文档文本内容
专题2.2 函数的基本性质的灵活应用
（单调性、奇偶性、对称性、周期性）
重难点题型1 函数的单调性及其应用
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】判断指数型复合函数的单调性、对数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D 即可.
【详解】对于A，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故A 错误；
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
函数的单调性及其应用
重难点题型2
利用函数的单调性，求参数的范围
重难点题型3
函数的奇偶性及其应用
重难点题型4
利用函数的奇偶性，求参数的范围
重难点题型5
对称性与周期性
重难点题型6
类周期函数（值域倍增、值域倍减）
重难点题型7
抽象函数的单调性、奇偶性与周期性
重难点题型8
函数性质的综合应用
对于B，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故B 错误；
对于C，因为
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，因为
，
，
显然
在
上不单调，D 错误.
故选：C.
2．（2025·辽宁·三模）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系
【分析】利用导数先证明不等式
恒成立，然后再利用放缩法即可得到大小判断.
【详解】设
，则
，
所以
在
上单调递减，又
，则
，即
则
，即
．
设
，则
在
上单调递增，
又
．所以
，即
，
所以有
，
则
，即
，
综上，
．
故选：A．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．以上都不对
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】对数的运算、用导数判断或证明已知函数的单调性、判断零点所在的区间、比较函数值的大小
关系
【分析】利用求导判断单调性，再借助
，然后通过数形结合，即可作出判断.
【详解】求导得
，
当
时，
，所以
在区间
上单调递增，
当
时，
，所以
在区间
上单调递减，
根据
，
，
当
时，
，可作出图象：
所以当
时，
，
根据图象可知
，
，
所以恒有
，故B 正确，
由于
，
，所以
，故C 错误，
故选：B.
4．（2025·山西晋城·二模）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】对数的运算性质的应用、根据函数的单调性解不等式、抽象不等式
【分析】先根据指数对数的运算性质将
变形为
，再通过放缩得到不等式
，进而利用同构函数
，将不等式转化为
，再利用
的单调性解不等式即可.
【详解】由
，得
，
即
．
因为
，
，所以
，即
，
所以
，
且
．
因为函数
在
上单调递增，
又
，
所以
，
即
，
故
，
所以A 正确，B，C，D 错误．
故选：A．
5．（2025·安徽滁州·二模）已知函数
，若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系
【分析】令
，利用导数分析函数
的单调性，数形结合可得出
的单调性，可得
出
、、的大小关系，利用作差法可得出
与
的大小关系，由此可得出
、
、的大小关系.
【详解】令
，该函数的定义域为
，
，
由
可得
或
，由
可得
，
且当
时，
，当
时，
.
所以，函数
的单调递减区间为
、
，增区间为
，
作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，函数
的增区间为
、
，减区间为
，
因为
，则
，
因为
，即
，
接下来比较
与
的大小，
作差得
，
所以，
，因此，
.
故选：D.
6．（2025·安徽合肥·三模）已知
，若
，则
的范围为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】解正弦不等式、数与式、根据函数的单调性解不等式
【分析】由立方差公式结合题意可得
，据此可得x 范围，由此可得答案.
【详解】由题可得：
则
注意到
，
则
注意到
，
则
，
.
注意到
，则
.
则
或
，
则
或
，
则
，当
时，
；
当
时，
；
时，
.
综上可得：
的范围是
.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题关键是利用分解因式将
拆解为乘积形式，此外要注意
两者间的等量关系.
7．（2025·全国·一模）已知函数
，则
的解集为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用
【分析】根据导数判断出函数的单调性，根据解析式可判断函数为偶函数，从而可求不等式的解.
【详解】函数
的定义域为
，
，
当
时，
，得
，
在
上单调递减，
当
时，
，得
，
在
上单调递增，
又
，故
为
上的偶函数，
故
等价于
，
即
，两边平方解得
或
.
所以不等式解集为
，
故答案为：
8．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为
【答案】
【难度】0.4
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】构造函数
，先判断函数
的对称性，再将所求转化
，再利用导
数判断函数
的单调性，再根据单调性解不等式即可.
【详解】令
，
则
，
所以函数
关于
对称，
由
，得
，
即
，
因为函数
关于
对称，所以
，
则
，
，
因为
，
当且仅当
，即
时取等号，
又
，
所以
，
所以函数
在
上单调递增，
则
，即
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：构造函数
，根据函数的对称性将所求转化
，再利用
函数的单调性即可解答.
9．（2025·新疆·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为
.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】分段函数的性质及应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】分别判断分段函数的上段与下段的单调性，然后构造函数
，并算出
，再利用函数的单调性求出
即可得出结论.
【详解】设
，
均随着
的增大而增大，所以
在
为增函数，
，则
,所以
在
为增函数，
且当
分别代入
、
，可得
，
所以
在
上单调递增，
令
，则
在
上单调递增，
又
.
不等式
的解集为
.
故答案为：
.
10．（2024·湖南长沙·三模）已知函数
则不等式
的解集为
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式
【分析】由函数解析式可得
在
上单调递增，令
，不等式为变为
，利用单调性可得不等式的解集.
【详解】函数
在
上单调递增，
又
在
上单调递增，又
，
所以
在
上单调递增.
设
，可得
在
上单调递增.
又
，所以原不等式可化为
，
所以原不等式的解集为
.
