专题2.1 函数的概念及其表示（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域
(2)会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数
(3)了解简单的分段函数，并会应用
考点
2024 年
2025 年
2026 年
高考真题
统计
函数的概念
及其表示
新课标I 卷：第8
题，5 分
上海卷（春考）：第
9 题，5 分
上海卷（秋考）：第
2 题，4 分
北京卷：第7 题，4
分
命题规律
分析
1、函数的概念及其表示
函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的重要内容，从近三年的
高考情况来看，高考对函数的概念考查相对稳定，考查内容、频率、题
型、难度均变化不大，在高考中较少单独考查。预计明年高考对本节的考
查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域为主，主要在选择题
中考查，以基础题为主。
知识点
1
函数的定义域与值域
函数的概念及其表示
考点1
1．求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子
( 运算
) 有意义
为准则，列出不等式或
不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2．求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a ≤ g ( x )≤
b 求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x [
∈a,b]上的值域.
3．求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；
(2)反解法；
(3)配方法；
(4)不等式法；
(5)单调性法；
(6)换元法；
(7)数形结合法；
(8)导数法.
知识点
2
函数的解析式
1．函数解析式的四种求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x)，便得f(x)的表
达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想：已知关于f(x)与
或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程
组，通过解方程组求出f(x).
知识点
3
分段函数
1．分段函数的应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即
分段函数问题，分段解决．
【题型1 求函数值】
【例1】（2026·山西·模拟预测）已知f (f (x))= x
2−x +1，则f (1)=（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．2
【变式1-1】（2026·重庆·三模）已知定义在R上的函数f (x)满足对任意的
a,b∈R ,f (a+ f (b))−b= f (f (a)),f (0)=1. 则f (1)=（ ）
A．−2
B．0
C．2
D．1
【变式1-2】（2026·辽宁锦州·二模）f (x)是定义在R上的函数，满足2f (x)+ f (x
2−1)=1对∀x∈R都成
立，则f (−❑√2)=（ ）
A．0
B．1
3
C．1
2
D．1
【变式1-3】（2026·辽宁葫芦岛·一模）已知函数f (x)的定义域为R ,f (x +1)>f (x)+ f (x−1)，且当x<4
时，f (x)= x
2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．f (8)>100
B．f (8)<100
C．f (16)>1000
D．f (16)<10000
【题型2 具体函数的定义域】
【例2】（2026·山东·一模）函数f (x)=
❑√7 x
x−5
的定义域是（ ）
A．[0,5)∪(5,+ ∞)
B．(−∞,5)∪(5,+∞)
C．[0,+ ∞)
D．(−∞,−5)∪(−5,+∞)
【变式2-1】（2026·陕西商洛·模拟预测）函数f (x)=
1
x−1 + ❑√x +5的定义域是（ ）
A．{x| x>−5且x≠1}
B．{ x| x ≥−5且x≠1}
C．{ x| x ≥−5}
D．{ x| x≠1}
【变式2-2】（2026·上海虹口·一模）函数y = ❑√
x +1
x−2
的定义域为__________.
【变式2-3】（2026·北京·二模）函数f (x)= ❑√x +1+ 3
x
2的定义域为___________．
【题型3 抽象函数、复合函数的定义域】
【例3】（25-26 高一下·江西九江·开学考试）已知函数y = f (x)的定义域为[−7,5)，则函数y = f (3 x +2)的
定义域是（ ）
A．[−7,5)
B．[−3,1)
C．[0,5)
D．[−1,3)
【变式3-1】（25-26 高一上·安徽合肥·期末）已知函数f (3 x−1)的定义域为[−1,3]，则函数
g( x)= f ( x +2)
x−3
的定义域为（ ）
A．[−6,3)∪(3,6]
B．[−3,1]
C．[−1,3)
D．[−2,3)∪(3,6]
