专题1.4 基本不等式
一、核心知识：
1.基本不等式
（1）公式及其变形式：
（2）成立的条件：
（3）等号成立的条件：当且仅当
时取等号．
（4）算术平均数与几何平均数：设a>0，b>0，则a，b 的算术平均数为
，几何平均数为
，
基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
（5）利用基本不等式求最值：已知x>0，y>0，则
如果积xy 是定值p，那么当且仅当x＝y 时，x＋y 有最小值2.(简记：积定和最小)
如果和x＋y 是定值p，那么当且仅当x＝y 时，xy 有最大值.(简记：和定积最大)
2.常用不等式公式：
（1）
，当且仅当
时取等；
（2）
，当且仅当
时取等.
二、考点聚焦：
考点一：配凑法求最值（配凑法）
经典例题：
1．（22-23 高三上·上海嘉定·期中）若
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由
可得：
，当且仅当
时，即
时取等，
故答案为：
.
2．（2023·山西忻州·模拟预测）已知
，则
的最小值是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】D
【详解】因为
，所以
，所以
，当且仅当
2
2
2
4
a
b
a
b
ab
a
b
ab
ab
0,
0
a
b
a
b
2
a
b
ab
2
2
2
,
a
b
ab a b
R
a
b
2
2
2
2
2
2
,
2
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
a b
R
a
b
0
x
2
2
4
x
x
x
6,
0
x
2
2
4
4
4
2
2
2
6
x
x
x
x
x
x
x
4
x
x
2
x
6,
2
a
8
2
2
a
a
2
a
2
0
a
8
8
2
2
2
4
2 16
4
12
2
2
a
a
a
a
≥
，即
时，等号成立．所以
的最小值为
.故选：D
3．（2025·辽宁·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，得
，又
，
当且仅当
，即
时等号成立.故选：A.
4．（2024·江西赣州·二模）已知
，则
的最小值为 .
【答案】
【详解】由题
，所以
，
当且仅当
，即
，即
时等号成立.故答案为：
.
5．（2021·天津高考）若
，则
的最小值为____________．
【答案】
【详解】
，
，当且仅当
且
，即
时等号成立，所以
的最小值为
.故答案为：
.
8
2
2
2
a
a
4
a
8
2
2
a
a
12
0,
x
1
1
2
2
1
y
x
x
2
2 2
3
0,
x
2
1
1
x
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
x
x
y
x
x
x
x
2
1
1
2
2
1
x
x
2
1
2
x
0 ,
0
a
b
2
1
a
b
a
b
2 2
0 ,
0
a
b
2
2
1
1
2
2
2
2
2 2
a
a
b
b
a
b
a
b
b
b
b
b
2
1
a
a
b
2
b
b
2
a
b
2
1
a
b
a
b
2 2
2 2
6．（2023 春·湖南·高三联考）当
时，
的最小值为_________.
【答案】0
【详解】
，当且仅当
，
时，
，所以
的
最小值为0.故答案为：0.
7．（22-23 高三下·上海浦东·阶段）若关于x 的不等式
的解集为
，则
的最
小值为 ．
【答案】8
【详解】因为
的解集为
，则
，因为
，所以
，
∴
．
当且仅当
，即
时，取到等号．故答案为：8
8．（2025·河南·二模）已知
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意可得
，由
知，
，
，所以
，当且仅当
,
0,
x y
2
2
5
4
4
4
x
y
y
xy
2
2
2
2
2
2
2
5
4
1
4
1
4
4
4
2
4
2
4
4
2
x
y
y
x
xy
y
y
y
xy
x
y
y
xy
xy
xy
xy
2
2
1
2
0
2
x
y
y
1
x
2
y
2
2
5
4
4
0
4
x
y
y
xy
2
2
5
4
4
4
x
y
y
xy
2
0(
1)
x
bx
c
b
R
1
2
4
1
b
c
b
2
0(
1)
x
bx
c
b
R
2
2
Δ
4
0
4
b
b
c
c
1
b
1
0
b
2
2
1
2
4
2
1
(
1)
4(
1)
4
1
1
1
b
c
b
b
b
b
b
b
b
4
4
(
1)
4
2 (
1)
4
8
1
1
b
b
b
b
4
1
1
b
b
3
b
π
0, 2
2
4
sin
sin 2
2
2 5
3
5
3
2
2
2
2
4
sin
4
sin
5sin
4cos
1 5sin
4cos
sin 2
2sin
cos
2sin
cos
2
cos
sin
π
0, 2
5sin
0
cos
4cos
0
sin
2
4
sin
1 5sin
4cos
1
5sin
4cos
2
2 5
sin 2
2
cos
sin
2
cos
sin
，即
时等号成立，则
的最大值为
.故选：B．
9（2024·陕西西安·一模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作
《胁子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数
之剩三，七七数之剩二，问物几何?现有这样一个相关的问题：被除余
且被除余的正整数按照从小
到大的顺序排成一列，构成数列
，记数列
的前
项和为
，则
的最小值为（ ）
A．60
B．61
C．75
D．76
【答案】B
【详解】被除余
且被除余的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为，公差为
的
等差数列
，所以
，∴
，当且仅当
，即
时取等号，∴当
时
取最小值为
．故选B.
