专题2.2 幂指对三角函数比大小归类
近三年：1、比较大小是近年的高考命题热点，这类题目通常不会直接让你计算数值（因为无法直接计
算），而是考查你如何灵活运用函数的单调性、图像、临界点、放缩技巧来比较大小。
常用解题策略（“三步法”）：
①定“基准”：寻找一个中间量（基准数），如 等，将要比较的数分别与这个基准数进行比较。
②判“范围”：估算每个数的大致范围。例如，判断一个对数是否大于0，一个指数是否大于1，一个角
度的正弦/余弦值在哪个象限。
③用“性质”：利用函数的单调性进行变形和比较。有时需要将不同底数的指数或对数化为同底，或者利
用幂函数、三角函数的单调性。
2、常用逻辑用语在从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式
出现在其他考点的题目中．集合内容可能以一元一次、一元二次不等式、分式不等式及指数对数不等式的
形式考查集合的交集、并集、补集运算及参数求解，同时还需重点关注集合与充分必要条件相结合问题．
预测2026 年：这类题型在2026 年高考中出现的概率非常高，预计难度会维持在中等偏上水平；创新点可
能在于：①与三角函数更紧密结合：可能会比较如sin 0.1、0.1、ln1.1这类同时涉及三角函数、幂函数、
对数函数的数值。关键在于利用当x ⟶0时的经典不等式 sin x< x<tan x等进行放缩；②与数列、函数零
点等知识结合：题目背景可能更为复杂，例如置于某个数列或函数问题的情境中。
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题型01 幂指数函数性质
解｜题｜策｜略
1 指数函数y =a
x的值域是(0,+ ∞)，当a>1时单调递增，当0<a<1时单调递减；
2 常见幂函数的图象与性质
3 若比较大小的幂可化为同底，则化为同底再利用指数函数单调性比较大小；若比较大小的幂可化为同
指数，则化为同指数再利用幂函数单调性比较大小。
1（25-26 高三上·天津滨海新·期中）设a=2.1
0.5，b=2.1
0.6，c =0.6
0.5，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<a<b
D．c<b<a
2（24-25 高三上·甘肃白银·月考）设y1=7
3.3，y2=9
2.2，y3=125
1.1，则（ ）
A．y2> y3> y1
B．y3> y1> y2
C．y1> y3> y2
D．y3> y2> y1
3（25-26 高三上·重庆·期中）已知a=2
4
3 ,b= 4
2
5 ,c =3
2
3，则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．b<c<a
D．c<a<b
题型02 对数函数性质
解｜题｜策｜略
1 对数函数的图像与性质
图像
a>1
0<a<1
定义域
(0 , +∞)
值域
R
过定点
(1 , 0)
奇偶性
非奇非偶
单调性
在(0 , + ∞)上是增函数
在(0 , + ∞)上是减函数
变化对图像
的影响
在第一象限内，α越大图象越靠低；
在第四象限内，α越大图象越靠高．
2 比较大小的对数可化为同底，则化为同底再利用对数函数单调性比较大小.
1（25-26 高三上·云南昭通·月考）设a=log5
1
3 ,b=(
1
3)
2
3 ,c =(
1
5)
1
3，则（ ）
A．c<b<a
B．c<a<b
C．a<c<b
D．a<b<c
2（25-26 高三·江苏无锡·期中）已知a=e
- 3
2，b= ln 3
2
，c = 1
3
则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．c<a<b
D．a<c<b
3（25-26 高三上·河北唐山·期中）设a=log63，b=lg5，c =log147，则下列选项正确的是（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>c>a
D．c>b>a
题型03 三角函数性质
解｜题｜策｜略
三角函数的图象与性质
y = sinx
y =cosx
y =tanx
图像
定义域
R
R
{x|x≠kπ + π
2 }
值域
[-1 , 1]
[-1 , 1]
R
最值
当x = π
2 +2kπ时，ymax =1；
当x =- π
2 +2kπ时，ymin=-1.
当x =2kπ时，ymax=1；
当x = π +2kπ时，ymin=-1.
既无最大值
也无最小值
周期性
2π
2π
π
对称中心
(kπ , 0)
(kπ + π
2 , 0)
(
kπ
2 , 0)
对称轴
x =kπ + π
2
x =kπ
无
单调性
在[- π
2 +2kπ , π
2 +2kπ]上
是增函数；
在[
π
2 +2kπ , 3 π
2 +2kπ]上
是减函数.
在[- π +2kπ , 2kπ ]上是增
函数；
在[2kπ , π +2kπ ]上是减函
数.
