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专题1.1 集合（必考点分类集训）
【考点1：元素与集合的关系】...............................................................................................................................2
【考点2：集合中元素的个数】...............................................................................................................................4
【考点3：求集合的子集（真子集）】...................................................................................................................6
【考点4：集合间基本关系的判断】.......................................................................................................................8
【考点5：由集合间的基本关系求参数值】.........................................................................................................10
【考点6：集合的基本运算】.................................................................................................................................12
【考点7：与集合运算有关的参数问题】............................................................................................................. 14
【考点8：集合的新定义】.....................................................................................................................................16
【考点1：元素与集合的关系】
1．（25-26 高三下·河南周口·阶段检测）设集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到集合
表示小于的无理数，逐项分析判断，即可求解.
【详解】由集合
，可得集合
表示小于的无理数，
对于A，由
，所以
，所以A 错误；
对于B，由
且
，所以
，所以B 正确；
对于C，由
且
，所以
，所以C 不正确；
对于D，由
，所以
，所以D 不正确.
2．（2026·河南·模拟预测）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
，
时的情况判断AC；分别令
，
求解对应的
，并结
合
判断BD.
【详解】对于A 选项，当
时，
，故A 错误；
对于B 选项，令
，解得
，故
，即B 错误；
对于C 选项，当
时，
，故C 正确；
对于D 选项，令
，解得
，故
，即D 错误；
3．（2026 高一·全国·专题练习）已知集合
，
，
，若
，
，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
不属于集合A、B、C 中的任何一个
【答案】B
【分析】设出
的表示形式，计算
后比较各集合的代表元形式可得．
【详解】由题意设
，
，其中
都是整数，
则
，其中
是整数，可以是奇数也可以是偶数，
∴
.
4．（多选）（25-26 高一上·广东·期末）（多选）（多选）若集合
，且
，则
的
值可能是（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】BD
【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性.
【详解】由
，
，
若
时，
或
，
当
时，集合
不符合题意舍去，
当
时，集合
符合题意，
若
时，则
，此时集合
不符合题意舍去，
若
时，即
，解得：
或
，
当
时，集合
符合题意，
当
时，集合
不符合题意舍去，
综上所述：
或
，
故选：BD.
5．（25-26 高一上·天津河北·阶段检测）已知集合
，若
，则实数
的
所有可能取值组成的集合为____．
【答案】
【分析】由题意得
，或
，或
，进而分别求解，结合集合元素的互异性
可得结论.
【详解】因为
，
，
所以
，或
，或
，
若
，则
，所以
，解得
或
，
当
时，
，符合题意，当
时，
，不符合题意；
若
，则
，又
，方程无解；
若
，则
，解得
或
，
当
时，
，不符合题意，当
时，
，符合题意；
综上所述，实数
的所有可能取值组成的集合为
.
故答案为：
.
【考点2：集合中元素的个数】
1．（25-26 高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合
，则
中元素的个数是（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
【答案】B
【详解】数集
表示的是自然数集，
，
，
，
，
中元素的个数是
.
2．（25-26 高一上·江西赣州·期末）集合
的元素个数是（ ）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．无数个
【答案】B
【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得.
【详解】因为
，所以
是自然数且
是6 的正约数，而6 的正约数有
当
分别取
时，对应的
的值分别为
，所以
只能是
.
故集合
的元素个数是4.
故选：B
3．（25-26 高一上·贵州·期中）已知集合
，
．则集合
中的元
素个数是（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用列举法求出集合
即可.
【详解】集合
，
，则集合
，
所以集合
中的元素个数是7.
故选：C
4．（2026 高一·全国·专题练习）已知
，集合
中的元素恰有
个整数，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】集合
对应的区间长度在
之间，可得出关于
的取值范围，然后对
的取值进行分类讨论，
确定集合
中的整数元素，可得出关于
的不等式，解之即可.
【详解】因为集合
中恰有两个整数，
所以
，解得
，
当
时，集合
中的两个整数分别为
、，
则
，解得
；
当
时，
，此时，集合
中元素为整数的只有、
，合乎题意，
综上所述，实数
的取值范围是
.
