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专题 06 函数动点之图形的存在性
典例分析：典例1
1
= x2+
2
如图，抛物线y bx+c与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中B
（6，0），C（0，﹣6）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当 m取何值时，△PBC的面积最大？并求出
△PBC面积的最大值；
（3）在（2）中△PBC面积取最大值的条件下，点M是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确
定一点N，使得以A、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐
标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
1
解题思路：（1）把B（6，0），C（0，﹣6）代入y= x2+bx+c，用待定系数法可得该抛物线
2
1
的函数表达式为y= x2−2x﹣6；
2
（2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，由B（6，0），C（0，﹣6）可得直线BC解析式为y＝x﹣
1 1 1
6，根据P（m，
2
m2﹣2m﹣6），Q（m，m﹣6），得PQ =−
2
m2+3m，即得S△PBC =
2
PQ•|x
B
﹣
1 1 3 27
x |= （− m2+3m）×6=− （m﹣3）2+ ，由二次函数性质得当m取3时，△PBC的面积最
C 2 2 2 227
大，△PBC面积的最大值是 ；
2
15 1
（3）由（2）知，m＝3，P（3，− ），由 x2−2x﹣6＝0可得 A （﹣ 2 ， 0 ），设 M （ 2 ，
2 2
1
p ）， N （ q ， q 2 ﹣ 2 q ﹣ 6 ）， 点 分三种情况：①若PA，MN为对角线，则PA，MN的中点重合，
2
{
3−2=2+q
7
有
−
15
+0=p+
1
q2−2q−6
（线式）即中点重合，可得N（﹣1，−
2
），②若PM，AN为
2 2
9
对角线，同理可得N（7， ），③若PN，AM为对角线，同理可得N（﹣3，3）．
2
1
答案详解：解：（1）把B（6，0），C（0，﹣6）代入y= x2+bx+c得：
2
{1
×36+6b+c=0
2 ，
c=−6
{b=−2
解得 ，
c=−6
1
∴该抛物线的函数表达式为y= x2−2x﹣6；
2
（2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，如图：
由B（6，0），C（0，﹣6）可得直线BC解析式为y＝x﹣6，1
∵n= m2﹣2m﹣6，
2
1
∴P（m， m2﹣2m﹣6），则Q（m，m﹣6），（点）
2
1 1
∴PQ＝（m﹣6）﹣（ m2﹣2m﹣6）=− m2+3m，（线）
2 2
1 1 1 3 3 27
∴S△PBC =
2
PQ•|x
B
﹣x
C
| =
2
（−
2
m2+3m）×6 =−
2
m2+9m =−
2
（m﹣3）2+
2
，（式）
3
∵− ＜0，
2
27
∴m＝3时，S△PBC 取最大值，最大值为
2
，
27
∴当m＝3时，△PBC的面积最大，△PBC面积的最大值是 ；
2
15
（3）由（2）知，m＝3，P（3，− ），
2
1
由
x2−2x﹣6＝0得x
＝﹣2，x ＝6，
2 1 2
∴A（﹣2，0），点
−2
1 =− =
抛物线y= x2−2x﹣6的对称轴是直线x 1 2，
2 2×
2
1
设M（2，p），N（q， q2﹣2q﹣6），点
2
①若PA，MN为对角线，则PA，MN的中点重合，
{
3−2=2+q
∴ 15 1 ，（线式）即中点重合
− +0=p+ q2−2q−6
2 2
{p=−4
解得 ，
q=−1
7
∴N（﹣1，− ），
2
{p=12
②若PM，AN为对角线，同理可得 ，
q=7
9
∴N（7， ），
2{p=−3
③若PN，AM为对角线，同理可得 ，
q=−3
∴N（﹣3，3），
7 9
综上所述，点N的坐标为（﹣1，− ）或（7， ）或（﹣3，3）．
2 2
典例2
如图，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别相交于A、C两点，抛物线y＝﹣
2x2+bx+c经过点A、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为P，在抛物线上存在点Q，使△ABQ的面积等于△APC面积的4倍．求
出点Q的坐标；
（3）点M是直线y＝﹣2x+4上的动点，过点M作ME垂直x轴于点E，在y轴（原点除外）上
是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标及对应的点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）根据直线y＝﹣2x+4求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析
式解答即可；
（2）根据抛物线解析式求出点P的坐标，过点P作PD⊥y轴于D，根据点P、C的坐标求出
PD、CD，然后根据S△APC ＝S梯形APDO ﹣S△AOC ﹣S△PCD ，列式求出△APC的面积，再根据抛物线
解析式求出点B的坐标，从而得到AB的长度，然后利用三角形的面积公式求出△ABQ的点Q的
纵坐标的值，然后代入抛物线求解即可得到点Q的坐标；
（3）根据点E在x轴上，根据点M在直线y＝﹣2x+4上，设点M的坐标为（a，﹣2a+4），然后分①∠EMF＝90°时，利用点M到坐标轴的距离相等列式求解即可；②∠MFE＝90°时，根据
等腰直角三角形的性质，点M的横坐标的长度等于纵坐标长度的一半，然后列式进行计算即可
得解．
答案详解：解：（1）令x＝0，则y＝4，
令y＝0，则﹣2x+4＝0，解得x＝2，
所以，点A（2，0），C（0，4），
∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A、C，
{−2×4+2b+c=0
∴ ，
c=4
{b=2
解得 ，
c=4
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；
1 9
（2）∵y＝﹣2x2+2x+4＝﹣2（x− ）2+ ，
2 2
1 9
∴点P的坐标为（ ， ），
2 2
如图，过点P作PD⊥y轴于D，
又∵C（0，4），点
1 9 1
∴PD= ，CD= −4= ，线
2 2 2
∴S△APC ＝S梯形APDO ﹣S△AOC ﹣S△PCD
1 1 9 1 1 1 1
= ×（ +2）× − ×2×4− × × 式
2 2 2 2 2 2 2
45 1
= −4−
8 8
3
= ，
2
令y＝0，则﹣2x2+2x+4＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝2，
1 2
∴点B的坐标为（﹣1，0），
∴AB＝2﹣（﹣1）＝3，
设△ABQ的边AB上的高为h，∵△ABQ的面积等于△APC面积的4倍，
1 3
∴ ×3h＝4× ，
2 2
解得h＝4，
9
∵4＜ ，
2
∴点Q可以在x轴的上方也可以在x轴的下方，
即点Q的纵坐标为4或﹣4，
当点Q的纵坐标为4时，﹣2x2+2x+4＝4，
解得x ＝0，x ＝1，
1 2
此时，点Q的坐标为（0，4）或（1，4），
