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专题2.1 函数的概念
重难点题型1 函数的概念
1．（2024·山东·二模）如图所示，
是半圆
的直径，点
从点
出发，沿
弧
的路径运
动一周，设点
到点
的距离为，运动时间为，则下列图象能大致地刻画与之间的关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】函数图像的识别、函数关系的判断
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
函数的概念
重难点题型2
判断两个函数是否是同一函数
重难点题型3
求具体函数的定义域
重难点题型4
求抽象函数的定义域
重难点题型5
求函数的解析式
重难点题型6
求函数的值域
重难点题型7
分段函数
【分析】点
在
段运动时和点
在
上运动时，，之间是线性关系，点
在弧
上运动时，
（定值），即可结合选项求解.
【详解】当点
在
段运动时，随的增大而匀速增大，
点
在弧
上运动时，
（定值），
点
在
上运动时，随着的增大而减小．
故选：C．
2．（2023·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数
图象的是（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．①③
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】函数关系的判断
【分析】根据函数的定义判断可得出结论.
【详解】解：∵一个
只能对应一个
，∴①③符合题意，
对于②中，当
时，一个
对应两个
，不符合函数的定义；
对于④中，当
时，一个
对应两个
，不符合函数的定义.
故选：D．
3．（2024·江西·一模）设
，
，函数
的定义域为
，值域为
，
则
的图象可以是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】函数关系的判断
【详解】因为定义域为
，所以舍去A;因为值域为
，所以舍去D;因为对于定义域
内每一个x 有且只有一个y 值，所以去掉C；选B.
4．（2024·福建·模拟预测）（多选题）设
是非空的实数集，若
，则（ ）
A．函数
的定义域为
B．函数
的值域为
C．函数
值域为
D．函数
无极值
【答案】AD
【难度】0.85
【知识点】函数关系的判断、求已知函数的极值
【分析】由函数定义可判断A 和B，令
，
可判断C，对
求导可判断D.
【详解】由函数的定义可知，集合
中的任意一个数
，
在集合
中都有唯一确定的数
和它对应，
所以函数
的定义域为
，值域为集合
的子集，故A 正确，B 错误；
对于C，当
，
时
，值域不为
，故C 错误；
对于D，
，所以
单调递增，无极值，故D 正确.
故选：AD.
5．（2020·广东中山·模拟预测）（多选题）已知集合
，
，请根据函数定义，
下列四个对应法则能构成从
到
的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【难度】0.94
【知识点】函数关系的判断
【分析】根据函数的概念逐一判断即可.
【详解】A，集合
中
在集合
中没有对应元素，故A 不选.
B，由函数的定义集合
中的每一个元素在集合
中都有唯一元素与之对应，故B 可选；
C，集合
中、
在集合
中没有对应元素，故C 不选.
D，由函数的定义集合
中的每一个元素在集合
中都有唯一元素与之对应，故D 可选；
故选：BD
6．（2025·湖北鄂州·一模）（多选题）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转
后得到的曲线仍为一个
函数的图象的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】函数图象的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数关系的判断
【分析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，再根据函
数的定义，即可求解.
【详解】利用运动是相对的，函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针
方向旋转，
根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量x，都有唯一确定的
与之对应，
逆时针旋转
后得到的曲线，如果仍为一个函数的图象，则曲线与任意一条垂直于x 轴的直线最多只有一
个交点，
所以函数
的图象与任一斜率为1 的直线
都最多只有一个交点，
结合函数图象可知，
对于A，
的图象与直线
都只有一个交点，故A 正确；
对于B，
的图象与直线
有两个交点
，故B 错误；
对于C，
，
，
，
所以
的图象，在点
处的切线方程为
，
的图象与直线
都最多只有一个交点，故C 正确；
对于D，
的图象与直线
都只有一个交点，故D 正确.
故选：ACD.
7．（2024·上海青浦·一模）已知函数
的定义域为
，值域为
，则满足条件的函数
最多有 个.
【答案】14
【难度】0.65
【知识点】组合数的计算、函数关系的判断、分类加法计数原理
【分析】由函数的概念及分类加法计数原理、组合数计算得解.