故答案为：
.
重难点题型2 利用函数的单调性，求参数的范围
1．（2025·河北保定·二模）若函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据函数的单调性求参数值
【分析】根据指数函数
的单调性可知
.对
的取值范围进行分类讨论去绝对值，结合指数函
数的单调性即可求解.
【详解】当
时，根据指数函数
在
上单调递增，可知
.
当
时，
，所以
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上不单调；
当
时，
，所以
，
在
上单调递减.
综上，
.
故选：C.
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性求参数值、由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数、根
据分段函数的单调性求参数
【分析】
的部分利用导数转换成不等式恒成立问题；
的部分利用二次函数的性质即可判定；分
段点处也要满足递减的性质，然后取交集即可得出答案.
【详解】因为函数
在
上单调递减，
所以当
时，
恒成立，则
；
当
时，由
在
上递减，
若
，
，合题意，
若
，则
，故
;
又分段点处也要满足递减的性质，所以
，解得
.
综上所述，
，
故选：C．
3．（2025·广东茂名·一模）已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】根据函数的单调性求参数值、复合函数的单调性、具体函数的定义域
【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】由
，可得
或
，
即函数
的定义域为
，
又因为
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增，
由复合函数的单调性可知
在区间
上单调递增，
.
故选：D.
4．（24-25 高一上·浙江杭州·期中）已知
的值域为
，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性求参数值、分段函数的值域或最值
【分析】分别讨论
，
，
时，由分段函数的定义域，可求出其值域范围，根据集合的子集
解不等式即可求解.
【详解】当
时，由指数函数的单调性得到
取值范围为
，此时
不成立，
故舍去；
当
时，
，若
时，
，
若
时 ，
，当且仅当
时，等号成立；
此时
当
时，若
时，
单调递减，所以
，
若
时 ，
，当且仅当
时，等号成立；
即
解之可得
，
综上可知
.
故选：D
5．（2024·江苏无锡·二模）已知函数
满足对任意的
，都有
成立，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值
【分析】运用分段函数单调性知识，结合一次函数和指数型函数单调性知识可解.
【详解】由题意，
为定义在
上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减，
所以
，解得
，则
.
故答案为：
.
6．（2022 高三·全国·专题练习）函数
在
上是减函数，则实数
的范围是 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据函数的单调性求参数值
【分析】转化原函数为
，利用反比例函数的单调性结合定义域，即得解
【详解】函数
，定义域为
，
又
，
因为函数
在
上是减函数，所以只需
在
上是减函数，
因此
，解得
.
故答案为：
7．（2021·上海浦东新·三模）函数
在
上单调递增，则实数a 的取值范围是
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据函数的单调性求参数值
【分析】根据二次函数的单调性确定对称轴与区间的关系，同时注意分母不为0 需满足
上符号一
致.
【详解】
在
上单调递增，
在
单调递减，
则
，即
，
同时 需满足
，即
，
解得
，
综上可知
故答案为：
【点睛】关键点点睛：注意利用二次函数对称轴与所给区间的关系求解，同时需注意
时，
符号必须一致是解题的关键，属于中档题.
8．（2019·安徽·模拟预测）若函数
在区间
上是单调函数，则实数a 的取值范
围是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据函数的单调性求参数值
【分析】当
时，得到一次函数满足题意；当
时，根据二次函数单调性可确定对称轴与区间的位
置关系，从而构造不等式求得结果.
【详解】①当
时，
在
上是单调递增函数，满足题意
②当
时，
的对称轴为：
若
在
上是单调函数，则
或
，解得：
综上所述：
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据函数的单调区间求解参数范围的问题，易错点是忽略二次项是否为零的讨论，造成
求解错误.
重难点题型3 函数的奇偶性及其应用
1．（2025·江西·二模）已知函数
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、指数幂的运算
【分析】根据奇函数性质判断选项
【详解】根据
得
可得
，故
为奇函数
故选：A
2．（2025·天津南开·二模）函数
的部分图象大致为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】由奇偶函数的定义可排除BC，再由特值法可排除A.
【详解】
的定义域为
，
则
，
所以
为奇函数，故排除BC，
令
，则
或
，
则
或
，解得：
或
，
所以当
时，
的最小
为1，
则
，故A 错误，D 正确.
故选：D.
3．（2025·上海松江·二模）下列函数中，在区间
上为严格增函数的奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项验证.
【详解】对于A，
是偶函数，不符合奇函数要求，故A 错误；
对于B，
既不是奇函数也不是偶函数，故B 错误；
对于C，
是非奇非偶函数，故C 错误；
对于D，
，其定义域为
关于原点对称，且
，是奇函数，
同时在
上
是严格增函数，故D 正确.
故选：D.
4．（2025·天津·二模）下列函数是奇函数，且在区间
上单调递增的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域、根据
解析式直接判断函数的单调性
【分析】利用奇函数的定义排除AC；利用单调性排除D 即可.
【详解】对于A，函数
的定义域为R，
，
是偶函数，A 不是；
对于B，函数
的定义域为R，
，
是奇函数，
函数
都是R 上的增函数，因此函数
在
上单调递增，B 是；
对于C，函数
的定义域为
，
不是奇函数，C 不是；
对于D，函数
在
上单调递减，在
上不单调，D 不是.
