文档文本内容
专题1.4 基本不等式
【考点1：由基本不等式比较大小】.......................................................................................................................2
【考点2：由基本不等式证明不等关系】............................................................................................................... 4
【考点3：基本不等式求积的最大值】...................................................................................................................6
【考点4：基本不等式求和的最小值】...................................................................................................................8
【考点5：二次与二次（或一次）的商式的最值】..............................................................................................10
【考点6：基本不等式的恒成立问题】................................................................................................................. 12
【考点7：基本不等式“1”的妙用求最值】.......................................................................................................15
【考点8：基本不等式的实际应用】.....................................................................................................................18
【考点1：由基本不等式比较大小】
1．（25-26 高三·全国·三轮复习）设a、b 为正数，且
，比较ab 的值与1
8的大小（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可.
【详解】因为
，所以
，
当且仅当a=2b且
，即a=1
2且
时，取等号．
故选：A．
2．（25-26 高一上·山东枣庄·阶段检测）若0<a<1，0<b<1，且
，则a+b，
，2ab，a
2+b
2中
最小的一个是（ ）
A．2ab
B．
C．a
2+b
2
D．a+b
【答案】A
【分析】首先根据基本不等式比较大小，再作差比较，即可判断.
【详解】因为0<a<1，0<b<1，且
，
，
，
，由条件可知，
，则
，
所以
，即
，所以四个数中最小的是2ab.
故选：A
3．（25-26 高三上·江苏扬州·阶段检测）已知四个数
，
，
，
，其
中最大的是（ ）
A．
B．b
C．c
D．
【答案】D
【分析】由基本不等式可比较a,b，再比较
即可得解.
【详解】因为
，且
，
所以
，
又
，所以
，
故最大的是d.
故选：D
4．（25-26 高二下·北京朝阳·期中）设
表示
与b的最大值，若
，y都是正数，
，则z的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式求出最小值.
【详解】由
，得
，
于是
，当且仅当
，即
时取等号，所以z
的最小值为
.
5．（25-26 高一下·吉林长春·开学考试）已知
，a+b=1，则1
2，b，a
2+b
2的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】A
【详解】因为a+b=1，
，所以
，解得
，同理可得
，
由
，可得
，又
，可得
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
.
【考点2：由基本不等式证明不等关系】
1．（25-26 高二下·湖南长沙·期中）若
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
，而
不一定成立，例如
，故A 不正确；
因为
，
若
，则
，而
不一定小于2，比如
，故B 不正确；
因为
，若
，则
，故C 正确；
因为
，若
，
不一定大于1，例如
，故D 不正确．
2．（2026·贵州毕节·三模）（多选）已知正实数a,b满足a+b=2，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】结合已知条件，利用基本不等式对各选项逐一变形验证即可.
【详解】选项A. 由基本不等式
，则
，平方得
，当且仅当a=b=1时等号成立，A
正确.
选项B.对❑√a+❑√b平方得
，由A 知
，
因此
， 因为
，开方得
，
当且仅当a=b=1时等号成立，B 正确.
选项C.
，由
，所以
，即
，C 错误.
选项D.
，因此
，所以
，D 错误.
3．（25-26 高二下·湖南株洲·阶段检测）（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】利用作差法可判断AD；利用基本不等式可判断C；举反例可判断B.
【详解】选项A：
，
因为
，所以
，
又因为c
2≥0，所以
，
即
.因此，A 为真命题；
选项B：取a=−3，b=−2，满足
，
计算得
，ab=6，
，显然
不成立.因此，B 为假命题；
选项C：由基本不等式，得：
（
），
两边取倒数得
，再乘以
得
，
由于
，等号不成立，故
.因此，C 为真命题；
选项D：由
，得
且
，
，即
.
因此，D 为真命题.
4．（2026 高三·全国·专题练习）（多选）（多选）已知正数
，y，z满足
，则下列说法中正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】本题关键在于：利用对数运算和不等式性质对各选项进行推导与判断即可.