【详解】由函数定义，转化为给
安排对应的自变量，每一种对应方式，即为一个函数，
给
取3 个自变量，则
对应1 个自变量，有
种，
给
取2 个自变量，则
对应2 个自变量，有
种，
给
取1 个自变量，则
对应3 个自变量，有
种，
所以由分类加法计数原理知，共有
种不同的对应方式，
故答案为：14
8．（2024·四川雅安·模拟预测）已知
是集合A 到集合B 的函数，如果集合
，那么集
合A 可能情况为 （填一种满足条件的即可）
【答案】
（答案不唯一）
【难度】0.94
【知识点】函数关系的判断、已知函数值求自变量或参数、求集合的子集（真子集）
【分析】由题意转化为求集合
的非空子集即可.
【详解】依题意，
是集合A 到集合B 的函数，
令
，得
，令
，得
，令
，得
，
因此集合
是集合
的非空子集，
所以集合A 可能情况为
.
故答案为：
重难点题型2 判断两个函数是否是同一函数
1．（2023·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域
【分析】根据同一函数的定义，逐项验证定义域和对应法则是否相同，即得．
【详解】对于A 中，函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，定义域相同，对
应法则相同，所以是同一个函数；
对于B 中，函数
和
的定义域都是
，但对应法则不同，所以不是同一
个函数；
对于C 中，函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，定义域不相同，所以
不是同一个函数；
对于D 中，函数
的定义域为
，
的定义域为
，定义域不相同，所以不
是同一个函数.
故选：A．
2．（2022 高三·辽宁大连·学业考试）下列函数中，与函数
相同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即判断这两个函数为相同函数.
【详解】解：对于A，
，与函数
的对应关系不相同，故不是相同
函数；
对于B，函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，两函数的定义域不相同，故两
函数不是相同函数；
对于C，两函数的定义域都是
，且对应关系相同，故两函数为相同函数；
对于D，
，与函数
的对应关系不相同，故不是相同函数.
故选：C.
3．（2020·天津·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】判断两个函数是否相等、对数的运算性质的应用
【分析】对于A：由定义域不同,即可判断；
对于B：由定义域不同，即可判断；
对于C：由对应关系不同，即可判断；
对于D：对应关系相同，定义域相同，可以判断为同一函数.
【详解】对于A：
的定义域为R，
的定义域为
，定义域不同，所以A 错
误；
对于B：
的定义域为
，
的定义域为R，定义域不同，所以B 错误；
对于C：
，对于
，对应关系不同，故C 错误；
对于D：
定义域为R,
，定义域为R，二者对应关系相同，定义域相同，为同一函
数.
故选：D
4．（2023·四川·模拟预测）与函数
是相同函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】判断两个函数是否相等
【分析】根据
，对原不等式等价变形即可.
【详解】由
得
，
所以
．
故选：C．
5．（23-24 高三上·云南大理·期中）（多选题）下列两个函数是相同函数的有（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】BD
【难度】0.65
【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等
【分析】利用函数的定义域和对应法则、判断函数是否相同的方法分析运算判断即可得解.
【详解】解：对于选项A，
的定义域为
，
的定义域为
，
两函数定义域不同，故不是相同函数，故A 错误；
对于选项B，
，
两函数定义域和对应法则相同，故为相同函数，故B 正确；
对于选项C，
与
定义域不同，
故不是相同函数，故C 错误；
对于选项D，
，函数的定义域、对应法则均相同，
所以两函数是相同函数，故D 正确.
故选：BD．
6．（2024·湖南益阳·模拟预测）（多选题）下列命题中，正确的是（ ）
A．函数
与
表示同一函数
B．函数
与
是同一函数
C．函数
的图象与直线
的图象至多有一个交点
D．函数
，则
0
【答案】BC
【难度】0.94
【知识点】判断两个函数是否相等、求分段函数解析式或求函数的值
【分析】根据相等函数的定义判断A、B，根据函数的定义判断C，由函数解析式求出函数值，即可判断D.
【详解】对于A：
，因为两函数的定义域不相同，故不是同一函数，故A 错误；
对于B：函数
与
定义域相同，解析式一致故是同一函数，故B 正确；
对于C：根据函数的定义可知，函数
的图象与直线
的图象至多有一个交点，故C 正确；
对于D：因为
，所以
，
则
，故D 错误.
故选：BC
重难点题型3 求具体函数的定义域
1．（2025·陕西咸阳·三模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式、具体函数的定义域、求对数型复合函数的定
义域
【分析】求出函数定义域分别化简集合
，
，再利用补集、交集的定义求解即得.
