文档文本内容
专题1.4 基本不等式
一、核心知识：
1.基本不等式
（1）公式及其变形式：
（2）成立的条件：
（3）等号成立的条件：当且仅当
时取等号．
（4）算术平均数与几何平均数：设a>0，b>0，则a，b 的算术平均数为
，几何平均数为
，
基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
（5）利用基本不等式求最值：已知x>0，y>0，则
如果积xy 是定值p，那么当且仅当x＝y 时，x＋y 有最小值2.(简记：积定和最小)
如果和x＋y 是定值p，那么当且仅当x＝y 时，xy 有最大值.(简记：和定积最大)
2.常用不等式公式：
（1）
，当且仅当
时取等；
（2）
，当且仅当
时取等.
二、考点聚焦：
考点一：配凑法求最值（配凑法）
经典例题：
1．（22-23 高三上·上海嘉定·期中）若
，则
的取值范围是 ．
2．（2023·山西忻州·模拟预测）已知
，则
的最小值是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
3．（2025·辽宁·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
2
2
2
4
a
b
a
b
ab
a
b
ab
ab
0,
0
a
b
a
b
2
a
b
ab
2
2
2
,
a
b
ab a b
R
a
b
2
2
2
2
2
2
,
2
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
a b
R
a
b
0
x
2
2
4
x
x
x
2
a
8
2
2
a
a
0,
x
1
1
2
2
1
y
x
x
2
2 2
3
4．（2024·江西赣州·二模）已知
，则
的最小值为 .
5．（2021·天津高考）若
，则
的最小值为____________．
6．（2023 春·湖南·高三联考）当
时，
的最小值为_________.
7．（22-23 高三下·上海浦东·阶段）若关于x 的不等式
的解集为
，则
的最
小值为 ．
8．（2025·河南·二模）已知
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9（2024·陕西西安·一模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作
《胁子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数
之剩三，七七数之剩二，问物几何?现有这样一个相关的问题：被除余
且被除余的正整数按照从小
到大的顺序排成一列，构成数列
，记数列
的前
项和为
，则
的最小值为（ ）
A．60
B．61
C．75
D．76
0 ,
0
a
b
2
1
a
b
a
b
,
0,
x y
2
2
5
4
4
4
x
y
y
xy
2
0(
1)
x
bx
c
b
R
1
2
4
1
b
c
b
π
0, 2
2
4
sin
sin 2
2
2 5
3
5
3
3
2
5
3
na
na
n
n
S
2
60
n
S
n
10．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g 的砝码放在天平
左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些中
药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于200g
B．大于200g
C．小于200g
D．以上都有可能
强化训练：
1．（2024·内蒙古赤峰·三模）下列函数最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·四川德阳·二模）若
，则函数
的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
3．（2025·新疆·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．
D．6
4．（2023·陕西榆林·三模）若
，则
的最小值为 ．
5．（2021·全国·模拟预测）（多选）下列不等式一定成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高三上·广东湛江·期末）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
的最小值为2
C．若
，则
的最大值为2 D．若
，则
4
y
x
x
2
2
4
y
x
x
4
y
x
2
4
y
x
(0,
)
x
4
2
2
1
y
x
x
3 2
1
a
9
1
a
a
0
a
b
2
2
a
ab
b
xR
2
2
1
2
2
x
x
2
a
b
2
2
a
b
(0,2)
x
1
1
2
2
x
x
7．（2023·河北邢台·模拟预测）已知
，且
，则
的最小值为 .
8．（2025·广东珠海·模拟预测）已知
是公差不为0 的等差数列，且
，
，
成等比数列，若
是数
列
的前
项和，则
的最小值为 ．
9．（2024·福建南平·二模）关于的实系数二次不等式
的解集为
，若
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
10．（22-23 高三上·宁夏银川·阶段）《忠经·广至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”，在实际生活
中，新时代的青年不仅要有自己“不私”的觉悟，也要有识破“诈公”的智慧.某金店用一杆不准确的天平
（两边臂不等长）称黄金，顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平
衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄
金（ ）
A．大于
10g
B．小于
10g
C．等于
10g
D．以上都有可能
考点二：常用代换法求最值
经典例题：
1．（2022·上海嘉定·模拟预测）若
、
，且
，则
的最小值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．（2022·四川广安·模拟预测）已知
，当
取最大值时，则
的值为（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
3．（2024·河南郑州·一模）（多选）设
，
，且
，则下列结论正确的是（ ）
0
a
0
b
4
1
1
a
b
ab
16
4
1
16
1
4
3
9
18
x
y
2
x
y
xy
2
0
a
0
b
2
4
a
b
A．
的最小值为
B．
的最小值为2
C．
的最小值为
D．
恒成立.
