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专题07 立体几何
8 大考点概览
题型01 空间中的点线面位置关系
题型02 空间几何体的表面积与体积
题型03 有关几何体外接球、内切求的问题
题型04 有关立体几何中的最值与轨迹问题
题型05 有关空间线线角与线面角的问题
题型06 有关空间二面角的问题
题型07 有关立体几何中折叠的问题
题型08 有关空间中的距离问题
1．（2026·陕西咸阳·二模）已知
，
，
是三个不同的平面，
，
是两条不同的直线，且
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2026·湖北恩施·二模）如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·上海黄浦·二模）若a，b 是空间中的两条直线，则“
”是“存在平面
，使
，
”的（ ）．
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
4．（2026·浙江·二模）已知正方体
，E 为棱
的中点，则下列与直线
不互为
异面直线的是（ ）．
A．直线
B．直线
C．直线
D．直线
5．（2026·安徽马鞍山·二模）已知直线
，
与平面
，
，
，则
的一个充分条件是
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空间中的点线面位置关系
考点1
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
，
6．（2026·广东东莞·二模）设
为两个不同平面，为一条直线，则
的充分条件可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·四川眉山·二模）在三棱锥
中，若
平面
，
，则平面
、
平面
、平面
、平面
中相互垂直的共有（ ）
A．1 对
B．2 对
C．3 对
D．4 对
8．（2026·福建·二模）设
是两个不重合的平面，则
的充要条件是（ ）
A．存在无数条直线与
都平行
B．存在无数个平面与
都垂直
C．对任意的直线
，都存在直线
，使得
D．对任意的直线
，都存在直线
．使得
9．（2026·云南昭通·二模）已知
是两个平面，
是两条直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
10．（2026·青海西宁·二模）设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则
的一
个充分条件是（ ）
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A．存在一条直线
B．存在一条直线
C．存在两条平行直线
D．存在两条异面直线
11．（2026·广东深圳·二模）已知直线，平面
，满足
，则下列命题一定正确的是（ ）
A．存在
，使得
相交
B．存在
，使得
C．存在
，使得
的夹角为
D．存在
，使得
12．（多选）（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知直线a，b 及平面
，
．下列命题中正确的是
（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
13．（多选）（2026·广东深圳·二模）设P 为菱形
所在平面外一点，
与
交于
，
为
上（异于
，
）的一点，则（ ）
A．
B．
与
异面
C．若
为
的中点，则
平面
D．若
，则
平面
14．（多选）（2026·西藏拉萨·二模）如图，在直三棱柱
中，
．
为
的中
点，
为棱
的中点，下列说法正确的是（ ）
A．
平面
B．
四点共面
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C．
平面
D．
平面
15．(多选）（2026·广东汕头·二模）如图是正四面体的平面展开图，
分别是
的中点，则在该正四面体中，下列结论正确的是（ ）
A．
与
平行
B．
与
为异面直线
C．
与
成
角
D．
与
垂直
16．（多选）（2026·广东肇庆·二模）在正四棱柱
中，
，点
分别为
棱
上的点（含端点），则（ ）
A．当
为
的中点时，存在点
，使得
平面
B．当
为
的中点时，存在点
，使得平面
平面
C．对任意给定的点
，存在点
，使得
D．对任意给定的点
，存在点
，使得
17．（2026·河南开封·二模）已知平面
和直线m，n，给出下列三个论断：
①
②
③
. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写
出一个正确的命题：如果______，______，则______．（只填写序号）
1．（2026·山东德州·二模）已知圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2 倍，圆柱的高是圆锥高的
，
则圆柱和圆锥的体积之比为（ ）
A．6
B．3
C．2
D．1
2．（2026·湖北武汉·二模）某科技馆“人造太阳”模型外观为圆台形，上底面半径为
，下底
面半径为
，圆台母线长为
，模型外侧面需要喷漆，则喷漆面积为（ ）
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空间几何体的表面积与体积
考点2
A．
B．
C．
D．
3．（2026·安徽淮南·二模）已知圆台的上、下底面的半径大小分别为2 与4，其母线与下底面所成
角的余弦值为
，则该圆台体积的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·河北衡水·二模）中国古代有一种盛米的重要容器叫“方斗”，其形状是一个上大下小
的正四棱台，如图.已知一“方斗”上底面边长为3，下底面边长为1，若从这个恰好盛满米的“方
斗”中取出38 斤米后，米的高度下降了一半，则剩余的米的质量为（ ）
A．14 斤
B．24 斤
C．38 斤
D．56 斤
5．（2026·湖南怀化·二模）已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的
上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是
，则该圆台的侧面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·广东肇庆·二模）已知一个盛有水的玻璃容器，该容器由圆柱和半球组合而成，圆柱底
面半径与球的半径相等，且圆柱部分的体积是半球部分的体积的3 倍.如图放置容器时，水面恰好
经过圆柱的上底面，若将容器竖直倒置，则水的高度与容器高度的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
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7．（2026·江西·二模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O 的表面积相等，
则该圆锥的体积与球O 的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·湖南·二模）如图，一块边长为6 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下
来，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，