10．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g 的砝码放在天平
左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些中
药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于200g
B．大于200g
C．小于200g
D．以上都有可能
【答案】B
【详解】设天平左臂长为
，右臂长为
，
且
，左盘放的药品为
克，右盘放的药品为
克，
则
，解得
，
，当且仅当
时，取到等号，而
，所以
.故选：B
强化训练：
1．（2024·内蒙古赤峰·三模）下列函数最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5sin
4cos
cos
sin
2 5
tan
5
2
4
sin
sin 2
2 5
3
2
5
3
na
na
n
n
S
2
60
n
S
n
3
2
5
3
8
15
na
2
(
1)
15
1
8
15
2
2
2
n
n n
S
n
n
n
2
2
60
2
60
60
15
1
15
1
2
2
n
n
n
n
S
n
n
n
60
15n
n
2
n
2
n
61
m
n
,
0
m n
m
n
1
x
2x
2
1
100
100
m
nx
mx
n
1
2
100
100
,
n
m
x
x
m
n
1
2
100
100
100
100
2
200
n
m
n
m
x
x
x
m
n
m
n
m
n
m
n
200
x
4
y
x
x
2
2
4
y
x
x
4
y
x
2
4
y
x
【答案】B
【详解】选项A，
时，
，最小值不是4，A 错；选项B，由基本不等式知
，
当且仅当
时等号成立，B 正确；选项CD 中，当
时，函数最小值为0，CD 均错．故选：B．
2．（2025·四川德阳·二模）若
，则函数
的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
【详解】若
，则
，所以函数
，当且仅当
即
时等号成立.故选：C.
3．（2025·新疆·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．
D．6
【答案】A
【详解】由
，得
，
，当且仅当
，即
时取等号，所以
的最小值为3.故选：A
4．（2023·陕西榆林·三模）若
，则
的最小值为 ．
【答案】7
【详解】因为
，所以
，所以
，当且仅当
时
等号成立，故
的最小值为7．故答案为：7
5．（2021·全国·模拟预测）（多选）下列不等式一定成立的有（ ）
0
x
4
0
y
x
x
2
2
4
4
y
x
x
2
x
4
x
(0,
)
x
4
2
2
1
y
x
x
3 2
(0,
)
x
2
1
1
x
4
4
4
2
2
1
1
2 (2
1)
1
3
2
1
2
1
2
1
y
x
x
x
x
x
x
4
2
1
2
1
x
x
1
2
x
4
2
2
1
y
x
x
1
a
9
1
a
a
1
a
1
0
a
9
9
1
1
2 9
1
7
1
1
a
a
a
a
16
a
9
1
a
a
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【详解】对于A，当
时，
，故A 错误；对于B，
，故B 错
误；对于C，
，当且仅当
时取等号，故C 正
确；对于D，
，当且仅当
时取等号，故D 正确.故选:CD.
6．（23-24 高三上·广东湛江·期末）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
的最小值为2
C．若
，则
的最大值为2 D．若
，则
【答案】AD
【详解】因为
，所以
，因为
，所以
，所以
，故A 正确；因为
的等号成立条件
不成立，所以B 错误；因为
，所以
，故C 错误；因为
，当且仅当
，即
时，等
号成立，所以D 正确.故选：AD
7．（2023·河北邢台·模拟预测）已知
，且
，则
的最小值为 .