【详解】由
得
，∴
，
由
，得
，解得
或
∴
，
故选：B.
2．（2025·北京东城·一模）下列函数中，定义域为
的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】具体函数的定义域
【分析】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域，由此得出答案.
【详解】对于A，要使得根号下有意义，则
，即定义域为
，故A 错误；
对于B，要使得对数有意义，则真数
，即定义域为
，故B 正确；
对于C，由指数函数的定义可知其定义域为
，故C 错误；
对于D，要使得正切函数有意义，则
，即定义域为
，故D 错误；
故选：B.
3．（2024·河北·模拟预测）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式
【分析】根据题意得
，解不等式得解.
【详解】由
，即
，即
，解得
.
所以函数的定义域为
.
故选：B.
4．（2025·湖南·二模）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】并集的概念及运算、具体函数的定义域、求对数函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式
【分析】根据对数函数的定义域及分式函数的定义域求解集合A，解一元二次不等式求解集合B，然后利
用并集概念求解即可.
【详解】对于集合A：由题意
，得
，
所以
，
对于集合B，
，则
，
所以
，
因此
.
故选：A
5．（2025·北京朝阳·一模）函数
的定义域为 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域
【分析】根据函数解析式有意义可得出关于
的不等式组，即可解得函数
的定义域.
【详解】对于函数
，有
，解得
，
故函数
的定义域为
.
故答案为：
.
6．（2024·陕西西安·一模）函数
的定义域为
【答案】
且
【难度】0.94
【知识点】具体函数的定义域
【分析】利用函数有意义列不等式求解.
【详解】由题意得
，
则函数定义域为
且
.
故答案为
且
.
7．（2022·北京·高考真题）函数
的定义域是 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】具体函数的定义域
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为
，所以
，解得
且
，
故函数的定义域为
；
故答案为：
8．（2024·四川南充·三模）函数
的定义域为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】具体函数的定义域
【分析】根据解析式列出不等式求解.
【详解】因为
，
所以
且
，
解得
且
，
故函数的定义域为
.
故答案为：
9．（22-23 高三上·安徽六安·阶段练习）记函数
的定义域为A，
的定义域为B．若
，则实数a 的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数、具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域
【分析】由
，得
或
，据真数大于零，求出函数
的定义域，再由
列出不等式，结合
求出
的范围即可.
【详解】由题意得
，解得
或
，
即
或
，
根据题意
，
因为
，所以
，
则
，
即
，
因为
，
所以
或
，
解得
或
，
又
，
所以
或
，
即实数
的取值范围是
.
故答案为：
10．（2023·江苏常州·一模）函数
的定义域为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求对数型复合函数的定义域、具体函数的定义域
【分析】根据函数解析式，列出相应不等式组，即可求得答案.
【详解】由题意函数
有意义，
需满足
，解得
且
，
故函数定义域为：
.
故答案为：
.
重难点题型4 求抽象函数的定义域
1．（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数
的定义域为
，则
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】抽象函数的定义域
【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数
的定义域，对于函数
，可列出
关于
的不等式组，由此可得出函数
的定义域.
【详解】因为函数
的定义域为
，则
，可得
，
所以，函数
的定义域为
，
对于函数
，则有
，解得
，
因此，函数
的定义域为
.
故选：C.
2．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、抽象函数的定义域
【分析】由题可知解
即可得答案.
【详解】解：因为函数
的定义域为
，
所以，
，即
，解得
，
所以，函数
的定义域为
故选：C
3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数
的定义域为
.记
的定义域为集合
的定
义域为集合
.则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】抽象函数的定义域、具体函数的定义域、判断命题的必要不充分条件
【分析】先利用函数的定义域求得集合
，再利用充分条件、必要条件的定义判断.
【详解】∵函数
的定义域为
，
所以
，
令
，解得
，即
，即
，
∵
，
∴“
”是“
”的必要不充分条件，
故选：C.
4．（23-24 高三上·辽宁·期中）已知函数
的定义域是
，则
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】抽象函数的定义域、具体函数的定义域
【分析】根据抽象函数的定义域可得
满足
，结合根式的意义即可求解.
【详解】因为函数
的定义域为
，
所以
满足
，即
，
又
，即
，
所以
，解得
.
所以函数
的定义域为
.
故选：D.
