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2026 年高考数学一轮复习
专题1：集合与简单逻辑用语
知识点一 集合与元素
1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；
2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号
或
表示
3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法
4、常见数集的记法与关系图
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
知识点二 集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
图形语言
基
本
关
系
子集
集合A 的所有元素都是集合B 的元素（
则
）
或
真子
集
集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个
元素不属于A
A
B 或B
A
相等
集合A，B 的元素完全相同
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集
若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有2n－1 个，非空真子集的个数有2n－2 个
知识点三 集合的基本运算
1、集合交并补运算的表示
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
符号语言
CUA＝{x|x∈U，且x∉
A}
2、集合运算中的常用二级结论
（1）并集的性质：A∪
＝
∅
A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
（2）交集的性质：A∩
＝
；
∅
∅
A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
（3）补集的性质：A (
∪CUA)＝U；A∩(CUA)＝
．CU(CUA)＝A；
CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB)；CU(A∩B)＝(CUA) (
∪CUB)．
知识点四 充分条件与必要条件
1、充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件
p 是q 的充分不必要条件
p⇒q 且q⇏p
p 是q 的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p 是q 的充要条件
p⇔q
p 是q 的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p
2、从集合的角度：
若条件p，q 以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
若A⊆B，则p 是q 的充分条件， 若A
B，则p 是q 的充分不必要条件；
若A⊇B，则p 是q 的必要条件； 若A
B，则p 是q 的必要不充分条件；
若A＝B，则p 是q 的充要条件；
若A⊈B 且A⊉B，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
知识点五 全称量词与存在量词
1、全称量词与存在量词、全称量词命题与存在量词命题
全称量词
存在量词
量词
所有的，任意一个
至少有一个，存在一个
符号
∀
∃
命题
含有全称量词的命题是全称量词命题
含有存在量词的命题是存在量词命题
命题形式
“对M 中任意一个x，p(x)成立”，可
用
符
号
简
记
为
“
∀ x∈M , p( x)”
“存在M 中的元素x，p(x)成立”可用符
号简记为“∃ x∈M , p( x).”
2、含有一个量词的命题的否定﹁
p
¬p
结论
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，¬p(x)
全称量词命题的否定是存在量词命题
∃x∈M，p(x)
∀x∈M，¬p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题
重要结论：
命题p 与¬p 真假性相反；
全称量词命题可转化为恒成立命题，存在量词命题可转化为存在性问题
一、集合中常见的参数求法
1、已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．
（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；
（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．
2、利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围
第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
第二步：看集合中是否含有参数，若A
B
，
且A 中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；
第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.
常采用数形结合的思想，借助数轴解答.
3、根据集合运算的结果确定参数的取值范围
法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围.
法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；
（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.
【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；
（2）千万不要忘记考虑空集。
二、充分必要条件与集合的关系
充分必要条件判断精髓：
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；
若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
三、全称量词命题与存在量词命题的真假判断
1、判断全称量词命题真假：
若为真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素
，验证
成立；
若为假命题，只要能举出集合M 中的一个
，使
不成立即可；
2、判断存在量词命题真假：
只要在限定集合M 中，至少能找到一个
，使
成立，
则这个命题为真，否则为假。
考点一 集合
【例1-1】若集合
，集合
，则
的子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．16 D．32
【答案】C 【解析】由
得
，所以
，解不等式
得
，
所以
，所以
的子集个数为
.故选：C
【例1-2】已知集合
，且
，则a 等于（ ）
A．
或
B．
C．3 D．
【答案】D【解析】因为
，当
，得
，则
，不合题意，故舍去.
当
，故
(舍去)或
，此时
，满足.故选：D
【例1-3】设集合
，
，若
，则实数a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．（3,4）
【答案】B【解析】由已知可得，集合
，
，因为
，所以
，（注意端点值是否能取到），解得
，故选：D．
【例1-4】已知集合
，
，若
，则实数
的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【解析】解不等式
，得
，于是
，而
，
因为
，则
，因此
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.故选：B
【例1-5】集合
，集合
，全集
，则
为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于集合A，由
或
，所以
，
，
，故
.故选：B
【变式1-1】设集合
，若
，则实数
．
【答案】2【解析】当
时，
，此时
，不符合条件；当
时，
，此时
，符合条件；若
，即
，无实根，不符合条件．所以
．故答案为：2.
【变式1-2】（多选题）已知集合A＝
，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实数a 的取值可能为（
）
A．－3 B．－2 C．0 D．3
【答案】BCD【解析】由题知B⊆A，B＝{x|ax＋1＝0}，A＝
.所以B＝
，
，
，
.
当 B＝
时，此种情况不可能，所以舍去；当B＝
时，
，解得a＝3；
当B＝
时，
，解得a＝－2；当B＝
时，a＝0.综上可得实数a 的可能取值为3，0，－2.故
选：
【变式1-3】设集合
或
，若
，则
的取值范围是（
）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】B【解析】由集合
或
，得
，
又集合
且
，则
2 或
，即
或
.故选：B.
【变式1-4】已知集合
,
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解方程组
可得
或
或
，又因为
,
，
则
.故选：D.