在
(kπ - π
2 , kπ + π
2 )
上是增函数
2 注意三角函数y = sinx和y =cosx的有界性。
1（24-25 高三·云南保山·月考）已知a=ln(sin1)，b=e
tan1，c =cos1，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b>c>a
B．c>a>b
C．c>b>a
D．b>a>c
2（24-25 高三上·湖北·月考）已知实数a,b∈(-1,0)，且满足cosaπ>cosbπ，则下列一定正确的是
（ ）
A．sina<sinb
B．a
- 3
5 >b
- 3
5
C．sina-a>sinb-b
D．a
4
3 <b
4
3
3（25-26 高三上·江苏·开学考试）已知α ∈(0,π
4 ), x =(sinα )
cosα , y =(cosα )
sinα , z =sinα cosα，则
x , y , z的大小关系是（ ）
A．y < x< z
B．z< x< y
C．x< y < z
D．z< y < x
题型04 临界值型：0 与1 分界
解｜题｜策｜略
在比较数值大小时，若无法直接利用指对幂函数单调性比较，常常用到估值的方法，在估值时，会优先
考虑0与1.
1（25-26 高三上·江苏南通·月考）对任意x1, x2∈(0,+∞)，均有( x1- x2)[ f ( x1)- f ( x2)]>0成立，若
a= f (ln 2)，b= f(3
1
3)，c = f (e
1
3)，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．c<b<a
B．a<b<c
C．a<c<b
D．c<a<b
2（25-26 高三·湖北·月考）已知a=cos1, p=loga
1
2 ,q =a
1
2 ,r =(
1
2)
a则（ ）
A．p<q<r
B．p<r <q
C．r <q< p
D．q< p<r
3（20-21 高三上·山东青岛·期中）已知m=0.9
5.1，n= log0.85.1，p=0.8
5.1，则m、n、p 的大小关系为
（ ）
A．p＜n＜m
B．n＜p＜m
C．m＜n＜p
D．n＜m＜p
题型05 临界值型：中间值
解｜题｜策｜略
在比较数值大小时，若利用0和1估值还是无法比较出大小，则可能需要引入其他的中间值，此时要根据
数值的特点而决定，可利用分析法辅助判断。
1（25-26 高三上·福建漳州·期中）已知a=2
6
5，b=9
2
5，c =3
log45，则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．b<a<c
D．a<c<b
2（25-26 高三上·辽宁·月考）已知a=( 5
2 )
1
2，b=2
2
3，c =3
2
5，则a,b,c大小关系是（ ）
A．a<b<c
B．c<a<b
C．a<c<b
D．c<b<a
3（2025·河北秦皇岛·二模）已知a=log2678，b=1.25
0.9，c =log918，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>b>a
D．c>a>b
题型06 做差比较法
解｜题｜策｜略
1 比较两个式子（数值）a与b的大小，可用作差法，转化为 a-b与0的比较；
a-b>0→ a>b ; a-b=0→ a=b ; a-b<0→ a<b
2 作差的过程往往要用到因式分解。
1（25-26 高三上·广东惠州·期中）已知a= log48,b= log0.60.4 ,c = log23，则（ ）
A．b>a>c
B．b>c>a
C．c>a>b
D．c>b>a
2（25-26 高三·山东临沂·月考）已知a= log48，b= log0.60.4，c = log23，则（ ）
A．b>a>c
B．b>c>a
C．c>a>b
D．c>b>a
3（25-26 高三上·山东泰安·开学考试）已知3
x= 4
y =6
z，则3 x，4 y，6 z的大小关系不可能为（ ）
A．3 x = 4 y =6 z
B．3 x<4 y <6 z
C．3 x>4 y >6 z
D．3 x<6 z<4 y
题型07 做商比较法
解｜题｜策｜略
1 比较两个式子（数值）a与b的大小，可用作商法，转化为 a
b 与1的比较；
a
b >1 , b>0→ a>b ; a
b >1 , b<0→ a<b
2 一般式子是幂的形式，会考虑作商法；
3 作商的过程往往要用到因式分解，还有一点b是否一定大于0或小于0要明确。
1（25-26 高三上·全国·课前预习）已知a,b,c均为大于1 的数，且log43
a=log32
2b=2c，则（ ）
A．loga2>logb2>logc2
B．logb2>loga2>logc2
C．loga2>logc2>logb2
D．logc2>logb2>loga2
2（24-25 高三上·江苏扬州·月考）已知a=log43，b=log54，c =e
-0.09，则下列结论正确的是（ ）
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>b>a
D．b>c>a
3（25-26 高三上·福建泉州·月考）已知x､y､z∈R
+，且x ln2= y ln3= z ln5，则2 x ,3 y ,5 z的大小关系为：
（用“<”连接）
4（多选）（25-26 高三上·广东广州·月考）若2
x =3
y =5
z，则以下大小关系可能成立的有（ ）
A．x> y > z
B．x< y < z
C．3 y <2 x<5 z
D．2 x<3 y <5 z
题型08 构造函数：对数型
解｜题｜策｜略
1 比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法；
2 构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含有对数，可考虑对数型函数；
3 利用同构变形也可以，比如 x + ln x = ln x∙e
x , x - ln x = ln e
x
x
.