【变式3-2】（25-26 高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数y = f (x)的定义域为[0,4)，则函数g(x)= f (2 x)
x−1
的定义域为（ ）
A．{x∣x∈R且x≠1}
B．{x∣0≤x ≤2且x≠1}
C．{x∣0≤x ≤4且x≠1}
D．{x∣0≤x ≤8且x≠1}
【变式3-3】（25-26 高一上·安徽·期中）已知函数f ( x)的定义域为(0,5)，则函数
g( x)= f ( x−1)+
1
❑√x−2
的定义域为（ ）
A．[2,4)
B．[2,6)
C．(2,4)
D．(2,6)
【题型4 函数值域的求解】
【例4】（25-26 高一上·河南新乡·期中）若函数f (x)= 12
x
的定义域为[2,4)，则函数f (x)的值域为（ ）
A．[3,6)
B．[5,8)
C．[2,3)
D．[4,5)
【变式4-1】（25-26 高一上·浙江嘉兴·期中）函数f (x)= ❑√1−2 x−x的值域为（ ）
A．(−∞,−1)
B．(−∞,−1
2)
C．[−1,+∞)
D．[−1
2 ,+∞)
【变式4-2】（25-26 高一上·北京·期中）下列函数中，值域为(0,+ ∞)的是（ ）
A．y = x + 1
x
B．y = x
2+ x +1
C．y =
1
x
2+1
D．y = 1
❑√x
【变式4-3】（25-26 高一上·重庆沙坪坝·期中）函数f (x)= ❑√x−2−x , x∈(2,6)的值域为（ ）
A．(−∞,−7
4)
B．[−4 ,−7
4)
C．[−4 ,−2)
D．[−4 ,−2)
【题型5 同一函数的判断】
【例5】（25-26 高一上·天津武清·阶段检测）下列四组函数中，是同一个函数的是（ ）
A．f (x)= x−1，g(x)= x
2
x −1
B．f (x)=|x)，g(x)=
❑√x
2
C．f (x)= x
4，g(x)=(❑√x)
8
D．f (x)=|x)，g(x)=(❑√x)
2
【变式5-1】（25-26 高一上·湖北·阶段检测）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．f (x)= x +1, g(x)= x
2−1
x−1
B．f (x)=
❑√x
2, g(x)=|x)
C．f (x)=1, g(x)= x
0
D．f (x)= ❑√(x−1)(x +1), g(x)= ❑√(x−1)❑√(x +1)
【变式5-2】（25-26 高一上·广东汕头·期中）与函数y = x
2是同一函数的是（ ）
A．y =(❑√x)
4
B．y = x
3
x
C．y =
3√x
6
D．y =(
1
x)
−2
【变式5-3】（25-26 高一上·重庆·期中）下列各组函数中，f (x)与g(m)是同一个函数的是（ ）
A．f (x)=3 x +2,g(m)=3m+2
B．f (x)= x−1,g(m)= m
2−1
m+1
C．f (x)= x
2−2 x
x
, g(m)=m−2
D．f (x)=|x), g(m)=(❑√m)
2
【题型6 求函数的解析式】
【例6】（25-26 高一上·山东枣庄·阶段检测）若函数f ( x)是一次函数，并且满足
f (g( x))=9 x +1,g( x)=3 x +1，则f ( x)的解析式为（ ）
A．f ( x)=3 x
B．f ( x)=3
C．f ( x)=3 x−2
D．f ( x)=3 x + 1
3
【变式6-1】（25-26 高三·全国·二轮复习）已知函数f (1−x)= 1−x
2
x
2
(x≠0)，则f (x)=（ ）
A．
1
(x−1)
2 −1(x≠0)
B．
1
(x−1)
2 −1(x≠1)
C．
4
(x−1)
2 −1(x≠0)
D．
4
(x−1)
2 −1(x≠1)
【变式6-2】（25-26 高一上·福建福州·期中）若函数f (x)是二次函数，满足f (0)=2，f (x +2)−f (x)= 4 x
，则f (x)=（ ）
A．x
2+ x +2
B．x
2−2 x +2
C．x
2−x +2
D．x
2+2 x +2
【变式6-3】（25-26 高一上·福建三明·阶段检测）已知f (❑√x +1)= x +2❑√x−1
，则f (x)=（ ）
A．x
2−2(x ≥1)
B．x
2−2
C．x
2(x ≥1)
D．x
2
【题型7 分段函数及其应用】
【例7】（25-26 高一上·江苏南京·期末）已知函数f (x)={
x
3−2 x ,
x>0
f (x +1),
x ≤0)
，则f (−1)=（ ）
A．1
B．−3
C．0
D．−1
【变式7-1】（2026·云南曲靖·一模）设函数f (x)={
x (x−1), x ≥0
2−f (−x), x<0)
，则满足f (x)>2的x 的取值范围是
（ ）
A．(−∞,−1)
B．(2,+∞)
C．(−1,0)∪(2,+∞)
D．(−1,0)∪(0,2)
【变式7-2】（2026·贵州·模拟预测）已知函数f ( x)={
log2 x，x ≥2
x
2+ x +2，x<2)
则f (f (1))=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式7-3】（25-26 高一上·河南·期中）已知函数f (x)={
f (x +1), x<0
x
2+2 x−3, x ≥0)
，则f [f (−2)+ f (2))=（ ）
A．−6
B．5
C．2
D．-3
一、单选题
1．（2026·江西上饶·一模）已知函数f (3 x +1)=(x +5)
2，则f (−2)=（ ）