当点Q的纵坐标为﹣4时，﹣2x2+2x+4＝﹣4，
1+√17 1−√17
解得x = ，x = ，
1 2 2 2
1+√17 1−√17
此时点Q的坐标为（ ，﹣4）或（ ，﹣4），
2 2
1+√17 1−√17
综上所述，存在点Q（0，4）或（1，4）或（ ，﹣4）或（ ，﹣4）；
2 2
（3）存在．
理由如下：如图，∵点M在直线y＝﹣2x+4上，
∴设点M的坐标为（a，﹣2a+4），点
①∠EMF＝90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|＝|﹣2a+4|，线式
即a＝﹣2a+4或a＝﹣（﹣2a+4），
4
解得a= 或a＝4，
3
4 4 4
∴点F坐标为（0， ）时，点M的坐标为（ ， ），
3 3 3
点F坐标为（0，﹣4）时，点M的坐标为（4，﹣4）；
②∠MFE＝90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，
1
∴|a|= |﹣2a+4|，线式
21
即a= （﹣2a+4），
2
解得a＝1，
﹣2a+4＝2×1＝2，
此时，点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2），
1
或a=− （﹣2a+4），
2
此时无解，
4 4 4
综上所述，点F坐标为（0， ）时，点M的坐标为（ ， ），
3 3 3
点F坐标为（0，﹣4）时，点M的坐标为（4，﹣4）；
点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．
实战训练
一．平行四边形
1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的
四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．试题分析：（1）先利用一次函数的性质求出B、C的坐标，然后把B、C的坐标代入到抛物线解
析式中求解即可；
（2）分BC为对角线和边两种情况，利用平行四边形的性质进行求解即可．
答案详解：解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B，C的坐标分别为B（0，4），C（4，0），
把点B（0，4）和点C（4，0）代入抛物线y＝ax2+x+c得：
{16a+4+c=0
，
c=4
{ 1
a=−
解之，得 2，
c=4
1
∴抛物线的解析式为y=− x2+x+4；
2
1
（2）存在．由抛物线y=− x2+x+4可得对称轴是直线x＝1．
2
∵Q是抛物线对称轴上的动点，
∴点Q的横坐标为1．
①当BC为边时，点B到点C的水平距离是4，
∴点Q到点P的水平距离也是4．
∴点P的横坐标是5或﹣3，
7 7
∴点P的坐标为（5，− ）或（﹣3，− ）；
2 2②当BC为对角线时，点Q到点C的水平距离是3，
∴点B到点P的水平距离也是3，
5
∴点P的坐标为（3， ）．
2
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐
7 7 5
标是（5，− ）或（﹣3，− ）或（3， ）．
2 2 2
2．已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，
有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点 E，交x轴于点F，AB＝
4，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AE、CE，当△ACE的面积最大时，求出△ACE的最大面积和点D的坐标；
（3）当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．试题分析：（1）用待定系数法即可求解；
1
（2）设D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），则DE＝﹣m2﹣3m，故S△ACE =
2
×3×（﹣m2﹣
3m），进而求解；
（3）分BC、BQ、BE分别为平行四边形的对角线三种情况，分别求解即可．
答案详解：解：（1）∵点B（1，0），AB＝4，
∴A（﹣3，0），
将B（1，0），A（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，
{ a+b+3=0 {a=−1
∴ ，解得 ，
9a−3b+3=0 b=2
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设直线AC的解析式为y＝k'x+b'，
{−3k'+b'=0 {k'=1
∴ ，解得 ，
b'=3 b'=3
∴y＝x+3，
∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），
∴DE＝﹣m2﹣3m，
1 3 3 27
∴S△ACE =
2
×3×（﹣m2﹣3m）=−
2
（m +
2
）2+
8
，
3 27
∴当m =−
2
时，S△ACE 的值最大为
8
，
3 3
∴D（− ， ）；
2 2（3）存在，理由如下：
∵m＝﹣2，
∴E（﹣2，3），
设Q（n，t），
①当BC为平行四边形的对角线时，
{1+0=−2+n {n=3
则 ，解得 ，
0+3=3+t t=0
∴Q（3，0）；
②当BE为平行四边形的对角线时，
{1−2=0+n {n=−1
则 ，解得 ，
0+3=3+t t=0
∴Q（﹣1，0）；
③当BQ为平行四边形的对角线时，
{1+n=0−2 {n=−3
则 ，解得 ，
0+t=3+3 t=6
∴Q（﹣3，6）；
综上所述：当Q点为（3，0）或（﹣1，0）或（﹣3，6）时，以B，C，E，Q为顶点的四边形
为平行四边形．
1 9
3．如图，抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（ ， ），与x轴交于点 A、点B（2，0），与
2 4
y轴交于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BOC的面积；
（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在抛物线上，是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点
的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．1 9 1 9
试题分析：（1）由抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（ ， ）得h= ，k= ，将B点坐
2 4 2 4
标代入即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）求出点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）分BC是平行四边形边以及BC是平行四边形对角线两种情况讨论，结合平行四边形性质以
及坐标特点即可求出Q点坐标．
1 9
答案详解：解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（ ， ），
2 4
1 9 1 9
∴h= ，k= ，y＝a（x− ）2+ ，
2 4 2 4
∵抛物线与x轴交于点B（2，0），
1 9
∴a（2− ）2+ =0，
2 4
解得：a＝﹣1，
1 9