考点二 常用逻辑用语
【例2-1】“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条
件
【答案】B【解析】由
，则
，当
时
不成立，充分性不成立；
由
，则
，即
，显然
成立，必要性成立；所以
是
的
必要不充分条件.故选：B
【例2-2】已知集合
，
．若“
”是“
”的充分不必要条件，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A【解析】若“
”是“
”的充分不必要条件，则
，所以
，解得
，即
的取值范围是
.故选：A.
【例2-3】使
成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．x<2 C．
D．
【答案】C【解析】由
得
，所以“
”是“
”的即不充分也不必要条件，故A 错
误；“
”是“
”的充分不必要条件，故B 正确；“
”是“
”的即不充分也不必要
条件，故C 错误；“
”是“
”的充要条件，故D 错误.故选：C.
【例2-4】命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A【解析】根据全称命题的否定，可得
.故选：A.
【变式2-1】已知
，则“
”是“
为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当
为纯虚数时，有
，则
，故“
”是“
为纯虚
数”的充分不必要条件．故选：A.
【变式2-2】已知“
”是“
”成立的必要不充分条件，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A【解析】由
得：
或
，所以
或
；
由
得：
，所以
.因为
是
的必要不充分条件，即
且
，
所以
是
或
的真子集，所以
或
，解得
或
.
【变式2-3】若
，则p 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【解析】p：
，即
且
，解得
或
，所以p：
或
，
对于A，
是p 的既不充分也不必要条件；对于B，
即
或
，是p 的必要不充分条
件；对于C，
即
或
，是p 的充分不必要条件；对于D，
是p 的充分不必要条件；
故选：B.
【变式2-4】若命题
或
，则
为__________________.
【答案】
且
1.(2025 年全国·高考Ⅰ卷2）设全集
，集合
，则
中元素个数为（
）
A. 0
B. 3
C. 5
D. 8
【答案】C
2.(2025 年全国·高考Ⅱ卷3）已知集合
则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
3. (2025 年全国·天津1）已知集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
4. (2025 年全国·天津2）设
，则“
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
5.(2024 年全国·高考Ⅰ卷）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A【详解】因为
，且注意到
，从而
.
6．（2024·全国·高考甲卷文）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C【详解】依题意得，对于集合
中的元素
，满足
，则
可能的取值为
，即
，于是
.
7．（2024·全国·高考甲卷理）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【详解】因为
，所以
，
则
，
故选：D
8．（2024·北京·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C【详解】由题意得
.故选：C.
9．（2024·天津·高考真题）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，
和
都当且仅当
，所以二者互
为充要条件.
10.(2023 年全国甲卷理科)设全集
,集合
，
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A 解析：因为整数集
，
，所以，
．故选：A．
11.(2023 年新课标全国Ⅱ卷)设集合
，
，若
，则
( )．
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
12.(2023 年新课标全国Ⅰ卷)已知集合
，
，则
(
)
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
13．(2023 年全国乙卷理科)设集合
，集合
，
，则
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
14.(2023 年新课标全国Ⅰ卷)记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等差数
列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
15．（2022·全国·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】
，故
，故选：B.
16．（2022·全国·高考真题）若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】
，故
，故选：D
17．（2022·全国·高考真题（理））设全集
，集合M 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】由题知
,对比选项知，
正确,
错误故选:
18．（2022·全国·高考真题（理））设全集
，集合
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
由题意，
，所以
,所以
.
故选：D.
19.（2022·上海·高考真题）已知
，
，则
________
【详解】由
，
根据集合交集的定义，
.故答案为:
20．（2021·湖南·高考真题）已知集合
，
，且
（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】因为集合
，
所以
，故选：A.
21．（2021·江苏·高考真题）已知集合
，
，若
，则
的值是
（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．1
【详解】因为
，若
，经验证不满足题意；若
，经验证满
足题意.所以
.故选：B.
22．（2021·天津·高考真题）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】
，
，
.故选：C.
23．（2021·天津·高考真题）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【详解】由题意，若
，则
，故充分性成立；若
，则
或
，推不出
，故必
要性不成立；所以“
”是“
”的充分不必要条件.故选：A.
24．（2021·全国·高考真题）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】由题设可得
，故
，故选：B.
25．（2021·北京·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】由题意可得：
.故选：B.
26．（2021·浙江·高考真题）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】由交集的定义结合题意可得：
.故选：D.
27．（2021·全国·高考真题（理））已知集合
，
，则
=
（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】任取
，则
，其中
，所以，
，故
，因此，
.
故选：C.
28．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【详解】如图所示，
,当
时，
与垂直，
，
所以
成立，此时
，∴
不是
的充分条件，当
时，
，∴
,∴
成立，∴
是
的必要条件，综上，“
”是“
”的必要不充分条件
故选：B.
29．（2021·全国·高考真题（理））等比数列
的公比为q，前n 项和为
，设甲：
，乙：
是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【详解】由题，当数列为
时，满足
，但是
不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若
是递增数列，则必有
成立，若
不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则
成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．
30．（2021·全国·高考真题（理））设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】因为
，所以
,故选：B.
31．（2021·全国·高考真题）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】由题设有
，故选：B .