故选：B
5．（2025·天津河东·二模）如图所示，图象对应的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】函数图象关于
轴对称，排除A ，C，由
排除B，利用排除法即可.
【详解】函数图像关于
轴对称，则函数是偶函数，
对于A，
,
,
,
即函数
是奇函数，故A 错，
对于B，
，
，
，
是偶函数，
当
时，
，故B 错，
对于C ，
，
，
，
是奇函数，故C 错，
对于D，
，
，
，
是偶函数，
，符合题意，故D 正确.
故选：D
6．（2025·河北·三模）下列函数是奇函数且在
上单调递增的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、根据解析式
直接判断函数的单调性
【分析】对于A，利用奇偶函数的判断方法及幂函数的性质，即可求解；对于B，利用奇偶函数的判断方
法及二次函数的性质，即可求解；对于C，利用奇偶函数的判断方法及复合函数的单调性，即可求解；对
于D，利用奇偶函数的判断方法，得
是偶函数，即可求解.
【详解】对于选项A，易知
的定义域为
，关于原点对称，
又函数
，所以
是奇函数，但在
上单调递减，故选项A 不正确；
对于选项B，函数
的定义域为
，关于原点对称，又
，
所以
奇函数，当
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，故选项B 不正确，
对于选项C，
，因为
，所以
的定义域为
，
又
，所以
是奇函数，
又
在
上单调递增，
在定义域上单调递增，
所以
在
上单调递增，故选项C 正确，
对于选项D，函数
的定义域为
，且
，
所以
是偶函数，故选项D 不正确，
故选：C.
7．（2025·甘肃金昌·二模）如图，这是函数
的部分图象，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】结合图象的对称性，及具体点函数值符号，逐个判断即可.
【详解】由图可知，函数图象关于
轴对称，因此
为偶函数，
对于B，
的定义域为
，且
，奇函数；
对于D，
的定义域为
，
，奇函数；
因此排除选项B，D 这两个奇函数；
由图象知，若
取一个很小的正数，比如
，
对于A：
，函数值为正数，因此排除A.
对于C:
的定义域为
，
，
，综上只有C 符合，
故选：C.
8．（2025·江西·二模）已知函数
，若关于
的不等式
恒成立，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数不等式恒成立问题、判断指数函数的单调性
【分析】首先判断
的单调性与奇偶性，依题意可得
对于任意
恒成立，再分
，
两种情况讨论，当
时参变分离可得
，利用基本不等式求出
的最小值，即可
得解.
【详解】因为
，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
又
，所以
为奇函数，
由
恒成立，即
恒成立，
所以
对于任意
恒成立，
当
时
；
当
时
，
又
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
，所以
；
综上可得实数
的取值范围为
.
故选：A
9．（2025·辽宁·模拟预测）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、指数幂的运算
【分析】根据函数解析式化简，应用奇函数定义及特殊值法分别判断各个选项.
【详解】由
，可得
的定义域为
，
且
，所以
为奇函数，图象关于原点对称，排除B 项；
，排除C 项；
当
时，
，排除A 项.
故选：D.
10．（2025·四川雅安·二模）下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由正切（型）函数的奇偶性求参数
【分析】根据奇函数的定义，逐一判断即可确定答案.
【详解】对于A，令
，
，而
，
则
，
，所以
是非奇非偶函数，故A 错误；
对于B，令
，
，又
，
所以
是偶函数，故B 错误；
对于C，令
，
，又
，
所以
是奇函数，故C 正确；
对于D，因为
的定义域为
，所以
是非奇非偶函数，故D 错误.
故选：C.
11．（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、求余弦（型）函数的奇偶性、根据解析
式直接判断函数的单调性
【分析】利用奇偶性定义，结合指对数函数的性质及复合函数的单调性判断各项对应函数是否满足题设，
即可得答案.
【详解】A：
，定义域为R，
是偶函数，不符；
B：
，定义域为
，
是奇函数，
根据复合函数的单调性，易知
在
上单调递减，不符；
C：
，定义域为R，
是偶函数，不符；
D：
，定义域为R，
是奇函数，
根据复合函数的单调性，易知
在R 上单调递增，符合.
故选：D
12．（24-25 高三下·甘肃白银·阶段练习）若函数
，则不等式
的解
集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式、由对
数函数的单调性解不等式
【分析】利用函数的奇偶性和单调性来求解不等式即可.
【详解】因为
，
所以
，又因为定义域为
关于原点对称，
所以
是奇函数，
由于
，
可知函数
在定义域
上单调递减，
所以
即
，即
，
则
，该不等式组无解，所以解集为
.
故选：D.
13．（24-25 高三下·安徽·阶段练习）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断
【分析】由奇函数的定义组个判断各个选项即可得到答案.
【详解】A 选项，函数定义域为
，
，函数
不是奇函数，A 选项错误；
B 选项，函数定义域为
，
，函数
不是奇函数，B 选项错误；
A 选项，函数定义域为
，
，函数
是奇函数，C 选项正
确；
D 选项，函数定义域为
，不关于原点对称，函数
不是奇函数，D 选项错误.
故选：C.
14．（2025·海南海口·模拟预测）（多选题）下列函数是奇函数且为增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性、
用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】利用函数奇偶性的定义、基本初等函数的单调性以及导数法逐项判断即可.
