专题2.5 幂函数与二次函数（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)了解幂函数的定义，掌握幂函数的图象与性质
(2)熟练掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性与最值等）
考点
2024 年
2025 年
2026 年
高考真题
统计
幂函数与二
次函数
天津卷：第2 题，5
分
上海卷（春考）：第
14 题，4 分
上海卷（春考）：第
15 题，5 分
命题规律
分析
1、幂函数与二次函数
幂函数与二次函数是常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的
地位，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，幂函数较少单
独考查，常与指、对数函数结合考查，考查内容包括比较幂值的大小、解
不等式等，主要出现在选择题、填空题中，难度较易；二次函数常与其他
知识相结合，考查二次函数的图象与性质。
知识点
1
幂函数的解题技巧
1．幂函数的解析式
幂函数的形式是y=xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2．幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+∞)上，幂函数
中指数越大，函数图象越远离 x 轴.
3．比较幂值的大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂
函数的图象和性质是解题的关键.
知识点
2
二次函数的解题技巧
1．二次函数解析式的求法
(1)一般式法：已知三点坐标，选用一般式.
(2)顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式.
(3)零点式法：已知与x 轴两交点坐标，选用零点式.
2．二次函数的图象问题
(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上
关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的
开口方向.
(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.
3．二次函数的单调性与最值
闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指
的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
4．二次函数的恒成立问题
不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象
求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.
【题型1 比较幂值的大小】
【例1】（2026·湖南·一模）若a=log7 7
2，b=7
0.1，c =(
2
7)
−0.1
，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．c<a<b
B．a<b<c
C．a<c<b
D．c<b<a
【答案】C
【解题思路】利用对数函数、幂函数单调性，结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.
幂函数与二次函数
考点1
【解答过程】因为函数y =log7 x在(0,+∞)上为增函数，所以log71<log7 7
2 <log77，即0<a<1，
因为b=7
0.1，c =(
2
7)
−0.1
=(
7
2)
0.1
，
函数y =x
0.1在(0,+∞)上为增函数，所以7
0.1>(
7
2)
0.1
>(
7
2)
0
，即b>c>1，
故b>c>a．
故选：C.
【变式1-1】（2026·四川绵阳·一模）已知a=3
2 ,b=log34 ,c =e
1
2，则（ ）
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
D．a<c<b
【答案】A
【解题思路】对于对数函数和指数函数的值比较大小，通常可以利用函数的单调性以及中间值来进行判断.
【解答过程】因为3
2 =log33
3
2 =log3
❑√3
3=log3
❑√27，
又因为对数函数y =log3 x在(0,+∞)上单调递增，且4 =❑√16<❑√27，
所以log34<log3
❑√27，即b<a.
c =e
1
2 =❑√e，a=3
2 =❑√
9
4 ，由于e≈2.718，9
4 =2.25，且函数y =❑√x在[0,+∞)上单调递增，
所以❑√e>❑√
9
4 ，即c>a.
综合以上两个比较结果，可得b<a<c.
故选：A.
【变式1-2】（2026·北京朝阳·二模）已知a=log0.50.2,b=0.5
0.5,c =2
0.5，则（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．b<a<c
D．b<c<a
【答案】D
【解题思路】根据对数函数的单调性及幂函数的单调性比较大小即可.
【解答过程】a=log0.50.2>log0.50.25=2>2
0.5=c，
又y =x
0.5在(0,+∞)上为增函数，
所以b=0.5
0.5<2
0.5=c，
综上，b<c<a，
故选：D.
【变式1-3】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数f (x)=(m−1) x
1−m为幂函数，若a=log0.30.4，b=log30.4
，则（ ）
A．f (ab)<f (a+b)<f (1)
B．f (a+b)<f (ab)<f (1)
C．f (1)<f (a+b)<f (ab)
D．f (a+b)<f (1)<f (ab)
【答案】B
【解题思路】由幂函数的定义得m的值，得f (x)=x
−1，根据对数函数y =log0.3 x的单调性性质及换底公式
得到ab<a+b<0，再利用幂函数f (x)=x
−1单调性比较大小得到f (a+b)<f (ab)<f (1)即可.
【解答过程】由f (x)=(m−1) x
1−m为幂函数，得m−1=1
∴m=2，所以f (x)=x
−1，所以f (1)=1，
又log0.31<log0.30.4<log0.30.3，所以0<a<1，
又log30.4<log31，所以b<0，
由换底公式得a=log0.30.4 =
1
log0.40.3，b=log30.4 =
1
log0.43，
所以1
a +1
b =a+b
ab =log0.40.3+log0.43=log0.40.9，
又0<log0.40.9<1，所以0<a+b
ab <1，得ab<a+b<0.
又f (x)=x
−1在区间(−∞,0)内单调递减，所以f (a+b)<f (ab)<0.
综上，f (a+b)<f (ab)<0<f (1).
故选：B.
【题型2 幂函数图象的判断及应用】
【例2】（25-26 高一上·上海嘉定·期中）图中C1,C2,C3为三个幂函数( y =x
α)在第一象限内的图象，则解
析式中指数α的值依次可以是（ ）
A．0.5,3,−1
B．−1,3,0.5
C．0.5,−1,3
D．−1,0.5,3
【答案】D
【解题思路】根据给定的图象，结合幂函数的性质判断即得.
【解答过程】令图象为C1,C2,C3的幂函数分别为y =x
α1, y =x
α2, y =x
α3，
观察图象知，曲线C1在第一象限内从左到右下降，对应函数在(0,+∞)上单调递减，则α1<0；
曲线C2,C3在第一象限内从左到右都上升，对应函数在(0,+∞)上都单调递增，
而在x>1时，曲线C3在直线y =x上方，曲线C2在直线y =x下方，则0<α2<1<α3，
因此α1=−1,α2=0.5,α3=3.
故选：D.
【变式2-1】（25-26 高一上·四川泸州·期末）已知函数y =loga(x−15)+4 (a>0，a≠1)过定点P，幂函数
的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】根据对数型函数恒过定点求出P(16,4)，代入幂函数解析式得y =x
1
2 =❑√x，进而可得图象.
【解答过程】因为y =loga(x−15)+4 (a>0，a≠1)，当x =16时，y =4，所以过定点P(16,4)，
设幂函数y =x
α，幂函数的图象经过点P，代入P(16,4)，即4 =16
α，解得α =1
2，
所以幂函数为y =x
1
2 =❑√x，定义域{x| x ≥0)，结合定义域和图象，可知C 正确，
故选：C.
