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专题1.2 常用逻辑用语与充分必要条件
【考点1：充分、必要条件的判断】.......................................................................................................................2
【考点2：已知条件关系求参数范围】...................................................................................................................4
【考点3：全称量词命题与存在量词命题的真假判断】........................................................................................6
【考点4：全称量词命题与存在量词命题的否定】................................................................................................8
【考点5：根据命题的真假求参】.........................................................................................................................10
【考点6：充分、必要、充要条件与集合之间的关系】......................................................................................13
【考点1：充分、必要条件的判断】
1．（25-26 高一下·贵州毕节·期中）“
是
”
“
成立的（
”
）条件.
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】B
【详解】由题可得，
，充分性不成立；
，必要性成立
2．（25-26 高三下·天津·阶段检测）已知x，y 为实数，设甲：
；乙：
，则甲是乙的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】取特殊值代入分析，结合充分、必要条件的定义，分析即可得答案.
【详解】取
，此时
，但
，故充分性不成立；
取
，此时
，但
，故必要性不成立，
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
3．（2026·天津南开·二模）设
，则“
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由
，
因
当且仅当
，即
时取等，
显然
不能全都为0，故
，则由
可得
；
反之，当
时，必有
成立.
故得“
是
”
“
的充要条件
”
.
4．（2026·天津·一模）“
或
，（
）
是
”
“
的（
”
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】化简三角函数等式结合命题的判断解题
【详解】
，
当
时，
，当
时，
成立，
因为
，所以
或
，
当
时，
成立，但
且
，
故选：A
5．（多选）（25-26 高三下·湖北襄阳·阶段检测）（多选）有限集合S 中元素的个数记作
，设
都为有限集合，则下列命题中是真命题的有（ ）
A．
的充要条件是
B．
的必要条件是
C．
不是
的子集的必要条件是
D．
的充要条件是
．
【答案】AB
【分析】对于A，利用
推导即可；对于B，根据包含关系的意
义可分析得解；对于CD，举例子排除即可.
【详解】对于A，因为
等价于
，
又
，
所以
等价于
，
故
的充要条件是
，故A 正确；
对于B，因为
，所以集合
中的元素都是集合
中的元素，故
，
所以
，故B 正确；
对于C，令
，显然
不是
的子集，此时
，
故C 错误；
对于D，令
，显然
，但
，所以
的充要条件不是
，故D 错误；
【考点2：已知条件关系求参数范围】
1．（2026 高一·全国·专题练习）已知命题
，
或
，若
是
的充分不
必要条件，则
的取值范围为_______．
【答案】
【详解】命题
对应集合
，
命题
对应集合
或
，
若
是
的充分不必要条件，则集合
是集合
的真子集，
则有
或
，解得
或
，即
，
又
，故
的取值范围为
.
2．（2026 高三·全国·专题练习）已知集合
，
．若“
是
”
“
的充分条件，则实数
”
的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据题意，分别求得集合
和
，再由“
是
”
“
的
”
充分条件，得到
，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数
，
因为
，可得
，所以
，
由不等式
，可得
，所以集合
．
又因为“
是
”
“
的充分条件，可得
”
，
则满足
，即
，解得
或
，
所以实数
的取值范围是
．
3．（25-26 高一上·江西抚州·期末）已知
和
，且
是
的必要条
件但不是充分条件，则实数
的取值集合为________.
【答案】
【分析】解方程，把集合
具体化，然后利用集合间的关系可得答案.
【详解】由
，得
或
，故
；
由
，得：
，故
；
“
是
的必要条件但不是充分条件
等价于
”
且
，
或
，
解得：
或
.
故答案为：
4．（25-26 高一上·湖南岳阳·期中）已知集合
，非空集合
.
(1)若
是
的必要条件，求实数m 的取值范围;
(2)是否存在实数m，使
是
的充要条件.
【答案】(1)
.
(2)不存在
【分析】（1）把必要条件转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组，即可求解；
（2）把充要条件转化为两集合相等，从而确定参数满足的方程组，即可作出判断.
【详解】（1）∵
是
的必要条件，故
，
∴
，解得
，
即所求实数m 的取值范围是
.
（2）若
∵
是
的充要条件，则
，
∴
，由于该方程组无解，
即不存在实数m，使
是
的充要条件.