【答案】
【详解】因为
，解得：
，则
，当且仅当
，
0
a
b
2
2
a
ab
b
xR
2
2
1
2
2
x
x
2
a
b
2
2
a
b
(0,2)
x
1
1
2
2
x
x
2
(
)
0
a
ab
a a
b
2
a
ab
2
(
)
0
b a
b
ab
b
2
ab
b
2
2
a
ab
b
2
2
1
2
2
2
x
x
2
2
1
2
2
x
x
2
2
2
1
2
2
a
b
a
b
2
2
2
a
b
1
1
1
1
1
1
2
1
(
2
)
2
(2
2)
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
1
2
x
x
1
x
时，“=”成立，故答案为：
.
8．（2025·广东珠海·模拟预测）已知
是公差不为0 的等差数列，且
，
，
成等比数列，若
是数
列
的前
项和，则
的最小值为 ．
【答案】
【详解】令
公差为
，
成等比数列，
，
，
，
．
，当且仅当
，即
时取等号．故答案为：
9．（2024·福建南平·二模）关于的实系数二次不等式
的解集为
，若
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【详解】因为关于的实系数二次不等式
的解集为
，所以
是一元二次方程
的根，所以
，解得
，所以
，所以
，所以
当且仅当
时取等号.所以
的最小值为
.故选：C.
10．（22-23 高三上·宁夏银川·阶段）《忠经·广至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”，在实际生活
中，新时代的青年不仅要有自己“不私”的觉悟，也要有识破“诈公”的智慧.某金店用一杆不准确的天平
（两边臂不等长）称黄金，顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平
衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄
金（ ）
A．大于
10g
B．小于
10g
C．等于
10g
D．以上都有可能
【答案】A
【详解】由于天平两臂不相等，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设
)
a
b
，第一次称出的黄金重
为g
x ，第二次称出的黄金重为g
y ，由杠杆平衡定理可得，5a
xb
，
5
ya
b
，则
5a
x
b
，
5b
y
a
，
5
5
10
10
a
b
a b
x
y
b
a
b a
，故顾客实际所得黄金大于10g ．故选：A ．
考点二：常用代换法求最值
经典例题：
1．（2022·上海嘉定·模拟预测）若
、
，且
，则
的最小值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
、
，所以
，即
，所以
，即
，当仅
当
，即
时，等号成立.故选：A.
2．（2022·四川广安·模拟预测）已知
，当
取最大值时，则
的值为（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】由已知
可得
，则
，即
，所以
，
当且仅当
时取等号，即
，
，此时
.故选：B．
3．（2024·河南郑州·一模）（多选）设
，
，且
，则下列结论正确的是（ ）
0
a
0
b
4
1
1
a
b
ab
16
4
1
16
1
4
0
a
0
b
4
1
4
1
1
2
4
a
b
a
b
ab
1
1
4
ab
4
ab
16
ab
4
1
a
b
8
2
a
b
，
3
9
18
x
y
2
x
y
xy
2
3
9
18
x
y
2
3
3
18
x
y
2
2
2
18
3
3
3
3
2
2 3
x
y
x
y
x
y
+2
3
81
x
y
+2
4
x
y
=2
2
x
y
=2
x
=1
y
2
xy
0
a
0
b
2
4
a
b
A．
的最小值为
B．
的最小值为2
C．
的最小值为
D．
恒成立.
【答案】BC
【详解】由
得：
，A：
，当
且仅当
时等号成立，A 错误；B：
，当且仅当
时等号成立，B 正确；C：
，当且仅当
时
等号成立，C 正确；D：
，又
，
则
，
当且仅当
时等号成立，而
，显然不能恒成立，错误.故选：BC.
4．（24-25 高三上·湖南·阶段）（多选）已知
，
，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的最小值是
C．
的最小值是8
D．
的最小值是
【答案】ACD
【详解】
，由
，解得
，A 正确；
1
1
a
b
2
2
1
a
b
1
2
a
b
9
4
8
1
1
7
b
a
a
b
2
4
a
b
1
4
2
a
b
1
1
1
1
3
3
3
2
(
)(
)
2
4
2
4
2
4
4
2
4
4
2
b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
2
2
2
a
b
2
1
2
1
4
(
)(
)
1
2
2
1
2
4
4
a
b
b
a
b
a
a
a
b
a
a
b
b
b
2
a
b
1
2
4
2
1
2
5
5
9
(
)(
)
2
4
2
2
4
2
2
4
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
a
a
b
b
a
b
1 1
1 1
1
1
1
1
(
)
1
1
1
1
1
1
1
1
b
a
b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
1
2(
1)
1
7
7
a
b
1
1
1
1
1
2(
1)
5(
1)
1
3
(
)[
]
1
1
1
1
7
7
7(
1)
7(
1)
7
b
a
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
5(
1)
1
3
2 30
3
2
7(
1) 7(
1)
7
7
b
a
a
b
1
5(
1)
a
b
2 30
3
8
7
7
1
b
2
0
a
b
ab
2
a
1
4
2
a
b
b
a
b
3
2
ab
1
1
2
1
a
b
2
2
0
a
b
ab
2
1
1
2
b
a
2
a
2
1
1
4
2
4
2
2
a
b
a
b
b
b
a
b
b
a
b
，当且仅当
时，等号成立，而此时不存在
，B 错误；
由
，得
，所以
，当且仅当
，即
时，等
号成立，C 正确.由
，得
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，D 正确.故选：ACD.