【变式2-2】（2026·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数f (x)=(m
2+m−1) x
m的图象与坐标轴无公共点，
则m=（ ）
A．－2
B．1
C．－2 或1
D．－1 或2
【答案】A
【解题思路】本题可先根据幂函数的定义求出m的可能值，再结合幂函数图象与坐标轴无公共点的条件确
定m的值.
【解答过程】因为f ( x)为幂函数，所以m
2+m−1=1，
即m
2+m−2=0，解得m=−2或m=1.
当m=−2时，f ( x)=x
−2= 1
x
2，其定义域为{x∣x≠0}，图象与坐标轴无公共点，符合题意；
当m=1时，f ( x)=x，其图象与坐标轴有公共点，不合题意.
综上，m=−2.
故选：A.
【变式2-3】（25-26 高一上·上海松江·期中）已知a为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数y =x
a和一次
函数y =ax−1
a的图像关系可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】根据幂函数和一次函数的图像特征，对四个选项一一判断.
【解答过程】对于A：由幂函数的性质可以判断出a<0，而由一次函数经过一、三象限可以判断出a>0.矛
盾.故A 错误；
对于B：由幂函数的性质可以判断出a>0，而由一次函数经过二、四象限可以判断出a<0，矛盾.故B 错
误；
对于C：由幂函数的性质可以判断出a<0，而由一次函数经过二、三、四象限可以判断出a<0，且−1
a <0
，矛盾.故C 错误；
对于D：由幂函数的性质可以判断出a>0，而由一次函数经过一、三、四象限可以判断出a>0,−1
a <0，
可以同时成立，故D 正确.
故选：D.
【题型3 幂函数的图象和性质】
【例3】（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数f (x)=(m
2−m+1) x
−2m+1在(0,+∞)上单调递减，则实数m 的
值为（ ）
A．0 或1
B．−1或1
C．1
D．0
【答案】C
【解题思路】根据幂函数的定义及单调性即可求解．
【解答过程】由于f (x)为幂函数，所以m
2−m+1=1，解得m=0或m=1，
又函数f (x)在(0,+∞)上单调递减，
所以−2m+1<0，即m>1
2
故当m=1时f (x)=x
−1符合条件．
故选：C.
【变式3-1】（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图象关于原点对称且在(0,+∞)单调递增的是
（ ）
A．y =x
−1
B．y =x
1
2
C．y =x
2
D．y =x
3
【答案】D
【解题思路】根据幂函数的对称性及单调性逐项判断，即可求解．
【解答过程】A 选项，函数y =x
−1图象关于原点对称且在(0,+∞)单调递减，A 错误；
B 选项，函数y =x
1
2图象不关于原点对称，在(0,+∞)单调递增，B 错误；
C 选项，函数y =x
2图象不关于原点对称，在(0,+∞)单调递增，C 错误；
D 选项，函数y =x
3图象关于原点对称，在(0,+∞)单调递增，D 正确.
故选：D.
【变式3-2】（2026·四川·二模）“k =−3”是“f (x)=(k +2)
2 x
k是幂函数且在(0,+∞)上单调递减”（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】利用充分条件和必要条件的定义及幂函数的定义和性质求解.
【解答过程】充分性分析：∵k =−3，∴f (x)=(−3+2)
2 x
−3=x
−3，
∴f (x)是幂函数且在(0,+∞)上单调递减，故充分性成立；
必要性分析：∵f (x)=(k +2)
2 x
k是幂函数，∴(k +2)
2=1，
∴k +2=±1，∴k =±1−2，∴k =−1或k =−3，
当k =−1时，f (x)=x
−1在(0,+∞)上单调递减，符合题意；
当k =−3时，f (x)=x
−3在(0,+∞)上单调递减，符合题意；
综上可知，f (x)=(k +2)
2 x
k是幂函数且在(0,+∞)上单调递减，
则k =−1或k =−3，故必要性不成立，
故“k =−3”是“f (x)=(k +2)
2 x
k是幂函数且在(0,+∞)上单调递减”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式3-3】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数f (x)=(m
2−m−1) x
m
2+m−3是幂函数，对任意x1，
x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，满足
f (x1)−f (x2)
x1−x2
>0．若a,b∈R，且f (a)+f (b)的值为负数，则下列结论中
一定不成立的是（ ）
A．a+b<0，ab=0
B．a+b<0，ab>0
C．a+b<0，ab<0
D．a+b>0，ab>0
【答案】D
【解题思路】根据幂函数定义求出f (x)=x
3，根据函数解析式逐个判断即可.
【解答过程】因为函数f (x)=(m
2−m−1) x
m
2+m−3是幂函数，
则m
2−m−1=1，
解得m=2或m=−1，
因为对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，满足
f (x1)−f (x2)
x1−x2
>0，
所以f (x)在x∈(0,+∞)上单调递增，
m=−1时，f (x)=x
−3，在x∈(0,+∞)上单调递减，故舍，
所以m=2时，f (x)=x
3，
对于A，取a=0，b=−1时，a+b<0，ab=0可能成立；
对于B，取a=−1，b=−2时，a+b<0，ab>0可能成立；
对于C，取a=1，b=−3时，a+b<0，ab<0可能成立；
对于D，因为f (a)+f (b)<0，则a
3+b
3<0，则a
3<(−b)
3，
由单调性可知a<−b，故a+b<0，与a+b>0矛盾，一定不成立.
故选：D.
【题型4 求二次函数的解析式】
【例4】（25-26 高一上·福建福州·期中）若函数f (x)是二次函数，满足f (0)=2，f (x +2)−f (x)=4 x，则
f (x)=（ ）
A．x
2+x +2
B．x
2−2 x +2
C．x
2−x +2
D．x
2+2 x +2
【答案】B
【解题思路】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案.
【解答过程】设f (x)=a x
2+bx +c（a≠0），由f (0)=2，则c =2，
由f (x +2)−f (x)=4 x，则a(x +2)
2+b(x +2)+2−(a x
2+bx +2)=4 x，
整理可得4 ax +4 a+2b=4 x，则{
4 a=4
4 a+2b=0)，解得{
a=1
b=−2)，
所以f (x)=x
2−2 x +2.
故选：B.
【变式4-1】（2026·广东·模拟预测）若函数f (x)=(x−1)(x−a)与g(x)=b x
2+cx表示同一个函数，则c =
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【解题思路】利用二次函数的两点式得出相应方程的根，再由函数相同计算参数即可.