【详解】设
，则
，
，
，
因为
，故选项A 正确．
因为
，
，所以
，即
，故选项B 不正确．
因为
，故选项C 正确．
因为
，故选项D 正确．
故选：ACD.
5．（25-26 高一上·新疆·期末）对任意实数
，
.求证：
【答案】证明见解析
【分析】利用换元法及基本不等式证明即可.
【详解】证明：因为
，
，
所以
，
，
令
，
，
则
当且仅当
，即
时等号成立；
所以
，当且仅当
时，等号成立.
【考点3：基本不等式求积的最大值】
1．（25-26 高一上·广西钦州·阶段检测）设
是满足
的正数，则
的最大值为______．
【答案】50
【分析】凑配用基本不等式求最值即可.
【详解】由基本不等式得
，
当且仅当
时取等号.
故答案为：50.
2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数
，b满足
，则
的最大值是__________．
【答案】4
【详解】因为a,b为正实数，由基本不等式可得
，当且仅当
时等号成立；
正实数a,b满足
，得
，代入上述不等式可得：
，
令
，由
得
，不等式转化为：
，整理得
，即
，
因为
，所以
，因此
，即
，故
，
得
，当且仅当
时等号成立，因此
的最大值为4.
3．（25-26 高三下·重庆北碚·开学考试）已知正实数
，则ab 的最大值为________．
【答案】0.5/1
2.
【分析】利用基本不等式
计算即可得解.
【详解】因为a,b为正实数，
，
已知
，则
，所以
.
当且仅当
时取等号，此时
，
，满足正实数条件.
所以ab的最大值为1
2.
故答案为：1
2.
4．（2026·广东湛江·二模）已知正数
，y满足
，则
的最大值为______.
【答案】12
【详解】由
，得
，
所以
，当且仅当x =5，y =1时等号成立.
5．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知a,b为正实数，且直线
与曲线
相切，则2ab的最
大值为__________.
【答案】1
2/0.5
【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可.
【详解】由直线
与曲线
相切，
设切点为
，由
，且切线的斜率为，
所以
，
代入曲线方程中得：
，
所以切点为
，代入直线方程中得：
，
因为
，所以
.
当
时取等号，所以
的最大值为1
4 .则2ab的最大值为1
2.
【考点4：基本不等式求和的最小值】
1．（2026·安徽·模拟预测）已知
，
，且ab=2，则
的最小值为________．
【答案】2❑√2
【详解】由题意得，
，
所以
，
当且仅当
，ab=2，即
时，等号成立．
2．（25-26 高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知m>0，n>0，且
，则
的最小值为（ ）
A．16
3
B．5
C．4
D．3
【答案】C
【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得.
【详解】已知m>0，n>0，且
，
，
当且仅当
，结合
得
时等号成立，
的最小值为
．
3．（2026·山东济南·模拟预测）已知
，y >0，且
，则x +2 y的最小值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【分析】先将
变形得
，然后用“1”的代换与x +2 y相乘，化简整理后再利用基本
不等式即可求出最小值.
【详解】由
，得
，
所以
，
当且仅当
时，即
时等号成立，将其代入
，解得
，
所以x +2 y的最小值是
.
4．（25-26 高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知
，y >0，
，
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题知，
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
又
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
综上，当
，
时，原式取得最小值
.
5．（25-26 高二下·河北邢台·阶段检测）（多选）已知正数
，y满足
，则（ ）
A．
B．
的最小值为1
2
C．
的最大值为1
4
D．
的最小值为1
4
【答案】BC
【分析】根据基本不等式，结合作差法、不等式性质求解即可.
【详解】对于A，由
，得
，
又
，y >0，所以xy >0，所以
，即
，A 错误.
对于B，由基本不等式得，
，所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
，即
的最小值为1
2，B 正确.
对于C，
，当且仅当
时等号成立，C 正确.