1（2025·全国·模拟预测）已知a=π
e，b=π
π，c =e
π，e 是自然对数的底数，则a，b，c 的大小关系是
（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．b<a<c
D．c<a<b
2（2025·河南南阳·模拟预测）设ln 5a
4 =0.2,b=0.96,e
5c
2 =5
，则（ ）
A．c<b<a
B．c<a<b
C．a<c<b
D．a<b<c
3（25-26 高三上·山东潍坊·月考）已知函数f (x)= 1
2 x - ln(1+e
x)，a= f(
ln 2
2 )
，b= f(
1
e)
，c = f(
1
3 ln 1
3)
，
则（ ）
A．a<c<b
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<b<a
4（25-26 高三上·四川乐山·月考）若a=log47,b=log58,c=9
log3
❑√6
2 则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a>c>b
B．b>c>a
C．c>a>b
D．c>b>a
题型09 构造函数：指幂型
解｜题｜策｜略
1 比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法；
2 构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含幂的形式，可考虑指数型函
数；
3 利用同构变形也可以，比如x e
x =e
x + ln x , e
x
x =e
x - ln x , x
e
x =e
ln x - x.
1（2025 高三·全国·专题练习）已知a=e
-0.8，b= ln1.1，c =0.15，则（ ）
A．a<c<b
B．b<c<a
C．c<b<a
D．a<b<c
2（24-25 高三·安徽铜陵·月考）已知a=
1
2025
，b=e
- 2024
2025，c = ln 2026
2025
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
3（2024·安徽·三模）已知a=e
π-3,b= ln (eπ-2e),c =π-2，则（ ）
A．b<c<a
B．b<a<c
C．c<a<b
D．c<b<a
4（25-26 高三上·湖北孝感·月考）设a=e
0.02-1，b= ln1.02，c = 1
51
，d = ❑√1.02-1，则（ ）
A．b>a
B．b<c
C．d ＜b
D．d ＞c
题型10 构造函数：三角函数线性型
解｜题｜策｜略
1 比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法；
2 构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含三角函数的形式，可考虑三角
函数型函数。
1（25-26 高三上·北京·月考）已知a=ln2,b=sin 1
3 ,c = 1
3 ,(e≈2.718)，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．b<a<c B．a<c<b C．b<c<a
D．a<b<c
2（25-26 高三上·贵州贵阳·开学考试）已知a=ln 4
3
，b= 2
7
，c =sin 2
7
，则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．b<a<c
D．a<c<b
3（25-26 高三上·四川遂宁·期中）已知a= 1
3√e
，b= log32，c =sin(cos1.1)，则（ ）
A．b<c<a
B．a<c<b
C．c<a<b
D．c<b<a
4（2025·湖北武汉·三模）已知a=1.01ln (ln1.01)-(ln1.01)
ln1.01，b=sin(ln (1+cos1.01))，c =etan (sin1.01)+1，
则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a
D．c<a<b
题型11 根据等式关系比较大小
解｜题｜策｜略
题中给到关于a，b,c的等式，再比较它们的大小；此时先思考是否可根据等式得到a，b,c的数值或者它
们
之间的关系，再想是否可以通过数形结合的方法确定它们数值的范围，或者根据各等式之间的特殊形式
通过构造函数再比较大小。
1（多选）（25-26 高三上·山东青岛·月考）若log3 x =log5 y =log7 z<-1，则（ ）
A．x> y > z
B．3 x>5 y >7 z
C．3 x<5 y <7 z
D．x< y < z
2（2025 高三·全国·专题练习）已知正实数a,b,c，且a>b，若2
a⋅3
a-b+3
c -b=1+2
b，则（ ）
A．b>c ,2b>a+c
B．b<c ,2b<a+c
C．b>c ,2b<a+c
D．b<c ,2b>a+c
3（多选）（24-25 高三·黑龙江·月考）已知m= log67+ log76，且2
m+3
m+6
m=7
n，p= log23+ log32，则
（ ）
A．m>2
B．n>2
C．n>m
D．m> p
4（2025·广东·模拟预测）设2
x+5=3
y+3=5
z+1，则x，y，z 的大小关系不可能是（ ）
A．x> y > z
B．y > z> x
C．z> y > x
D．z> x> y
题型12 泰勒公式法
解｜题｜策｜略
1 麦克劳林公式
f (x)= f (0)+ f
' (0) x + f
' ' (0)
2!
x
2+⋯+ f
(n)(0)
n!
x
n+ Rn(x)
虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式, 仅仅是取 x0=0的特殊 结果, 由于麦克劳林公式使用方
便, 在高考中经常会涉及到.