5．（23-24 高三上·湖北·阶段练习）已知函数
的定义域是
，则函数
的定
义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】抽象函数的定义域、求对数型复合函数的定义域
【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可.
【详解】因为函数
的定义域是
，所以
，
所以
，所以函数
的定义域为
，
所以要使函数
有意义，则有
，解得
，
所以函数
的定义域为
.
故选：A.
6．（23-24 高三上·四川遂宁·期中）函数
的图象恒过点
，函数
的定义域为
，
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求指数函数在区间内的值域、对数型函数图象过定点问题、抽象函数的定义域
【分析】由题可知，当
时，即可求出定点坐标
，即可求得
的解析式，进而可得
的
解析式，再结合抽象函数的定义域求得
的定义域，结合函数的单调性即可求解.
【详解】当
时，即
，则
，
所以
恒过定点
，
则
，定义域为
，由
，得
，
则
的定义域为
，
则
，
又
在
上单调递增，则
在
上单调递增，
则
，
，
所以函数
的值域为
.
故选：C
7．（2024·江苏宿迁·一模）（多选题）下列命题正确的有（ ）
A．函数
定义域为
，则
的定义域为
B．函数
是奇函数
C．已知函数
存在两个零点
，则
D．函数
在
上为增函数
【答案】AB
【难度】0.65
【知识点】抽象函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断、简单的对数方程、根据解析式直接判断函数的
单调性
【分析】根据抽象函数定义域求解法则判断A，根据奇函数定义判断B，根据零点定义建立方程，数形结
合，判断C，根据对勾函数单调性判断D.
【详解】对于A，由函数
定义域为
，则
，
因此在
中，
，解得
，即
的定义域为
，故A 正确；
对于B，函数
定义域为R，
且
，所以函数
为奇函数，故B 正确；
对于C，由函数
存在两个零点
，即
为
的两根，
则可得
，令
，
，
结合函数
图象可设
，
，则
，
所以
，所以
，而k 不一定为1，故C 不正确；
对于D，函数
为对勾函数，在区间
单调递减，在
单调递增，故D 不正确.
故选：AB.
8．（2024·山西晋中·模拟预测）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
B．当
时，不等式
恒成立，则
的取值范围是
C．函数
在区间
上单调递减
D．若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是
【答案】AD
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据对数函数的值域求参数值或范围、求对数型复合
函数的定义域、抽象函数的定义域
【分析】A 选项，利用抽象函数定义域的求解判断即可；B 选项，分
和
两种情况，结合根的判别
式得到不等式，求出答案；C 选项，求出
的定义域即可判断；D 选项，将问题转化为
能够取到所有正数，分
和
两种情况，结合根的判别式得到不等式组，求出答案.
【详解】A 选项，对于
，由
，得
，
对于
，令
，解得
，
故函数
的定义域为
，A 正确；
B 选项，当
时，
恒成立，满足要求，
当
时，需满足
，解得
，
综上，
的取值范围是
，B 错误；
C 选项，令
，解得
，
当
时显然
无意义，所以
不可能在
上单调递减，C 错误；
D 选项，若函数
的值域为
，
则
能够取到所有正数，
当
时，
能够取到所有正数，满足要求，
当
时，需满足
，即
，解得
，
综上，实数
的取值范围是
，D 正确.
故选：AD.
9．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域
【分析】根据
的定义域为
，得到
的定义域为
，再由
求解.
【详解】解：因为
的定义域为
，
则
，即
，
所以
的定义域为
，
又
，
所以函数
的定义域为
.
故答案为：
10．（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数
的定义域是
，则
的定义域是
【答案】
【难度】0.85
【知识点】抽象函数的定义域
【分析】根据给定条件，利用抽象函数定义域列式求解即得.
【详解】由函数
的定义域是
，得
，则
，
由
，解得
，
所以
的定义域是
.
故答案为：
重难点题型5 求函数的解析式
1．（2025·辽宁沈阳·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】先由换元法求得函数
的解析式，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】令
，则
，所以
，即
，
则
故选：D．
2．（2024·江西·模拟预测）已知对任意的
，都有
，则一次函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知函数类型求解析式
【分析】利用待定系数法，设
，根据题意运算求解即可.
【详解】设
，
则
，
因为
，即
，
则
，解得
，所以
.
故选：C.
3．（2024·四川德阳·三模）已知
，且
，则
（ ）
A．3
B．
C．1
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求解析式中的参数值
【分析】令
，求出
，代入解出
.