5．（24-25 高三上·山西·期末）已知正实数x，y 满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．
D．6
【答案】A
【详解】由题意知
，当且仅当
，且
，即
，
时等号成立，即
的最小值为
.故选:A.
6．（2020·全国Ⅰ卷）（多选）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】对于A，
，当且仅当
时，等号成立，
故A 正确；对于B，
，所以
，故B 正确；对于C，
，当且仅当
时，等号成立，故C 不正确；对于
2
1
3
2
4
2
2
2
a
b
b
b
a
b
2
4
2
a
b
b
b
a
b
,a b
2
0
a
b
ab
2
2 2
2 2
ab
a
b
ab
ab
8
ab
2
a
b
4,
2
a
b
2
0
a
b
ab
2
1
2
a
b
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
a
b
a
b
a
b
1
1
2
1
a
b
2
2,
1
2
a
b
2
3
x
y
2
3
x
y
xy
2 2
1
4 2
1
2
2
2
2
2
3
2
2
1
2 2
1
x
x
y y
x
y
x
xy
y
x
y
xy
xy
xy
y
x
2
3
x
y
x
y 2y
x
3 2
2
2
x
3
2
2
y
2
3
x
y
xy
2 2
1
,
0
0
a
b
1
a
b
2
2
1
2
a
b
1
2
2
a b
2
2
log
log
2
a
b
2
a
b
2
2
2
2
2
1
2
2
1
a
b
a
a
a
a
2
1
2
1
1
2
2
2
a
1
2
a
b
2
1
1
a
b
a
1
1
2
2
2
a b
2
2
2
2
2
2
1
log
log
log
log
log
2
2
4
a
b
a
b
ab
1
2
a
b
D，因为
，所以
，当且仅当
时，等号成立，故D
正确；故选：ABD
7．（2023·广西河池·模拟预测）已知
，
，且
是
与
的等差中项，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
是
与
的等差中项，所以
，所以
，因为
，
，则
，当且仅当
时取等号.故选：A
8．（21-22 高三上·江苏南通·期中）已知关于x 的不等式
的解集为
，其中
，则
的最小值为（ ）
A．－2
B．1
C．2
D．8
【答案】C
【详解】由题意方程
的两个根为m，
，则
，解得：
，故
，
，所以
，当且仅当
，即
时取等号，则
，所以
，当且仅当
，即
时取等号，故
的最小值为2.故选：C.
9．（2022·陕西汉中·一模）已知直线
过函数
（
，且
）的定点T，则
的最小值为（ ）
2
1
2
1
2
a
b
ab
a
b
2
a
b
1
2
a
b
0
m
0
n
1
2
3
log m
3
log n
2
3
m
n
6 2
2 2
6
4 6
1
2
3
log m
3
log n
3
3
log
log
1
m
n
3
mn
0
m
0
n
2
3
2 6
6 2
m
n
mn
3 2 ,
2
2
m
n
2
2
4
0
ax
bx
4
,
m m
0
m
4
4
b
a
b
2
2
4
0
ax
bx
4
m
4
4
m m
a
1
a
4
2
m
b
m
0
m
4
4
2
2
4
b
m
m
m
m
4
m
m
2
m
2
b
4
4
4
2
2
4
4
4
b
b
b
a
b
b
b
4
4
b
b
4
b
4
4
b
a
b
2
4
0(
0,
0)
mx
ny
m
n
log (
1)
2
a
y
x
0
a
1
a
1
4
m
n
A．4
B．6
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
过定点
，所以
，将
代入直线
，得
，即
，因为
，
，所以
，当且仅当
，即
，
时“=”成立.故选：C.
