， .
（4） f(x＋ )＝x2＋ ＝(x2＋2＋ )－2＝(x＋ )2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2).
(5)根据题意，f(x)是(0，＋∞)上的增函数，且f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)－ln x为定值．
设f(x)－ln x＝t，t为常数，则f(x)＝ln x＋t且f(t)＝1，即有ln t＋t＝1，解得t＝1，则f(x)＝ln x＋
1，
考点五 同一函数的判断
【例5】（2024广东佛山）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【答案】A
【解析】A：函数 和 的定义域为R，解析式一样，故A符合题意；
B：函数 与 的定义域为R，解析式不一样，故B不符合题意；
C：函数 的定义域为 ， 的定义域为R，解析式一样，故C不符合题意；
D：函数 的定义域为 ， 的定义域为R，解析式不一样，故D不符合题意.
故选：A【一隅三反】
1．（2024海南省）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A． ， B． ，
C． D． ，
【答案】A
【解析】对于A项，因 ，两函数定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数，故A项正确；
对于B项， 的定义域为 ，而 的定义域为R，故不是同一函数，故B项错误；
对于C项， 的定义域是R，而 的定义域为 ，故不是同一函数，故C项错误；
对于D项， 的定义域是R，而 的定义域是 ，故不是同一函数，故D项错误.
故选：A.
2．（2024北京东城）下列各组函数中，两个函数相等的是 （ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】A
【解析】对于A， 与 定义域都是全体实数，且 ，故A满足题意；
对于B， 的定义域是非负实数， 的定义域是全体实数，故B不满足题意；
对于C， 的定义域是全体实数， 的定义域是非负实数，故C不满足题意；
对于D， 的定义域是全体实数， 的定义域是不为0的全体实数，故D不满足题意.
故选：A.
3．（2023河北承德）下列函数中，表示同一函数的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】对于A项， ，与 的对应法则不同，故不是同一函数，A项错误；
对于B项， 的定义域为 的定义域为 ，
故两函数定义域不同，故 与 不是同一函数，B项错误；
对于C项， 与 的定义域相同，对应法则也相同，C项正确；
对于 项， ， 与 的对应法则不同，故不是同一函数，D项错误.
故选:C.
考点六 无参函数的值域
【例6】（2024湖南衡阳）求下列函数的值域．
(1) ， ；(2) ， ；(3) ， .(4)
（5） (6) (7) （8） （9）y＝，x∈
（10） ，
【答案】(1) (2) (3) (4) （5） (6) (7) （8）1（9）≤y≤.
（10）
【解析】（1） ， ， 在区间 上单调递增，所以值域为 .
（2）因为 ，函数的定义域为 ,
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
，又因为 ， ，所以 .所以 的值域为
.（3） ，令 ，则 ，
在 上单调递减，所以 ，所以 ， 的值域为 .
（4） 的定义域是 ， ，由于 ，所以 ，
所以值域为 .
（5） ，因为 ，
所以原函数的值域为 .
（6）因为 ，则 ，可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以函数的值域为 .
（7）令 ，则 ，可得 ，
当 时，等号成立，所以函数的值域为 .
（8）因为 ；易得：当且仅当 时取最大值1.故答案为1
（9）函数y＝的值域可看作由点A(x，sinx)，B(1，－1)两点决定的斜率，B(1，－1)是定点，A(x，sinx)在
曲线y＝sinx，x∈上，如图，∴k≤y≤k，即≤y≤.
BP BQ
（10） ； 时， ； 时， ；时， 取最大值 ；又 ； 的值域为 ．
【一隅三反】
1．（2024河北石家庄）下列各函数中，值域为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A， ，显然 取尽正实数，因此 的值域是 ，A不是；
对于B， ，则 ，即 ，函数 的值域为 ，B不是；
对于C， 的值域为R，因此 的值域为 ，C是；
对于D，由于 ，则 且 ，即函数 的值域为 ，D不是.
故选：C
2.（2024甘肃）求下列函数的值域．
(1) (2) (3) .（4） （5）
(6) ；(7) .
【答案】(1) (2) (3) （4） ， （5） (6) (7)
【解析】（1）由于 ，且 ；所以可得 ，因此函数的值域是
．
（2）令 ，所以 ，即 ，当 时， ，
即函数的值域为 .
（3）易知需满足 ，即 ，即函数定义域为 ； ，由二次函数性质可得 ，所以 的值域为 ．
（4）由 ， 可得函数的值域为 ， ．
（5） ； ； 的值域为 ．
（6）因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.故函数的值域为 .
（7）由 知 ，整理得 .
当 时，方程无解；当 时， ，即 .故所求函数的值域为 .