【详解】对于A 选项，函数
是定义域为
上的奇函数，且为增函数，A 满足条件；
对于B 选项，设
，该函数的定义域为
，
，故函数
为偶函数，B 不满足条件；
对于C 选项，设
，该函数的定义域为
，
，故函数
为奇函数，
对任意的
恒成立，
所以，函数
在
上为增函数，C 满足条件；
对于D 选项，函数
为奇函数，且该函数在定义域
上不单调，D 不满足条件.
故选：AC.
15．（2024·上海·三模）已知函数
，若
，
，且
，则
的最小值是
【答案】8
【难度】0.65
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调
性、基本不等式求和的最小值
【分析】由函数奇偶性的定义可知
为奇函数，根据单调性可知
，然后结合基本不等式即可
求解.
【详解】函数
的定义域为
，且
，
所以
为奇函数，又
，所以函数单调递增，
又
，所以
，
所以
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
，
，等号成立，
所以
的最小值为.
故答案为：.
16．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知
，
．下列结论中可能成立的有 ．
①
；
②
；
③
是奇函数；
④对
，
．
【答案】①③④
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式
【分析】根据题意，由指数的运算即可判断①②，由函数奇偶性的定义即可判断③，利用导数判断函数的
单调性，即可判断④.
【详解】因为
，故①正确；
因为
，故②错误；
因为
，
定义域为
，关于原点对称，
则
，
所以
，
所以
是奇函数，故③正确；
令
，其中
，
则
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
所以
，即函数
在
上单调递增，
所以
，即
，
又
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
所以
时，
，则函数
在
上单调递增，
所以对
，
，故④正确；
故答案为：①③④
17．（2023·云南·二模）
，其最大值和最小值的和为 ．
【答案】0
【难度】0.94
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数的运算性质的应用、指数幂的运算
【分析】证明函数是奇函数即得解.
【详解】由题得函数的定义域为
，关于原点对称.
所以
是奇函数，故其最大值和最小值的和为0．
故答案为：0
18．（2022·北京海淀·三模）已知函数
，给出下列四个结论：
①
是偶函数；
②
有4 个零点；
③
的最小值为
；
④
的解集为
.
其中，所有正确结论的序号为 .
【答案】①②④
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求函数的零点、函数图象的应用、解正弦不等式
【分析】对于①：利用函数的奇偶性的定义直接判断；
对于②：令
，直接解得；
对于③：利用图像法直接判断；
对于④：直接解不等式
即可判断.
【详解】对于①：因为函数的定义域为
，且
，所以
是
偶函数.故①正确；
对于②：在
，令
，解得：
，
，
，
.所以
有4
个零点.故②正确；
对于③：因为
是偶函数，所以只需研究
的情况. 如图示，作出
（
）和
的图像如图所示：
在
上，有
，所以
，即
的最小值大于
.故③错误；
对于④：当
时，
可化为：
当
时，
，解得：
；
当
时，
，解得：
；
综上所述：
的解集为
.故④正确.
故答案为：①②④
【点睛】（1）函数奇偶性的判断，通常用定义法；
（2）解三角不等式（方程），利用三角函数的单调性和特殊角的三角函数值.
重难点题型4 利用函数的奇偶性，求参数的范围
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】指数幂的化简、求值、由奇偶性求参数
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为
为偶函数，则
，
又因为
不恒为0，可得
，即
，
则
，即
，解得
.
故选：D.
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若
为偶函数，则
（ ）．
A．
B．0
C．
D．1
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出
值，再检验即可.
【详解】因为
为偶函数，则
，解得
，
当
时，
，
，解得
或
，
则其定义域为
或
，关于原点对称.
，
故此时
为偶函数.
故选：B.
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】由题意可得
为偶函数，则
恒成立，从而可求出
的值.
【详解】因为
为偶函数，
为偶函数，
所以
为偶函数，
所以
恒成立，
所以
恒成立，所以
.
故选：A.
4．（2025·全国·模拟预测）若函数
是奇函数，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求对数型复合函数的定义域、由奇偶性求参数
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称即可求解
.
【详解】
，需满足
或
，
由于
为奇函数，故定义域关于原点对称，故
，解得
，
当
时，
，
满足
是奇函数，故
，
故选:C
5．（2025·四川自贡·二模）若
是偶函数，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】指数幂的运算、对数的运算、由奇偶性求参数
【分析】根据偶函数定义，列式运算得解.
【详解】由题，可得
，即
，
，
，即
因
不恒为0，故
.
故选：B.
6．（2025·陕西宝鸡·二模）若函数
为奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．8
D．16
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得
，再根据
可得
，进而可得
.
【详解】由奇函数性质可得，
的定义域关于原点对称，
又定义域为
，即
且
，
，故
，解得
.
又
，故
，
此时
为奇函数，故
.
故选：D
7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数
为奇函数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】由奇函数的定义可得
，结合对数的运算性质计算即可求解.
【详解】因为
为R 上的奇函数，所以
，
即
，
整理得
，解得
.
故选：C
8．（2022·江苏连云港·二模）若函数
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求指数型复合函数的定义域、由奇偶性求参数
【分析】由题意可得
，化简整理即可求得m 的值．
【详解】函数
的定义域为
，由
是偶函数，得
，
即
，整理得
，所以
.
故选：A
9．（2023·全国甲卷·高考真题）若
为偶函数，则
．
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、由奇偶性求参数
【分析】利用偶函数的性质得到
，从而求得
，再检验即可得解.