4．（24-25 高三上·湖南·阶段）（多选）已知
，
，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的最小值是
C．
的最小值是8
D．
的最小值是
5．（24-25 高三上·山西·期末）已知正实数x，y 满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．
D．6
6．（2020·全国Ⅰ卷）（多选）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·广西河池·模拟预测）已知
，
，且
是
与
的等差中项，则
的最小值
为（ ）
1
1
a
b
2
2
1
a
b
1
2
a
b
9
4
8
1
1
7
b
a
a
b
1
b
2
0
a
b
ab
2
a
1
4
2
a
b
b
a
b
3
2
ab
1
1
2
1
a
b
2
2
3
x
y
2
3
x
y
xy
2 2
1
4 2
1
,
0
0
a
b
1
a
b
2
2
1
2
a
b
1
2
2
a b
2
2
log
log
2
a
b
2
a
b
0
m
0
n
1
2
3
log m
3
log n
2
3
m
n
A．
B．
C．
D．
8．（21-22 高三上·江苏南通·期中）已知关于x 的不等式
的解集为
，其中
，则
的最小值为（ ）
A．－2
B．1
C．2
D．8
9．（2022·陕西汉中·一模）已知直线
过函数
（
，且
）的定点T，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．
D．
10．（2024·四川遂宁·模拟预测）在
中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．8
D．9
强化训练：
1.（2024·上海崇明·二模）已知正实数a、b 满足
，则
的最小值等于 ．
2．（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知
，则
的最小值为 .
6 2
2 2
6
4 6
2
2
4
0
ax
bx
4
,
m m
0
m
4
4
b
a
b
2
4
0(
0,
0)
mx
ny
m
n
log (
1)
2
a
y
x
0
a
1
a
1
4
m
n
3
2 2
3
2 6
ABC
V
2
AF
xAB
yAC
0,
0
x
y
1
2
x
y
lg
lg
2
x
y
x
y
3．（2023·广东深圳·模拟预测）（多选）已知a，b 都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·河北石家庄·一模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·山东济南·一模）已知x，y 为正实数，且
，则
的最小值为（ ）
A．24
B．25
C．
D．
6．（20-21 高三上·山东烟台·阶段）若
，且
，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2022·全国II 卷）（多选）若x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023·吉林通化·模拟预测）若直线
恒过点A，点A 也在直线
上，其中
均为正数，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
10．（24-25 高三上·北京丰台·期中）已知函数
过定点M，点M 在直线
上且
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
1
1
4
9
a
b
a
b
1
1
6
a
b
a
b
2
5
3
2
a
a
2
1
1
2
a
a
a
0,4
x
1
16
4
f x
x
x
49
3
17
2
19
3
25
4
1
x
y
6
3
x
y
xy
6
4 2
6 2
3
0,
0
a
b
4
a
b
2
2
8
a
b
1
1
4
ab
2 2
a
b
1
1
1
a
b
0
x
0
y
1
x
y
1
2
2
x y
2
2
log
log
2
x
y
2
x
y
≥
2
2
1
2
x
y
2
2
1
x
y
xy
1
x
y
2
x
y
2
2
2
x
y
2
2
1
x
y
2
1
0
kx
y
k
2
0
mx
ny
,
m n
mn
1
4
1
2
1
x
f x
a
1
mx
ny
,
0
m n
1
2
m
n
3
2 2
4
2 2
3
2
4
2
三、达标检测
《基本不等式》小题检测
（限时30 分钟，满分73 分）
一、单选题（每小题5 分，共40 分）
1．已知
，则
的最小值是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
2．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．已知正实数x，y 满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．
D．6
4．已知
，则下列选项中，能使
取得最小值18 的为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知关于
的不等式
的解集为
，其中
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
6．用一段长为cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．现设计一个两邻边的长度分别为
的矩形广告牌，其面积为，且
，则当该广告牌的周长
最小时，
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．《忠经·广至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”，在实际生活中，新时代的青年不仅要有自己
“不私”的觉悟，也要有识破“诈公”的智慧.某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，顾客
要购买
黄金，售货员先将
的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将
的砝码
放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于
B．小于
C．等于
D．以上都有可能
二、多选题（每小题6 分，共18 分）
9．下列函数中最小值为2 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知
.若
，则（ ）
A．
的最小值为10 B．
的最小值为9 C．
的最大值为
D．
的最小值为
11．若正数
，
满足
，则（ ）
A．
的最大值是
B．
的最小值为
C．当
时，
D．
的最小值为
三、填空题（每小题5 分，共15 分）
12．已知正实数a、b 满足
，则
的最小值等于 ．
13．已知
，且
，则
的最小值是 .
14．若
，则
的取值范围是 ．
答题卡
班级：
姓名：
总分：
题号:
1
2
3
4
5
6
7
8
答案:
题号:
9
10
11
题号:
12
13
14
答案:
答案:
