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考向 02 常用逻辑用语
1. 【2022年浙江卷第4题】设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为 可得：当 时， ，充分性成立；
当 时， ，必要性不成立；所以当 ， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
2.【2022年天津卷第2题】“ ”是“ ”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不允分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，若 ，则 ，故充分性成立；
当 ， ，故必要性不成立；所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
3．【2021年全国甲卷第7题】等比数列 的公比为 ，前 项和为 ．设甲： ．乙： 是递增
数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲不是乙的充分条件也不是必要条件
【答案】B【解析】 时， 是递减数列，所以甲不是乙的充分条件； 是递增数列，可以推出
，可以推出 ，甲是乙的必要条件．故选：B．
1．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
【提醒】当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．
2．充分条件与必要条件的判断方法
(1)若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；
(3)若p⇒ q且q p，则p是q的必要不充分条件；
(4) 若p q，则p是q的充要条件；
⇒
(5) 若p⇔ q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件.
3．复合命题的真假判断
“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：
p q
真 真 假 假 真 真 假 假 假 假
真 假 假 真 真 假 假 真 真 假
假 真 真 假 真 假 假 真 真 假
假 假 真 真 假 假 真 真 真 真
4．含有一个量词的命题的否定
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：
命题 命题的否定5.区分命题的否定与否命题
命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.命题p的否定是否定命题所作的判断.
而“否命题”是对“若p则q”形式的命题而言.既要否定条件也要否定结论.
【易错点1】混淆命题的否定与否命题
命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.
命题p的否定是否定命题所作的判断.
而“否命题”是对“若p则q”形式的命题而言.既要否定条件也要否定结论.
【易错点2】充分条件、必要条件颠倒致误
对于两个条件A和B.
如果A⇒B成立.则A是B的充分条件.B是A的必要条件;
如果B⇒A成立.则A是B的必要条件.B是A的充分条件;
如果A⇔B.则A.B互为充分必要条件.
解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性.所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件
的概念作出准确的判断.
【易错点3】“或”“且”“非”理解不准致误
命题p∨q真⇒p真或q真.命题p∨q假⇒p假且q假(概括为一真即真);
命题p∧q真⇒p真且q真.命题p∧q假⇒p假或q假(概括为一假即假);
¬p真⇒p假.¬p假⇒p真(概括为一真一假).求参数取值范围的题目.也可以把“或”“且”“非”与集合
的“并”“交”“补”对应起来进行理解.通过集合的运算求解.
uuur uuur uuur
ABAC BC
1.设点A,B,C不共线，则“ 与 的夹角是锐角”是“ ”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】选C，充分性： 的夹角是锐角，所以 .
则有;
必要性： ,
所以 的夹角是锐角.
2．已知直线 ，其中 ，则“ ”是“ ”的 （
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】选A.直线 的充要条件是 或 ．
3．命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】选C.命题“ ， ”的否定是“ ， ”，特别注意特征命
题与全称命题的互否关系。
4．下列命题正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．对于命题 ： ，使得 ，则 ： 均有
C．若 为真命题，则 ， 只有一个为真命题
D．命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
【答案】B
【解析】选B.对于A,“ ”是“ ”的充分不必要条件;对于C，若 为真命题，p或q
都为命题；对于D，否命题为“若 ，则 ”
5.下列说法错误的是（ ）
A．命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”
B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件
C．命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，x2+x+1≥0”
D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
【答案】D
【解析】选D.若p∧q为假命题，则p、q至少有一个为假命题.一、单选题
1．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（文））给出下列四个命题，其中假命题的个数为（ ）
① ，使 是幂函数；
②若 只有一个零点，则 ；
③命题“若 且 ，则 ”的否命题为“若 且 ，则 ”；
④函数 在区间 上单调递增，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】对于①，令 ，即 ，
因为 ，所以方程有两个不相等实数根，所以存在实数 满足题意，故①正确；
对于②，若 只有一个零点，
当 时 只有一个零点满足题意，
当 ，令 ，即 ，则 ，解得 ，
综上可得 或 ，故②错误；
对于③，命题“若 且 ，则 ”的否命题为“若 或 ，则 ”，故③错误；
对于④，因为 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以 ，故④错误；
故选：C2．（2022·上海交大附中模拟预测）设 是定义在非空集合 上的函数，且对于任意的 ，总有
．对以下命题：
命题 ：任取 ，总存在 ，使得 ；
命题 ：对于任意的 ，若 ，则 ．
下列说法正确的是（ ）
A．命题 均为真命题
B．命题 为假命题， 为真命题
C．命题 为真命题， 为假命题
D．命题 均为假命题
【答案】B
【解析】命题p显然是错的，下分析命题q为真命题．
关注到 的任意性，不妨设 ，则 ，这是很重要的一点．
若 ，易知 ，若 ，则可验证S为无限集．
上述为分析过程，下利用反证法进行证明．
不妨假设 ，而由于 ，由定义， ，
则 ，与假设矛盾．
故选：B
3．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知命题 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由全称命题的否定为特称命题，所以 为 .故选：D
4．（2022·贵州毕节·三模（理））设有下列四个命题：：“ ，使得 ”的否定是“ ，都有 ”；
：若函数 是奇函数，则必有 ；
：函数 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到；
：若幂函数 的图象与坐标轴没有公共点，则 ．
则下述命题中真命题是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】命题“ ，使得 ”的否定是“ ，都有 ”，所以命题 为假命
题；
若函数 是奇函数，只有当 上有定义时，才有 ，所以命题 为假命题，则命题 为真
命题；
将函数 的图象向右平移 个单位，可得 ，
所以命题 为真命题，命题 为假命题；
当 时，幂函数 的图象与坐标轴没有公共点，所以命题 为假命题，
则 为真命题；
根据复合命题的真假判定方法，可得命题 、 和 都是假命题；
命题 为真命题.