【详解】因为
为偶函数，定义域为
，
所以
，即
，
则
，故
，
此时
，
所以
，
又定义域为
，故
为偶函数，
所以
.
故答案为：2.
10．（2022·全国乙卷·高考真题）若
是奇函数，则
，
．
【答案】
；
．
【难度】0.85
【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若
，则
的定义域为
，不关于原点对称
若奇函数的
有意义，则
且
且
，
函数
为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得
，
由
得，
，
，
故答案为：
；
．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数
为奇函数
[方法三]：
因为函数
为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由
可得，
，所以
，解得：
，即函数的定义域为
，再由
可得，
．即
，在定义
域内满足
，符合题意．
故答案为：
；
．
11．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数
是偶函数，则
.
【答案】1
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】利用偶函数的定义可求参数
的值.
【详解】因为
，故
，
因为
为偶函数，故
，
时
，整理得到
，
故
，
故答案为：1
12．（2025·吉林·模拟预测）若函数
是定义域为
的偶函数，则
.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】整理可得
，根据偶函数性质列式求解即可得结果.
【详解】因为
，
可知
均为偶函数，
为奇函数，
若函数
是定义域为
的偶函数，
则
，可得
，所以
.
故答案为：
.
13．（2025·湖南长沙·一模）已知
为奇函数，则实数a 的值是 ．
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】求对数函数的定义域、由奇偶性求参数
【分析】由奇函数的定义域关于原点对称得出
，再检验即可求解．
【详解】由题意知
，得
，
令
，解得
或
，
又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称，
所以
，解得
，即
，
令
，其定义域为
，
，满足题意，
故答案为：4．
14．（2025·山东济宁·一模）已知函数
是奇函数，则实数
．
【答案】1
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】根据奇函数性质
求实数
的值，并根据奇函数的定义求解.
【详解】因为
，可知函数
的定义域为
，
且函数
是奇函数，则
，
解得
，则
，
又因为
，
即
，可知函数
是奇函数，
所以
符合题意.
故答案为：1.
15．（23-24 高二下·云南曲靖·阶段练习）已知函数
为奇函数，则
的值为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求对数型复合函数的定义域、由奇偶性求参数
【分析】求出函数
的定义域，再由奇函数的性质求出
并验证即得.
【详解】函数
中，
，方程
的根为
，
由函数
是奇函数，得
，解得
，此时
的定义域为
，
，即函数
为奇函数，
所以
的值为
.
故答案为：
16．（2024·四川内江·三模）若函数
是奇函数，则
.
【答案】
【难度】0.94
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】利用奇函数定义，结合分段函数分段探讨求解即得.
【详解】函数
是奇函数，
，
当
时，
，
，
而当
时，
，则
，
当
时，
，
，
而当
时，
，则
，
所以
，
.
故答案为：
重难点题型5 对称性与周期性
1．（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R 的奇函数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
的最小正周期为2
D．
是曲线
的一条对称轴
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用
【分析】根据奇函数的性质以及所给等式变形，结合对称性和周期性定义，赋值计算，对各选项逐一进行
分析判断.
【详解】对于A 选项，已知
是定义域为
的奇函数，则
.
令
，代入
可得：
，将
代入得
，即
，所
以A 选项错误.
对于B 选项，因为
是奇函数，则
.
由
可得
.
用
代替
可得
，又因为
，所以
，即
.
那么
.
同理
.
.
.
令
，则
，所以B 选项正确.
对于C 选项，由
可知
，所以
的最小正周期不是
，C 选项错误.
对于D 选项，由
，得
不是曲线
的对称轴，D 选项错误.
故选：B.
2．（2025·辽宁·三模）已知定义在R 上的函数
满足
为奇函数，且
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值、函数对称性的应用
【分析】通过已知条件推导出函数的对称中心、对称轴，进而得出函数的周期，再利用周期的性质计算给
定求和式的值.
【详解】由
为奇函数，得
，
所以
图象的对称中心为
，令
由
的图象关于直线
对称，得
，
由
得
，所以
，
则
的一个周期为4，则
则
．
故选：B.
3．（2025·湖北十堰·三模）已知定义在
上的奇函数
满足
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解、由抽象函数的周期性求函数值
【分析】根据题意结合奇函数的定义可得2 为
的一个周期，进而可得结果.
【详解】因为
为定义在
上的奇函数，则
，
又因为
，则
，
可得
，可知2 为
的一个周期，
所以
.
故选：B.
4．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，则
（ ）
A．5
B．
C．2
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】判断证明抽象函数的周期性、由函数的周期性求函数值
【分析】利用赋值法，整理等式可得函数周期性，利用周期性，可得答案.
【详解】由题意得
，用
代替x，得
.
两式相加，得
，所以
，所以函数
是以6 为周期的周期函数.
因为
，所以
，又因为
，所以
.
又因为
，即
，解得
，
所以
.
故选：D.
5．（2025·山西晋中·三模）已知定义在
上的奇函数
满足
，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、特殊角的三角函数值、由函数的周期性求函数值
【分析】由题可得
，进而得
的周期为4，然后结合条件可得
.
【详解】定义在
上的奇函数
满足
，
则
，于是
，
即
的周期为4，则
．
故选：C.