5．（24-25 高一上·福建厦门·阶段检测）根据要求完成下列问题：集合
满足：
，又若实数
是数集
中的一个元素，则
一定也是数集
中的一个元素，求证：
(1)若
，则集合
中还有其他两个元素；
(2)集合
不可能是单元素集合．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由
，根据题意，结合
，准确运算，即可求解；
（2）假设集合C 中只有个元素
，结合题意，得到方程
，结合一元二次方程的性质，即可得证.
【详解】（1）若
，则
，若
，则
，
若
，则
，
当
时，集合
中必含有另两个元素
、
；
（2）假设集合
中只有一个元素
，由题意可知
，
集合
为单元素集合，
，
即
，而
，则此方程无实数解，
假设不成立，
集合
不可能是单元素集合．
【考点3：求集合的子集（真子集）】
1．（2026·湖南常德·一模）集合
的真子集的个数为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【答案】C
【分析】先求集合
，进而求解.
【详解】由题意得：
，解得
，又
，
所以
，所以
，所以
，
所以集合
的真子集的个数为
.
2．（2026 高一上·广东清远·专题练习）已知集合
，
，则满足
B 的
集合C 的个数为（ ）
A．4
B．7
C．8
D．15
【答案】B
【分析】方法一：根据集合关系写出所有满足题意的集合C 即可得答案.
方法二：转化为求集合
的任意一个真子集的个数求解即可.
【详解】方法一：因为集合
，
，
所以满足条件的集合C 有：
，
，
，
，
，
，
，共7 个．
方法二：集合
中有2 个元素，集合
中有5 个元素，
故满足条件的集合C 可以是集合
的任意一个真子集与集合A 的并集，
因为集合
的真子集的个数为
，
所以满足条件的集合C 有
3．（2026·湖北襄阳·二模）已知集合
，
⫋
则符合条件的集合B 的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用列举法表示出集合
，再根据给定条件即可求出集合
的可能情况.
【详解】集合
，
，
所以
可能的取值为
，即集合
，
是
的真子集，有
个，故C 正确．
4．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知集合
，
，集合
中所有元素的乘积称为集合
的
累积值
，且规定：当集合
“
”
只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设
集合
的累积值为
．
（1）若
，则这样的集合
共有________个；
（2）若
为偶数，则这样的集合
共有________个．
【答案】 2 13
【分析】根据
累积值
的定义，结合间接法与集合子集个数的求法得解即可
“
”
.
【详解】（1）若
，据
累积值
的定义得
“
”
或
，这样的集合
共有2 个；
（2）集合
的子集共有
个，
其中
累积值
为奇数的子集为
“
”
、
、
，共3 个，所以
累积值
为偶数的集合共有
“
”
13 个．
5．（24-25 高一上·安徽淮北·期末）已知集合
，集合
(1)求
的真子集
(2)若
，求
的值．
【答案】(1)
，
，
(2)
，
或
【分析】（1）解方程得集合
，再求真子集；
（2）因为
，所以
，分
和
进行求解.
【详解】（1）解方程
得，
或
因此集合
，
其真子集为
，
，
，共3 个．
（2）因为
，所以
，
当
①
时，
，此时
符合题意
当
②
时，因为
，此时易知
要使得
，即
或
，解得，
或
．
综上所述，要使得
，则
，
或
.
【考点4：集合间基本关系的判断】
1．（2026·湖南长沙·二模）已知集合
，
，则M 与N 的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】已知集合
，
因为任何数的平方都大于等于0，要使
成立，则必须满足
，
即
，
，所以集合
，集合M 中的元素是一个点
.
集合
，集合N 中的元素是两个数0 和1.
所以集合M 与集合N 没有公共元素，即
.