∴抛物线的函数表达式：y＝﹣（x− ）2+ =−x2+x+2；
2 4
（2）∵y＝﹣x2+x+2；
∴C（0，2），
∵B（2，0），
∴OB＝OC＝2，
1
∴△BOC的面积为： ×2×2＝2；
2
（3）存在，
1 9
∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（ ， ），
2 4
1
抛物线的对称轴x= ，
2
1
∴点P的横坐标为 ，
2
分情况讨论：
①当BC是平行四边形边时，由于OB＝2，1
设Q（a，b），则|a− |＝2，
2
5 3
解得：a= 或− ，
2 2
5 7
当a= 时，b=− ，
2 4
3 7
当a=− 时，b=− ，
2 4
5 7 3 7
故Q（ ，− ）或（− ，− ）；
2 4 2 4
②当BC是平行四边形对角线时，
∵B（2，0），C（0，2），
∴BC的中点坐标为（1，1），
1
设Q（a'，b'），则a'+ =2，
2
3
解得：a'= ，
2
3 5
当a'= 时，b'= ，
2 43 5
∴Q（ ， ），
2 4
5 7 3 7 3 5
综上所述，点Q坐标为（ ，− ）或（− ，− ）或（（ ， ）．
2 4 2 4 2 4
二．相似三角形
4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），过点A的直线y＝﹣x﹣1与该
抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线
AC于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线AC的下方，且PE＝2DE时，求点P的坐标；
（3）当直线PD为x＝1时，在直线PD上是否存在点Q，使△ECQ与△EDA相似？若存在，请
求出点Q坐标；若不存在，请说明你的理由．
试题分析：（1）将点A，B的坐标代入y＝x2+bx+c，解方程即可得出答案；
（2）设P（x，x2﹣3x﹣4），则E（x，﹣x﹣1），D（x，0），写出PE，DE的长度，利用PE
＝2ED这一等量关系列出方程即可得出答案；
（3）分两种情况进行讨论，由相似三角形的性质可分别求出Q点的坐标．
答案详解：解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c，
{ 1−b+c=0
得， ，
16+4b+c=0
{b=−3
解得， ，
c=−4
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）因为点P在直线AC的下方，设P（x，x2﹣3x﹣4），则E（x，﹣x﹣1），D（x，0），则PE＝﹣x﹣1﹣（x2﹣3x﹣4）＝﹣x2+2x+3，DE＝x+1，
∵PE＝2ED，
∴﹣x2+2x+3＝2（x+1），
解得，x ＝﹣1（与点A重合，舍去），x ＝1，
1 2
∴y＝x2﹣3x﹣4＝12﹣3×1﹣4＝﹣6，
∴P（1，﹣6）；
综上所述，点P的坐标为（1，﹣6）；
（3）存在．
理由如下：∵直线AC和抛物线y＝x2﹣3x﹣4交于A，C两点，联立方程得，
﹣x﹣1＝x2﹣3x﹣4，
解得x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴C（3，﹣4），
∴AC=√(3+1) 2+(−4−0) 2=4√2，
由直线DP：x＝1和直线AC：y＝﹣x﹣1得，AD＝2，DE＝2，
∴AE=√22+22=2√2，
∴CE＝AC﹣AE＝4√2−2√2=2√2，
∵∠AED＝∠CEP，要使△QCE与△EDA相似，必有∠EQC＝∠EDA＝90°或∠ECQ＝∠EDA＝
90°，
①当∠EQC＝∠EDA＝90°时，
∵AE＝CE＝2√2，∴△EQC≌△EDA，
∴EQ＝DE＝2，
∴点Q的坐标为（1，﹣4）；
②当∠ECQ＝∠EDA＝90°时，
∵△ECQ∽△EDA，
EQ EC
∴ = ，
EA ED
2√2×2√2
∴EQ= =4，
2
∴DQ＝DE+EQ＝2+4＝6，
∴点Q的坐标为（1，﹣6）．
综上所述，点Q的坐标为（1，﹣4）或（1，﹣6）时，△ECQ与△EDA相似．
7 9
5．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（ ，− ）两点，直线AB与x轴相交于
2 4
点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；
（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点 P，点D的
坐标．试题分析：（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）先求出点C的坐标，然后证明Rt△DPE∽Rt△AOC，再由二次函数的最值性质，求出答案；
（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当△AOC∽△APD时；当△AOC∽△DAP时；分别
求出两种情况的点的坐标，即可得到答案．
7 9
答案详解：解：（1）将A（0，3）和B（ ，− ）代入y＝﹣x2+bx+c，
2 4
{
c=3
7 7 9，
−( ) 2+ b+c=−
2 2 4
{b=2
解得 ，
c=3
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
7 9
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n，把A（0，3）和B（ ，− ）代入，
2 4
{
n=3
7 9，
k+n=−
2 4
{ 3
k=−
解得 2，
n=3
3
∴直线AB的解析式为y=− x+3，
2
3
当y＝0时，− x+3＝0，
2
解得：x＝2，
∴C点坐标为（2，0），
∵PD⊥x轴，PE∥x轴，
∴∠ACO＝∠DEP，∴Rt△DPE∽Rt△AOC，
PD OA 3
∴ = = ，
PE OC 2
2
∴PE= PD，
3
5
∴PD+PE= PD，
3
3
设点P的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则D点坐标为（a，− a+3），
2
3 7 49
∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（− a+3）＝﹣（a− ）2+ ，
2 4 16
5 7 245
∴PD+PE=− （a− ）2+ ，
3 4 48
5
∵− ＜0，
3
7 245
∴当a= 时，PD+PE有最大值为 ；
4 48
（3）①当△AOC∽△DPA时，
∵PD⊥x轴，∠DPA＝90°，
∴点P纵坐标是3，横坐标x＞0，
即﹣x2+2x+3＝3，解得x＝2，
∴点D的坐标为（2，0）；
∵PD⊥x轴，
∴点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为：y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）；
②当△AOC∽△DAP时，此时∠APG＝∠ACO，
过点A作AG⊥PD于点G，
∴△APG∽△ACO，
PG OC
∴ = ，
AG AO
3
设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则D点坐标为（m，− m+3），
2
−m2+2m+3−3 2
则 = ，
m 3
4
解得：m= ，
3
4 4 35
∴D点坐标为（ ，1），P点坐标为（ ， ），
3 3 9
4 35