6．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知
为定义在
上的奇函数，且
也为奇函数，若
，
则
的值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】根据双对称关系求周期，然后即可得解.
【详解】因为
为奇函数，所以
，
用
代替
得
，
又
为定义在
上的奇函数，所以
，
所以
，
是以4 为周期的周期函数，
因为
，所以
.
故选：D
7．（2025·河北石家庄·三模）（多选题）已知函数
是定义在R 上的偶函数，
是定义在R 上的
奇函数，则（ ）
A．
的图象关于点
中心对称
B．
是周期为2 的函数
C．
D．
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值、函数对称性的应用
【分析】利用抽象函数的对称性、奇偶性、周期性一一判定选项即可.
【详解】对于A，因为
是R 上的奇函数，其图象关于原点对称，
又
可看成是函数
向左平移1 个单位得到，所以
的图象关于点
中心对称，故
A 正确；
对于B，由
是R 上的奇函数，可得
，即
，
又
，则
，所以
，故
是周期为4 的函数，故
B 错误；
对于 C，由
，令
，得
，则
，
，故C 正确；
对于D，由
，则
，又
，
是周期为4 的函数，
则
，
而
的值无法确定，故D 错误.
故选：AC.
8．（2025·广西北海·模拟预测）（多选题）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数，当
时，
．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象关于直线
对称
D．函数
有5 个零点
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、求函数零点或方程根的个数、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用
【分析】A 先由条件得出
，
即可得出
的一个周期为4，再结合
题中给出的解析式以及周期性即可求解；B 先证明
是偶函数，再结合周期性以及
在
上的单
调性即可；C 利用偶函数以及周期性可得；D 画出
与
的图象，判断两个图象的交点个数
即可.
【详解】
为奇函数，故
，即
①，
又
为偶函数，故
②，
则由①②可得，
，
则
，则
的一个周期为4，
在①中令
有
，
又当
时，
，则
，则
，
所以
，
故A 正确；
由②可得，
，则
，
即函数
是定义在
上的偶函数，
因
时，
，则
是
上的增函数，
则
是
上的减函数，
因是
的一个周期，则
是
上的减函数，故B 错误；
因为函数
是定义在
上的偶函数，所以
，
所以
的图象关于直线
对称，故C 正确；
函数
的零点个数可以转化为
与
图象的交点个数，
由题意得
与
的图象如下：
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
结合图象可知，函数
在
上存在1 个零点，
当
时，
，
当
时，
，
由此可得
与
的图象有5 个交点，
所以
有5 个零点，故D 正确．
故选：ACD．
9．（2025·宁夏银川·二模）（多选题）已知
是
上的奇函数，
是
上的偶函数，且当
时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
最小正周期为
B．
C．
D．
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】函数的周期性的定义与求解、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用
【分析】利用函数奇偶性的定义推导出
，进一步可推导出
，结合函数
周期性的定义可判断A 选项；利用函数解析式以及函数周期性可判断BCD 选项.
【详解】因为
是偶函数， 所以
，
又因为
是奇函数，所以
，所以
，
所以
，
所以
，所以
的周期为，故A 错误；
又当
时，
，
所以
，选项B 正确；
，选项C 正确；
，选项D 正确.
故选：BCD.
10．（2025·云南曲靖·二模）已知函数
满足
，且当
时，
，则
的值为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求函数值、由函数的周期性求函数值、对数的运算
【分析】根据已知得出函数的周期为4，进而得出
，然后根据解析式求出
即可得出答
案.
【详解】由已知
可知，函数
为周期函数，且周期为4.
所以，
.
又当
时，
，
所以，
，
.
故答案为：
.
11．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
，当
时，
设
，则
.
【答案】0
【难度】0.85
【知识点】由函数的周期性求函数值、求分段函数解析式或求函数的值、函数奇偶性的应用
【分析】利用
的奇偶性和周期性求得
，即可得解.
【详解】由题知，
是奇函数且是周期为4 的周期函数，
又当
时，
则
，
故
.
故答案为：0
12．（2024·贵州贵阳·二模）函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数，则
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】结合函数的对称性可得函数的周期性，再由奇函数的性质可得
，即可得解.
【详解】由
为奇函数，
为偶函数，
则有
，
，
故
，
即
，
即有
，
故函数
周期为
，故
，
由
，则有
，即
，
故
.
故答案为：
.
重难点题型6 类周期函数（值域倍增与值域倍减）
1．已知定义在
上的函数
，满足
，当
时，
，若方程
在区间
内有实数解，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】分别求出
，
，
的解析式，画出
的图象，由图象即可求解.
【详解】当
时，则
，
所以
，即
，
当
时，则
，
所以
，即
，
则
，
当
时，则
，
所以
，即
，
画出
的图象如下：
由图象可知，当
时，方程
在区间
内有实数解，
所以实数
的取值范围为
2．（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）定义在
上函数
满足
，且当
时，
．若对任意
，都有
，则
的取值范围是___________．
【答案】
【分析】由
，根据
，即
，依此类推，作出函数
的图象求解．
【详解】因为当
，
时，
，
所以
，
因为
，
当
，
时，即
时，
所以
，即
，
当
，
，即
，
时，
，
当
，
，即
，
时，
，
所以
，
依此类推，作出函数
的图象，如图所示：
由图象知：
，
,当
时，
，
当
时,
因为对任意
，
，都有
，
则
，解得：
，
故答案为：
3．已知定义在R 上的函数
满足
，当
时，
．若对任意
，都有
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得当
时，
，
且
，令
，解得
或
，结合图像即可得到结果.