对于D，因为
，
，当且仅当
时等号成立，
所以
，当且仅当
时等号成立，D 错误.
【考点5：二次与二次（或一次）的商式的最值】
1．（25-26 高一上·上海闵行·期中）设
，则
的最小值为_____________．
【答案】2❑√2
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】因为
，则
，
所以
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立.
故当
时，
的最小值为2❑√2.
2．（2026 高一上·全国·专题练习）求函数
的最小值．
【答案】9
【分析】将x +1看作一个整体，化简得
，再利用基本不等式即可求得函数的最小值.
【详解】
，
因为x>−1，所以x +1>0，
，
所以
，
当且仅当
，即x =1时，等号成立，
故函数
的最小值为.
3．（25-26 高三上·福建·阶段检测）已知x≠0且
，则
的最大值为____．
【答案】
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为
，当且仅当x =y时取等号，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
的最大值为.
故答案为：
4．（25-26 高一上·河北承德·期末）已知
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【分析】令
，化简得到
，结合基本不等式，即可求解.
【详解】令
，则
，因为
，可得
，
可得
，
当且仅当
时，即t =1时，即x =2时，等号成立，
所以
的最小值为7.
故选：D.
5．（江苏南通市2026 届高三下学期二模数学试题）对任意正实数
、y，记
．当
m取得最大值时，
的值为（ ）
A．
B．1
9
C．1
6
D．
【答案】A
【分析】由不等式的基本性质得出
，利用基本不等式求出
的最大值，可得出m的
最大值，利用等号成立的条件可得出
、y的值，即可得出
的值.
【详解】因为
、y都为正实数，且
，故m>0，
由题意可得
，
，
由不等式的性质可得
，
，故
，可得
，
当且仅当
时，即当
时，
此时
且
时，m取最大值
，
此时
.
【考点6：基本不等式的恒成立问题】
1．（25-26 高一下·贵州毕节·期中）若正实数
、y满足
，且
恒成立，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用乘“1”法和基本不等式可得
最小值，即可得与
有关不等式，解出即可得.
【详解】由
，则
，
当且仅当
，即x =2，y =8时，等号成立，
故
，即
，解得
，
即实数
的取值范围是
.
2．（25-26 高一上·吉林长春·阶段检测）若两个正实数
满足
，且不等式
恒成
立，则实数m的取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意，根据基本不等式求出
的最小值，问题等价于
，求出不等式的解
集即可．
【详解】因为两个正实数
满足
，
所以
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
不等式
恒成立等价于
，
即
，解得
.
故选：D
3．（25-26 高三上·四川成都·期中）若两个正实数x，y 满足
，且存在这样的x，y 使不等式
有解，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或m>0
【答案】C
【分析】依题意可得
，再利用乘“1”法及基本不等式求出
的最小值，即可得到
，
解一元二次不等式即可.
【详解】因为
，y >0且
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，即
，解得
或
，
所以m的取值范围是
．
故选：C．
4．（25-26 高一上·山东枣庄·阶段检测）若任意正实数x，y 满足
，使得
恒成
立，则实数m的取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】C
【分析】由
，得到
，化简
，结合基本不等式，
即可求解．
【详解】由两个正实数
满足
，
即
，
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，
又
恒成立，
所以
，解得
．
故选：C．
5．（25-26 高一上·贵州遵义·阶段检测）已知实数
且
，若
恒成立，
则满足条件的整数m的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】根据所给条件转化
，利用均值不等式求最小值，再解关于m的不等
式，即可得解.
【详解】因为
，y ≥0，且
，
所以
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，即
，解得
，
所以整数m可取、
，共
个.
故选：A
【考点7：基本不等式“1”的妙用求最值】
1．（25-26 高二下·上海松江·期中）已知
，y >0，且
，则
的最小值为______．
【答案】
/
【分析】由指数运算性质得
，结合基本不等式即可求解.