综上，点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）或P点坐标为（ ， ），D点坐标为
3 9
4
（ ，1）．
3
6．如图，在平面直角坐标系内，抛物线y＝ax2+bx﹣8（a≠0）与x轴交于点A、点B，与y轴交于
点C，且OB＝2OA．过点A的直线y＝x+4与抛物线交于点E．点P为第四象限内抛物线上的一
个动点，过点P作PH⊥AE于点H．
1
（1）抛物线的表达式中，a＝ ，b＝ ﹣ 1 ；
4
（2）在点P的运动过程中，若PH取得最大值，求这个最大值和点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上求点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似．
试题分析：（1）根据直线y＝x+2与x轴交于点A，先求出点A的坐标，再根据OB＝2OA求出点B的坐标，将点A、B的坐标代入y＝ax2+bx﹣8得到方程组，解方程组求出a、b的值即可；
1
（2）过点P作PF⊥x轴交直线y＝x+4于点F，由（1）得抛物线的表达式为y= x2−x−8，
4
1
设P(x， x2−x−8)(0＜x＜8)，到得PF关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质求
4
出PH的最大值以及此时点P的坐标；
（3）作PG⊥x轴于点G，则∠PGA＝90°，先证明∠BAP＝∠BAE＝45°，再求出AP、AE的长；
A，P，Q 为顶点的三角形与△ABE 相似分两种情况，一是∠AQP＝∠ABE 时，
△AQP∽△ABE，二是∠AQP＝∠ABE时，△AQP∽△ABE，根据相似三角形的对应边成比例求
出AQ的长，再转化为点Q的坐标．
答案详解：解：（1）直线y＝x+4，当y＝0时，则x+4＝0，解得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），OA＝4，
∴OB＝2OA＝8，
∴B（8，0），
把A（﹣4，0），B（8，0）代入y＝ax2+bx﹣8，
{16a−4b−8=0
得 ，
64a+8b−8=0
{ 1
a=
解得 4 ，
b=−1
1
所以答案是： ，﹣1；
4
（2）如图1，过点P作PF⊥x轴交直线y＝x+4于点F，1
由（1）得抛物线的表达式为y= x2﹣x﹣8，
4
1
设P（x， x2﹣x﹣8）（0＜x＜8，则F（x，x+4），
4
1 1 1
∴PF＝（x+4）﹣（ x2﹣x﹣8=− x2+2x+12）=− （x﹣4）2+16，
4 4 4
当x＝4时PF取得最大值，且最大值为16，
16
此时PH= =8√2，
√2
1
∵ ×42﹣4﹣8＝﹣8，
4
∴点P的坐标为（4，﹣8），
∴当x＝4时，PH的最大值为8√2，此时点P的坐标为（4，﹣8）；
（3）如图2，作PG⊥x轴于点G，则∠PGA＝90°，G（4，0），∴AG＝PG＝8，
∴∠BAP＝∠BAE＝45°，
1
∵y ＝x+4抛物线y= x2﹣x﹣8，
AE 4
∴E（12，16），
∴AE=16√2，AP=8√2，
当∠AQP＝∠ABE时，△AQP∽△ABE，
AQ AP
∴ = ，
AB AE
∵AB＝8﹣（﹣4）＝12，
AB×AP 12×8√2
∴AQ= = =6，
AE 16√2
∴x ＝﹣4+6＝2，
Q
∴Q（2，0）；
如图3，当∠APQ＝∠ABE时，△APQ∽△ABE，AQ AP
∴ = ，
AE AB
AE⋅AP 16√2×8√2 64
∴AQ= = = ，
AB 12 3
64 52
∴x ＝﹣4+ = ，
Q 3 3
52
∴Q( ，0)，
3
52
综上所述，点Q的坐标为（2，0）或( ，0)．
3
三．面积关系
7．如图，抛物线y＝﹣（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B与点C关于该抛物线的对称轴对
称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（3，0）及C点．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）当自变量x满足 0 ≤ x ≤ 3 时，一次函数的函数值不大于二次函数的函数值．
（3）在直线AC下方的抛物线上是否存在点P，使S△ACP ＝S△ACB ？（点P不与点B重合）若存
在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）将点A坐标代入二次函数解析式求出m的值，将x＝0代入抛物线解析式可得
点C坐标，由点A，C坐标可得直线解析式．
（2）由抛物线开口方向及直线与抛物线交点坐标求解．
（3）由抛物线对称性求出点B坐标，过点B作BP∥AC交抛物线于点P，求出直线BP解析式，
进而求解．
答案详解：解：（1）将（3，0）代入y＝﹣（x﹣2）2+m得0＝﹣1+m，
解得m＝1，
∴y＝﹣（x﹣2）2+1，
将x＝0代入y＝﹣（x﹣2）2+1得y＝﹣3，∴点C坐标为（0，﹣3），
{0=3k+b
将（3，0），（0，﹣3）代入y＝kx+b得 ，
−3=b
{ k=1
解得 ，
b=−3
∴一次函数解析式为y＝x﹣3．
（2）由图象可得图象在A，C之间的部分抛物线在直线上方，
∴0≤x≤3时，一次函数的函数值不大于二次函数的函数值
所以答案是：0≤x≤3．
（3）存在，理由如下，
∵点B与点C关于该抛物线的对称轴对称，
∴点B坐标为（4，﹣3），
过点B作BP∥AC交抛物线于点P，连接AP，CP，
设直线BP解析式为y＝x+b，
将（4，﹣3）代入y＝x+b得﹣3＝4+b，
解得b＝﹣7，
∴直线BP解析式为y＝x﹣7，
令﹣（x﹣2）2+1＝x﹣7，
解得x ＝4，x ＝﹣1，
1 2
将x＝﹣1代入y＝x﹣7得y＝﹣8，∴点P坐标为（﹣1，﹣8）．
8．如图，抛物线y＝ax2+x+c交y轴于点A（0，2），交x轴于点B（﹣1，0）及点C．
（1）填空：a＝ ﹣ 1 ，c＝ 2 ，点C的坐标为 （ 2 ， 0 ） ；
（2）把△ABO逆时针旋转90°得△A′B'O'（其中点A与A′，B与B′分别是对应点），当
△A′B'O'恰好有两点落在抛物线上时，求点A的坐标；
（3）点P（m，n）是位于x轴上方抛物线上的一点，△PAB的面积记为S ，△PAC的面积记为
1
S ，△PBC的面积记为S ，若满足S +S ＝S ，求m的值．
2 3 1 2 3
试题分析：（1）用待定系数法求解即可得出答案；
（2）画出图形，由旋转的性质及抛物线的对称性质可求出答案；
（3）连接BP交y轴于点M，过P点作PE⊥x轴，交AC于N，则E（m，0），求出BP和AC
5m−m2 3(−m2+m+2)
的解析式，根据S +S ＝S 得出方程 = ，解方程可得出答案．
1 2 3
2 2
答案详解：解：（1）将A（0，2），B（﹣1，0）代入y＝ax2+x+c得，
{a−1+c=0 {a=−1
，解得 ，
c=2 c=2
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，
当y＝0时，即﹣x2+x+2＝0，
解得x ＝2，x ＝﹣1，
1 2
∵点C在正半轴，
∴点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（﹣1，0）；
所以答案是：﹣1，2，（2，0）；
（2）如图所示，由（1）知，OB＝1，OA＝OC＝2，
∴A'B'=√OB2+OA2=√(−1) 2+22=√5，
∵△AOB绕点M逆时针方向旋转90°，
①当A 、O 在抛物线上时，A O ∥x轴且A O ＝AO＝2，