5．（25-26 高一上·陕西商洛·期末）已知集合
，
．
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出
，再分
与
两种情况讨论即可求解；
（2）由必要不充分条件可知
，进而可得不等式组，解不等式组即可.
【详解】（1）
，
由
，得
，
当
时，
，解得
；
当
时，
不等式组无解，
故实数
的取值范围为
．
（2）因为
是
的必要不充分条件，所以
，
或
，解得
或
，
综上可得
，故实数
的取值范围为
．
【考点3：全称量词命题与存在量词命题的真假判断】
1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知命题
，则
，命题
，
，
则（ ）
A．
和
都是假命题
B．
是真命题，
是假命题
C．
是假命题，
是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】C
【详解】对于命题
，当
时，
，所以
为假命题；
对于命题
，解不等式
，得
，所以
为真命题．
2．（25-26 高一上·江西吉安·期中）已知命题
，
，命题
，
，则
（ ）
A．p 是假命题，q 是真命题
B．p 是真命题，q 是假命题
C．p 和q 都是真命题
D．p 和q 都是假命题
【答案】B
【分析】利用全称量词命题与特称量词命题的含义，结合反例判定命题的真假即可.
【详解】对于命题
，存在
，
，所以命题p 是真命题；
对于命题q，当
时，
，所以命题q 是假命题.
故选：B.
3．（25-26 高一上·辽宁丹东·阶段检测）下列命题中为真命题的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】根据一元二次不等式恒成立、绝对值、数集及一元二次方程根的判别式逐项分析判断即可.
【详解】选项A：
，因为
恒成立，所以
，即
恒成立，故不存在实数
使原式小于0，
为假命题，A 错误；
选项B：当
时，
，不满足
，
为假命题，B 错误；
选项C：
是整数集，自然数集
是非负整数集，故
为真命题，C 正确；
选项D：一元二次方程的
，方程无实数根，不存在实数
使方程成立，
为假
命题，D 错误.
故选：C.
4．（多选）（25-26 高一上·广东汕尾·期末）（多选）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．
必有算术平方根
B．
是无理数
C．
为奇数
D．
是无理数
【答案】AD
【分析】根据算术平方根定义、命题的真假判断AD；举例判断BD；
【详解】对于A，
必有算术平方根为
，命题是真命题，A 正确；
对于B，取
，
是有理数，命题是假命题，B 错误；
对于C，因为
，且
是连续整数且其中必有一个是偶数，
所以
一定是偶数，不可能是奇数，命题是假命题，C 错误；
对于D，取
是无理数，
是无理数，故该命题是真命题，D 正确；
故选：AD.
5．（多选）（25-26 高一上·江西南昌·期末）（多选）下列命题为真命题的有（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】BCD
【分析】对于A，根据指数函数的值域进行判断；对于B，通过举例子说明；对于C，利用
恒成立进
行判断；对于D，根据对数的性质进行判断.
【详解】对于A，因为
恒成立，所以A 错误；
对于B，当
时，
，所以B 正确；
对于C，
恒成立，所以C 正确；
对于D，因为
，所以
，所以
，所以
，故D 正确.
故选：BCD
【考点4：全称量词命题与存在量词命题的否定】
1．（2026·湖南长沙·三模）命题“
，
的否定为（
”
）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【详解】全称量词命题的否定为将量词更改，命题否定，
因此命题“
，
的否定为命题
”
“
，
”.
2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知命题p：
，
，命题q：
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】C
【详解】令
，则
显然成立，
是真命题，
是假命题，
当
时，
，故命题
是假命题，
是真命题．
3．（25-26 高一下·湖南株洲·期中）已知命题
，
，则
为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】全称命题的否定为特称命题，否定时需将全称量词
替换为存在量词
，同时否定原命题的结论，
变量的取值范围保持不变.
【详解】原命题
为
，则
为
.
4．（25-26 高一上·北京西城·期末）已知命题
，
，则（ ）
A．
，
，且
为真命题
B．
，
，且
为假命题
C．
，
，且
为真命题
D．
，
，且
为假命题
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定定义写出
，再配方判断命题的真假.
【详解】由题意可知，
，
，
因为
，所以
为真命题，
为假命题.