【详解】已知
，y >0，
，得
，
由基本不等式，得
，
当且仅当
，即
时取等号，
此时
满足条件，因此
的最小值为
.
2．（25-26 高一下·安徽滁州·阶段检测）已知△ABC中，
是BC边上靠近
的三等分点，过点
的直线分
别交直线
，
于不同的两点M，N，设
，
，其中m>0，n>0，则
的最
小值是______.
【答案】
/
【分析】根据向量运算法则得
，又
，
，所以
，
又因为
三点共线，所以
.所以利用常值代换，结合基本不等式即可求解.
【详解】
由
是BC边上靠近
的三等分点，可得
，
，
又
，
，所以
，
又因为
三点共线，所以
.
所以
.
因为
，所以
，当且仅当
时取等号，
即
时取等号，
所以
的最小值为
.
3．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆
关于直线
对称，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．8
【答案】C
【详解】圆的标准方程为
，所以该圆圆心为
，半径为
，
圆关于直线
对称，所以圆心在该直线上，所以
，即
，
因为
，b>0，所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
的最小值为4.
4．（25-26 高一下·湖南益阳·期中）若
，则
的最小
值是（ ）
A．11
B．9
C．7
D．5
【答案】B
【分析】通过移项整理原式构造单调递增函数，利用函数单调性得到变量满足的约束条件，再用“1 的代
换
结合基本不等式求出目标式的最小值
”
.
【详解】对原等式移项整理得
（1），
令
，由于
在
上单调递增，
在
上单调递减，
故
在R上也是单调递增，因此f (t )是
上的单调增函数，
（1）式即
，由单调性得
，
即
，整理得
，
所以
当且仅当
时取等号，又
，即
时等号成立.
即
的最小值为.
5．（2026·山东日照·模拟预测）已知实数x>−1，y >0，且满足
，
则
的最小值为（ ）
A．5
B．
C．
D．9
【答案】B
【详解】因为
，所以
得
，即
构造函数
，
恒成立，所以
单调递增，
因为
,
因此原等式可写为
由
单调递增可知
，故
即
，
即
因为x>−1，y >0，所以
,
所以
当且仅当
，即
时等号成立，此时
均满足
的条
件，因此最小值为
.
【考点8：基本不等式的实际应用】
1．（25-26 高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租y1（单位：万
元）与仓库到超市的距离
（x ≥0，单位：千米）的函数关系式为
，每月货物运输费y2（单位：
万元）与
的函数关系式为
，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用
之和最少，最少费用为______万元．
【答案】 6
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】
，
等号成立时
，
故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为6万元.
故答案为：；6
2．（25-26 高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个
相同的矩形ABCD和
构成的面积为
的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价
为
；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210 元
；在四个空角
（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80 元
.设总造价为
（单位：元），则当总造价
最小时，AD
的长度为______m.
【答案】
【分析】设
，
，根据十字形地域的面积，得出
的关系式，进而求出各个图形的面积，
将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时AD的长.
【详解】设
，
，则
，所以
，
所以
，
，即
，解得
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以当
时，该休闲场所的总造价最小，最小值为
元.
故答案为：
.
3．（25-26 高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息
承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业
制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租
地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费y1(单位：万元)，仓库到车站的
距离
(单位:千米，
)，其中y1与
成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与
成正比；若在距
离车站8 千米处建仓库，则y1和y2分别为2 万元和6.4 万元．
(1)求出y1与y2的解析式．
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少?
【答案】(1)
，
.
(2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是
万元.
【分析】（1）由题意设
，
，其中
，根据题目数据代入求出
即可
得到答案；
（2）利用基本不等式即可求出答案.
【详解】（1）由题意设
，
，其中
，
当x =8时，
，解得
，
，解得
，
所以
，
.
（2）由（1）知
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是
万元.