故选：B.
5．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））下列说法错误的是（ ）
A．若命题 ： ， ，则 ： ，
B．“ ”是“ ”的必要不充分条件C．若命题“ ”为真命题，则命题 与命题 中至少有一个是真命题
D．“若 ，则 中至少有一个不小于 ”的逆否命题是真命题
【答案】C
【解析】对于A，由特称命题的否定可知： ， ，A正确；
对于B，当 时， 无意义，充分性不成立；当 时， ，必要性成立；则“
”是“ ”的必要不充分条件，B正确；
对于C，若 均为假命题，则 均为真命题， 为真命题，C错误；
对于D，原命题的逆否命题为：若 都小于 ，则 ，可知逆否命题为真命题，D正确.
故选：C.
二、多选题
6．（2022·山东省实验中学模拟预测）已知直线 平面 ，直线 平面 ，则（ ）
A．若 与 不垂直，则 与 一定不垂直
B．若 与 所成的角为 ，则 与 所成的角也为
C． 是 的充分不必要条件
D．若 与 相交，则 与 一定是异面直线
【答案】AC
【解析】对于A，当 与 不垂直时，假设 ，因为 ，则 ，这与已知条件矛盾，
因此 与 一定不垂直，A正确；
对于B选项，由线面角的定义可知， 与 所成的角是直线 与平面 内所有直线所成角中最小的角，
若 与 所成的角为 ，则 与 所成的角 满足 ，B错；
对于C选项，若 ， ， ，则 ，即 ，
若 ，因为 ，则 与 平行或异面，即 .
所以， 是 的充分不必要条件，C对；
对于D选项， 若 与 相交，则 与 相交或异面，D错.
故选：AC.
7．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）在半径为10的圆上有三点M，N，C，其中M，N两点的坐标分别为 ､ .现有两个命题如下：p：若∠MNC为60°，则三角形MNC的面积为 ；q：若
，则四边形MCND的面积为 .那么下列选项正确的是（ ）
A．命题p是真命题 B．命题p是假命题
C．命题q是真命题 D．命题q是假命题
【答案】AD
【解析】M，N都在圆上，线段 ，因此MN为直径.由圆的性质知
为直角三角形，有一个角为60°， ,因此其面积为 ，故命题p为真命题，因
此A正确.
， ，则 ，所以 与 垂直，因此四边
形MCND的面积应当为 ，命题q为假命题，故D正确.
故选:AD.
8．（2022·广东茂名·模拟预测）下列四个命题中为真命题的是（ ）
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．设 是两个集合，则“ ”是“ ”的充要条件
C．“ ”的否定是“ ”
D． 名同学的数学竞赛成绩分别为： ，则该数学成绩的 分位数为70（注：一
般地，一组数据的第 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据小于或者等于这个值，
且至少有 的数据大于或者等于这个值．)
【答案】ABD【解析】当 时， ；当 成立时，可得 ，所以A正确；
因为 等价于 ，所以B正确；
C项显然错误，命题的否定只否定结论，条件不否定；
把数据按照从小到大的顺序排列为： ，因为 ，所以该数学成绩的
百分位数为 ，D正确．
故选：ABD．
9．（2022·山东临沂·三模）下列命题正确的是（ ）
A．正实数x，y满足 ，则 的最小值为4
B．“ ”是“ ”成立的充分条件
C．若随机变量 ，且 ，则
D．命题 ，则p的否定：
【答案】BC
【解析】对于A， ，当且仅当 时等号
成立，故A错误；
对于B，“ ”能推出“ ”，故B正确；
对于C， ，解得 ，故C正确；
对于D，p的否定： ，故D错误.
故选：BC.
10．（2022·吉林一中三模）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 恒成立；
B．在线性回归分析中，相关系数 的值越大，变量间的相关性越强
C．命题“ ”的否定是“ ”．
D．若随机变量 ，且 ，则
【答案】AC【解析】令 ，则 ，所以函数在 上单调递增，故当 时，
，所以 恒成立，故A正确；
在线性回归分析中，相关系数 的绝对值越大，变量间的相关性越强，故B错误；
由含量词的命题的否定知，“ ”的否定是“ ”正确，故C正确；
由正态分布η～N（2，σ2）知，P（η<2）＝0.5， ，故D错误.
故选：AC
三、填空题
11．（2022·陕西咸阳·二模（理））给出以下命题：
① “ ”是“ ， ”的充分不必要条件；
②垂直于同一个平面的两个平面平行；
③若随机变量X~N（3， ），且 ，则 ；
④已知点P（2，0）和圆O： 上两个不同的点M，N，满足∠MPN=90°，Q是弦MN的中点，则
点Q的轨迹是一个圆.
其中正确命题的序号是___________.
【答案】①④
【解析】对于①：由 ， ，得 ，所以“ ”是“ ， ”的充
分不必要条件，故①正确；
对于②：垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，故②不正确；
对于③：因为随机变量X~N（3， ），且 ，所以 ，
所以 ，故③不正确；
对于④：设点 ，由题意得 ，则 ，化简得
，所以点Q的轨迹是一个圆.故④正确，
故答案为：①④.12．（2022·湖南师大附中高二阶段练习）给出下列四个结论：
①若角 为第一象限的角，则角 必为锐角；
②对任意的复数z，都有 ；
③设 是空间一个平面，m，n是空间两条不同的直线，且 .则“n m”是“n ”的充分条件；
④在三角形ABC中，若A