故选：D
5．（25-26 高一上·陕西西安·阶段检测）已知p：
，
，则（ ）
A．p 是真命题，且
：
，
B．p 是真命题，且
：
，
C．p 是假命题，且
：
，
D．p 是假命题，且
：
，
【答案】D
【分析】举出反例得到p 是假命题，且全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否
定.
【详解】当
时，
，不满足
，
，故p 是假命题，
且
：
，
.
故选：D
【考点5：根据命题的真假求参】
1．（25-26 高一上·江苏南京·阶段检测）设
，使“
为真命题的一个充分不必要条
”
件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合充分不必要条件的定义即可求解.
【详解】由
，可得
，
因为
⫋
，
故使“
为真命题的一个充分不必要条件可以是
”
，
故选：B.
2．（25-26 高一上·江苏盐城·期末）若命题“
，使得
是假命题，则
”
的取
值范围为_____.
【答案】
【分析】根据题意，转化为
在
上恒成立，结合二次函数的图像与性质，列出不等
式组，即可求解.
【详解】由命题“
，使得
是假命题，
”
可得命题的否定：“
，使得
是真命题，
”
设
，则
在
上恒成立，
所以
，即
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
3．（2026 高一上·福建厦门·专题练习）若命题p：“
，
是假命题，命题
”
q：
，
是真命题，则实数a 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据命题真假判断方程解求
的范围，再结合不等式求
的范围，最终取交集即可.
【详解】因为命题p：“
，
是假命题，
”
所以命题p 的否定“
，
是真命题，
”
则方程
无解，即
，解得
；
又因为命题q：
，
是真命题，所以
，
对任意
恒成立，故
应小于等于
在
的最小值，
当
时
最小值为
，即
综上所述，实数a 的取值范围是
.
故答案为：
.
4．（2026·福建·一模）若实数
使得命题：“
，使得
，均有
是
”
假命题，则
的取值范围是___________．
【答案】
【分析】先将原命题的假命题转化为其否命题为真命题，再把式子视为关于
的方程，利用判别式得到关
于
的不等式，最后分
和
两种情况分析，确定
的取值范围.
【详解】由题意可知，原命题的否命题：“
，使得
是真命题．
”
所以对任意实数，方程
都有实数解
．
故而
对任意固定的实数都有解．
即关于
的不等式
对任意固定的实数都有解．
对不等式
分情况讨论：
①.若
,即
.当
时,不等式为
,对任意显然有解.
当
时,关于
的二次函数
开口向上,
其值域包含正数,故对任意,总存在
使得
.所以
符合题意.
②.若
,即
.关于
的二次函数
开口向下,
其最大值为
.
要使不等式
对任意都有解,则需要其最大值对任意都非负,
即
对任意恒成立,这显然是不可能的.故
不符合题意.
因此，
的取值范围是
．
故答案为：
5．（25-26 高一上·江西吉安·期中）已知
，集合
，集合
.
(1)若“
是
”
“
的充分不必要条件，求
”
的取值范围；
(2)若命题“
，
是真命题，求
”
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将先求出集合
，将题设问题转化为集合A 是集合B 的真子集，进而根据包含关系求解即
可；
（2）将题设问题转化为
，先求出
时
的取值范围，进而得到
时
的取值范
围.
【详解】（1）由
，
.
若“
是
”
“
的充分不必要条件，则集合
”
A 是集合B 的真子集.
所以
，解得
，
当
时，
，符合题意，
故
的取值范围是
.
（2）因为“
，
是真命题，所以
”
.
当
时，因为
，所以
或
，解得
或
.
所以当
时，
的取值范围是
.
【考点6：充分、必要、充要条件与集合之间的关系】
1．（25-26 高一下·河北保定·期中）已知集合
，集合
或
．
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)设
，
，若
是
的充分条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据交集的运算可得出关于
的不等式组，即可解得实数
的取值范围；
（2）分析可知
，可得出关于实数
的不等式，解之即可.
【详解】（1）已知A ={x| 3≤x ≤6}，B ={x| x ≤m−1或x ≥2m−1}，若
，
则A 的所有元素都不在B 中，可得不等式组： {
m−1<3
2m−1>6)，
解得
，即m 的取值范围为
；
（2）若p 是q 的充分条件，则
，即A 的所有元素都属于B，
因此有两种情况：
①A ⊆{x| x ≤m−1}，此时
，解得
；
②
，此时
，解得
，
综上，m 的取值范围是
或
.