2 常见函数的麦克劳林展开式
(1)e
x =1+ x + x
2
2! +⋯+ x
n
n! +…
(2) ln (1+ x)= x - x
2
2 + x
3
3 -⋯+(-1)
n x
n+1
n+1 +…
(3) sin x = x - x
3
3! + x
5
5! -⋯+(-1)
n
x
2n+1
(2n+1)! +…
(4) cos x =1- x
2
2! + x
4
4! - x
6
6! +⋯+(-1)
n
x
2n
(2n)! +…
3 利用泰勒公式法，主要就是对数值进行估值，估值的程度要根据数值之间的差距。
1（25-26 高三·广东广州·月考）a=ln2，b=sin 4
5
，c =e
-0.4，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．c>b>a
B．b>c>a
C．b>a>c
D．a>b>c
2（25-26 高三上·广东·月考）已知a= 2
11 ,b= ln 11
9 ,c =e
1
6 -1
，则( )
A．a<c<b
B．c<a<b
C．b<c<a
D．b<a<c
3（25-26 高三·湖南·月考）设 a=2ln 1.01,b= ln 1.02,c = ❑√1.04 -1, 则 ( )
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．b＜a＜c
D．c＜a＜b
（建议用时：60 分钟）
1（24-25 高三上·四川泸州·月考）下列不等式中正确的是（ ）
A．0.8
-0.1>0.8
-0.2 B．log0.53>log30.5
C．0.7
-0.3>0.8
2.2
D．sin1>sin2
2（25-26 高三上·天津南开·期中）已知幂函数f (x)=(5m+3) x
n的图象过点(❑√2,2❑√2)，设a= f (m)，
b= f (n
m)，c = f(n
1
n)，则（ ）.
A．a>b>c
B．c>b>a
C．b>a>c
D．c>a>b
3（2025·天津河东·二模）已知a=(
1
2)
-0.6，b= log 1
2
2
9
，
c = 4
1
3，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．a<c<b
B．a<b<c
C．c<b<a
D．b<c<a
4（25-26 高三上·河北沧州·月考）已知a❑= log20252026，b= ln
3√9
，c =sin
7
2 π
4 +cos
7
2 π
4
，则a，b，c 的
大小关系为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．c>b>a
5（2024·甘肃·模拟预测）设a=1.1，b=sin a，c =e
0.1，则（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>c>a
D．c>a>b
6（25-26 高三上·江苏扬州·月考）已知四个数a= ln 2+ ln5
2
，b= ❑√ln 2⋅ln5，c = ln2，d = ln5，其中最大
的是（ ）
A．a
B．b
C．c
D．d
7（25-26 高三上·河北·期中）已知a=log53,b=log64 ,c =log75，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<b<a
D．a<c<b
8（24-25 高三上·重庆·月考）已知a=sin 1
3 ,b=
❑√3
3 ,c = ln 3
2
，则（ ）
A．c<a<b
B．a<c<b
C．a<b<c
D．b<a<c
9（2025·天津北辰·三模）设a=(
2
3)
1
2 ,b=2
sinπ
6 ,c =3
- 1
4，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．c<b<a
B．a<c<b
C．a<b<c
D．c<a<b
10（25-26 高三·湖北·月考）已知x，y，z 都是大于1 的正数，且log❑√2 x = log❑√3 y = log❑√6 z，令
a= x
3,b= y
2,c = z，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a>b>c
B．b>c>a
C．c>a>b
D．b>a>c
11（24-25 高三·湖北·期中）设a=3ln1.1,b= ❑√0.4 ,c =ln1.3，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
12（2025 高三·全国·专题练习）设ln 5a
4 =0.2，b=0.96，e
5c
2 =5，则（ ）
A．c<b<a
B．c<a<b
C．a<c<b
D．b<a<c
13（25-26 高三上·贵州遵义·月考）设a= 1
11
，e
b=1.1，ln(c +1)=0.1，则（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．b<a<c
D．b<c<a
14（多选）（25-26 高三上·浙江丽水·月考）设x，y，z为正实数，且log2 x = log3 y = log5 z>0，则
x
2 , y
3 , z
5
的大小关系可能是（ ）
A．x
2 < y
3 < z
5
B．x
2 = y
3 = z
5
C．z
5 < y
3 < x
2
D．y
3 < x
2 < z
5
15（多选）（2024·湖北·一模）已知a=2
log4
1
100，b=ln 10
9
，c =
❑√10
30
，则（ ）
A．c>a
B．a>b
C．c>b
D．b>a