正四棱锥的高为（ ）
A．
B．
C．3
D．
9．（2026·天津和平·二模）如图，在六面体
中，上下底面均为矩形，且平面
平面
，
，
，
平面ABCD，
，
，
，则六面体
的体积为（ ）
A．45
B．47
C．60
D．75
10．（2026·河北·二模）已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为
，则其表面积
为（ ）
A．148
B．
C．168
D．80
11．（2026·浙江台州·二模）已知一个圆锥的底面半径为
，高为1，则下列对该圆锥的表述正确
的是（ ）
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A．体积为
B．表面积为
C．两条母线的夹角的最大值为
D．过顶点的截面面积的最大值为2
12．（2026·江西南昌·二模）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为
的扇形，则过圆
锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（多选）（2026·辽宁沈阳·二模）若正四面体的表面积为
，则（ ）
A．该正四面体的棱长为1
B．该正四面体的高为
C．该正四面体的体积为
D．该正四面体的外接球表面积为
14．（多选）（2026·四川成都·二模）如图，平行六面体
的底面ABCD 是边长为1
的菱形，且
，
平面
，则（ ）
A．平面
平面
B．
C．
D．平行六面体
的体积为
15．（多选）（2026·陕西咸阳·二模）如图1 所示的几何体是一个流星锤形正多面体，称为流星锤
形十二面体，是由6 对（12 个）平行五角星面构成的，每对平行五角星面角度关系如图2 所示，
则下列说法正确的是（ ）参考数据：
.
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A．一个流星锤形十二面体有12 个星尖（凸起的正五棱锥）
B．一个流星锤形十二面体有10 个星尖（凸起的正五棱锥）
C．将所有的星尖沿其底面削去后所得的几何体和流星锤形十二面体的表面积之比是
D．将所有的星尖沿其底面削去后所得的几何体和流星锤形十二面体的表面积之比是
16．（2026·广东清远·二模）在正三棱台
中，
，侧棱
与平面
所成角为
，则该棱台的体积为___________．
17．（2026·浙江·二模）如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为
，碗内放了三颗汤圆
（视为半径均为
的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则
______．
18．（2026·吉林·二模）已知平面
，
，
，
分别过正四面体的四个顶点，且平面
，
，
，
相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d，若该正四面体的棱长为4，则
_______．
19．（2026·甘肃酒泉·二模）已知底面为正方形的直四棱柱的高为4，底面边长为4，其内部有一个
与直四棱柱所有面均相切的内切球
.现以直四棱柱上底面的中心为顶点，下底面的外接圆为底面
作一个圆锥，则该圆锥与内切球
的公共部分的体积为__________.注：球缺的体积公式为
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为球的半径，为球缺的高.
1．（2026·广东揭阳·二模）已知圆锥的底面半径为
，母线长为
，圆锥内部有一个半径1 的
球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·湖北宜昌·二模）三棱锥
满足
，且
，则
三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·福建·二模）已知三棱锥
的体积为
，
．
若该三棱锥的四个顶点都在球
的球面上，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·浙江温州·二模）已知圆台的上下底面的半径分别为1 和3，圆台的侧面积为
，若圆
台内接于球
，则球
的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·江苏·二模）一个正六棱锥的高为，底面边长为
，则它的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·安徽合肥·二模）已知圆柱的轴截面是周长为24 的矩形，其上下底面的圆周都在同一球
面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·重庆渝中·二模）如图所示，二面角
为
，
是边长为2 的正三角形，
若
是三棱锥
外接球的直径，则
（ ）
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有关几何体外接球、内切求的问题
考点3
A．
B．
C．
D．
8．（2026·福建厦门·二模）已知四面体ABCD 的各顶点均在球
的球面上，平面
平面
，若
与
的外接圆面积之和为
，则球
的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．3
9．（2026·天津·二模）如图，在正方体
中，三棱锥
和
的公共
部分形成的几何体为
.若
的体积记为
，
的内切球的体积记为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选）（2026·广东江门·二模）若正方体
外接球的球心为
，且
，
分
别为棱
，
的中点，则（ ）
A．
B．二面角
的正切值为
C．
平面
D．
为四面体
外接球的球心
11．（多选）（2026·山西运城·二模）在空间直角坐标系
中，已知正四面体
的四个顶点
的坐标为
，
，
，
，点
在四面体
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外接球的球面上，且
平面
，点
在四面体
内切球的球面上，则下
列结论正确的有（ ）
A．
B．
的最大值是最小值的2 倍
C．四面体
外接球的体积为
D．当
取得最小值时，点
的坐标为
12．（多选）（2026·广东深圳·二模）已知正三棱柱
的高为2，且有内切球
（球
位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点），若过
三点的平面截该三棱柱所得截
面为
，则（ ）
A．
B．平面
平面
C．截面
的面积为
D．该三棱柱被截面
分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为
13．（2026·山东东营·二模）已知一个棱长为
的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计），则此
容器外接球（正四面体容器各顶点都在球面上）的体积为_____；如果一个半径为1 的小球在该容
器内可向各个方向自由运动，则小球永远不可能接触到的容器内壁面积为_____．
14．（2026·甘肃酒泉·二模）已知底面为正方形的直四棱柱的高为4，底面边长为4，其内部有一个
与直四棱柱所有面均相切的内切球
.现以直四棱柱上底面的中心为顶点，下底面的外接圆为底面
作一个圆锥，则该圆锥与内切球
的公共部分的体积为__________.注：球缺的体积公式为
为球的半径，为球缺的高.