考点七 已知函数值域求参数
【例7-1】（2024河北沧州）已知函数 ，若 的值域为 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若函数 的值域为 ，则 要取遍所有的正数．
所以 或 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .故选：A．
【例7-2】（2024四川广安）若函数 的值域为 ，则实数m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 的值域为 ，
所以 能取遍所有大于或等于零的实数，
即方程 在实数范围内有解．
所以 ，解得 ．故选：B．
【例7-3】（2023·湖北武汉·一模）已知函数 若 的值域为 ,则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数 和 的图象如下图所示：
由图可知，当 或 时，两图象相交，若 的值域是 ，以实数 为分界点，可进行如下分类讨论：
当 时，显然两图象之间不连续，即值域不为 ；同理当 ,值域也不是 ；
当 时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是 ；综上可知，实数 的取值范围是 .选：B
【一隅三反】
1．（2024北京）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时，函数 在 上单调递减， 在 上的值域为 ，
因为函数 在R上的值域为 ，则函数 在 上的值域包含 ，
显然 ，否则当 时， ，不符合题意，
于是函数 在 上单调递减，其值域为 ，因此 ，则 ，
所以实数 的取值范围为 .故选：D
2．（2024·四川成都·二模）已知函数 的值域为 .若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，令 ，所以 ；
令函数 的值域为 ，因为 ，
所以 ，所以 必须能取到 上的所有值，
，解得 .
故选：B
3．（2024河北保定）设函数 ，其中实数 ．若 的值域为 ，则a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 ，由对勾函数的性质可知，
由于 在 上单调递减，在 上单调递增，且注意到 ， ， ，
所以所求a的取值范围是 ．故选：D
考点八 分段函数
【例8-1】（2024·陕西西安·三模）已知函数 ，则 （ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】D
【解析】由 ，得 ，所以 .
故选：D【例8-2】（2024·四川广安·二模）已知函数 .则 的值为 .
【答案】
【解析】 ， .故答案为： .
【例8-3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝ 设a＝ ，则f(f(a))＝ ．
【答案】
【解析】－1<a＝log <0，则f(f(a))＝f( )＝log ＝ ．
3
【一隅三反】
1．（2024湖南衡阳）设函数 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解析】函数 ， ，所以
.故选：D
2．（2024·江西）设 ，若 ，则x的值为（ ）
A．1或2 B． 或 C．1 D．2
【答案】C
【解析】当 时，有 ，满足；
当 时，有 ，则 或 都不满足 .所以x的值为1.故选：C
3．（2024江苏常州）设函数 ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】当 时，则 ，即 ，解得 ；
当 时，则 ，解得 ；
综上所述：实数a的取值范围是 .
故选：A.
5．（2024重庆沙坪坝）若函数 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为 所以 ，
则 ，所以 .故选：B.
一．单选题
1．（2024云南）已知函数 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】由已知得：当 时， ，解得： ，或 （舍），当 时， ，解得： ，综上： 的值为 或 ,故选：C.
2．（2024·黑龙江哈尔滨）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵函数 的定义域为 ∴ ， ∴函数 中，
∴ 所以函数 的定义域为[ ]．故选：D
3．（2024河南开封）下列表示同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】D
【解析】对于A， 的定义域为 ， 的定义域为 ，
所以两者定义域不同，不是同一个函数，故A错误；
对于B， 的定义域为 ， 的定义域为 ，
所以两者定义域不同，不是同一个函数，故B错误；
对于C， 与 的定义域和对应法则都不同，不是同一个函数，故C错误；
对于D， ， ，
这两个函数的定义域都是 ，且对应法则也相同，故是同一个函数，故D正确.
故选：D.
4．（2024福建福州·阶段练习）已知函数 的定义域是 ，值域为 ，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】结合题意：函数
所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为 ，
所以 ，易知： ，
由图可知,要使函数 的定义域是 ，值域为 ，
则 的取值范围是 ，
故选：B.
5．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数 的图象过点 与 ，则函数 在区间
上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 的图象过点 与 ，
所以 ， ，则 ，
解得 ， ，故函数 的解析式为： .
而 ，
当且仅当 时取等号，函数 在区间 上的最大值为 .故选：B.
6．（2024湖北荆门·期末）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当 时， 在 上单调递增，且 ，所以函数在 的值域是 .
因为函数 的值域是 .所以当 时的函数值域应该包含 .即 .
故选：B
7．（2024重庆永川·期中）下列函数中，值域为[1， +∞)的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A选项，令 ，则 ，
则函数 在 上单调递增，则 ，故A错误；
B选项， ，则 ，故B错误；
C选项，因 ，则 ，又注意到 ，当且仅当 时取等号，
则 ，故C错误.D选项，注意到函数 均在 上单调递增，则 ，故D正确.故选：D
8．（2024山东济南）已知函数 的定义域与值域均为 ，则实数 的取值为（ ）
A．-4 B．-2 C．1 D．1
【答案】A
【解析】依题意， 的值域为 ，且 的解集为 ，故函数的开口向下， ，
则方程 的两根为 或 ，则 ， ，即 ，
则 ，当 时， 取得最大值为 ，即 ，解得：
.故选：A.