1 1 1 1 1 1
1 1
根据抛物线的对称性得A'点的横坐标为 −1=− ，
2 2
1 5
∴A'（− ， ）；
2 4
②当A 、B 在抛物线上时，不存在．
1 1
1 5
∴A'（− ， ）；
2 4
（3）连接BP交y轴于点M，过P点作PE⊥x轴，交AC于N，则E（m，0），
∴S
1
＝S△PAB ＝S△ABM +S△PAM ，S
2
＝S△PAC ＝S△PAN +S△PNC ，
设直线BP为y＝kx+t，将B（﹣1，0），P（m，﹣m2+m+2）代入得，
{ −t+k=0
，
km+t=−m2+m+2
{k=2−m
解得： ，
t=2−m
∴y＝（2﹣m）x+2﹣m，当x＝0时，y＝2﹣m，
∴M（0，2﹣m），
设直线AC为y＝lx+s，
将A（0，2），C（2，0）代入得，
{ s=2
，
2l+s=0
{l=−1
解得 ，
s=2
∴y＝﹣x+2，
当x＝m时，y＝﹣m+2，
∴N（m，2﹣m），
1 [2−(2−m)] m
∴S△ABM =
2
×AM•OB=
2
×1=
2
，
1 1 m2
S△PAM =
2
AM•OE=
2
[2−(2−m)]×m=
2
，
1 1 −m3+2m2
S△PAN =
2
OE•PN=
2
m×[−m2+m+2−2+m]=
2
，
1
(−m2+2m)(2−m)
S△PNC = PN⋅EC= ，
2 2
1 3(−m2+m+2)
S△PBC =
2
PE•BC=
2
，
5m−m2
∴S +S = ，
1 2
2
5m−m2 3(−m2+m+2)
∴ = ，
2 2
√13−1 −√13−1
解得：m= 或 ；
2 2
√13−1 −√13−1
故m的值为 或 ．
2 2
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于A、B两点，与y轴
相交于C，OA＝OC，点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在抛物线上，且S△POC ＝4S△BOC ，求点P的坐标；
（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．试题分析：（1）根据OA＝OC，可求c；再依据对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，
0），可求a、b，即得求抛物线解析式．
（2）可求△BOC的面积，根据S△POC ＝4S△BOC ，可求P点坐标．
（3）求出直线AC解析式，设点Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0），则点D（m，m2+2m﹣3），
根据二次函数的最值求法，可求QD的最大值．
答案详解：解：（1）令x＝0，则y＝c，
∴OC＝﹣c，
∵OA＝OC，
∴3＝﹣c，即c＝﹣3．
∵对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0），
{ b
− =−1
根据题意得： 2a ，
9a−3b+c=0
{a=1
解之： ．
b=2
∴抛物线解析式y＝x2+2x﹣3．
（2）当x＝0时，y＝﹣3，
∴点C（0，﹣3），即OC＝3，
∵A，B关于对称轴对称，
∴B（1，0），即OB＝1，
1 3
∴S△BOC =
2
OB×OC =
2
，
设P（x，x2+2x﹣3），
1
∴S△POC =
2
×3×|x|，
∵S△POC ＝4S△BOC ，3 3
∴ |x|＝4× ，
2 2
∴x＝±4，
∴P（4，21），（﹣4，5）．
（3）∵点A（﹣3，0），点C（0，﹣3），
∴直线AC解析式y＝﹣x﹣3，
∴设点Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0），
则点D（m，m2+2m﹣3），
3 9
∴QD＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣（m+ ）2+ ，
2 4
3 9
∴当m=− 时，QD的最大值为 ．
2 4
四．等腰三角形
10．如图，已知抛物线y＝mx2+4x+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣3经过
B，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的顶点为M，在该抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以C，M，P为顶点的三
角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）求出B、C点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（2，t），分别求出MP＝|t﹣1|，MC＝2√5，CP=√4+(t+3) 2，再分三种情况讨论：
①当MP＝MC时，②当MP＝CP时，|③当MC＝CP时，分别求出t的值即可求解．
答案详解：解：（1）y＝x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，则x＝3，∴B（3，0），
将C（0，﹣3），B（3，0）代入y＝mx2+4x+n中，
{ n=−3
∴ ，
9m+12+n=0
{m=−1
解得 ，
n=−3
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴M（2，1），对称轴为直线x＝2，
设P（2，t），
∴MP＝|t﹣1|，MC＝2√5，CP=√4+(t+3) 2，
①当MP＝MC时，|t﹣1|＝2√5，
∴t＝2√5+1或t＝﹣2√5+1，
∴P（2，2√5+1）或（2，﹣2√5+1）；
②当MP＝CP时，|t﹣1|=√4+(t+3) 2，
3
解得t=− ，
2
3
∴P（2，− ）；
2
③当MC＝CP时，2√5=√4+(t+3) 2，
解得t＝1（舍）或t＝﹣7，
∴P（2，﹣7）；
3
综上所述：P点坐标为（2，2√5+1）或（2，﹣2√5+1）或（2，− ）或（2，﹣7）．
2
11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直
线x＝1．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）D是对称轴上一点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，直接写出
点D的坐标．试题分析：（1）由对称轴可求b＝2，再将A点代入y＝﹣x2+2x+c，可求抛物线的解析式；
（2）设D（1，t），由题意分两种情况讨论：①当AC＝AD时，D（1，√6）；②当CD＝AD
时，D（1，1）．
答案详解：解：（1）∵对称轴为直线x＝1，
∴b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+c，
将点A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2x+c，
∴﹣1﹣2+c＝0，
∴c＝3，
∴y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3）；
（2）设D（1，t），
①当AC＝AD时，√10=√4+t2，
解得t＝±√6，
∵D点在第一象限内，
∴t=√6，
∴D（1，√6）；
②当CD＝AD时，√1+(t−3) 2=√4+t2，
解得t＝1，
∴D（1，1）；综上所述：D点坐标为（1，√6）或（1，1）．