【解答过程】注意到方程f (x)=0有两个解1,a，方程g(x)=0的其中一个解为0，故只可能a=0，所以
f (x)=x
2−x，故c =−1，
故选：A.
【变式4-2】（25-26 高三·全国·一轮复习）已知f (x)为二次函数且f (0)=3，f (x +2)−f (x)=4 x +2，则
f (x)=___________．
【答案】x
2−x +3
【解题思路】根据条件设二次函数为f (x)=a x
2+bx +c (a≠0)，代入条件求解即可．
【解答过程】设f (x)=a x
2+bx +c (a≠0)，
∵ f (x +2)=a( x +2)
2+b(x +2)+c，
∴f (x +2)−f (x)=4 ax +4 a+2b=4 x +2，
∴{
4 a=4
4 a+2b=2)⇒{
a=1
b=−1)．
又f (0)=3⇒c =3，
∴f (x)=x
2−x +3.
故答案为：x
2−x +3.
【变式4-3】（25-26 高一上·全国·期末）已知g(x)是二次函数，且g(2)=−3，g(−2)=−7，g(0)=−3，
则g(x)的解析式为_________．
【答案】g(x)=−1
2 x
2+x−3
【解题思路】设g(x)=a x
2+bx +c (a≠0)，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解
析式.
【解答过程】设g(x)=a x
2+bx +c (a≠0)，
根据题意得{
4 a+2b+c =−3
4 a−2b+c =−7
c =−3
)，解得{
a=−1
2
b=1
c =−3)
，
所以 g(x)=−1
2 x
2+x−3．
故答案为：g(x)=−1
2 x
2+x−3．
【题型5 二次函数的图象】
【例5】（25-26 高一上·安徽马鞍山·期末）函数y =| x| ( x−2)的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】分析函数性质，结合二次函数图象特征判断即可.
【解答过程】当x ≥0时，y =x( x−2)=x
2−2 x，其图象是抛物线y =x
2−2 x在y轴及右侧部分，排除
BC；
当x<0时，| x| >0, x−2<0，则| x| ( x−2)<0恒成立，其图象在x轴下方，排除D，选项A 符合题意.
故选：A.
【变式5-1】（2026·河南·二模）已知y =1−alog2 x是减函数，则函数f (x)=|x)(x−a)的大致图象为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】由已知可得a>0，当x>0时根据函数解析式可得函数f (x)的图象，即可求解.
【解答过程】因为y =1−a log2 x是减函数，且y =log2 x是增函数，
所以a>0，
因为f (x)={
−x (x−a), x ≤0
x (x−a), x>0 )，
又当x>0时，f (x)=(x−a
2)
2
−a
2
4 ，
所以函数f (x)的图象是对称轴为直线x =a
2 >0，顶点为(
a
2 ,−a
2
4 )，开口向上的抛物线的一部分，只有选项
B 符合题意.
故选：B.
【变式5-2】（25-26 高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数y =a x
2+bx +c (a≠0)的图象顶点在
第一象限，且经过A (−1, 0)、B (0, 1)两个点．则下列说法正确的是：（ ）
①abc<0；②−1<a<0；③0<b<1；④0<a+b+c<2．
A．①②④
B．①③④
C．②③④
D．①②③④
【答案】D
【解题思路】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可.
【解答过程】由图象可知，二次函数图象开口向下，则a<0，图象与y轴交点为B (0,1)，所以c =1>0，顶
点在第一象限，对称轴x =−b
2a >0，
又a<0，所以b>0，所以abc<0，
说法正确；
①
因为图象经过A (−1,0)、B (0,1)两个点，所以{
a−b+c =0
c =1 )，
解得b=a+1，因为a<0，b>0，所以−1<a<0，
说法正确；
②
由−1<a<0得0<a+1<1，即0<b<1，
说法正确；
③
因为图象顶点在第一象限，且经过A (−1,0)，由二次函数的对称性可知与x轴另一个交点的横坐标在
(1,+∞)上，
所以当x =1时，a+b+c>0，又−1<a<0，0<b<1，c =1>0，
所以a+b+c<2，即0<a+b+c<2，
说法正确
④
.
故选：D.
【变式5-3】（25-26 高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数f (x)=a
x−b(a>0，且a≠1)的图象如图所示.
则函数g(x)=(x−a)(x +b)的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】由指数函数的单调性以及f (0)<0判断a,b的范围，即可得解.
【解答过程】由f (x)=a
x−b(a>0,a≠1)的图象可知0<a<1，
由f (0)=1−b<0知b>1，
所以函数g(x)=(x−a)(x +b)的两个零点分别在(0,1)和(−∞,−1)上，且开口向上.
故选：C.
【题型6 二次函数的单调性与最值】
【例6】（2026·广东揭阳·二模）已知函数f (x)=−x
2+ax +1在(2,6)上不单调，则a的取值范围为（ ）
A．(2,6)
B．(−∞,2)∪[6,+∞)
C．(4,12)
D．(−∞,4)∪[12,+∞)
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.
【解答过程】函数f (x)=−x
2+ax +1的图象对称轴为x =a
2，依题意，2<a
2 <6，得4<a<12，
所以a的取值范围为(4,12).
故选：C.
【变式6-1】（25-26 高一上·福建莆田·期中）已知函数y =x
2−4 x +3在闭区间[0,m)上有最大值为3，最
小值为−1，则m 的取值范围是（ ）
A．[2,+∞)
B．[2,4)
C．(−∞,2]
D．[0,2)
【答案】B
【解题思路】根据二次函数的对称性和最值，即可求解.
【解答过程】y =x
2−4 x +3=(x −2)
2−1，函数的对称轴为x =2，
且f (0)=f (4)=3，
函数y =x
2−4 x +3在闭区间[0,m)上有最大值为3，最小值为−1，
则2≤m≤4.
故选：B.
【变式6-2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知f (x)={
2 x，x ≤m
x
2−4 x +5，x>m)是在R 上的增函数，则实数m
的取值范围是（ ）
A．[1,2)
B．[2,5)
C．[2,+∞）
D．[5,+∞)
【答案】D
【解题思路】结合二次函数的单调性，利用分段函数单调性列不等式求解即可.