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15．（2026·四川南充·二模）已知正四面体
外接球的球心为
，
，过点
，
的
平面
与棱
，
分别相交，记在平面
两侧的几何体的体积分别为
、
，则
的取值范围为_____________.
16．（2026·西藏拉萨·二模）平行六面体
所有棱长都等于2，点
在底面
的
射影为底面对角线的交点，且线段
是它在底面射影长的
倍，则三棱锥
的外接球的
体积为______．
17．（2026·河南郑州·二模）已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为
．若在该圆锥内放入三
个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则
______．
18．（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，圆台形容器内放进半径分别为2 和4 的两个实心铁
球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，若向该容器内
注满水，则水的体积为_____.
19．（2026·河北·二模）在母线与底面所成角为
的圆锥内放入三个半径为1 的球，这三个球两两
相切，且均与圆锥的底面和侧面都相切，则圆锥的底面半径为_____；若再放入一个半径为的小
球，使得它与三个小球均相切，且与圆锥的侧面相切，则
_____．
1．（2026·广东佛山·二模）已知圆锥的顶点为
，底面圆心为
，
，
，
分别为圆锥的母
线，
，
，则三棱锥
体积的最大值为（ ）
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有关立体几何中的最值与轨迹问题
考点4
A．
B．
C．
D．
2．（2026·浙江台州·二模）已知一个圆锥的底面半径为
，高为1，则下列对该圆锥的表述正确
的是（ ）
A．体积为
B．表面积为
C．两条母线的夹角的最大值为
D．过顶点的截面面积的最大值为2
3．（2026·四川遂宁·二模）在直三棱柱
中，
，点
为
的
中点，点
为侧面
内（含边界）的动点，且
平面
，设直线
与平面
所成的角为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·广东湛江·二模）已知长方体
中，
，
，
是
的
中点，点
在线段
上运动（含端点），则点
到平面
的距离的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·浙江嘉兴·二模）在三棱锥
中，
，二面角
的大小为
，若
，则点
到平面
的距离的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
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6．（2026·江西南昌·二模）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为
的扇形，则过圆
锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·湖北黄冈·二模）如图，在棱长为1 的正方体
中，
为棱
的中点，
为正方体
表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥
外接球的表面积为
B．若
平面
，则动点
的轨迹是一条线段
C．若
平面
，则动点
的轨迹的长度为
D．若
，则动点
的轨迹长度为
8．（2026·广东揭阳·二模）已知圆锥的底面半径为
，母线长为
，圆锥内部有一个半径1 的
球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·四川内江·二模）在棱长为
的正方体
中，点
是棱
的中点，点
在
正方形
内部（不含边界）运动，若
平面
，则（ ）
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A．点
的轨迹经过线段
的中点
B．点
的轨迹长度为
C．三棱锥
的体积为定值
D．球面经过
，
，
，
四点的球的半径最小值为
10．（多选）（2026·山西太原·二模）已知在棱长为1 的正方体
中，
为侧面
内一点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．若
平面
，则
的最大值为
B．若点
在线段
上，则
的最小值为
C．存在点
，使得点
和点
到平面
的距离相等
D．三棱锥
外接球的体积的最小值是
11．（多选）（2026·四川眉山·二模）如图，在正方体
中，点
在线段
上运动，
则下列结论正确的是（ ）
A．
平面
B．不存在点
，使得平面
平面
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C．直线
与平面
所成角的正弦值的最大值为
D．若正方体棱长为1，则以
为球心，
为半径的球体被平面
所截图形面积的最小值
为
12．（多选）（2026·安徽淮北·二模）设正六棱锥
的侧面与底面所成的角为
，则（ ）
A．若
，则
的侧棱与底面所成角的余弦值为
B．若
的高为，
，则其内切球半径为
C．若
的高为，
，则其外接球半径为
D．若
的体积为定值，则其表面积最小时
13．（多选）（2026·安徽安庆·二模）在棱长为1 的正方体
中，点
是正方形
内（含边界）一动点，若点
到平面
的距离为
，则（ ）
A．点
的轨迹长度等于
B．
平面
C．直线
与平面
所成角的正弦值的最大值为
D．异面直线
与
，所成角的余弦值的最小值为
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14．（多选）（2026·黑龙江大庆·二模）已知正方体
的棱长为3，则下列说法正确
的是（ ）
A．
平面
B．三棱锥
的外接球的表面积为
C．若该正方体表面上的动点