2．（25-26 高一上·上海·期末）已知集合
，
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)已知
，记命题
，若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若
，则
，得
；
若
，则
，
因为
，所以
或
，得
或
，则
，
综上，实数
的取值范围为
；
（2）因为
，所以
，
因为
是
的必要不充分条件，所以
是
的真子集，
则
，且等号不同时成立，得
，
故实数
的取值范围为
.
3．（25-26 高一下·山西阳泉·开学考试）已知集合
．
(1)若
，求
；
(2)若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用交集运算即可；
（2）把必要不充分条件转化为真子集关系，利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可.
【详解】（1）当
时，
，
则
；
（2）因为
，
由
是
的必要不充分条件，得
⫋
，
当
时，
，解得
，满足题意；
当
时，则
，解得
，
综上，
，故实数
的取值范围为
.
4．（25-26 高一上·天津河北·期中）已知全集
，集合
，
，
.
(1)当
时，求
，
；
(2)若
是
的充分条件，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
；
或
．
(2)
【分析】（1）利用集合的运算求解；
（2）根据充分条件得到集合的包含关系，进而列出不等式组求解.
【详解】（1）当
时，
.
因为
，
所以
；
因为
或
，
所以
或
．
（2）因为
是
的充分条件，
所以
，
所以
，解得
，
所以实数m 的取值范围是
．
5．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026 学年高一下学期5 月春季联赛数学试题）设集合
，
．
(1)若
，求
；
(2)若“
是
”
“
的必要不充分条件，求实数
”
m 的值．
【答案】(1)
；
(2)
．
【分析】（1）先分别求解集合
和集合
，再根据交集的定义求出
；
（2）先分别求解集合
和集合
，再根据逻辑关系得到不等式组，解出即可
.
【详解】（1）当
时，集合
，
分式不等式等价于：
，
解得：
，即
，
因为集合
，
由
，
解得：
或
，即
，
因此：
.
（2）因为
，则
，
解得：
，即
，
则
，
由题意，“
是
”
“
的必要不充分条件，
”
即
，且
，则
，
因此：
，
解得：
，所以
一、单选题
1．（25-26 高一上·云南曲靖·期末）命题“
的否定为（
”
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求解．
【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题，知原命题的否定为：
.
故选：C
2．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知
，
均为锐角，则“
是
”
“
的（
”
）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】因为
，且
均是锐角，所以
，所以
，所以
，
所以
均为锐角，
能推出
，
反之，
，且
均为锐角，则
或
，
所以
或
，所以
或
，
所以
均是锐角，
推不出
，
因此
均为锐角，
是
的充分不必要条件.
3．（2026·安徽马鞍山·二模）已知直线
，
与平面
，
，
，则
的一个充分条件是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
，
【答案】C
【详解】对于选项A：当
，
时，
，所以本选项不符合题意；
对于选项B：当
，
时，平面
，
可以平行，所以本选项不符合题意；
对于选项C：当
，
时，由面面垂直的判定定理可得
，所以本选项符合题意；
对于选项D：当
，
，
时，根据线面垂直的判定定理，由
不一定能推出
，
所以本选项不符合题意.
4．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球
从
，
，
三个口中的一个口滚动进入
后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则
小球
“
从
口滚动进入
是
小球
”
“
从
口滚动出
来
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据迷宫图形分析小球从各入口进入后的出口路径，进而判断命题之间的推出关系
【详解】由迷宫图形可知， 若小球Ω 从
口滚动进入，
根据通道走向，小球最终只能从
口滚动出来，
所以
小球
“
Ω 从
口滚动进入
能推出
小球
”
“
Ω 从
口滚动出来
，充分性成立；
”
若小球Ω 从
口滚动出来，小球可能是从
口滚动进入，也可能是从
口滚动进入（由图可知从
口进入
最终也会从
口出来），
所以
小球
“
Ω 从
口滚动出来
不能推出
小球
”
“
Ω 从
口滚动进入
，必要性不成立．
”
综上所述，
小球
“
Ω 从
口滚动进入
是
小球
”
“
Ω 从
口滚动出来
的充分不必要条件．
”
5．（2026·浙江宁波·三模）在
中，角
为三个内角，则“
是
”
“
的
”
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】将其转化为函数
，结合图像即可求解
【详解】考虑
为
到
的斜率，
因为
，
因为函数
在
与
上均递增，
得大致图象，如图所示，
若
，则
，而
同号，由图及单调性可得
；
若
，则
必定成立，故为充要条件．
6．（2026·河南·一模）已知数列
，设
，
.若
为等差数列，设p：“
为
等差数列
，
”
q：“
为常数列
，则
”
p 是q 的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由已知结合等差数列的性质检验充分必要性即可判断．
【详解】已知
，
，且
为等差数列，设其公差为
.