【解答过程】因为函数f (x)={
2 x，x ≤m
x
2−4 x +5，x>m)是在R 上的增函数，
所以{
2≤m
2m≤m
2−4 m+5)，即{
m≥2
m
2−6m+5≥0)，解得m≥5，
所以实数m的取值范围是[5,+∞).
故选：D.
【变式6-3】（2026·江西赣州·二模）已知函数y =|x
2−4 x +2)在区间[0,t )上的最大值为a，在区间[t ,2t )
上的最大值为b．若a≥2b，则t的取值范围是（ ）
A．[2−❑√3, 1
2)
B．[2−❑√3,1)
C．[1+
❑√3
2 ,3)
D．[3,2+❑√3)
【答案】A
【解题思路】对t分情况①t >4，②2≤t ≤4，③1≤t ≤2，④1
2 <t ≤1，⑤0<t ≤1
2讨论，前四种情况都与
a≥2b矛盾，第五种情况可根据单调性求解.
【解答过程】设g( x)=x
2−4 x +2，易得g( x)在[0,2)上递增，在(2,+∞)上递减，且有两个零点2−❑√2和
2+❑√2，
因y =f ( x)=|x
2−4 x +2|可由g( x)保持x轴上方部分并将x轴下方部分沿x轴翻折得到，
如上图，f ( x)在[0,2−❑√2)上递减，在(2−❑√2,2)上递增，
在(2,2+❑√2)上递减，在(2+❑√2,+∞)上递增.
当
①
t >4时，f ( x)=|x
2−4 x +2|在[0,t )的最大值a=f (t )，
f ( x)=|x
2−4 x +2|在[t ,2t )的最大值为b=f (2t )>f (t )，矛盾；
当
②
2≤t ≤4时，f ( x)=|x
2−4 x +2|在[0,t )的最大值a=f (0)=2，
f ( x)=|x
2−4 x +2|在[t ,2t )的最大值为b=f (2t )>f (4)=2，矛盾；
当
③
1≤t ≤2时，f ( x)=|x
2−4 x +2|在[0,t )的最大值a=f (0)=2，
f ( x)=|x
2−4 x +2|在[t ,2t )的最大值为b=f (2)=2，矛盾；
当
④
1
2 <t ≤1时，f ( x)=|x
2−4 x +2|在[0,t )的最大值a=f (0)=2，因1<2t ≤2，
f ( x)=|x
2−4 x +2|在[t ,2t )单调递增，最大值b=f (2t )，f (2t )>f (1)=1，矛盾；
当
⑤
0<t ≤1
2时，f ( x)=|x
2−4 x +2|在[0,t )的最大值a=f (0)=2，
∵a≥2b，∴b≤1，由图可知，此时只需令f (t )=|t
2−4 t +2|≤1 即可，
解得2−❑√3≤t ≤1或3≤t ≤2+❑√3，所以2−❑√3≤t ≤1
2，
综上所述，t的取值范围是[2−❑√3, 1
2].
故选：A.
【题型7 二次函数的恒成立问题】
【例7】（25-26 高二下·重庆·期末）已知函数f (x)=x
2+ax−a，a>0，若对∀x∈[−a,1)，不等式
−2a≤f (f (x))≤1恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．(0,1)
B．(0,2)
C．[
1
4 , 3
2)
D．[
1
2 ,2)
【答案】B
【解题思路】利用换元法，令t =f ( x)，求出t的范围，然后由函数单调性求解最大值与最小值，解不等式
即可.
【解答过程】
如图所示，f ( x)的对称轴为x =−a
2，在(−a,−a
2 )上单调递减，在(−a
2 ,1)上单调递增；
并且f (0)=f (−a)=−a，f (1)=f (−1−a)=1，f (−a
2 )=−a
2
4 −a<0；
因为x∈[−a,1)，令t =f ( x)，则t ∈[−a
2
4 −a,1)；
不等式−2a≤f (f (x))≤1恒成立等价于−2a≤f (t )≤1在[−a
2
4 −a,1)恒成立；
当t ∈[−a
2
4 −a,−a
2)，f (t )单调递减；当t ∈[−a
2 ,1)，f (t )单调递增，显然f (1)=1满足条件，
故有f ( x)min=f(−a
2)≥−2a，即−a
2
4 −a≥−2a，解得0≤a≤4；
且有f(−a
2
4 −a)=a
4
16 −a
3
4 −a，−2a≤f(−a
2
4 −a)≤1，即−2a≤f(−a
2
4 −a)≤f (−a−1)，
则−a
2
4 −a≥−a−1，解得−2≤a≤2；
f(−a
2
4 −a)=a
4
16 −a
3
4 −a≥−2a，则(a
2+4)(a
2−4 a−4)≤0，
解得2−2❑√2≤a≤2+2❑√2，故−2≤a≤2；
综上，由a>0，0<a≤2；
故选：B.
【变式7-1】（25-26 高一上·江西抚州·期末）设函数f (x)的定义域为R，且f (x +4)=2f (x)，当x∈(0, 4)
时，f (x)=2 x
2−8 x，若对于∀x∈(−∞, t )，都有f (x)≥−3
4 恒成立，则t的取值范围是（ ）
A．(−∞,−11)
B．(−∞,−7)
C．(−∞,−5)
D．(−∞,−3)
【答案】A
【解题思路】由f (x +4)=2f (x)和当x∈(0,4)时f (x)=2 x
2−8 x可以逐次推出(−4,0)，(−8,−4)，
(−12,−8)上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求x∈(−8,−4)时，函数值等于−3
2时
的自变量的值，得到满足f (x)≥−3
4 的x的范围，即得t 的取值范围.
【解答过程】当x∈(0,4)时，f (x)=2 x
2−8 x =2(x−2)
2−8，f (x)∈[−8,0)；
因f (x +4)=2f (x)，即x 每增大4，对应的纵坐标都变原来的2倍.
当x∈(−4,0)时，x +4∈(0,4 ]，故f (x +4)=2( x +2)
2−8，
则f (x)=1
2 f (x +4)=(x +2)
2−4，f (x)∈[−4,0)；
当x∈(−8,−4)时，x +4∈(−4,0)，故f (x +4)=(x +6)
2−4，
则f (x)=1
2 f (x +4)=1
2
(x +6)
2−2，f (x)∈[−2,0)；
当x∈(−12,−8)时，x +4∈(−8,−4)，故f (x +4)=1
2
(x +10)
2−2，
则f (x)=1
2 f (x +4)=1
4
(x +10)
2−1，f (x)∈[−1,0).