10．（2024·四川遂宁·模拟预测）在
中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．8
D．9
【答案】D
【详解】因为点F 为线段BC 上任一点（不含端点），所以设
，故
，
即
，又
，故
，故
，当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最小值为9.故选：D
强化训练：
1.（2024·上海崇明·二模）已知正实数a、b 满足
，则
的最小值等于 ．
【答案】4
【详解】
，当
，即
，
时等号成立，则
的最小值为4．
故答案为：4．
2．（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知
，则
的最小值为 .
3
2 2
3
2 6
log
1
2
a
y
x
2,2
2,2
T
2,2
T
2
4
0
mx
ny
4
2
4
m
n
1
2
n
m
0
m
0
n
1
4
1
4
4
4
1
2
2
3
2
2
2
n
m
n
m
n
m
m
n
m
n
n
m
n
m
2 2
3
4
2
m
n
n
m
2
1
m
4
2 2
n
ABC
V
2
AF
xAB
yAC
0,
0
x
y
1
2
x
y
BF
BC
AF
AB
AC
AB
1
AF
AC
AB
2
0,
0
AF
xAB
yAC x
y
2
1
1
x
y
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
4
5
2
9
y
x
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
2
2
y
x
x
y
1
3
x
y
1
2
x
y
lg
lg
2
x
y
x
y
【答案】20
【详解】依题意
，
，由
可得
，所以
，等号成立当且仅当
.故答案为：20.
3．（2023·广东深圳·模拟预测）（多选）已知a，b 都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】A 选项，因为a，b 都是正实数，故
，当且仅当
，即
时，等号成立，A 正确；B 选项，因为a，b 都是正实数，故
，当且仅当
，即
时，等号成立，B 错误；C 选项，
，故
恒成立，C 正确；D 选项，a 是正实数，故
，其中
，
故
，当且仅当
，即
时，等号成立，D 错误.故选：AC
4．（2025·河北石家庄·一模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
，当且仅当
时等号成立
0
x
0
y
lg
lg
2
x
y
100
xy
2
20
x
y
xy
10
x
y
1
1
4
9
a
b
a
b
1
1
6
a
b
a
b
2
5
3
2
a
a
2
1
1
2
a
a
a
1
1
4
1
4
5
2 4
9
4b
a
a
a
b
a
b
a
b
a
b
b
4b
a
a
b
2
a
b
1
1
1
1
b
a
a
b
a
b
a
b
2
2
4
b a
a b
a
b
b
a
a
b
2
2
5
3
1
1
3
0
2
2
4
4
a
a
a
2
5
3
2
a
a
2
1
1
1
1
a
a
a
a
a
1
1
2
2
a
a
a
a
2
1
1
1
1
2 1
1
1
a
a
a
a
a
1
a
a
1
a
0,4
x
1
16
4
f x
x
x
49
3
17
2
19
3
25
4
0,4 ,
4,0 ,4
0,4
x
x
x
1
16
1 1
16
4
4
4
4
f x
x
x
x
x
x
x
1
4
16
1
4
16
17
17
2
4
4
4
4
x
x
x
x
x
x
x
x
4
25
4
16
4
,
4
5
x
x
x
x
x
故选：D
5．（2024·山东济南·一模）已知x，y 为正实数，且
，则
的最小值为（ ）
A．24
B．25
C．
D．
【答案】B
【详解】因为x，y 为正实数，且
，所以
，当且仅当
即
时，等号成立，所以
的最小值为25.故选：B
6．（10-11 高三上·山东烟台·阶段）若
，且
，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A，由
可得
，又
，所以
，即
，当且仅当
时等号成立，故A 错误；对于B，由
可
得
，即
，所以
，当且仅当
时等号成立，即B 错误；对于C，由
可得
，所以可得
，即
，当且
仅当
时等号成立，即C 正确；对于D，易知
1
x
y
6
3
x
y
xy
6
4 2
6 2
3
1
x
y
6
3
6
3
4
9
9
4
x
y
x
y
x
y
x
y
xy
xy
xy
x
y
9
4
9
4
9
4
13
13
2
25
y
x
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
9
4
1
y
x
x
y
x
y
3
5
2
5
x
y
6
3
x
y
xy
0,
0
a
b
4
a
b
2
2
8
a
b
1
1
4
ab
2 2
a
b
1
1
1
a
b
2
2
2
a
b
ab
2
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
a
b
4
a
b
2
2
2
2
16
a
b
a
b
2
2
8
a
b
2
a
b
4
a
b
4
2
a
b
ab
0
4
ab
1
1
4
ab
2
a
b
2
a
b
ab
2
2
2
a
b
a
b
ab
a
b
2
8
a
b
2 2
a
b
2
a
b
1
1
1
1
1
1 1
1
4
4
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
，即
；当且仅当
时等号成立，可得D 错误；故选：C
7．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】选项A：因为
，
，
，所以
，所以
，故A 正确．选项
B：
，当且仅当
时取等号，（利用基本不等式
时注意取等号的条件）,故B 正确．选项C：
，所以
，
当且仅当
时取等号，故C 错误．选项D：
，
当且仅当
时取等号，（另解：
，当且仅当
时取等号）,故D 正确．
故选:ABD.