若
为常数列，则
（常数），即
.
此时：
，
为常数，故
是公差为
的等差数列，即
.
若
为等差数列，则
为常数，设为
.
，
又
，则
，
因此：
，
由于
是等差数列，设其公差为
，则
，代入上式：(bn+d)+bn=k ⇒2bn+d =k，
对任意
成立，说明
为常数（
），故
，即
为常数列.因此
.
综上，
是
的充分必要条件.
二、多选题
7．（2026 高三·全国·专题练习）（多选）下列命题说法错误的是（ ）
A．
B．
C．
的充要条件是
D．若
，且
，则
中至少有一个大于1
【答案】ABC
【详解】对于A：根据指数函数的性质可知
恒成立，故A 错误；
对于B：当
时，
，故B 错误；
对于C：当
时，
无意义，所以必要性不成立，故C 错误；
对于D：假设
，则
与
矛盾，所以假设不成立，故D 正确.
8．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数f (x)=A sin (ωx +φ)( A >0, ω>0)，则下列条件中是“
为
奇函数
的充要条件的有（
”
）
A．
B．
的图象关于原点对称
C．
，使得
D．
【答案】ABD
【详解】
为奇函数，则
，都有
，所以C 错误；
即
，化简得
对
恒成立，
所以
，即
，
反之，当
时，
，
当
是偶数时，
为奇函数，
当
是奇数时，
为奇函数，
所以
为奇函数，A 正确；
奇函数的图像关于原点对称，B 正确；
因为
，所以
为奇函数
，
若
，则
，由A 选项可知，则
为奇函数，D
正确.
三、填空题
9．（25-26 高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知命题“
，
为真命题，则实数
”
m 的取
值范围是__________．
【答案】
【详解】当
时，不等式化为
，对任意
恒成立，符合题意；
当
时，
对任意
恒成立，需满足：
，解得
，
综上可得
．
10．（25-26 高二下·天津南开·期中）“
，
是假命题，则实数
”
的最大值为
_______．
【答案】6
【分析】首先利用命题的否定将命题变为真命题，分离参数后结合均值不等式求
的最大值.
【详解】因“
，
是假命题，故命题的否定为
”
，
为真命题，
分离参数可得：
令
，所以
，所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
即当
时，不等式右侧表达式取得最小值为6，所以
的最大值为6.
四、解答题
11．（25-26 高一下·河北保定·期中）已知集合
，集合
或
．
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)设
，
，若
是
的充分条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据交集的运算可得出关于
的不等式组，即可解得实数
的取值范围；
（2）分析可知
，可得出关于实数
的不等式，解之即可.
【详解】（1）已知A ={x| 3≤x ≤6}，B ={x| x ≤m−1或x ≥2m−1}，若
，
则A 的所有元素都不在B 中，可得不等式组： {
m−1<3
2m−1>6)，
解得
，即m 的取值范围为
；
（2）若p 是q 的充分条件，则
，即A 的所有元素都属于B，
因此有两种情况：
①A ⊆{x| x ≤m−1}，此时
，解得
；
②
，此时
，解得
，
综上，m 的取值范围是
或
.
12．（25-26 高二下·山西太原·阶段检测）已知集合
，集合
，其中
．
(1)当
时，求
；
(2)若“
是
”
“
的必要不充分条件，求实数
”
m 的取值范围；
(3)设命题p：
，使得
．若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【详解】（1）解不等式
，得
．
当
时，
，故
．
因此
．
（2）“
是
”
“
的必要不充分条件
”
．
由题意得：
，列不等式组：
，解得
，
所以实数m 的取值范围为
．
（3）由
，解得
或
，
命题p 为真
或
，
即
或
得：
或
．