【详解】由
得
，
因为当
时，
，所以
；
当
时，
，
；
当
时，
，
；
且
，如图令
，得
或
；
若对任意
，都有
，结合图像则
的取值范围是
.
故选：B.
4．（2021·全国高一专题练习）设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
．若对任意
，都有
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据题设条件可得当
时，
，其中
，结合函数在
上的解析式和函数在
的图象可求
的取值范围.
【详解】
当
时，
，故
，
因为
，
故当
时，
，
，
同理，当
时，
，
依次类推，可得当
时，
，其中
.
所以当
时，必有
.
如图所示，因为当
时，
的取值范围为
，
故若对任意
，都有
，则
，
令
，
或
，
结合函数的图象可得
，
故选：D.
【点睛】
思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的
性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.
5．定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，当
时，
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得在区间
上，可得
，作出函数的图象，
结合图象，即可求解.
【详解】由函数
满足
，且当
时，
当
时，可得
；
当
时，可得
，
所以在区间
上，可得
，
作函数
的图象，如图所示，
所以当
时，
，
故选：B.
6．（2020·江苏泰州市·泰州中学高三月考）设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
.若对任意
，都有
，则
的取值范围是______.
【答案】
【分析】
可结合图像大致特点，当函数区间由
右移，函数值逐渐减小，当函数区间由
左移，函数
值逐渐增大，则确定
应是比2 大的一个值，再由
可推出通式
，令
可解得
，再由图像可确定
的临界值应为
，即可求解
【详解】
由题可知
，
则可得一般规律：
，可画出大致函数图像，如图：
由图可知，当
时，
，则
，
，
此时
，由图像可知，要对任意
，都有
，则
的最大值只能取
，故
故答案为：
【点睛】
本题考查由函数的递推式找出一般函数图像规律，数形结合思想，属于难题
7．设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
．若对任意
，都有
，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】作出图示，求出当
时，函数的解析式，求出
成立的x 的值，运用数形结合的思
想可得选项．
【详解】解：
时，
，
，
，即
右移1 个单位，图
像变为原来的2 倍．
如图所示：当
时，
，令
，解得
，
所以要使对任意
，都有
，则
，
，
故选：B．
【点睛】
易错点睛：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2 倍，导致题目出错，需加深
对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
8．（2021·陕西·长安一中高二期中（文））设函数
的定义域为R，满足
，且当
时，
.若对任意
，都有
，则m 的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题先求出
的分段函数表达式，分析图象变化规律，确定
范围，代入给定区间表达式
即可求出.
【详解】当
时，
，又
，故当
时，
，
，即
，令
，
则
，同理，当
时，
，
令
，则
，整理得
，
当
时，
，画出大致图象，函数类似于周期函数，每向右移一个单位，函数最小值变为上一
个最小值2 倍，由图可知，要使对任意
，都有
，
，令
，解得
或
（舍去），故m 的最大值是
.
故选：D
9．（2021·陕西·长安一中高二期中（文））设函数
的定义域为R，满足
，且当
时，
.若对任意
，都有
，则m 的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题先求出
的分段函数表达式，分析图象变化规律，确定
范围，代入给定区间表达式
即可求出.
【详解】当
时，
，又
，故当
时，
，
，即
，令
，
则
，同理，当
时，
，
令
，则
，整理得
，
当
时，
，画出大致图象，函数类似于周期函数，每向右移一个单位，函数最小值变为上一
个最小值2 倍，由图可知，要使对任意
，都有
，
，令
，解得
或
（舍去），故m 的最大值是
.
故选：D
10．（2019·新疆·乌市八中高二阶段练习（理））已知定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则在区间
上满足
的实数x 的值为（ ）
A．6
B．5
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义求出
在
上的表达式，然后解方程可得．
【详解】∵
，∴
，
∴当
时，
，∴
，
∴
，
∴当
时，
，∴
，
由
得，
，
故选：B.
11．（2019·陕西汉中市·高三月考（文））定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则函数
在
上的零点个数为
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【分析】
由f（x+2）＝3f（x），得到函数在其他区间的解析式，作出函数的图象，将问题转化为直线
与函数
在
上的图象的交点的个数，即可求出零点个数．
【详解】
设
，则
.因为
时，
，所以
.因为
，所以当
时，
同理可得当
时，
；
当
时，
，此时最大值为x=-3 时，f(x)=
,
因为函数
在
上的零点个数等价于直线
与函数
在
上的图象的交点
的个数，
结合
的图象（如图），
直线
与函数
在
上的图象有7 个交点，即函数
在
上有7 个零点.
故选C.
【点睛】
本题主要考查函数零点的个数及函数解析式的求解方法，考查了数形结合思想，利用f（x+2）＝3f（x）求
解解析式是解决本题的关键．
12．（2020·全国高三专题练习（理））定义域为
的函数
满足
，当
时，
，若
时，
恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】
由分段函数根据单调性求得
在
的最小值，根据
求出
，
的最
小值，将问题转化为
解不等式即可得出结果.