2．（25-26 高三上·河南郑州·期末）已知集合
，则
与
的关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分别化简集合
，利用集合相等的概念、集合间的包含关系以及交集运算即可求解．
【详解】
，
，
则
，
，故B 正确；A、C 错误；
，故D 错误；
故选：B．
3．（2027 高三·全国·专题练习）已知非空集合
，
且
，设
，
，
，
，则对于
，
的关系，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过证明
和
，来判断
与
的相等关系．
【详解】对任意
，有
且
，从而有
且
，进一步
，即
，
所以
；
对任意
，有
，从而有
且
，进一步有
且
，即
，所以
．
综上所述，有
．
故选：C．
4．（25-26 高二上·广东广州·期末）设集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据两集合中的数字特征，即可得出两集合的关系.
【详解】由题意得
,
显然
仅表示奇数，而
表示整数，
因此集合
是集合
的子集，即
，
故选：B
5．（多选）（25-26 高一上·广西河池·期中）（多选）已知集合
，则下列集合中哪些是A
的子集（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】
，解得
，集合
，
中元素均属于集合
，是集合
的子集，故A 正确；
中有元素不属于集合
，不是集合
的子集，故B 错误；
等于集合
，是集合A 的子集，故C 正确；
中元素均属于集合
，是集合
的子集，故D 正确．
【考点5：由集合间的基本关系求参数值】
1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合
，
，若
，则由实数
组成的集
合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，分
和
，两种情况讨论，结合
，列出方程，即可求解.
【详解】当
时，方程
无解，即
，满足
；
当
时，由方程
，解得
，即
，
因为
，可得
或
，解得
或
，
所以由实数
组成的集合为
.
2．（25-26 高三下·湖南长沙·阶段检测）已知集合
，
，且
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】由
，得
，进而得到关于
的方程，结合集合的性质求解即可.
【详解】由
，得
，
所以
或
或
，解得
或
或
或
.
当
时，
，
，不符合集合元素的互异性，故舍去.
当
时，
，
，不符合集合元素的互异性，故舍去.
当
时，
，
，符合题意.
当
时，
，
，不符合集合元素的互异性，故舍去.
故
.
3．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设
，
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，则集合
中元素都在集合
中，
若
，解得
，则集合
有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去；
若
，方程无解；
由题意知
，则必有
，
此时
，若
，则
，方程无实数根，
，则
或
，
当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
；
综上可得，
．
4．（2026·河南·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
的
取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】令
，解得
或
，所以
.
因为
，所以
或
，解得
或
或
.
经检验：当
时，
与集合中元素的互异性矛盾.
所以实数
的取值集合为
.
5．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合
，若
，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】化简集合
分式不等式
等价于
，解得
，即
，
化简集合
由
得
，即
；
根据包含关系求
的范围
表示
中所有元素都属于
，
要让区间
完全落在
内，只需满足：
解得
，
即
的取值范围为
.
【考点6：集合的基本运算】
1．（2026·湖南长沙·二模）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
解不等式
可得
或
，
解得
或
，即
，又已知
.
对选项A：
，故A 错误.
对选项B：
取
，但
，故
，故B 错误.
对选项C：
对任意
，都满足
，符合
中元素的取值要求，即
，故
，故C 正确.
对选项D：
，取
，
且
，故
，故D 错误.
2．（2026·山西大同·三模）已知全集
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，解得
，
；
，解得
，
；
，
．
3．（25-26 高二下·河北石家庄·期中）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出集合
，根据集合的交集和补集求解即可.
【详解】因为
，
，所以
.
4．（2026·天津·模拟预测）已知全集
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据补集、并集的知识求得正确答案.
【详解】依题意，
，
所以
，
.
5．（2026·天津河东·二模）已知全集
，集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据集合的运算即可求解．
【详解】由题可得，
，
，
所以
，则
．
【考点7：与集合运算有关的参数问题】
1．（2026 高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合
，
，若
，则
的取值范围为______
【答案】
【分析】由补集和交集的概念可得出答案.
【详解】已知
，则
，
，且
，
所以
.
故答案为：
2．（25-26 高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合
，若
，则实数m 的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据题意，先求
或
，再结合题意，分
和
讨论求解即可．
【详解】
或
，
又
，
所以
当
①
，
，解得
；
当
②
，
，解得
；
综上，
时，实数m 的取值范围为
．
故答案为：
．
3．（2026 高一上·江苏·专题练习）已知集合
，
，
，若
，则实数m 的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据
分类讨论，分别列不等式求得
的取值范围，最后根据补集思想即得.