【详解】
， 且
，
令
，
，解得
，
，即
,
.
故选：C.
4．（2024·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知f（g（x））求解析式、对数的运算
【分析】令
，则
，结合各选项代入验证，即可判断答案．
【详解】令
，
，则
，由
可得
，
对于A，
，故A 错误；
对于B，
，不满足
，B 错误；
对于C，
，即
，即
，C 正确；
对于D，
，即
不成立，D 错误．
故选：C．
5．（2023·重庆·模拟预测）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】利用换元法令
求解析式即可．
【详解】令
，则
，且
，则
，
可得
，
所以
.
故选：B.
6．（2023·浙江·二模）已知函数
满足
，则
可能是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】已知f（g（x））求解析式、分段函数的性质及应用
【分析】根据函数
满足
，一一验证各选项中的函数是否满足该性质，即可得答案.
【详解】对于A，
，则
，
，不满足
；
对于B，
，则
，
，
不满足
；
对于C，
，则
，
，不满足
；
对于D，
，当
时，
，故
；
当
时，
，故
，
即此时
满足
，D 正确，
故选：D
7．（2025·云南昆明·一模）已知函数
满足
，则实数
．
【答案】1
【难度】0.85
【知识点】求解析式中的参数值
【分析】根据
推导出
，即可得到
，解得即可.
【详解】因为函数
满足
，
则
，即
，所以
，
所以
，解得
，经检验符合题意.
故答案为：
8．（2023·全国·模拟预测）已知
，则
．
【答案】
/2.5
【难度】0.94
【知识点】求函数值、已知f（g（x））求解析式
【分析】根据函数解析式，令
，得
，代入函数解析式计算即可求解.
【详解】由题意得，
，
令
，由
，得
，
∴
．
故答案为：
.
9．（2022·全国·模拟预测）若函数
满足关系式
，则
.
【答案】6
【难度】0.85
【知识点】求函数值、函数方程组法求解析式
【分析】用方程组法求得
，代入求值即可解答.
【详解】因为
，所以
，
解得
，所以
.
故选：6
10．（2023·河南·模拟预测）已知函数
对定义域
内的任意实数
满足
，
则
.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】函数方程组法求解析式
【分析】先把x 都化为2x，进行化简得到
，再把x 替换为
得到
，最
后联立方程组求解即可.
【详解】由
，得
，即
①，将
换为
，得
②，由①+2②，得
，故
.
故答案为：
.
重难点题型6 求函数的值域
1．（2024·广东·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算、具体函数的定义域、复合函数的值域
【分析】通过计算函数
定义域求出集合
，计算函数
值域求出集合
，最后通
过交集运算即可求解.
【详解】由
，有
，即
，所以
；
由
令
，根据二次函数的性质有
，
所以
，又因为
，所以
，
；
所以
.
故选：D
2．（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知函数
的值域为R，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、根据
分段函数的值域（最值）求参数
【分析】由于当
时，
，所以当
时，求出
的最小值，使其最小值小于等于1 即可.
【详解】当
时，
，
当
时，
，
因为函数
的值域为
，
所以
，得
，
所以实数
的取值范围是
，
故选：D.
3．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数
，则对任意实数x，函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解.
【详解】依题意，
，
显然
，则
，于是
，
所以函数
的值域是
.
故选：C
4．（23-24 高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数
，若
的值域为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】根据值域求参数的值或者范围、复合函数的值域
【分析】借助
的值域为
可得
要取遍所有的正数，对
进行分类讨论即可得.
【详解】若函数
的值域为
，则
要取遍所有的正数．
所以
或
，解得
，
即实数
的取值范围是
.
故选：A．
5．（23-24 高三上·新疆昌吉·阶段练习）下列函数中，值域是
的是（ ）
A．
B．
，
C．
，
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】根据函数的性质分别进行判断即可．
【详解】对选项A：
，即函数的值域为
，错误；
对选项B：
，则函数在
上为减函数，则
，即函数的值域为
，
错误；
对选项C：函数的定义域为
，函数的
，
值域不连续，错误；
对选项D：
，函数的值域为
.