A．4
B．9
C．16
D．25
2．（2026·广东·一模）函数f (x)=
❑√x−4
x−5
的定义域为（ ）
A．[4 ,+∞)
B．[4,5)∪(5,+∞)
C．(4,5)∪(5,+∞)
D．(−∞,−5)∪(4,5)
3．（2026·江西上饶·二模）若函数y =
1
x
2−1
的定义域为[0,1)∪[2,+ ∞)，则此函数的值域为（ ）
A．[−1, 1
3)
B．(−∞,−1)∪(0, 1
3)
C．[−1,0)∪(0, 1
3)
D．
[−1,0)∪[
1
3 ,+∞)
4．（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线x =a,a∈R与函数y = f (x)的图象的交点个数为
（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．无法确定
5．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）已知定义在R上函数f (x)满足f (x1+ x2)= f (x1)f (x2)，若f (−1)= 1
4
，则
f (4)=（ ）
A．1
B．16
C．128
D．256
6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数f ( x)满足：当0≤x ≤2时，f ( x)= f (2−x)；当x<0时，
f ( x)= f ( x +2)；且当x ≥1时，f (x)= x +1，则f(−7
2)=（ ）
A．−3
2
B．−5
2
C．3
2
D．5
2
7．（25-26 高三上·浙江·阶段检测）下列函数f (x)和g(x)为同一函数的是（ ）
A．f (x)= x +1和g(x)=
❑√(x +1)
2
B．f (x)= x
2+ x
0和g(x)= x
3+ x
x
C．f (x)= x
2+ x和g(x
2)=(x
2+ 1
2)
2
−1
4
D．f (x)= ❑√
x
2−3 x
x
2
和g(x)=
❑√x
2−3 x
x
8．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，当x≠0时，有f (x)+ x⋅f(
1
x)=0，对
∀x , y ∈R，都有f (x)+ f ( y)= f (x + y)−1，则f (2026)=（ ）
A．0
B．1
C．2025
D．2026
二、多选题
9．（2026·江西·模拟预测）对于任意的x , y ∈R，函数f ( x)满足
f ( x +1)−f ( x−1)= f (2)+ 4 x−6,f (−2)=6，则下列结论正确的是（ ）
A．f (0)=1
B．f (2)=6
C．f (2026)−f (2024)=8100
D．f (6)=36
10．（2026·新疆喀什·模拟预测）已知函数f ( x)=
2
x
2+1
，则（ ）
A．f ( x)+ f (−x)=0
B．f ( x)≤2
C．f ( x)+ f ( 1
x )=2
D．f (3)+ f (2)+ f (1)+ f ( 1
2 )+ f ( 1
3 )=5
11．（2026·广东江门·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，f (x +98)≤f (x)+100，
f (x +100)≥f (x)+102，且f (2023)=100，则f (2025)的值可能为（ ）
A．101
B．102
C．103
D．104
三、填空题
12．（2026·上海·三模）函数f (x)= ❑√2 x−3+
1
x−2
的定义域为__________．
13．（2026·河北唐山·一模）已知f ( x)= x| x−2|，若f ( x)=3，则x =__________.
14．（2026·重庆·一模）若函数f (x)满足:对任意的x>0，都有f (x +2)= f (x)+
1
x (x +2)，且f (4)= 1
200
，
则f (100)=___________.
四、解答题
15．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知f (x)+ f(1−1
x)=1+ x ,( x≠0且x≠1)，求函数f (x)的解析式．
16．（25-26 高三·全国·一轮复习）求函数y =
x
2−x +1
2 x
2−2 x +3
的值域．
17．（25-26 高三·全国·三轮复习）求下列函数的定义域：
(1)f ( x)= 3 x
x−4
；
(2)f ( x)= 1
❑√x
2；
(3)f ( x)=
6
x
2−3 x +2
；
(4)f ( x)=
❑√4−x
x−1
．
18．（25-26 高三·全国·一轮复习）（1）已知f (❑√x +1)= x +2❑√x
，求f (x)的解析式．
（2）已知f (x)是一次函数，并且f (f (x))= 4 x +3，求f (x)．
（3）函数f (x)满足方程2f (x)+ f(
1
x)=2 x，x∈R且x≠0，求f (x)．
19．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知一次函数f ( x)满足f (f ( x))= x +3．
(1)求f ( x)的解析式；
(2)若g(x)=
x
f (x)−1
2
，求g(1)+ g(2)+⋯+ g(2024)+ g(
1
2024 )+ g(
1
2023 )+⋯+ g( 1
2 )的值．