满足
，则动点
的轨迹长度是
D．若该正方体的内切球表面上的动点
满足
平面
，则线段
长度的最小值为
15．（多选）（2026·广西河池·二模）如图，平面
平面
为线段
的中点，
，直线
与平面
所成角的大小为
为平面
内的动点，则下列说
法正确的是（ ）
A．球心为
、半径为
的球面被平面
截得的圆周长为
B．若点
到点
和点
的距离相等，则点
的轨迹是抛物线
C．若点
到直线
的距离为
，则
的最大值为
D．满足
的点
的轨迹是椭圆
16．（多选）（2026·浙江宁波·二模）正四棱台
的高为
，
，
，点
均在平面
内，且直线
与
夹角的正切值的最小值为
，则（ ）
A．点
的轨迹的长度为
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B．直线
与
所成角的正切值的最小值为
C．线段
的长度的最小值为
D．点
到直线
的距离大于
17．（多选）（2026·湖南岳阳·二模）如图，在棱长为1 的正方体
中，点
为
中点，动点
满足
则（ ）
A．若点
到直线
和
的距离相等，则
点的轨迹为抛物线的一部分
B．存在这样的点
使EP⊥平面
C．若点
与点
重合，则三棱锥
的外接球半径为
D．若
与
的夹角为
，
为线段
上的动点，则
的最小值为
18．（2026·福建泉州·二模）现有一个半径为6 的球状容器（不考虑容器厚度），在容器内放置8
个半径相同的实心小球，若这8 个小球的球心恰为某个正方体的8 个顶点，则小球半径的最大值为
___．
19．（2026·河北保定·二模）已知圆锥SO 的底面为单位圆，其体积为
是底面圆O 的直径，圆
O 内有一条动弦MN 垂直于AB，过MN 作平面
与母线SA 交于点
，当
时，
面积的
最大值为______________．
20．（2026·河北·二模）已知棱长为4 的正四面体
的各顶点均在球
的球面上，
为
的中点，动点
在球
的球面上运动，且
．记
在平面
上的射影为
，则
的轨迹
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长度为___________，
的轨迹所围成的区域面积为___________．
21．（2026·甘肃·二模）圆锥
的母线长为2，底面半径为1，过圆锥顶点
和底面圆周上任意两
点
作圆锥的截面，当底面圆心
到截面
的距离为
时，
重心的轨迹所围成图形的
面积是__________.
1．（2026·湖北武汉·二模）在三棱锥
中，直线
平面
，
，
.设直线
与平面
所成的角为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·陕西咸阳·二模）已知圆锥
的侧面积为
，其母线与底面所成的角是60°，要在圆
锥
内挖去一个体积最大的圆柱，要求圆柱的一个底面在圆锥
的底面上，则挖去的圆柱的体
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选）（25-26 高三下·重庆·月考）如图，在棱长为2 的正方体
中，点P 在
内（含边界）且
，则以下结论正确的是（ ）
A．异面直线
与
所成的角是
B．
与平面
所成的线面角的正切值为
C．点P 的运动轨迹长度为
D．点P 到平面ABCD 距离的取值范围是
4．（多选）（2026·河北唐山·二模）在四棱锥
中，
平面
19 / 42
有关空间线线角与线面角的问题
考点5
，
，则下列说法正确的是
（ ）
A．当
时，直线
平面PAB
B．当
时，直线CE 与PB 所成角为
C．当
时，直线CE 与平面PAD 所成角为
D．当
时，三棱锥
的外接球表面积为
5．（多选）（2026·广东揭阳·二模）如图，已知正方体
，点
，O 分别为上、下
底面的中心.正四面体
以
为轴旋转一圈，形成一个空间几何体，该几何体的轴截面的
截口曲线（截面与几何体侧面的交线）为双曲线的局部，则（ ）
A．直线
与直线
所成的角为90°
B．直线
与平面
所成的角为45°
C．若正方体的棱长为2，则点
到平面
的距离为
D．此双曲线的离心率为
6．（2026·云南大理·二模）庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，
有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：
“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式
为：
（
上袤
下袤）广高．如图2 所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底
20 / 42
面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为
，广为
，上袤是下袤的
，
和
与底面所成角均为
，则该刍甍的体积为________
．
7．（2026·广东清远·二模）在正三棱台
中，
，侧棱
与平面
所成角为
，则该棱台的体积为___________．
8．（2026·河南开封·二模）已知正方体
的棱长为1，
为平面
内一动点，
且直线
与平面
所成角为
，点
为正方形
的中心，若点
为直线
上一动点，
则
的最小值为__________．
9．（2026·河南濮阳·二模）如图，在四棱锥
中，底面四边形ABCD 是正方形，
底面ABCD，
是线段PC 的中点，
在线段PB 上，
．
(1)求证：
平面BDE；
(2)求证：
平面DEF
(3)
在线段PB 之间（不含端点），EG 与PA 所成的角为
，求平面DEF 与平面DEG 夹角的余弦
21 / 42
值．
10．（2026·湖南湘潭·二模）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
是
以
为斜边的等腰直角三角形．
(1)证明：平面
平面
．
(2)若
，
，且直线
与平面
所成的角为
，求直线
与平面
所成角的正
弦值．
11．（2026·河北·二模）如图，四棱台
的底面为正方形，
平面
，平面
与平面
的交线为l.