8．（2022·全国II 卷）（多选）若x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】因为
（
R），由
得
，解得
，当且仅当
时，
，当且仅当
时，
，所以A 错误，B 正确；
由
可变形为
，解得
，当且仅当
时取等号，所
1 2
2
1
4
a b
b a
1
1
1
a
b
2
a
b
0
x
0
y
1
x
y
1
2
2
x y
2
2
log
log
2
x
y
2
x
y
≥
2
2
1
2
x
y
0
x
0
y
1
x
y
2
1
1
x
y
x
1
2
2
x y
2
2
2
2
2
2
1
log
log
log
log
log
2
2
4
x
y
x
y
xy
1
2
x
y
2
2
2
x
y
x
y
xy
x
y
x
y
2
x
y
1
2
x
y
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
2
2
2
2
x
y
x
x
x
x
x
1
2
x
y
2
2
2
1
1
2
2
x
y
x
y
1
2
x
y
2
2
1
x
y
xy
1
x
y
2
x
y
2
2
2
x
y
2
2
1
x
y
2
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
,a b
2
2
1
x
y
xy
2
2
1
3
3
2
x
y
x
y
xy
2
2
x
y
1
x
y
2
x
y
1
x
y
2
x
y
2
2
1
x
y
xy
2
2
2
2
1
2
x
y
x
y
xy
2
2
2
x
y
1
x
y
以C 正确；因为
变形可得
，设
，所以
，因此
，所以当
时满足等式，但是
不成立，所以D 错误．
故选：BC．
9．（2023·吉林通化·模拟预测）若直线
恒过点A，点A 也在直线
上，其中
均为正数，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【详解】因为
，则
，令
，解得
，即直线
恒过点
.又因为点A 也在直线
上，则
，可得
，且
，则
，即
，当且仅当
时，等号成立.所以
的最大值为
.故选：B.
10．（24-25 高三上·北京丰台·期中）已知函数
过定点M，点M 在直线
上且
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题设
恒过点
，则
，所以
2
2
1
x
y
xy
2
2
3
1
2
4
y
x
y
3
cos ,
sin
2
2
y
x
y
1
2
cos
sin ,
sin
3
3
x
y
2
2
2
2
5
2
1
1
1
cos
sin
sin
cos
1
sin 2
cos2
3
3
3
3
3
x
y
4
2
π
2
sin 2
,2
3
3
6
3
3
3
,
3
3
x
y
2
2
1
x
y
2
1
0
kx
y
k
2
0
mx
ny
,
m n
mn
1
4
1
2
2
1
0
kx
y
k
2
1
0
k x
y
2
0
1
0
x
y
2
1
x
y
2
1
0
kx
y
k
2, 1
A
2
0
mx
ny
2
2
0
m
n
2
2
m
n
,
0
m n
2
2
2 2
m
n
mn
1
0
2
mn
2
1
m
n
mn
1
2
1
x
f x
a
1
mx
ny
,
0
m n
1
2
m
n
3
2 2
4
2 2
3
2
4
2
1
x
f x
a
(1,1)
M
1
m
n
1
2
1
2
2
2
(
)(
)
3
3 2
n
m
n
m
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
，当且仅当
时等号成立，所以目标式最小值为
.故选：A
三、达标检测
《基本不等式》小题检测
（限时30 分钟，满分73 分）
一、单选题（每小题5 分，共40 分）
1．已知
，则
的最小值是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】D
【详解】因为
，所以
，所以
，当且仅当
，即
时，等号成立．所以
的最小值为
.故选：D
2．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【详解】因为
，所以
,又因为
，当且仅当
时取最小值9，
3
2 2
2
1,
2
2
m
n
3
2 2
所以
的最小值为5.故选：C.