二．多选题
9．（2024重庆黔江）已知集合 ， ，下列从集合 到集合 的各个对应关系
是函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】选项A， ，集合 中的每一个元素在集合 中都有唯一一个元素与之对应，故A正确；
选项B， ，集合 中的每一个元素在集合 中都有唯一一个元素与之对应，故B正确；
选项C， ，集合 中的每一个元素在集合 中都有唯一一个元素与之对应，故C正确；
选项D， ，集合 中的1，在集合 中没有元素与之对应，故D错误；
故选：ABC
10．（2024福建龙岩）已知函数 则（ ）
A． B． 的最小值为C． 的定义域为 D． 的值域为
【答案】CD
【解析】依题意， ，则 ，A错误；
当 时， ，当且仅当 时取等号，B错误；
在 中， ，解得 ，因此 的定义域为 ，C正确；
显然 ， ，于是 ，因此 的值域为 ，D正确.
故选：CD
11．（2024重庆渝中）已知函数 ，定义域为 ，值域为 ，则下列说法中一定正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】令 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，得 ；
由 ，得 （舍）或2，即 ；
根据 的图象特征，知 ， ， .
故选：BCD．
三．填空题
12．（2024·北京怀柔·模拟预测）函数 的定义域是 .
【答案】
【解析】函数 有意义，则 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域是 .
故答案为：13．（2024青海西宁）若函数 的值域为 ，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】若 ，则 ，不满足题意；
若 ，则 ，
当 ，即 时， 的值域为 ，满足题意.
故答案为： .
14．（2023·上海青浦·一模）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当 时， ，此时 ，
当 且 时， ，此时 ，且 ，所以不满足；
当 且 时， ，
由对勾函数单调性可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，此时 ，
若要满足 的值域为 ，只需要 ，解得 ；
当 且 时，因为 均在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，且 时， ， 时， ，
所以此时 ，此时显然能满足 的值域为 ；综上可知， 的取值范围是 ，
故答案为： .
四．解答题
15．（2024广东佛山·期中）根据下列条件，求 的解析式．
(1)已知 满足 ；
(2)已知 是二次函数，且满足 ， ；
(3)已知 满足 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1） ，所以 .
（2）设 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，整理得 ，
所以 ，解得 ，所以 .
（3）在 ①中，令 替换 得 ②，
由②得 ③，将③代入①得 ，
所以 .
16．（2024广西）已知函数 .
(1)求 的解析式；(2)求不等式 的解集；
(3)若存在 ，使得 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3) .
【解析】（1）设 ，则 .
因为 ，所以 ，
则 .
（2）不等式 ，即 ，即 ，
则 ，
解得 ，即不等式 的解集为 .
（3）因为 ，所以 ，
则不等式 等价于不等式 ，
即 ，即 .
设 ，则函数 .
故二次函数 图象的对称轴方程为 .
当 ，即 时， 在 上单调递增，
则 ，解得 ，
故 符合题意；
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，解得 或 ，
故 或 符合题意；
当 ，即 时， 在 上单调递减，
则 ，解得 ，
故 符合题意.
综上， 的取值范围是
17．（2024江苏无锡·阶段练习）已知函数 是二次函数，且满足 ， ．
(1)求函数 的解析式；
(2)若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的最大值．
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】（1）由函数 是二次函数，且 ，设 ，
由 ，得 ，
整理得 ，则 ，解得 ，
所以函数 的解析式是 .
（2）由（1）及已知得 ， 恒成立，
令 ，则 ，于是 ，
， 恒成立，即 恒成立，
当 时，则 且 ，
因此 ， ，当 时， ，满足上式，则 ， ， ，
从而 ，当且仅当 时取等号，此时 ， ， 恒成立，
所以 的最大值为 .
18．（2024北京·期中）已知函数 ，满足 .
(1)求 值；
(2)在 上，函数 的图象总在一次函数 的图象的上方，试确定实数m的取值范围；
(3)设当 时，函数 的最小值为 ，求 的解析式.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】1）因为二次函数 满足 ，
则 ，解得 .
（2）由（1）可知： ，
若在 上，函数 的图象总在一次函数 的图象的上方，
则 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
因为 开口向上，对称轴为 ，
可知 在 上单调递减，则 ，可得 ，
所以实数m的取值范围为 .
（3）因为 是对称轴为 ，开口向上的二次函数，当 时， 在 上单调递增，则 ；
当 ，即 时， 在 上单调递减，则 ；
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
可知 ；
综上所述： .
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，函数 （
）是奇函数．又已知 在 上是一次函数，在 上是二次函数，且在 时函数取得最
小值 ．
(1)证明： ；
(2)求 的解析式；
(3)求 在[4，9]上的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）证明：∵f (x)是以 为周期的周期函数，∴ ，
又∵ 是奇函数，∴ ，∴
（2）当 时，由题意可设 ，
由 ，得 ，∴ ，∴ .
（3）根据（2）中所求，可知 ；又 在 上是奇函数，故 ，
故当 时，设 ，则 ，解得 .
故当 时， .
又 在 上是奇函数，故当 时， .
综上，则 时， .
因为 时， .
所以当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
综上所述， .