【详解】
，
.
由
，可分为
和
两种情况讨论：
当
时，
得
.
当
时，
或
，解得：
或
.
综上所述：当
时，实数
的取值范围为
，故当
时，实数
的取值范围为
.
故答案为：
4．（25-26 高一上·天津·期末）设集合
．
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）代入条件后用补集与并集的运算即可求解；
（2）根据条件得
，进而可求
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
或
或
所以
或
（2）因为
，所以
.
当
①
时，有
，
当
②
时，有
，即
综上可得
，
故实数
的取值范围
5．（25-26 高二下·江西南昌·期中）设集合
，
，
(1)若
，求
，
；
(2)若
中只有一个整数，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
，
；
(2)
.
【分析】（1）根据条件得到
，再利用集合的运算即可求出结果；
（2）由（1）知
或
，根据条件，借助数轴，即可求出结果.
【详解】（1）因为
，所以
，
又
，所以
或
，
所以
，
．
（2）由（1）知
或
，又
中只有一个整数，
由图知，
，且
，
解得
，所以实数
的取值范围是
．
【考点8：集合的新定义】
1．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：
，设集合
，
，则集
合
的所有元素之和为（ ）
A．0
B．2
C．3
D．5
【答案】D
【分析】根据定义先求
，进而求解.
【详解】由题意得：
，所以
.
2．（26-27 高一上·河北保定·阶段检测）设G 为非空数集，若对于任意的
，都有
，
，
，则称G 是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（ ）
A．0 是任何数环的元素
B．集合
是一个数环
C．集合
是一个数环
D．若集合
为数环，则
也为数环
【答案】C
【详解】由数环的定义可知，设
，则
，则
，
，
故0 是任何数环的元素，A 正确；
偶数与偶数相加、相减、相乘的结果均是偶数，所以
是一个数环，B 正确；
设
，则
，
因为
不是整数，所以
，所以集合
不是数环，C 错误；
设
，因为
为数环，则
，又
为数环，
则
，所以
，D 正确．故选C．
3．（2026·山东德州·模拟预测）已知
，
，
为集合
的非空子集，满足：
①
，
；
②
，
中元素均为奇数，
中元素均为偶数；
③
，
，
中所有元素的和分别记为
，
，
，且
．则正整数
的最小值为________．
【答案】8
【分析】根据给定条件，
从1 开始依次取值讨论求解.
【详解】当
，2 时，无法满足
中的元素是3 的倍数，故舍；
当
时，集合
元素的总和为6，每部分和应为2，但
中必须包含3，
其和
，故舍；
当
时，集合
元素的总和为10，不能被
整除，故舍；
当
时，集合
元素的总和为15，每部分和应为5，
中必须包含3，
需要再加入和为2 的元素，只能加入2，此时
，剩余元素
分配给
，
无法满足和为5 且奇偶性的要求，故舍；
当
时，集合
元素的总和为21，每部分和应为7，
中必须包含3 和6，
此时和为
，故舍；
当
时，集合
元素的总和为28，不能被
整除，故舍；
当
时，集合
元素的总和为36，每部分和应为12，
中必须包含3 和6，
需要再加入和为3 的元素，可加入1 和2，此时
，剩余元素
分配给
，
取奇数
，和为12，
取偶数
，和为12，满足所有条件，
故
的最小值为8.
4．（25-26 高一上·重庆·期末）
杰卡德距离
经常用来度量两个有限集合的差异性，在机器学习、数据
“
”
科学等领域有着广泛的应用.设
和
为有限集，定义
杰卡德距离
为：（
“
”
1）当
，
不全为
时，
；（2）当
时，
.其中
表示
中的元素的个数，
，
，
为
有限集.若
，
，则
______；若
，
，
，
（其中
为正整数，
为非负整数），则
的最大值为______.