12．已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛
物线上一个动点，且点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在BC上方的抛物线上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂
足为E，交BC于点D，过点P作BC的垂线，垂足为Q，若△PQD≌△BED，求m的值；
（3）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x
轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写
出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）把点A和点B的坐标代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式；
1 5
（2）由待定系数法求出直线 BC的解析式为 y＝﹣x+8（0＜x＜8），设 P（m，− m2+
3 3
m+8），则D（m，﹣m+8），E（m，0），根据全等三角形的性质列出关于 m的方程可得出答
案；
（3）分三种情况：①当MB＝MD时，②当MB＝BD时，③当MD+BD时，由两点间的距离公
式列出关于m的方程可得出答案．
答案详解：解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，
{9a−3b+8=0
∴ ，
64a+8b+8=01
{a=−
3
解得， ，
5
b=
3
1 5
∴抛物线的解析式为y=− x2+ x+8；
3 3
1 5
（2）∵抛物线的解析式为y=− x2+ x+8，
3 3
令x＝0，y＝8，
∴C（0，8），
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
{8k+m=0
∴ ，
m=8
{k=−1
解得： ，
m=8
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8（0＜x＜8），
1 5
设P（m，− m2+ m+8），则D（m，﹣m+8），E（m，0），
3 3
∴BD=√DE2+BE2=√(−m+8) 2+(8−m) 2=√2（8﹣m），
1 5 1 8
又PD=− m2+ m+8﹣（﹣m+8）=− m2+ m，
3 3 3 3
∵△PQD≌△BED，
∴PD＝BD，
1 8
∴√2（8﹣m）=− m2+ m，
3 3
解得，m ＝3√2，m ＝8（舍去），
1 2
∴m的值为3√2；
（3）由（2）可知直线BC的解析式为y＝﹣x+8，向下平移5个单位得到y＝﹣x+3，
当y＝0时，x＝3，
∴M（3，0），
当x＝0时，y＝3，
∴N（0，3），
由题意得PD⊥MB，∵MB＝8﹣3＝5，D（m，﹣m+3），
∴MD2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，BD2＝（8﹣m）2+（﹣m+3）2，
若△BMD是等腰三角形，可分三种情况：
①当MB＝MD时，
∴（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝25，
5 5
解得m ＝3+ √2，m ＝3− √2，
1 2 2 2
②当MB＝BD时，
∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝25，
解得，m ＝3（舍去），m ＝8（舍去），
1 2
③当MD+BD时，
∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，
解得，m＝5.5．
5 5
综上所述，m的值为3+ √2或3− √2或5.5时，△BMD是等腰三角形．
2 2
13．如图，直线y＝x+4与x轴交于A点，与y轴交于C点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点，
与x轴的另一个交点为B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一动点P，过点P作PD⊥x轴于点D，使得以点B、P、D为顶点的三
角形是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）先由直线y＝x+4与x轴交于A点，与y轴交于C点求出点A和点C的坐标，再
将点A、点C的坐标代入y＝﹣x2+bx+c列方程组，解方程组求出b，c的值即可；
（2）分两种情况，一是△BPD是等腰直角三角形，点P在x轴的上方，设BP交y轴于点E，根
据BP与x轴成45°角求出直线BP的函数表达式且与抛物线的函数表达式组成方程组，解方程组
即可求出此时点P的坐标；二是△BPD是等腰直角三角形，点P在x轴的下方，设BP交y轴于点F，根据BP与x轴成45°角求出直线BP的函数表达式且与抛物线的函数表达式组成方程组，
解方程组即可求出此时点P的坐标．
答案详解：解：（1）直线y＝x+4，当y＝0时，则x+4＝0，
解得x＝﹣4；
当x＝0时，y＝4，
∴A（﹣4，0），C（0，4），
把（﹣4，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c，
{−16−4b+c=0
得 ，
c=4
{b=−3
解得 ，
c=4
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣3x+4．
（2）存在，
抛物线y＝﹣x2﹣3x+4，当y＝0时，则﹣x2﹣3x+4＝0，
解得x ＝﹣4，x ＝1，
1 2
∴B（1，0），
设直线BP的函数表达式为y＝mx+n，
如图1，△BPD是等腰直角三角形，点P在x轴的上方，设BP交y轴于点E，
∵PD⊥x轴于点D，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DBP＝∠DPB＝45°，
∵∠BOE＝90°，
∴∠OBE＝∠OEB＝45°，
∴OE＝OB＝1，
∴E（0，1），
把B（1，0），E（0，1）代入y＝mx+n，
{m+n=0
得 ，
n=1
{m=−1
解得 ，
n=1
∴直线BP的函数表达式为y＝﹣x+1，{y=−x2−3x+4 {x =1 {x =−3
1 2
由 得 ， ，
y=−x+1 y =0 y =4
1 2
∴P（﹣3，4）；
如图2，△BPD是等腰直角三角形，点P在x轴的下方，设BP交y轴于点F，
∵PD⊥x轴于点D，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DBP＝∠DPB＝45°，
∵∠BOF＝90°，
∴∠OBF＝∠OFB＝45°，
∴OF＝OB＝1，
∴F（0，﹣1），
把B（1，0），F（0，﹣1）代入y＝mx+n，
{m+n=0
得 ，
n=−1
{m=1
解得 ，
n=−1
∴直线BP的函数表达式为y＝x﹣1，
{y=−x2−3x+4 {x =1 {x =−5
1 2
由 得 ， ，
y=x−1 y =0 y =−6
1 2
∴P（﹣5，﹣6），
综上所述，点P的坐标为（﹣3，4）或（﹣5，﹣6）．五．等腰直角三角形
14．如图，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B两点，与
x轴的另一个交点为C（2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点P作x轴的垂线，交线段 AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接
DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请
说明理由．试题分析：（1）运用待定系数法即可求出答案；
1 1
（2）如图，设P（t，− t2﹣2t+6），则D（t，t+6），E（﹣t﹣4，− t2﹣2t+6），进而可得：
2 2
1 1
PD=− t2﹣2t+6﹣（t+6）=− t2﹣3t，PE＝|t﹣（﹣t﹣4）|＝|2t+4|，根据PD＝PE，建立方程
2 2
求解即可得出答案．
答案详解：解：（1）∵直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣6，0），B（0，6），
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣6，0），B（0，6），C（2，0）三点，
{36a−6b+c=0
∴ c=6 ，
4a+2b+c=0
1
{ a=−
2
解得： ，
b=−2
c=6
1
∴抛物线的函数表达式y=− x2﹣2x+6；
2
（2）存在点P使△PDE为等腰直角三角形．
1
如图，设P（t，− t2﹣2t+6），则D（t，t+6），
2
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，PE∥x轴交抛物线于点E，
1
∴E（﹣t﹣4，− t2﹣2t+6），
2
1 1
∴PD=− t2﹣2t+6﹣（t+6）=− t2﹣3t，PE＝|t﹣（﹣t﹣4）|＝|2t+4|，
2 2∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°，
∴PD＝PE，
1
∴− t2﹣3t＝|2t+4|，
2
解得：t＝﹣5±√17或t＝﹣4或t＝2，
∵点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，
∴﹣6＜t＜0，
∴t＝﹣5+√17或﹣4，
∴P （﹣4，6），P （﹣5+√17，﹣5+3√17）．
1 2
15．抛物线与x轴交于A、B两点，其中点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3），其对称
轴为直线x＝1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是x轴上方抛物线上任意一点，点Q在直线x＝﹣1上，△BPQ能否成为以∠BPQ
为直角的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
试题分析：（1）设函数解析式为 y＝ax2+bx+c（a≠0），由对称轴可得 b＝﹣2a，再将点B
（3，0），点C（0，3）代入抛物线解析式即可求解；
（2）过点P作x轴垂线交于M，过点P作直线x＝﹣1的垂线交于点N，能证明△PQN≌△PBM
（AAS），设P（t，﹣t2+2t+3），则可得t+1＝﹣t2+2t+3，即可求P（2，3）．
答案详解：解：（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵对称轴为直线x＝1，
b
∴− = 1，
2a
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，将点B（3，0），点C（0，3）代入得，
{9a−6a+c=0
，
c=3
{a=−1
解得 ，
c=3
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）△BPQ能成为以∠BPQ为直角的等腰直角三角形，理由如下：
过点P作x轴垂线交于M，过点P作直线x＝﹣1的垂线交于点N，
∵∠QPB＝90°，
∴∠BPM+∠QPM＝90°，∠NPQ+∠QPM＝90°，
∴∠NPQ＝∠BPM，
∵PQ＝PB，
∴△PQN≌△PBM（AAS），
∴PM＝PN，
设P（t，﹣t2+2t+3），
∴t+1＝﹣t2+2t+3，
解得t＝﹣1（舍）或t＝2，
∴P（2，3）．
16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣4），点A的坐标为（﹣1，0），P为直线BC
下方抛物线上一点，连接PC，PB．
（1）求抛物线的解析式．
（2）△CPB的面积是否有最大值？如果有，请求出最大值和此时点P的坐标；如果没有，请说
明理由．（3）Q为y轴右侧抛物线上一点，D为对称轴上一点，若△CQD是以点Q为直角顶点的等腰直
角三角形，请直接写出点Q的坐标．
试题分析：（1）用待定系数法即可求解；
PK⋅BM PK⋅CN PK(BM+CN) 3PK
（2）由S =S +S = + = = ，即可求解；
△CPB △CPK △PBK 2 2 2 2
（3）证明△EQC≌△FDQ（AAS），则CE＝QF，进而求解．
答案详解：解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵顶点坐标为（1，﹣4），
∴y＝a（x﹣1）2﹣4．
将点A（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）有最大值，如图1，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交BC于点K．
将y＝0代入y＝x2﹣2x﹣3，解得x ＝3，x ＝﹣1，
1 2
∴点B的坐标为（3，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵点C的坐标为（0，﹣3），点B的坐标为（3，0），{ b=−3 { k=1
∴ ，解得 ，
0=3k+b b=−3
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．
设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则点K的坐标为（m，m﹣3），
3 9
∴PK＝（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）=−m2+3m=−(m−
)
2+
．
2 4
过点C作CN⊥PK于点N．
PK⋅BM PK⋅CN PK(BM+CN) 3PK
∵S =S +S = + = = ，
△CPB △CPK △PBK 2 2 2 2
3 3 27
∴S =− (m− ) 2+ ，
△CPB 2 2 8
3 27
故当m= 时，△CPB的面积有最大值，最大值为 ，
2 8
3 15
此时点P的坐标为( ，− )；
2 4
（3）如图2，过点Q作x轴的平行线，分别交y轴、对称轴于点E，F，
设点Q的坐标为（a，a2﹣2a﹣3）．
∵∠CQE+∠DQF＝∠DQF+∠QDF＝90°，
∴∠CQE＝∠FDQ．
{∠CEQ=∠DFQ
在△EQC和△FDQ中， ∠CQE=∠FDQ
CQ=DQ
∴△EQC≌△FDQ（AAS），
∴CE＝QF．∵CE＝﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+2a，QF＝1﹣a，
∴1﹣a＝﹣a2+2a，
3+√5 3−√5
解得a = （此时点Q在对称轴的右侧），a = （此时点Q在对称轴的左侧），
1 2 2 2
3+√5 √5−5 3−√5 −√5−5
∴点Q的坐标为( ， )或( ， )．
2 2 2 2
六．综合类
1