3．已知正实数x，y 满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．
D．6
【答案】A
【详解】由题意知
，当且仅当
，且
，即
，
时等号成立，即
的最小值为
.故选:A.
4．已知
，则下列选项中，能使
取得最小值18 的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对选项A：由
可知，
，当且仅当
等号成立，最小值不是
18，故选项A 不正确；对选项B：若
，两边除以
得，
，则
，当且仅当
时，即
时等号成
立，故
的最小值是18，故选项B 正确；对选项C：由
，得
,
故
，由二次函数的性质，可知：当
时，
的最大值为
18，故选项C 不正确；对选项D：
，则当
时，
，故
不能取得最小值18，故选项D 不正确.故选：B
5．已知关于
的不等式
的解集为
，其中
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】D
【详解】因为
的解集为
，所以
，且
，
是方程
的
两根，
，得
；
，即
，当
时，
，当且仅当
，即
时取等号，令
，由对勾函数的性质可知函数
在
上单调递增，所以
，
的最小值为3.故选：D．
6．用一段长为cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设矩形的长为
，宽为
，
，则
，即
，所以这个模型
的面积为
，当且仅当
时取等号，所以这个模型的最大面积为
.故选：C.
7．现设计一个两邻边的长度分别为
的矩形广告牌，其面积为，且
，则当该广告牌的周长
最小时，
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【详解】由题意知
，且
，所以
，则该矩形的周长为
，当且仅当
，即
时，
取得等号，此时
.故选：A.
8．《忠经·广至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”，在实际生活中，新时代的青年不仅要有自己
“不私”的觉悟，也要有识破“诈公”的智慧.某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，顾客
要购买
黄金，售货员先将
的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将
的砝码
放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于
B．小于
C．等于
D．以上都有可能
【答案】A
【详解】由于天平两臂不相等，故可设天平左臂长为
，右臂长为
（不妨设
，第一次称出的黄金重
为
，第二次称出的黄金重为
，由杠杆平衡定理可得，
，
，则
，
，
，故顾客实际所得黄金大于
．故选：
．
二、多选题（每小题6 分，共18 分）
9．下列函数中最小值为2 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】由题意，A 项，
，故A 正确；B 项，在
中，
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，故B 正确；C 项，
，
，故
，当且仅当
即
时等号成立，C 错误；D 项，
，
，只有当
时才有
，当且仅当
即
时等号成
立，故D 错误.故选：AB.
10．已知
.若
，则（ ）
A．
的最小值为10 B．
的最小值为9 C．
的最大值为
D．
的最小值为
【答案】BC
【详解】对选项A，B，因为
，所以
，
当且仅当
，即
，
取等号，故A 错误，B 正确.对选项C，D，
，即
，当且仅当
，
时等号成立，故C 正确，D 错误.故选：BC
11．若正数
，
满足
，则（ ）
A．
的最大值是
B．
的最小值为
C．当
时，
D．
的最小值为
【答案】ACD
【详解】对于A，因为
，所以
，当且仅当
，即
时，等号成立，故
选项A 正确；对于B，因为
，
，所以
，所以
的最小值为
，当且仅当
时，即
时，等号成立，
故选项B 错误；对于C，因为
，所以
．当且仅当
，即
时，
等号成立，又因为
，所以
，此时
，故选项C 正确；对于D，由题知
，则
，当
时取最小值，最小值为
，故
选项D 正确.故选：ACD．
三、填空题（每小题5 分，共15 分）
12．已知正实数a、b 满足
，则
的最小值等于 ．
【答案】4
【详解】
，当
，即
，
时等号成立，则
的最小值为4．
故答案为：4．
13．已知
，且
，则
的最小值是 .
【答案】8
【详解】
，当且仅当
，即
时取
等号.故答案为：8.
14．若
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由
可得：
，当且仅当
时，即
时取等，
故答案为：
.
答题卡
班级：
姓名：
总分：
题号:
1
2
3
4
5
6
7
8
答案:
D
C
A
B
D
C
A
A
题号:
9
10
11
题号:
12
13
14
答案:
AB
BC
ACD
答案:
4
8