当x∈(−12,−8)时，由f (x)=1
4
(x +10)
2−1=−3
4 ，可得(x +10)
2=1，解得x =−11或x =−9，
如下图所示：
由图可知，当x ≤−11时，f (x)≥−3
4 恒成立，故实数t的取值范围是(−∞,−11).
故选：A.
【变式7-2】（25-26 高一下·海南海口·期末）已知函数f (x)=x
2−(a
2+2a) x +16，若当x>0时，f (x)>0
恒成立，则实数a的取值范围是___________．
【答案】(−4,2)
【解题思路】根据条件，利用二次函数的性质，即可求解.
【解答过程】因为函数f (x)=x
2−(a
2+2a) x +16恒过定点(0,16)，对称轴为x =a
2+2a
2
，开口向上，
又当x>0时，f (x)>0恒成立，则a
2+2a
2
<0或{
a
2+2a
2
≥0
Δ=(a
2+2a)
2−64<0)
，
整理得到a
2+2a<0或0≤a
2+2a<8，
解得−2<a<0或−4<a≤−2或0≤a<2，所以−4<a<2，
故答案为：(−4,2).
【变式7-3】（25-26 高二上·上海·期中）设f (x)=x
2−1，对任意x∈[1,+∞)，
−4 m
2f (x)≤f (x−1)+4 f (m)恒成立，则实数m的取值范围是___________.
【答案】m≤−
❑√5
2 或m≥
❑√5
2
【解题思路】利用不等式恒成立，分离变量，构造函数g( x)= 1
x
2 + 1
2 x −1
4 =( 1
x +1
4 )
2
−5
16，利用二次函
数的性质求解最值即可．
【解答过程】由−4 m
2f (x)≤f (x−1)+4 f (m)可得4 m
2( x
2−1)+( x−1)
2−1+4 m
2−4≥0在x∈[1,+∞)
上恒成立，
整理得m
2≥1
x
2 + 1
2 x −1
4 在x∈[1,+∞)上恒成立，
所以m
2≥(
1
x
2 + 1
2 x −1
4)max
, x ≥1，
令g( x)= 1
x
2 + 1
2 x −1
4 =( 1
x +1
4 )
2
−5
16，
因为x∈[1,+∞)，所以1
x ∈(0,1]，
所以当1
x =1时，函数g( x)得最大值5
4 ，所以m
2≥5
4 ，解得m≤−
❑√5
2 或m≥
❑√5
2 .
故答案为：m≤−
❑√5
2 或m≥
❑√5
2 .
一、单选题
1．（2026·四川广安·模拟预测）“m=0”是“f ( x)=(m
2−m+1)x
2m−3为幂函数”的（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】由幂函数的定义求出m的值，再由充分必要条件判断即可.
【解答过程】因为f ( x)=(m
2−m+1)x
2m−3为幂函数，
所以m
2−m+1=1⇒m(m−1)=0，
解得：m=0或m=1,
所以“m=0”是“f ( x)=(m
2−m+1)x
2m−3为幂函数”的充分且不必要条件.
故选：C.
2．（2026·河南信阳·模拟预测）已知f (x)=4 x
2−kx−8在区间[5,20)上不单调，则k的取值范围是（ ）
A．k ≤40
B．k ≥160
C．40<k <160
D．40≤k ≤160
【答案】C
【解题思路】先求函数的对称轴，要使函数f (x)=4 x
2−kx−8在区间[5,20)上不单调，则必有对称轴在区
间(5,20)内，列出不等式即可.
【解答过程】由已知，函数f (x)=4 x
2−kx−8的对称轴为x =k
8 ，
又因为函数f (x)在区间[5,20)上不单调，
则必有5<k
8 <20，即40<k <160.
故选：C.
3．（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数y =x
α是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减，则α的值可以是
（ ）
A．−2
B．2
C．−3
D．3
【答案】C
【解题思路】根据幂函数的图像性质，运用排除法即可求解.
【解答过程】因为幂函数y =x
α在(0,+∞)上单调递减，所以α <0，故排除B、D 项；
又因为幂函数y =x
α是奇函数，而幂函数y =x
−2是偶函数，排除A 项，
所以若幂函数y =x
α是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减，则α的值可以是−3.
故选：C.
4．（25-26 高一上·重庆·期末）函数f (x)=a x
2−(a−1) x−2在区间(−∞,2)上是增函数，则实数a的取值
范围是（ ）
A．[−1
3 ,0)
B．[−1
3 ,+∞)
C．(−∞,−1
3)
D．[−1
3 ,0)
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，按a是否为0 分类，利用二次函数单调性列式求解.
【解答过程】当a=0时，f ( x)=x−2在(−∞,2]上单调递增，符合题意，则a=0；
当a≠0时，由函数f ( x)在(−∞,2]上是增函数，得a<0且a−1
2a ≥2，解得−1
3 ≤a<0，
所以实数a的取值范围是[−1
3 ,0].
故选：D.
5．（2026·宁夏银川·一模）如果点(x0, y0)在函数f ( x)=x
2+1的图象上，都有点(2 x0, y0)在函数y =g( x)
的图象上，则g(2)=（ ）
A．17
B．5
C．3
D．2
【答案】D
【解题思路】求出函数g(x)的解析式，代入可得.
【解答过程】设点( x , y)在函数y =g( x)的图象上，则点( x
2 , y)在函数f ( x)=x
2+1的图象上，
所以y =x
2
4 +1，即g(x)=x
2
4 +1，所以g(2)=2.
故选：D.
6．（2026·北京·三模）已知幂函数f (x)=x
2
3，则下列结论正确的是（ ）
A．f (x)=
❑√x
2
B．f (−2)>f (3)
C．f (x)是奇函数
D．f (x)的值域为[0,+∞)
【答案】D
【解题思路】根据分数指数幂的运算规则、函数奇偶性定义、幂函数的单调性与值域，逐一判断各选项正
误
【解答过程】对于A 选项：由分数指数幂的运算得f ( x)=x
2
3 =
3√x
2，而❑√x
2=| x| ，二者不相等，故A 错
误；
对于B 选项：由f ( x)是偶函数得f (−2)=f (2)，又幂函数f ( x)=x
2
3在[0,+∞)上单调递增，
且2<3，故f (2)<f (3)，即f (−2)<f (3)，B 错误；
对于C 选项：f ( x)的定义域为R，对任意x∈R，有f (−x)=(−x)
2
3 =
3√(−x)
2=
3√x
2=f ( x)，
故f ( x)是偶函数，C 错误；
对于D 选项： 对任意x∈R，x
2≥0，因此
3√x
2≥0，值域为[0,+∞)，D 正确.