故选：D
6．（2023·重庆·模拟预测）（多选题）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的定义域为
B．
在
上的值域为
C．若
在
上单调递减，则
D．若
，则
在定义域上单调递增
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据解析式直接判断函数的单调性、具体函数的定义域、复杂
（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】求得
的定义域判断选项A；求得
在
上的值域判断选项B；求得a 的取值范围判断
选项C；求得
时
的单调性判断选项D.
【详解】选项A：由
得
，则
的定义域为
.判断正确；
选项B：
，
由
，可得
，则
，
当
时，
，则
在
上的值域为
；
当
时，
，
，
即
在
上的值域为
；
当
时，
，
，
即
在
上的值域为
.
综上，当
时，
在
上的值域为
；
当
时，
在
上的值域为
；
当
时，
在
上的值域为
.判断错误；
选项C：
，
若
在
上单调递减，则
，解之得
.判断正确；
选项D：
，
则
时，
在
和
上单调递增.判断错误.
故选：AC
7．（2023·上海静安·二模）已知函数
为偶函数，则函数
的值域为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求指数型复合函数的值域、基本（均值）不等式的应
用、由奇偶性求参数
【分析】利用偶函数的定义求出
，则
，设
，利用基本不等式，即可求
出结果．
【详解】
函数
（
）是偶函数，
，
，易得
，
设
，
则
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以
，
所以函数
的值域为
．
故答案为：
．
8．（2024·辽宁·模拟预测）函数
的值域是
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】该函数的值域为
,
，从而函数
和
轴存在公共点，从而判别式
，解该
不等式即可得出实数
的取值范围．
【详解】根据题意知，函数
可以取到0；
函数
和
轴有交点；
；
解得
，或
；
实数
的取值范围为：
．
故答案为：
．
9．（2023·河北·三模）函数
的值域是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、斜率公式的应用、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】函数
的几何意义是在直角坐标平面内定点
与动点
连线的斜率，由
此转化为直线与圆有交点的问题，即可求出答案.
【详解】函数
的几何意义是在直角坐标平面内定点
与动点
连线的斜率，
易知动点
在以
为圆心，1 为半径的圆除
以外的点上，
易知直线
的斜率存在，设为
，则直线
为
即
，
则
，解得
，即值域为
.
故答案为：
10．（2021·全国·模拟预测）函数
的值域为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域、根据解析式直接判断
函数的单调性
【分析】先求得函数的定义域和单调性，由此可求得函数的值域.
【详解】由已知得
，解得
，所以
的定义域为
，
且
时
与
都是减函数，所以
在
上是减函数，
，
所以
的值域为
.
故答案为：
.
重难点题型7 分段函数
1．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数
在R 上单调递增，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】判断指数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、研究对数函数的单调性
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为
在
上单调递增，且
时，
单调递增，
则需满足
，解得
，
即a 的范围是
.
故选：B.
2．（2024·陕西渭南·二模）已知函数
是
上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据分段函数的单调性求参数
【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得.
【详解】由
是
上的增函数，得
，解得
，
所以实数a 的取值范围是
.
故选：B
3．（2025·山东济南·一模）已知函数
则
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】解分段函数不等式、根据函数的单调性解不等式、判断指数函数的单调性、由函数奇偶性解不
等式
【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可.
【详解】当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
；
且当
时，
，
所以
为奇函数，
易知
为
上的递减函数，
则
，
所以原不等式的解集为
.
故选：A
4．（2024·江苏南通·一模）若函数
，在
上单调递增，则a 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据分段函数的单调性求参数、对数型复合函数的单调性
【分析】根据对数函数性质判断
上
的单调性和值域，结合其区间单调性及分式型函数的性
质，讨论参数确定参数范围.
【详解】当
时，
单调递增且值域为
，而
在
上单调递增，
则
在
上单调递增，且
，
当
时，
在
上单调递增，满足题设；
当
时，
在
上单调递增，此时只需
，即
；
综上，
.
故选：A
5．（2024·吉林长春·三模）已知函数
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值
【分析】根据分段函数解析式，代入求值即可.
【详解】由函数可得，
.
故选：B.
6．（2024·北京朝阳·二模）已知函数
，存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据分段函数的单调性求参数
【分析】根据分段函数的单调性求解即可.
【详解】当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，无最小值，
根据题意，
存在最小值，
所以
，即
.
故选：A.
7．（2024·安徽·三模）（多选题）已知函数
其中
，且
，则（ ）
A．
B．函数
有2 个零点
C．
D．
【答案】ACD
【知识点】求函数零点或方程根的个数、求分段函数解析式或求函数的值
【分析】先作出函数图象，结合图象逐一判定即可.