(1)证明:
平面
;
(2)若
，直线
与
交于点
，点N 是l 上一点，且
，当直线
与平面
所成的角最大时，求
.
12．（2026·福建泉州·二模）如图，已知在四棱锥
中，
，
，
，
．
22 / 42
(1)证明：
平面
；
(2)证明：
；
(3)若直线
与平面
所成角为
，点
在平面
内的正投影是点
，求四棱锥
的体积．
13．（2026·广东惠州·二模）如图所示，正四棱锥
的底面边长为
，延长
CD 到点
，使
，连接
.
(1)证明：
平面
；
(2)若
为等边三角形，点
是线段
上的动点，记
与平面
所成的角为
，求
的
最大值.
14．（2026·重庆·二模）如图，某几何体由半个圆锥(轴截面为SAB)和三棱锥
组成．已知圆
锥的底面半径为1，高
，
为直径，C 为底面圆周上异于A，B 的动点，M 为SC 的中点．
(1)若
，证明：平面
平面SAB；
(2)在点C 运动的过程中，记直线BM 与底面ABC 所成角为
，求
的取值范围．
15．（2026·山西太原·二模）如图，三棱锥
中，
.
23 / 42
(1)若
，求三棱锥
的体积；
(2)若直线
与平面
所成的角为
，求平面
与平面
夹角的取值范围.
16．（2026·湖南衡阳·二模）如图，在四棱锥
中，
底面
，底面
是矩形，
，E 是CD 的中点，AC 与BE 相交于点H，点F 在侧棱PD 上，
．
(1)证明：
平面
；
(2)当
时，求点P 到平面
的距离；
(3)若
，当直线PC 与平面
所成的角最大时，求实数
的值．
17．（2026·江苏苏州·二模）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若直线
与平面
所成的角为
，求线段
的长；
(3)是否存在线段
上一点
，使得
到点
的距离都相等？说明理由.
24 / 42
1．（2026·重庆渝中·二模）如图所示，二面角
为
，
是边长为2 的正三角形，
若
是三棱锥
外接球的直径，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·四川成都·二模）在四棱锥
中，底面
为矩形，
，且
，记二面角
为
，直线
与底面
所成的角为
，若
，则
的值的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2026·广西南宁·二模）在三棱锥
中，
为正三角形，
，
，二
面角
的平面角为
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选）（2026·江苏·二模）已知二面角
的大小为
，且
为
内异于
的任意一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选）（2026·广西柳州·二模）已知圆锥的顶点为
，底面圆心为
，
为底面直径，
，
，点
在底面圆周上，且二面角
为
，则（ ）.
A．该圆锥的侧面积为
B．该圆锥的体积为
25 / 42
有关空间二面角的问题
考点6
C．
D．
的面积为8
6．（多选）（2026·辽宁辽阳·二模）在长方体
中，
，
，M 是
棱AB 的中点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．二面角
的余弦值是
C．过
的平面截该长方体得到的图形面积是
D．沿长方体表面从
到
的最近距离是
7．（多选）（2026·山东济宁·二模）如图1，
与
是两个等腰三角形，
，
.将
沿着
翻折到
，如图2，设二面角
的平面角为
，
，
分别为
和
的中点，则（ ）
A．
B．四面体
体积的最大值为1
C．
时，过直线
且与
平行的平面截四面体
所得截面面积为
D．
时，四面体
外接球表面积为
8．（2026·湖北·二模）三棱锥
中，
、
、
与底面
所成的线面角相等，二面角
26 / 42
、
、
的大小也相等，且
，
，则三棱锥
的
外接球体积为__________.
9．（2026·上海·二模）在正四棱台
中，
，
，异面直线
与
所
成角为
，设二面角
的大小为
，则
________．
10．（2025·江苏南京·二模）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是菱形，
，点
在线段
上，
平面
.
(1)证明：
为
的中点；
(2)若
，二面角
的余弦值为
，求
的长.
11．（25-26 高三上·河北保定·期中）如图，在四棱锥
中，已知平面
平面
，
，
，
，
与
的交点为
.
(1)证明:
平面
;
(2)设
为
的中点，点
在
上且平面
平面
，若
，点
到平面
的距离
为
，求平面
与平面
所成二面角的正弦值.
12．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，在四面体ABCD 中，
27 / 42
，点E，F 分别是CD，AB 的中点.
(1)证明：
；
(2)若二面角
的大小为
，求直线EF 与平面BCD 所成角的大小.
13．（2026·安徽马鞍山·二模）如图，圆锥
的底面半径为1，高为2，
是
的直径，点
在
上，且
．
(1)求点
到平面
的距离；
(2)点
在线段
上，二面角
的大小为
，求直线
与圆锥底面所成角的正弦值．
14．（2026·河北保定·二模）如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，平面
平面
，平面
平面
，
，
，
.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：
；
(3)若
，点
在平面
内的射影为
，求二面角
的正弦值.
15．（2026·广东肇庆·二模）如图，在三棱锥
中，
.
28 / 42
(1)证明：
；
(2)若二面角
的大小为
，且
，求平面
与平面
夹角
的余弦值.
16．（2026·四川绵阳·二模）在三棱锥
中，
，
，
为边
的中点，
，且
平面
.
(1)在直线
上是否存在一点M，使得直线
平面
?若存在，指出M 点的位置，若不存在，
请说明理由.
(2)若平面
平面
.
①求证：
；
②求二面角
的大小.
17．（2026·上海长宁·二模）如图，
是圆锥顶点，
是底面圆心，点
、
在底面圆周上，
，
.
(1)若圆锥的侧面积为
，求圆锥的体积；
(2)若直线
与平面
所成角为
，求二面角
的平面角的正切值
18．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示，已知等腰梯形
中，
，
是
的中
点，将
沿
对折至
，使得与边长为2 的菱形
成60°的二面角，折叠后发现
.
29 / 42
(1)求点P 到平面
的距离；
(2)求二面角
的正弦值.
19．（2026·江西南昌·二模）如图，在多面体
中，若四边形
是边长为2 的正方形，
，
都是边长为2 的等边三角形，且
，
，
分别为
，
的中点．
(1)求证：平面
平面
；
(2)求二面角
的余弦值．
20．（2026·河北邢台·二模）如图，在平行六面体
中，底面
为菱形且
，
与底面
所成角为
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)求二面角
的正弦值；
(3)若
，求三棱锥
外接球的体积.
30 / 42
21．（2026·山西临汾·二模）如图，在三棱锥
中，
，
分别是
，
的中点，点
在
上，且满足
.
(1)证明：
平面
；
(2)设底面
是边长为6 的等边三角形，点
到底面的距离为3，且点
在底面的射影恰好落在线
段
上.
（ⅰ）求二面角
的正切值；
（ⅱ）若三棱锥
的所有顶点都在球
的表面上，当球
的表面积取最小值时，求球心
到
底面
的距离.
1．（2026·湖北恩施·二模）如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·上海长宁·二模）将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的
是（ ）.
A．
B．
C．
D．
31 / 42
有关立体几何中折叠的问题
考点7
3．（2026·湖北十堰·二模）如图，在正方形
中，
为
的中点，将
沿直线
折起
至
处，使得点
在平面
上的射影在直线
上，若三棱锥
外接球的表面积为
，则三棱锥
的体积为（ ）
A．
B．1
C．
D．
4．（多选）（2026·重庆·二模）如图，平面四边形
中，
为正三角形，
为等腰直
角三角形，
与
交于点
，若将
沿斜边
翻折，得到三棱锥
，则下列说法
正确的是（ ）
A．在翻折过程中，
与
始终垂直
B．在翻折过程中，
与
始终垂直
C．在翻折过程中，三棱锥有可能是正四面体
D．在翻折过程中，三棱锥有可能是正三棱锥
5．（多选）（2026·湖南衡阳·二模）如图，在矩形ABCD 中，
，E 为BC 的中点，将
沿AE 向上翻折到
，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．若平面
平面ABCD，则
B．四棱锥
的体积最大值为
C．点P 从点B 翻折到AD 中点的过程中，PD 的中点F 形成的轨迹长度为
D．三棱锥
的外接球表面积的最小值为
6．（多选）（2026·湖北宜昌·二模）如图1，梯形
中，
32 / 42
分别是边
的中点，将
沿
向上翻折
至
，如图2，则（ ）
A．在翻折过程中
和
可能平行
B．
到平面
的距离的最大值为
C．直线
和
所成角可能为
D．若平面
平面
，则三棱锥
的外接球的表面积是
7．（多选）（2026·四川遂宁·二模）如图所示，矩形
中，
，将
沿
翻折至
，使得
，则（ ）
A．不存在
的值使
B．存在
的值使平面
平面
C．三棱锥
体积的最大值为
D．当点
在平面
上的射影落在
上时，直线
与平面
所成角为
8．（多选）（2026·江西抚州·二模）如图，平面图形
由等腰直角
和直角
组成，
，
分别是边
和
的中点，现将
沿
翻折，
则下列结论中正确的是（ ）
33 / 42
A．
B．若平面
平面
，则
C．
D．已知点
均在球
的表面上，当三棱锥
的体积最大时，球
的半径为
9．（多选）（2026·云南玉溪·二模）已知菱形ABCD 的边长为
与BD 交于点
，
将
沿AC 翻折得到
且
分别为AB，BC 中点，
，设平
面EFG 截四面体
所得截面面积为
，下列选项正确的是（ ）
A．若GE 与平面ABC 所成角为
，则
B．若
，则
C．
的极大值为
D．
的极小值为
10．（2026·广东佛山·二模）在平面四边形
中，
．
将
沿
翻折到
，若三棱锥
的外接球半径是2，则二面角
的正弦
值是___________．
11．（2026·四川攀枝花·二模）如图，平面四边形
中，
是边长为2 的等边三角形，
，
．现将
沿
翻折至
，使得
．
34 / 42
(1)证明：平面
平面
；
(2)已知
是线段
上的点，若直线
与平面
所成角
的正弦值为
，求点
到直线
的距离．
12．（2026·安徽池州·二模）如图1 所示，在平面四边形ABCD 中，已知
，
，将
沿直线AC 翻折至
（如图2），使得
．
(1)证明：平面
平面ACD；
(2)点F 在线段DE 上，且二面角
的大小为60°．
（ⅰ）若
，求
的值；（ⅱ）求CD 与平面ACF 所成角的正弦值．
13．（2026·山东东营·二模）已知全等的等腰直角三角形
和
，其中
，
，现将
沿
进行翻折，使二面角
的大小为
，连接
得到四面体
．
(1)证明：
；
35 / 42
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
14．（2026·浙江宁波·二模）在
中，
为
的中点，如图，沿
将
翻折至
位置，满足
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)线段
上是否存在点
，使得
在平面
内的射影恰好落在直线
上.若存在，求出
的长度；若不存在，请说明理由.
15．（2026·云南昆明·二模）如图，直角
，斜边
为
的中点，将
沿
翻折到
，设二面角
的大小为
，满足
.
(1)证明：
；
(2)求直线
与平面
所成角的大小；
(3)当四面体
的体积最大时，求
.
16．（2026·安徽合肥·二模）如图，在面积为
的梯形
中，
，
，
为
的中点.将
沿
翻折至
.
36 / 42
(1)证明：
；
(2)当
时，求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)当
时，求四棱锥
体积的最大值.
17．（2026·山东日照·二模）如图1，在边长为2 的正方形
中，
分别为线段
的中
点，现将四边形
折起至
，得到三棱柱
，如图2，记二面角
的
平面角为
．
(1)若
，求三棱柱
的体积；
(2)若
为线段
上一点，满足
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
1．（2026·新疆·二模）桌面上有以下四种几何体，设P 是几何体表面上的一点，任意转动几何体
（始终与桌面保持接触），则点P 到桌面的距离最大的几何体是（ ）
A．棱长为1 的正方体
B．表面积为
的球
C．轴截面是边长为1 的正方形的圆柱
D．体积为
且轴截面为直角三角形的圆锥
2．（2026·广西柳州·二模）某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2 米的正方体物件作为装饰，如图，
，
，
，
为该正方体的顶点，
，
，
为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面
.