故选：D.
7．（2026·四川·模拟预测）已知一元二次函数f (x)的定义域为R，若f (−2−x)=f (x)，f (−2)<f (−1)，
且该二次函数的图象经过P(2,m
2+4)、Q (n,4 m)不同两点，则n的取值范围是（ ）
A．(−∞,−4)
B．(−∞,−4)∪(2,+∞)
C．(2,+∞)
D．(−∞,−4)∪(2,+∞)
【答案】D
【解题思路】分析可知f (x)的图象关于直线x =−1对称，设f (x)=a(x +1)
2+c，其中a≠0，结合已知条件
得出a<0，n≠2，由题意得出{
f (2)=9a+c =m
2+4
f (n)=(n+1)
2a+c =4 m)，将两个等式作差可得出关于n的不等式，即可求
出实数n的取值范围.
【解答过程】因为一元二次函数f (x)的定义域为R，且f (−2−x)=f (x)，
所以函数f (x)的图象关于直线x =−1对称，设f (x)=a(x +1)
2+c，其中a≠0，
由f (−2)<f (−1)可得a+c<c，故a<0，根据题意得出
因为函数f (x)的图象经过P(2,m
2+4)、Q (n,4 m)不同两点，
则{
f (2)=9a+c =m
2+4
f (n)=(n+1)
2a+c =4 m)，且有n≠2，
上述两个等式作差得[9−(n+1)
2)a=m
2−4 m+4 =(m−2)
2≥0，
因为a<0，故9−(n+1)
2≤0，即(n+1)
2≥9，
可得n+1≤−3或n+1≥3，解得n≤−4或n≥2，
综上所述，实数n的取值范围是(−∞,−4)∪(2,+∞).
故选：D.
8．（2026·云南·模拟预测）已知f ( x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f ( x)=x
2+ax−2a，若
f ( x)<0在[−3,−1]上恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A．(−8,0)
B．(1,+∞)
C．(−∞,−8)∪(0,+∞) D．(−9,1)
【答案】D
【解题思路】根据函数的奇偶性以及二次函数的单调性求解即可.
【解答过程】因为f ( x)是定义在R上的奇函数，所以由f ( x)<0在[−3,−1]上恒成立，可得f ( x)>0在
[1,3]上恒成立.
若−a
2 <1，即a>−2，则f ( x)在[1,3]上单调递增，则f (1)=1−a>0，得−2<a<1.
若1≤−a
2 ≤3，即−6≤a≤−2，则f (−a
2 )>0，化简得a
2+8a<0，得−6≤a≤−2.
若−a
2 >3，即a<−6，则f ( x)在[1,3]上单调递减，则f (3)=9+a>0，得−9<a<−6.
综上所述，a 的取值范围为(−9,1).
故选：D.
二、多选题
9．（2026·新疆喀什·模拟预测）下列关于幂函数的论述正确的是（ ）
A．若α =0，则幂函数y =x
α的图象是一条直线
B．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同
C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点(−1,−1)
D．幂函数的图象一定经过点(1,1)，且一定不经过点(1,−1)
【答案】CD
【解题思路】利用幂函数的图象、性质逐一判断即可.
【解答过程】对于A，当α =0时，幂函数y =x
α =x
0的定义域为{x| x≠0}，其图象是直线y =1除去点(0,1)
，故A 错误；
对于B，幂函数y =x , y =x
3的图象有三个公共点(−1,−1),(0,0),(1,1)，这两个函数不相同，B 错误；
对于C，幂函数图象一定过点(1,1)，当该幂函数是奇函数时，其图象关于原点对称，
则该幂函数图象必过点(−1,−1)，C 正确；
对于D，幂函数的图象一定经过点(1,1)，且一定不经过点(1,−1)，D 正确.
故选：CD.
10．（25-26 高一上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线y =a x
2+bx +c的一段图像如图所示，则（ ）
A．c =−1
B．a+b+c>−1
C．a+b+c>−2
D．a+b+c<0
【答案】ACD
【解题思路】根据二次函数性质分析可知b=a−1，c =−1，且0<a<1，即可判断A；举反例判断B；结
合不等式性质判断CD.
【解答过程】因为抛物线y =a x
2+bx +c的图象开口向上，则a>0，
且对称轴x =−b
2a >0，则b<0，
又因为抛物线y =a x
2+bx +c的图象过点(−1,0)，(0,−1)，
则{
a−b+c =0
c =−1 )，可得{
b=a−1<0
c =−1 )，解得0<a<1，故A 正确；
例如a=1
2 ,b=−1
2，符合题意，但a+b+c =−1，故B 错误.
因为a+b+c =2a−2，且0<a<1，则−2<2a−2<0，
所以−2<a+b+c<0，故CD 正确；
故选：ACD.
11．（25-26 高一上·新疆阿克苏·期末）已知二次函数y =a x
2+bx +c（a、b、c为常数，且a≠0）的部分
图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．a−b=0
B．abc<0
C．关于x的二次函数y =a x
2+bx +c有3个零点
D．关于x的一元二次不等式a x
2+bx +c<0的解集为{x|−3<x<2))
【答案】ABD
【解题思路】利用韦达定理可得出a=b，c =−6a，且有a>0，可判断AB 选项；利用图象可判断CD 选
项.
【解答过程】对于AB 选项，二次函数y =a x
2+bx +c的图象交x轴于点(−3,0)、(2,0)，
所以方程a x
2+bx +c =0的两根分别为−3、2，
由韦达定理可得−3+2=−b
a ，−3×2=c
a，故a=b，c =−6a，
又因为该二次函数的图象开口向上，故a>0，所以abc =−6a
3<0，A 对，B 对；
对于C 选项，由图象可知，关于x的二次函数y =a x
2+bx +c有且只有2个零点，C 错；
对于D 选项，由图可知，关于x的一元二次不等式a x
2+bx +c<0的解集为{x|−3<x <2))，D 对.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2026·上海浦东新·三模）若幂函数y =x
a的图象经过点(4 ,❑√2)，则实数a的值为__________．
【答案】1
4
【解题思路】将已知点坐标代入幂函数解析式，即可求解参数.