17．如图，点A（4，3），二次函数y=− x2+x+3的图象顶点为B，与y轴交于点C，连接AC，过
4
点A作AD⊥x轴于点D，点E是线段AC上的动点（点E不与A、C两点重合）．
（1）直接写出顶点B和点C的坐标；
（2）若直线BE将四边形ACOD分成周长相差为4的两个四边形，求点E的坐标；
（3）如图，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点
F也恰好落在二次函数的图象上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．
1
试题分析：（1）由y=− （x﹣2）2+4，可求顶点坐标，再令x＝0，可求C点坐标；
4
（2）设BE与x轴交于点F，设E（t，3），求出直线BE的解析式，可求F（4t﹣6，0），当四
12
边形COFE的周长比四边形EFDA的周长大4时，CE+OF﹣AE﹣FD＝4，此时E（ ，3）；当
5
8
四边形COFE的周长比四边形EFDA的周长小4时，AE+FD﹣CE﹣OF＝4，此时E（ ，3）；
5
（3）过点F作MN∥y轴，过点C作NC⊥MN交于N点，过点G作GM⊥MN交于M点，设E（t，3），分别证明△AED≌△MGF（AAS），△EFN≌△DGO（AAS），△NEF∽△MFG，从
4 7 1 8
而求出F（t﹣4， t− ），再将点F代入y=− x2+x+3，求出E（ ，3），则可求AE的长．
3 3 4 3
1 1
答案详解：解：（1）∵y=− x2+x+3=− （x﹣2）2+4，
4 4
∴B（2，4），
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3）；
（2）设BE与x轴交于点F，
∵A（4，3），C（0，3），
∴AC＝4，OC＝3，
设E（t，3），
∴CE＝t，AE＝4﹣t，
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
{2k+b=4
∴ ，
tk+b=3
1
{ k=
2−t
解得 ，
6−4t
b=
2−t
1 6−4t
∴y= x+ ，
2−t 2−t
∴F（4t﹣6，0），
∴OF＝4t﹣6，FD＝4﹣4t+6＝10﹣4t，
当四边形COFE的周长比四边形EFDA的周长大4时，
∴CE+OF﹣AE﹣FD＝4，
∴t﹣（4﹣t）+4t﹣6﹣10+4t＝10t﹣20＝4，
12
解得t= ，
5
12
∴E（ ，3）；
5
当四边形COFE的周长比四边形EFDA的周长小4时，
∴AE+FD﹣CE﹣OF＝4，∴（4﹣t）+10﹣4t﹣t﹣（4t﹣6）＝4，
8
解得t= ，
5
8
∴E（ ，3）；
5
12 8
综上所述：E点坐标为（ ，3）或（ ，3）；
5 5
（3）存在点G落在y轴上的同时点F也恰好落在二次函数的图象上，理由如下：
过点F作MN∥y轴，过点C作NC⊥MN交于N点，过点G作GM⊥MN交于M点，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠FED＝∠EFG＝90°，
∵∠NEF+∠AED＝90°，∠NEF+∠NFE＝90°，
∴∠NEF＝∠EDA，
∵∠NFE+∠MFG＝90°，∠NFE+∠NEF＝90°，
∴∠MFG＝∠NEF，
∴∠MFG＝∠EDA，
∵ED＝FG，
∴△AED≌△MGF（AAS），
∴AE＝MG，AD＝FM，
设E（t，3），
∴AE＝4﹣t＝MG，AD＝3＝FM，
同理△EFN≌△DGO（AAS），
∴NF＝OG，NE＝OD，
∵OD＝4，
∴NE＝4，
∴F点横坐标为t﹣4，
∵△NEF∽△MFG，
NE NF 4 NF
∴ = ，即 = ，
MF MG 3 4−t
4
∴NF= （4﹣t），
3
4 7
∴F（t﹣4， t− ），
3 3∵F点在抛物线上，
4 7 1
∴ t− =− （t﹣4）2+t﹣4+3，
3 3 4
8
解得t＝4或t= ，
3
8
∴E（ ，3），
3
8 4
∴AE＝4− = ．
3 3
18．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，
﹣3），已知AB＝4，对称轴在y轴左侧．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点N在对称轴上，则抛物线上是否存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形，若
存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；3
（3）若点P在抛物线上，且S△PBC =
2
，请直接写出点P的坐标．
试题分析：（1）由题意得抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3，设A（x ，0），B（x ，0），由题意
1 2
得x ﹣x ＝4，得出b2+12＝16，求出b＝2，则可得出答案；
2 1
（2）分两种情况：①若OA为边，②若OA为对角线时，由平行四边形的性质可得出答案；
（3）由待定系数法求出直线BC的解析式为y＝3x﹣3，过点O作OP∥BC交抛物线于P，则
S△OBC ＝S△PBC ，直线OP的解析式为y＝3x，联立直线和抛物线的解析式，解方程组可得出答案．
答案详解：解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交y轴于点C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3，
设A（x ，0），B（x ，0），
1 2
由题意得x ﹣x ＝4，
2 1
∴（x +x ）2﹣4x x ＝16，
1 2 1 2
∵x +x ＝﹣b，x x ＝﹣3，
1 2 1 2
∴b2+12＝16，
∴b＝±2，
又∵对称轴在y轴左侧，
∴b＝2，
∴抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形．
∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，
∴y＝0时，x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
①若OA为边，∴AO∥MN，OA＝MN＝3，
∵N在对称轴x＝﹣1上，
∴点M的横坐标为2或﹣4，
当x＝2时，y＝5，当x＝﹣4时，y＝5，
∴M（2，5）或（﹣4，5）；
②若OA为对角线时，
∵A（﹣3，0），O（0，0），
3
∴OA的中点的坐标为（− ，0），
2
∵N在直线x＝﹣1上，
设M的横坐标为m，
m−1 3
∴ =− ，
2 2
∴m＝﹣2，
把m＝﹣2代入抛物线解析式得y＝﹣3，
∴M（﹣2，﹣3）．
综上所述，M的坐标为（2，5）或（﹣4，5）或（﹣2，﹣3）；
（3）∵B（1，0），C（0，﹣3），
1 1 3
∴S△OBC =
2
OB⋅OC=
2
×1×3=
2
，
3
∴S△OBC ＝S△PBC =
2
，
设BC的解析式为y＝kx+n，
{k+n=0
∴ ，
n=−3
{ k=3
∴ ，
n=−3
∴直线BC的解析式为y＝3x﹣3，
过点O作OP∥BC交抛物线于P，则S△OBC ＝S△PBC ，直线OP的解析式为y＝3x，{ y=3x
∴ ，
y=x2+2x−3
{ x =
1+√13
{ x =
1−√13
1 2 2 2
解得 ， ，
3+3√13 3−3√13
y = y =
1 2 2 2
1+√13 3+3√13 1−√13 3−3√13
∴P（ ， ）或（ ， ）．
2 2 2 2