若平面
与平面
平行，且直绳索
的长度为
米，则点
到平面的距离为（ ）
37 / 42
有关空间中的距离问题
考点8
A．
2 3
3
米
B．
8 3
3 米
C．2 3 米
D．
4 3
3
米
3．（2026·福建漳州·二模）空间中有四个平行平面，相邻两个平面的距离从上到下依次为1，2，
3，则在各平面上分别取一点构成的正四面体的体积为（ ）
A．
21
B．7 21
C．14
D．7 14
4．（多选）（2026·广西河池·二模）如图，在棱长为4 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E
F
，
分别是
棱
1
1
A D
AB
，
的中点，点H 为线段
1
AA
上的动点，下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥
1
H
BB E
的体积为定值
B．CF
BE
C．
1
//
A F
平面
1
BB E
D．点F 到直线BE 的距离为
2 5
3
5．（多选）（2026·河北保定·二模）已知四边形ABCD 是平行四边形，
(0,0,1), (2,1,1),
(2,2,0)
A
B
C
，
则（ ）
A．点D 的坐标是
0,1,0
B．
5
cos
5
BAD
C．四边形ABCD 的面积是3
D．坐标原点O 到直线AC 的距离为
2 2
3
6．（多选）（2026·山东德州·二模）正三棱锥S
ABC
中，
3 2,
3
AB
SA
，点M 在底面
ABC
V
38 / 42
内运动（含边界），M 到棱
,
,
SA SB SC 的距离分别为
1
2
3
,
,
d d
d
，若
2
2
2
1
2
3
10
d
d
d
，则（ ）
A．S
ABC
的体积为
9
2
B．S
ABC
外接球的体积为27π
C．
5
MS
D．M 的运动路径的长度为
2π
7．（多选）（2026·安徽滁州·二模）正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为2，点P 在平面
1
1
BCC B
内
（含边界），且点
P 到点
B 的距离与到平面
1
1
CDD C
的距离相等，点M 为线段AD 中点，则（ ）
A．三棱锥
1
A
MD P
的体积为定值
B．恰有两个点P ，使得直线
/ /
MP
平面
1
1
AB D
C．
PB
PC 的最小值为
2
2
D．若AP 与平面ABCD 所成角的正弦值为
2 2
5
，则P 到平面
1
1
CDD C 的距离为
3
2
8．（多选）（2026·浙江台州·二模）已知正四面体
A
BCD
的棱长为4，顶点
,
,
B C D
在平面
的同
侧，点
A
，顶点
,
B C
到平面
的距离分别为1，2，直线
BC
与平面
交于点E ，则（ ）
A．直线AC 与平面所成角为
π
6
B．平面ABC 与平面所成角为
π
3
C．AC
AE
D．点D 到平面的距离为1
2 2
9．（2026·河北邢台·二模）如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E ，F 分别是
1
CC
，
1
DD
的中点，平面经过直线BF 且平行于直线
1A E
，则点D 到平面的距离为______.
39 / 42
10．（2026·四川凉山·二模）若
1,0,0 ,
0,2,0 ,
0,0,3
PA
PB
PC
，则点P 到平面ABC 的距离
d __________.
11．（2026·山西临汾·二模）在棱长为1 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，点A 到平面
1A BD
的距离为
______.
12．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示，已知等腰梯形ABCE 中，AB
EC
∥
，D 是EC 的中
点，将
AED
△
沿AD 对折至
APD
△
，使得与边长为2 的菱形ABCD 成60°的二面角，折叠后发现
PB
AD
.
(1)求点P 到平面ABCD 的距离；
(2)求二面角A
PB
C
的正弦值.
13．（2026·湖北黄冈·一模）如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为菱形，
2
AB
，
60
ABC
，
/ /
AC
平面BGH ，点G ，H 分别在棱PA ，PC 上，且GH
PD
．
(1)求证：PA
PC
；
(2)若
PB
PD ，PB 与平面PAC 所成的角为60°，点A 关于平面PCD 的对称点为M ，求点M 到平面
PAB 的距离．
14．（2026·广东湛江·二模）如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，
60
BAD
，
且
2
AB
，三角形ADE 是正三角形，平面ADE 平面ABCD .点F 在平面ABCD 上的投影为BD 与
AC 的交点O ，且
3
OF
.
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(1)证明：BD 平面AOF ；
(2)求直线EF 与平面BDE 所成角的正弦值；
(3)求点D 到平面BEF 的距离.
15．（2026·广东汕头·二模）如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为直角梯形，其中
/ /
,
,
AD
BC PB
AD AD
2
6,
BC
4
AB
PA
PB
，
5
CD
，点E、F 分别为棱PD、AD 的中点.
(1)求证：平面PAB 平面ABCD；
(2)请作出四棱锥P
ABCD
过B、E、F 三点的截面，并求出截面图形周长；
(3)过B、E、F 三点的平面上是否存在动点M ，使其到点C 的距离为3？若存在，求点M 在运动过
程中所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由.
16．（2026·江西抚州·二模）如图，在三棱锥P
ABC
中，PAB
是边长为2 的等边三角形，
3
7
PC
AC
BC
,
.
(1)证明：平面PAB 平面ABC .
(2)求点B 到平面PAC 的距离.
(3)求平面PBC 和平面PAC 夹角的余弦值.
17．（2026·山西临汾·二模）如图，在三棱锥P
ABC
中，D ，E 分别是PA ，BC 的中点，点F 在
AB 上，且满足
1
2
AF
FB
.
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(1)证明：
/ /
PE
平面CDF ；
(2)设底面ABC 是边长为6 的等边三角形，点P 到底面的距离为3，且点P 在底面的射影恰好落在线
段CF 上.
（ⅰ）求二面角P
CF
D
的正切值；
（ⅱ）若三棱锥P
ACE
的所有顶点都在球O 的表面上，当球O 的表面积取最小值时，求球心O 到
底面ACE 的距离.
18．（2026·江苏苏州·二模）如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD ，AB
AD
，
3
AB
AD
，AB
AP
，
2
CD
，
45
CDA
.
(1)证明：平面PAB 平面PAD ；
(2)若直线PB 与平面PCD 所成的角为30，求线段AB 的长；
(3)是否存在线段AD 上一点E ，使得E 到点
, ,
,
P B C D
的距离都相等？说明理由.
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