【解答过程】由题意，
在y =x
a中，图象经过点(4 ,❑√2)，
∴4
a=❑√2，
解得：a=1
4 .
故答案为：1
4 ．
13．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数f ( x)=(m
2−5m+5) x
m+5为偶函数，则4
log2(m+2)=
___________．
【答案】9
【解题思路】由幂函数和偶函数的性质求得m=1，结合对数的运算法则即可求解.
【解答过程】由题意得m
2−5m+5=1，解得m=1或m=4，
又f ( x)为偶函数，所以m=1，所以4
log2(m+2)=4
log23=2
log29=9．
故答案为：9．
14．（2026·广东广州·一模）已知函数f (x +1)为奇函数，当x<1时，f (x)=a x
2−x（a≠0），若f (x)在
(1, 3
2)上单调递增，则a的取值范围是___________．
【答案】[1,+∞)
【解题思路】根据条件，利用函数的对称性，得f (x)在区间[
1
2 ,1)上单调递增，再由二次函数的性质，即
可求解.
【解答过程】因为函数f (x +1)为奇函数，所以f (x)关于点(1,0)中心对称，
又f (x)在(1, 3
2)上单调递增，则f (x)在区间[
1
2 ,1)上也单调递增，
又当x<1时，f (x)=a x
2−x（a≠0），对称轴为x = 1
2a，
当a<0时， f (x)=a x
2−x的图象开口向下，且1
2a <0，此时f (x)=a x
2−x在区间[
1
2 ,1)上单调递减，不
合题意，
所以{
a>0
0< 1
2a ≤1
2)
，解得a≥1，所以实数a的取值范围是[1,+∞).
故答案为：[1,+∞).
四、解答题
15．（25-26 高三上·河南南阳·期中）已知函数f (x +1)=x
2−x +3.
(1)求f (x)的解析式；
(2)设函数g(x)=(a+3) x +f (x)，若g(x)在[−1,2)上的最小值是1，求a的取值集合.
【答案】(1)f (x)=x
2−3 x +5
(2){5,−4)
【解题思路】（1）利用换元法求解析式；
（2）分a>2、−4≤a≤2和a<−4三种情况讨论最值，列不等式求解即可.
【解答过程】（1）设t =x +1，则x =t −1，
从而f (t )=(t −1)
2−(t −1)+3=t
2−3t +5，故f (x)=x
2−3 x +5.
（2）由（1）可知f (x)=x
2−3 x +5，则g(x)=x
2+ax +5=(x +a
2)
2
−a
2
4 +5.
当−a
2 <−1，即a>2时，g(x)在[−1,2)上单调递增，
则g(x)min=g(−1)=6−a=1，解得a=5；
当−1≤−a
2 ≤2，即−4≤a≤2时，g(x)在[−1,−a
2)上单调递减，在[−a
2 ,2)上单调递增，
则g(x)min=g(−a
2)=−a
2
4 +5=1，解得a=−4（a=4舍去）；
当−a
2 >2，即a<−4时，g(x)在[−1,2)上单调递减，
则g(x)min=g(2)=2a+9<1，则a∈∅.
综上，a的取值集合是{5,−4).
16．（25-26 高一上·福建漳州·期末）已知幂函数f (x)=(m
2−5m+7) x
m−1的图象关于y轴对称.
(1)求实数m的值；
(2)若函数g(x)=f (x)−ax在区间[−1,2)上的最小值为−9
4 ，求实数a的值.
【答案】(1)m=3
(2)−13
4 或3
【解题思路】（1）根据幂函数的定义可知m
2−5m+7 =1，解得m，再根据图象关于y轴对称可进一步确
定m的值；
（2）根据g(x)图象对称轴的位置求得最值，列方程即可求解.
【解答过程】（1）因为函数f (x)=(m
2−5m+7) x
m−1是幂函数，
所以m
2−5m+7=1，解得m=2或m=3.
当m=2时，f (x)=x；当m=3时，f (x)=x
2，
因为函数f (x)关于y轴对称，所以函数f (x)是偶函数，即f (x)=x
2，
故m=3.
（2）由（1）知g(x)=f (x)−ax =x
2−ax =(x−a
2)
2
−a
2
4 ，
因为g(x)在区间[−1,2)上的最小值为−9
4 ，所以
当
①
a
2 <−1，即a<−2时，g(x)在区间[−1,2)上单调递增，
所以g(x)min=g(−1)=1+a=−9
4 ，解得a=−13
4 ，符合a<−2；
当
②
−1≤a
2 ≤2，即−2≤a≤4时，g(x)min=g(
a
2)=−a
2
4 =−9
4 ，解得a=±3，
又因为−2≤a≤4，所以a=3；
当
③
a
2 >2，即a>4时，g(x)在区间[−1,2)上单调递减，
所以g(x)min=g(2)=4−2a=−9
4 ，解得a=25
8 ，不符合a>4，舍去.
综上可得，a的值为−13
4 或3.
17．（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数f ( x)为定义在R上的偶函数，且x ≥0，f ( x)=x
2−mx +1.
(1)若m=1，求函数f ( x)解析式；
(2)求函数f ( x)在[1,3]的最小值；
(3)若函数y =f ( x)在(0,4)有两个不同的零点，求m 的取值范围.
【答案】(1)f (x)={
x
2−x +1, x ≥0
x
2+x +1, x<0)
(2)f (x)min={
−m+2,m<2
−m
2
4 +1,2≤m≤6
−3m+10,m>6)
(3)(2, 17
4 )
【解题思路】（1）根据偶函数的性质即可求出解析式.
（2）根据二次函数的单调性及对称轴，分情况求出最小值.
（3）根据已知条件，结合二次函数的性质、根的判别式、对称轴、端点值列出不等式组，求解即可.
【解答过程】（1）当m=1时，x ≥0，f ( x)=x
2−x +1.
因为函数f ( x)在R上为偶函数，所以f (−x)=f (x)
当x<0时，−x>0，则f ( x)=f (−x)=(−x)
2−(−x)+1=x
2+x +1.
因此函数f ( x)解析式为：
f (x)={
x
2−x +1, x ≥0
x
2+x +1, x<0).
（2）当x∈[1,3]时，f ( x)=x
2−mx +1，这是开口向上的二次函数，对称轴为x =m
2 .