【答案】
/0.4
【分析】根据
杰卡德距离
的定义，求出集合
“
”
的元素个数即可；利用并集、交集的性质求出
的最大值、
的最小值，进而求出
的最大值.
【详解】当
，
时，
，
，
所以
；
由
，得
，由
，得
，
因此
，
，则
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
；
5．（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（
，
），集合
.给定集合M 的一个子集A，对于M 中的元素
，若存在
且
，
，使得集合
与A 的交集所含元素个数为0 或4，则称
为A 的一个
同形点
“
”.
(1)当
时，写出集合
的所有
同形点
；
“
”
(2)当A 只有一个元素时，求其
同形点
的个数；
“
”
(3)若M 的任意子集都有
同形点
，求
“
”
的最小值.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)21.
【分析】（1）根据
同形点
定义直接写出答案即可；
“
”
（2）分
、
、
以及
讨论即可；
（3）讨论存在
和
恒成立的情况即可.
【详解】（1）
，
当
同形点
为
“
”
时，取
，
此时
，显然其与
交集所含元素个数为0
当
同形点
为
“
”
时，取
，
此时
，显然其与
交集所含元素个数为0，
故其
同形点
为
“
”
.
（2）
的＂同形点＂的个数为
．证明如下：
设
，由题：取集合
．
若
为
的＂同形点＂，应有
，且
．
当
①
时，若
且
，取
为
，
则
与
的交集元素个数为0，
此时
为
的＂同形点＂，共有
个；
当
②
时，同理可得
中除
外，
其余元素都是
的＂同形点＂，共有
个；
当
③
时，同理可得
中除
外，
其余元素都是
的＂同形点＂，共有
个；
当
④
时，同理可得
中除
外，其余元素都是
的＂同形点＂，共有
个．
综上可得
的＂同形点＂的个数为
．
（3）
的最小值为21．
证明如下：
首先当
时，
，由对称性不妨设
中元素个数不少于11，
对于
，设
的元素个数为
，
若存在
，因为
，所以存在
，有
，
不妨设
，则
中至少一个是
的＂同形点＂；
若
恒成立，因为
，所以存在
，
有
，因为
，
所以存在
，使得
，不妨设
，则
为
的＂同形点＂．
其次当
时，不妨设
；
若
①
，则
，取
可得其无＂同形点＂；
若
②
，则
，
取
，
可得其无＂同形点＂；
综上
的最小值为21．
一、单选题
1．（25-26 高一上·广东广州·期末）已知全集
，集合
，
，它们的关系如图
（Venn 图）所示，则阴影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据所给关系图（Venn 图），可知是求
,由此可求得答案.
【详解】根据题意可知，阴影部分表示的是
，
故
，
故选:C.
2．（25-26 高一上·四川南充·阶段检测）给出下列关系式：①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
，其中正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系逐一判断．
【详解】0 不属于空集，故
错误，
①
是整数，故
正确，
②
，故
，
正确
③
，
是正整数集，
不是其子集，故
错误，
④
是点集，
不是其子集，故
错误，
⑤
，故
错误，
⑥
故选：B
3．（2026·天津和平·三模）设全集
，集合
，
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据集合并集的定义以及补集的定义即可求解.
【详解】由
，
可得，
，故
，
故选：B
4．（2026·河北邯郸·一模）已知集合
，
，若
，
则
的值不可能为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】求出
或
，利用
，得
.
【详解】
集合
，
或
，
，
，
的值不可能为
.
故选：A.
【点睛】本题考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题，属于中档题.解决此类问题，一般要把参
与运算的集合化为最简形式，借助数轴求解参数的范围.
5．（25-26 高一上·黑龙江鸡西·阶段检测）已知
，
，若集合
，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【分析】由集合相等，确定
，进而确定
，再结合元素互异性即可求解.
【详解】由
，
可得
，
所以
，即
，
所以
，
当
时，不符合元素互异性，舍去；
当
时，符合题意，
所以
.
故选：B
6．（2026 高三·全国·专题练习）用C(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义A*B＝
若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a 的所有可
能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】B
【分析】根据题意可得
或
，进而讨论a 的范围，确定出
，最后得到答案.