4．（25-26 高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进
一带一路
沿线国家道路联通、贸易畅通的重
“
”
要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利
用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为
，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管
员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400
元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150 元，屋顶和地面以及其他报价共计7200 元，设屋子的左右两
面墙的长度均为x m（
）．
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为
元（
），若无论左右两面
墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a 的取值范围．
【答案】(1)当左右两面墙的长度为4 米时，甲工程队的报价最低
(2)(0,12)
【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的
条件，即可求解；
（2）由题意，转化为不等式
恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即
可得答案.
【详解】（1）设甲工程队的总造价为y元，依题意，左右两面墙的长度均为
（
），
则屋子前面新建墙体长为
，
所以
即
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故当左右两面墙的长度为4 米时，甲工程队的报价最低为
元；
（2）由题意可知，当
对任意的
恒成立，
即
，所以
，即
，
因为
，
当且仅当
，
，即x =2时，
的最小值为12，
即
，所以
的取值范围是(0,12).
5．（25-26 高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5 米，底面积为100 平方米，
且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方
体前面新建墙体的报价为每平方米320 元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160 元，地面以及其他
报价共计9600 元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为
（
）米，原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为
（
）元，若无论左
面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求
的取值范围.
【答案】(1)10 米
(2)
【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价
及对应的左面墙的长度；
（2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数
，并根据基本不等式求得
的取值范围.
【详解】（1）设甲工程队的总报价为y元，
依题意，左、右两面墙的长度均为
（
）米，
则长方体前面新建墙体的长度为
米，
所以
，
即
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故当左面墙的长度为10 米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200 元.
（2）由题意可知，
，
即
对任意的
恒成立，
所以
，可得
，即
.
，
当且仅当
，即x =8时，
取最小值36.
所以
，即
的取值范围是
.
一、单选题
1．（25-26 高一上·河北衡水·阶段检测）直角边之和为12 的直角三角形面积的最大值等于（ ）
A．16
B．18
C．20
D．不能确定
【答案】B
【分析】利用均值不等式，即可得到结果.
【详解】解：直角三角形的两直角边为
、
，面积为S，
则
，
当且仅当
时，等号成立，
直角三角形面积
．
故选：B．
2．（25-26 高一上·广东·月考）已知
，b>0，则
的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．12
D．18
【答案】D
【分析】将
展开，利用基本不等式求最值即可.
【详解】
，b>0，故
（当且仅当
时取“=”），
即
的最小值为18.
故选：D
3．（25-26 高一上·上海·阶段检测）已知
且
，则下列不等式中一定成立的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】举反例可得ABC 错误；由不等式的性质可得D 正确；
【详解】令a=−1，则
，故A 错误；
令a=1，则
，故B 错误；
令a=1，则
，故C 错误；
因为
，
，所以
，故D 正确；
故选：D.
4．（25-26 高一·全国·单元测试）设
，
，则
的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．不确定
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质求得
的范围，利用基本不等式求得
的范围，由此比较出两者的大小关
系.
【详解】∵
，
∴
.
又∵
，2<a<3，
∴
.
若
，则
，a=1或
，不符合2<a<3.
∴
.
∴
.
∴
.
故选：A
【点睛】本小题主要考查利用基本不等式比较大小，属于基础题.
5．（25-26 高一上·云南昭通·期末）下列结论表述正确的是（ ）
A．若
，则
恒成立
B．若
，则
恒成立
C．若
，b>0，则
成立
D．函数
的最小值为3
【答案】C
【解析】根据基本不等式成立的条件可判断ABC 的正误，根据双勾函数的性质可判断D 的正误.
【详解】对于A，若
，则
恒成立，错；
对于B，若
，则
恒成立，若
，则
，错；
对于D，函数
，
，
令
，则t ≥2且
，
因为
在
上为增函数，故
，
对于C，因为
，
而
，b>0，故
成立.
故选：C．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式判断给定的不等式是否成立时，注意依据
一正二定三相等
来检验
“
”
，
另外，说明一个不等式成立，需严格证明，关注代数式变形时符号的要求.