当m
2 <1，即m<2时，f (x)min=f (1)=1
2−m×1+1=−m+2；
当1≤m
2 ≤3，即2≤m≤6时，f (x)min=f(
m
2)=(
m
2)
2
−m× m
2 +1=−m
2
4 +1；
当m
2 >3，即m>6时，f (x)min=f (3)=3
2−m×3+1=−3m+10；
综上，函数f ( x)在[1,3]的最小值为：
f (x)min={
−m+2,m<2
−m
2
4 +1,2≤m≤6
−3m+10,m>6)
.
（3）因为函数y =f ( x)在(0,4)有两个不同的零点，
所以{
Δ=m
2−4>0
0<m
2 <4
f (0)=1>0
f (4)=16−4 m+1>0
f(
m
2)=−m
2
4 +1<0)
，解得2<m<17
4 .
所以m 的取值范围为(2, 17
4 ).
18．（2026·天津河北·模拟预测）已知函数f (x)=2 x
2−ax +10，g(x)=x
2−x +31
4 ，（a∈R）
(1)当a=1时，求f (2)的值；
(2)若对任意x∈R，都有f (x)>g(x)成立，求实数a 的取值范围；
(3)若∀x1∈(0,2)，∃x2∈[0,1)，使得不等式f (x1)>g(x2)成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)16；
(2)−2<a<4；
(3)a<2❑√5.
【解题思路】（1）将自变量代入求函数值即可；
（2）由题设x
2+(1−a)x +9
4 >0恒成立，结合Δ<0求参数范围；
（3）问题化为在x1∈(0,2)，x2∈[0,1)，有f (x1)min>g(x2)min成立，求出g(x2)min，讨论f (x)对称轴与区
间位置关系列不等式求参数范围.
【解答过程】（1）由题设f (x)=2 x
2−x +10，则f (2)=2×2
2−2+10=16；
（2）由题设2 x
2−ax +10>x
2−x +31
4 恒成立，即x
2+(1−a)x +9
4 >0恒成立，
所以，只需Δ=(1−a)
2−4×1× 9
4 =a
2−2a−8=(a+2)(a−4)<0，可得−2<a<4；
（3）由题设，在x1∈(0,2)，x2∈[0,1)，有f (x1)min>g(x2)min成立，
对于g(x)=x
2−x +31
4 =( x−1
2 )
2
+15
2 ，x∈[0,1)，易知g(x)min=g( 1
2 )=15
2 ，
对于f (x)=2 x
2−ax +10=2( x−a
4 )
2
+10−a
2
8 ，x∈(0,2)，
当a
4 ≤0，a≤0时，f ( x)>f (0)=10，显然10>15
2 ，满足；
当0<a
4 <2，0<a<8时，f ( x)≥f ( a
4 )=10−a
2
8 ，只需10−a
2
8 >15
2 ，可得0<a<2❑√5；
当a
4 ≥2，a≥8时，f ( x)>f (2)=18−2a，只需18−2a≥15
2 ，无解；
综上，a<2❑√5.
19．（25-26 高一上·辽宁辽阳·期末）如图，点M (2,0)，N (4,0)为二次函数f ( x)的图象与x轴的交点，点
A为f ( x)图象的顶点，△AMN的面积为1.
(1)求f ( x)的解析式.
(2)设偶函数g( x)和奇函数h( x)的定义域均为R，且g( x)+h( x)=f ( x).
（i）求g( x)与h( x)的解析式；
（ii）若函数μ( x)=g( x)+kh( x)在[k −1,k +1]上的最大值为0，求k的值.
(3)设函数φ( x)=|
4√f ( x +3)+1−1| (0<x ≤81)，是否存在m，n∈(0,81]，使得φ( x)在[m,n]上单调
递增，且φ( x)在[m,n]上的值域为[
8m
81 , 8n
81)？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)f (x)=x
2−6 x +8
(2)（i）g( x)=x
2+8，h( x)=−6 x；（ii）−9
5或9
5
(3)存在，m=81
64 ，n=81
【解题思路】（1）设f (x)=a( x−2)( x−4)，A (3,t )(t <0)，由△AMN的面积为1，得t =−1，即可求得
解析式；
（2）（i）由g( x)+h( x)=x
2−6 x +8，结合g( x)是偶函数，h( x)是奇函数，化简得g( x)=x
2+8，
h( x)=−6 x；（ii）利用二次函数的性质分k >0和k ≤0两种情况即可求解；
（3）先求得φ(x)的表达式，得到φ(x)在(0,1)上单调递减，在[1,81)上单调递增，因为φ(x)在[m,n]上单
调递增，所以1≤m<n≤81，且φ(m)=8m
81 ,φ(n)=8n
81 ， 即可求得m=81
64 ，n=81.
【解答过程】（1）设f (x)=a( x−2)( x−4)，其中a>0，设A (3,t )(t <0)，
因为△AMN的面积为1，所以1
2 ×2|t )=1，得t =−1，
将A 的坐标代入f (x)=a( x−2)( x−4)，得−a=−1，解得a=1，
所以f (x)=( x−2)( x−4)=x
2−6 x +8；
（2）（i）由g( x)+h( x)=x
2−6 x +8
，
①
得g(−x)+h(−x)=x
2+6 x +8
，
②
因为g( x)是偶函数，h( x)是奇函数，
所以由
得
②
g( x)−h( x)=x
2+6 x +8
，
③
由
和
得，
①
③
g( x)=x
2+8，h( x)=−6 x；
（ii）由（i）得μ(x)=x
2−6 kx +8，x∈[k −1,k +1)，
μ(k −1)=(k −1)
2−6k(k −1)+8=−5k
2+4 k +9，
μ(k +1)=(k +1)
2−6k(k +1)+8=−5k
2−4 k +9；
当k ≤0时，μ(x)max=μ(k +1)=−5k
2−4 k +9=0，
解得k =1（舍去）或k =−9
5 ；
当k >0时，μ(x)max=μ(k −1)=−5k
2+4 k +9=0，
解得k =−1（舍去）或k =9
5 ；
故k 的值为−9
5或9
5 ；
（3）依题意得φ(x)=|❑√x−1)={
1−❑√x ,0<x<1
❑√x−1,1≤x ≤81)，
则φ(x)在(0,1)上单调递减，在[1,81)上单调递增，
因为φ(x)在[m,n]上单调递增，所以1≤m<n≤81，
则{
φ(m)=8m
81
φ(n)=8n
81 )
，即{
❑√m−1=8m
81
1≤m<n≤81
❑√n−1=8n
81)
，
解得{
m=81
64
n=81)
，
故m=81
64 ，n=81.