【详解】因为
，
，所以
或
，
由
，得
，
关于x 的方程
，
当
时，即
时，易知
，符合题意；
当
时，即
或
时，易知0， -a 不是方程
的根，故
，不符合题意；
当
时，即
时，方程
无实根，
若a=0，则B={0}，
，符合题意，
若
或
，则
，不符合题意.
所以
，故
.
故选：B.
【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大
关联；另外当
时，容易遗漏a=0 时的情况，注意仔细分析题目.
二、多选题
7．（25-26 高一·全国·课后作业）设集合
，集合
，若
，则
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据
，可得
或
或
，进而可求出
的值．
【详解】因为
，
所以
或
或
，
则
或
或
，
解得
或
或
.
故选：ACD.
8．（25-26 高二上·江西宜春·阶段检测）设
是一个数集，且至少含有两个元素.若对任意的
，都有
（除数
），则称
是一个数域.则关于数域的理解正确的是（ ）
A．有理数集
是一个数域
B．整数集是数域
C．若有理数集
，则数集
必为数域
D．数域必为无限集
【答案】AD
【分析】根据数域的定义逐项进行分析即可求解.
【详解】对于A，若
，则
，所以有理数集
是一个数域，故
A 正确；
对于B，因为
所以
，所以整数集不是数域，故B 不正确；
对于C，令数集
，则
但
，故C 不正确；
对于D，根据定义，如果
在数域中，那么
（
为整数），
都在数域中，故
数域必为无限集，故D 正确.
故选：AD.
三、填空题
9．（25-26 高一下·上海·期中）已知集合
的元素均为正整数，定义集合
的
变项和
为：将
“
”
中每
个元素
都乘以
后再求和.若集合
，则集合
的所有非空子集的
变项和
的
“
”
总和为________.
【答案】2560
【分析】利用A 集合的所有子集中，每个元素出现的次数为
，计算出集合
中所有非
空子集的
变项和
的总和
“
”
.
【详解】A 集合的所有非空子集中，每个元素出现的次数都是
，
则集合
的所有非空子集的
变项和
的总和为
“
”
.
10．（25-26 高二下·重庆·期中）设集合
，那么集合A 中满足条件
“
的元素个数为
”
________
【答案】16
【分析】设四个变量中1 的个数为
，-1 的个数为
，由总和为1，得
，对可行的
值分类讨论，
用组合数计算每类元素个数后求和即可.
【详解】设
中有
个取值为1，
个取值为-1，
则剩余
个取值为0，其中
均为非负整数且满足
.
由
，得
，即
.
当
时，
，只需从4 个位置中选1 个放置1，其余均为0，共有
种情况；
当
时，
，先从4 个位置中选2 个放置1，再从剩余2 个位置中选1 个放置-1，最后1 个位置为0，
共有
种情况；
当
时，
，此时
，无符合条件的组合.
综上所述，满足条件的元素总个数为
.
四、解答题
11．（25-26 高二下·上海松江·期中）已知集合
，集合
．
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出集合
，再根据集合并集求解即可.
（2）根据
得到
，再根据集合之间的包含关系求解即可.
【详解】（1）由题意得
，
所以
，
当
时，
，
，
（2）
，
，
若
①
，则
，解得
；
若
②
，要使
，则
应满足．
，即
，解得
，
综上所述，所求实数a 的取值范围是
．
12．（山西太原新希望双语学校、第四中学校等校2025-2026 学年高二下学期5 月份过程性素质评价数学
试题）已知集合
，集合
，其中
．
(1)当
时，求
；
(2)若“
是
”
“
的必要不充分条件，求实数
”
m 的取值范围；
(3)设命题p：
，使得
．若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【详解】（1）解不等式
，得
．
当
时，
，故
．
因此
．
（2）“
是
”
“
的必要不充分条件
”
．
由题意得：
，列不等式组：
，解得
，
所以实数m 的取值范围为
．
（3）由
，解得
或
，
命题p 为真
或
，
即
或
得：
或
．