6．（25-26 高一上·山东济南·期末）如图所示，线段
为半圆的直径，
为圆心，
为半圆弧上不与
A ,B重合的点，
.作CD⊥AB于
于
，设
，则下列不等式中可以直接
表示
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据条件和几何图形，用a,b表示出
，即可求出结果.
【详解】因为
，所以
，
在
中，
，
又CD⊥AB，所以
，
在
中，
，故
，
得到
，
所以
，
所以
，即
，
故选：D.
二、多选题
7．（25-26 高二下·江苏南京·阶段检测）设正实数x，y 满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．xy 的最小值为
B．
的最小值为3
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】BCD
【分析】由基本不等式结合已知条件逐一判断即可
【详解】对于A：
，
当且仅当
，即
时取等，所以
的最大值为
，故A 错误；
对于B：
，
当且仅当
，即
时取等，
的最小值为3，故B 正确；
对于C：由公式
得，
，所以
，
当且仅当
，即
时取等，
的最小值为
，故C 正确；
对于D：由
得
，
，
令
，
则当
时，
，
，
即当
时，
的最小值为
，故D 正确；
故选：BCD
8．（25-26 高一上·江西宜春·阶段检测）早在西元前6 世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项
以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何
中项的定义与今天大致相同．而今我们称
为正数a，b 的算术平均数，
为正数a，b 的几何平均数，
并把这两者结合的不等式
叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的
是（ ）
A．若
，则
B．若
，则a+b的最小值为4
C．若
，则
D．若实数a，b 满足
，则
的最小值为2
【答案】BCD
【分析】根据基本不等式求最值的条件，结合“1”的妙用，即可求解.
【详解】A.若
，满足
，此时
，不满足结论，故A 错误；
B.
，
，
当
，且1
a +1
b =1，得
时等号成立，所以a+b的最小值为4，故B 正确；
C.
，
，
当b
2a =2a
b ，且
，得
，
时，等号成立，故C 正确；
D.
，
，
，
当
，即
时等号成立，且a+b=4，即
时等号成立，故D 正确.
故选：BCD
三、填空题
9．（2025·福建·一模）若正数x , y满足
，则
的最小值为_______．
【答案】
【详解】试题分析：
，所以原式变形为：
，所以最小值是3．
考点：基本不等式求最值
10．（25-26 高三上·辽宁丹东·阶段检测）若
，则m的最小值为__________.
【答案】4
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】由完全平方公式可知：
，当且仅当
时取等号，
所以有
，当且仅当a=b=1时取等号.
故答案为：4.
四、解答题
11．（2026·上海宝山·三模）已知
是实数，不等式
．
(1)若x =3，求上述关于
的不等式的解集．
(2)若上述不等式对任意实数
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将
看作整体，然后由二次不等式解法可得答案；
（2）由题可得
，然后由基本不等式求得
最小值可得答案.
【详解】（1）原不等式等价于
或
，
又
，
或
，
则不等式解集为：
；
（2）由题设可得
恒成立，即
，
注意到
，当且仅当
时取等号，从而
.
12．（25-26 高一下·上海浦东新·期末）某种植区域的平面示意图为如图的四边形
，已知
，区域的两个顶点
、
分别沿两条道路分布(且异于点
)，为了提升观赏性，区域中修建观
赏通道
，
，
．
(1)求观赏通道
的长；
(2)若
，求折线段通道
的最大值（即
最大）．
【答案】(1)2❑√3
(2)4 ❑√3
【分析】（1）根据三角形的性质，利用正弦定理计算求解；
（2）根据三角形的性质，利用余弦定理构造方程，再利用基本不等式求最大值．
【详解】（1）在
中，已知
，
，
，
由正弦定理：
，代入数据：
，
因为
，
，则
，解得
．
（2）在△MPN中，
，
，设
，
，
由余弦定理：
，即
，
变形可得：
，由基本不等式
（当且仅当
时取等号），代入得：即
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
因此折线段通道
的最大值为4 ❑√3．