【详解】解：
，故A 正确；
作出函数
的图象如图所示，
观察可知，
，而
，
故
，
有3 个交点，
即函数
有3 个零点，故B 错误；
由对称性，
，而
，
故
，故C 正确；
b，c 是方程
的根，故
，
令
，则
，
故
，而
，
均为正数且在
上单调递增，
故
，故D 正确，
故选：ACD.
8．（2024·贵州遵义·一模）（多选题）已知函数
，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数
有且仅有一个零点
B．函数
是奇函数
C．
在
上单调递减
D．函数
的最小值为
【答案】CD
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求函数零点或方程根的个数、分段函数的单调性、分段函数的值域
或最值
【分析】求出函数零点判断A；由奇函数定义判断B；由分段函数的单调性判断C；求出最小值判断D.
【详解】函数
，
对于A，由
，得
或
，A 错误；
对于B，
，而
，
，函数
不是奇函数，B 错误；
对于C，函数
在
上单调递减，在
上单调递减，且
，
因此
在
上单调递减，C 正确；
对于D，当
时，
，当
时，
，当且仅当
时取等号，
因此函数
的最小值为
，D 正确.
故选：CD
9．（2024·辽宁沈阳·二模）已知函数
，则
．
【答案】
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、对数函数图象的应用、对数的运算性质的应用
【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可.
【详解】
，
，
，
故答案为：
10．（2023·上海青浦·一模）已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围为
．
【答案】
【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、根据值域求参数的值或者范围
【分析】先求解出
时
的值域，然后根据
分类讨论
时
的值域，由此确
定出
的取值范围.
【详解】当
时，
，此时
，
当
且
时，
，
此时
，且
，所以不满足；
当
且
时，
，
由对勾函数单调性可知
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，此时
，
若要满足
的值域为
，只需要
，解得
；
当
且
时，因为
均在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，且
时，
，
时，
，
所以此时
，此时显然能满足
的值域为
；
综上可知，
的取值范围是
，
故答案为：
.
11．（2024·江苏无锡·二模）已知函数
满足对任意的
，都有
成立，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值
【分析】运用分段函数单调性知识，结合一次函数和指数型函数单调性知识可解.
【详解】由题意，
为定义在
上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减，
所以
，解得
，则
.
故答案为：
.
12．（2023·北京·高考真题）设
，函数
，给出下列四个结论：
①
在区间
上单调递减；
②当
时，
存在最大值；
③设
，则
；
④设
．若
存在最小值，则a 的取值范围是
．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【知识点】函数图象的应用、直线与圆的位置关系求距离的最值、分段函数的性质及应用、求平面两点间
的距离
【分析】先分析
的图像，再逐一分析各结论；对于①，取
，结合图像即可判断；对于②，分段
讨论
的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知
的范围；对于④，取
，结合图像
可知此时
存在最小值，从而得以判断.
【详解】依题意，
，
当
时，
，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当
时，
，易知其图像是，圆心为
，半径为
的圆在
轴上方的图像（即半
圆）；
当
时，
，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取
，则
的图像如下，
显然，当
，即
时，
在
上单调递增，故①错误；
对于②，当
时，
当
时，
；
当
时，
显然取得最大值
；
当
时，
，
综上：
取得最大值
，故②正确；
对于③，易知当
时，在
，
且接近于
处，
的距离最小，
当
时，
，当
且接近于
处，
，
此时，
，
当
时，
且接近于
处，
的距离最小，
此时
；故③正确；
对于④，取
，则
的图像如下，
因为
，
结合图像可知，要使
取得最小值，则点
在
上，点
在
，
同时
的最小值为点
到
的距离减去半圆的半径
，
此时，因为
的斜率为，则
，故直线
的方程为
，
联立
，解得
，则
，
显然
在
上，满足
取得最小值，
即
也满足
存在最小值，故
的取值范围不仅仅是
，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得
的图像，特别是当
时，
的图
像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
13．（2022·浙江·高考真题）已知函数
则
；若当
时，
，则
的最大值是 ．
【答案】
/
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出
的最小值,
的最大值即可.
【详解】由已知
，
，
所以
，
当
时，由
可得
，所以
，
当
时，由
可得
，所以
，
等价于
，所以
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
，
.