【详解】
根据已知，当
时，
，
则当
时，
在
处取到最小值
，
当
时，
在
处取到最小值
，
所以
在
时在
处取到最小值
,
又因为
，
可知当
时，
在
时取到最小值，且
，则
.
为使当时
，
恒成立，需
，
当
时，可整理为
，解得
；
当
时，可整理为
，解得
.
综上，实数的取值范围是
故答案为：
【点睛】
本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键，属于
难题.
13．（2020·江苏）已知定义在
上的函数
满足：
，且当
时，
.
若对任意的
，
恒成立，则实数
的最大值为___________.
【答案】
【分析】
直接利用关系式可得出当
时，
，结合题意可得
且
解出不等式即可求出结果.
【详解】
当
时，
，由
可得，
当
时，
；
当
时，
，…，
当
时，
，
因为
，
，且对任意的
，
恒成立，
所以
且
，解得
，
故实数
的最大值为
.
故答案为：
.
【点睛】
本题考查的知识要点：直接利用关系式的应用，定义域的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思
维能力，属于难题.
14．（2019·浙江高二期末）设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
.若对任意的
，都有
，则
的取值范围是________.
【答案】
【分析】
由
，得
，分段求解析式，结合图象可得m 的取值范围．
【详解】
解：
，
，
时，
，
时，
；
时，
；
时，
；
当
时，由
，解得
或
，
若对任意
，都有
，则
．
故答案为
．
【点睛】
本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，
属中档题．
重难点题型7 抽象函数的单调性、奇偶性与周期性
1．（2023·广东广州·一模）已知函数
的定义域为
，且
为偶函数，若
，则
（ ）
A．116
B．115
C．114
D．113
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数基本性质的综合应用、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用
【分析】由
可得函数
的周期为
，
再结合
为偶函数，可得
也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解.
【详解】由
，得
，
即
，
所以
，
所以函数
的周期为
，
又
为偶函数，
则
，
所以
，
所以函数
也为偶函数，
又
，
所以
，
，
所以
，
又
，即
，所以
，
又
，
，
，
所以
故选：
.
2．（2021·全国·模拟预测）已知定义在
的函数满足
，
，则下列结论正
确的是（ ）
A．
不是周期函数
B．
是奇函数
C．对任意
，恒有
为定值
D．对任意
，有
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】抽象函数的奇偶性、函数基本性质的综合应用、由函数的周期性求函数值
【分析】利用已知两个等式进行变形，由此可推出函数
为周期是4 的偶函数，从而可判断选项
，
再利用周期性可得
的值，即可判断
【详解】
，∴
，∴
∴
，∴
∴
，∴
是周期为4 的函数
∴
，∴
为偶函数
在
中，令
，有
故
是定值
当
时，
即为
，故D 不正确
故选：C
【点睛】本题考查了函数的周期性与对称性综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于
中档题
3．（24-25 高三上·福建漳州·阶段练习）（多选题）已知定义在
上的函数
不恒等于
，且
对任意的
，有
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
的图象关于点
中心对称
D．
是
的一个周期
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的定义与判断、函数周期性的应用、函数对称性的应用
【分析】利用赋值法令
根据表达式可判断A 正确，再根据偶函数定义可得B 正确；取
并根据
对称中心定义可得C 正确，由对称中心以及偶函数性质可判断
是
的一个周期，可得D 错误.
【详解】对于A,根据题意令
，则由
可得
，解得
，即A 正确；
对于B,令
可得
，所以
，
即可得对任意的
满足
，即
是偶函数，所以B 正确；
对于C,令
，则由
可得
，
即
满足
，因此可得
的图象关于点
中心对称，即C 正确；
对于D,由于
是偶函数，所以满足
，即
，
可得
，也即
，所以
是
的一个周期，即D 错误.
故选：ABC
4．（2024·河北保定·三模）（多选题）已知函数
在
上单调递增，且
对任意
恒成立，则
A．
B．
是奇函数（ ）
C．
是奇函数
D．
恒成立
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数基本性质的综合应用、求函数值、抽象函数的奇偶性
【分析】采用赋值法逐项分析，取
，可判断A；根据奇函数的概念结合条件可判断BC；取
，若
存在
，则
，可判断D.
【详解】取
，则
，又
单调递增，所以
不恒成立，所以
，即
A 正确；
取
，则
，所以
，即B 错误；
因为
，所以
，所以
，即C
正确；
取
，已知函数
在
上单调递增，则
，又
，
若存在
，则
，所以
，即D 正确.
故选：ACD.
5．（20-21 高一上·福建三明·期中）（多选题）已知函数
的定义域为
，对任意实数
满足
，且
，当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
为减函数
D．
为奇函数
【答案】AD
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数基本性质的综合应用、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】利用取特殊值方法求解选项A,B,利用抽象函数的关系式结合函数的单调性和奇偶性求解选项C,D.
【详解】对A，令
可得，
，解得
，A 正确；
对B，令
可得，
，
再令
可得，
，解得
，B 错误；
对C，因为
，
，所以
,C 错误；
对D，令
，则
，
所以
，即
，
所以函数
为奇函数，D 正确；
故选:AD.
6．（2021·江苏南通·模拟预测）（多选题）已知
为定义在
上的偶函数，当
时，有
，且当
时，
.给出下列命题，其中正确的命题的为（ ）
A．
B．函数
在定义域上是周期为2 的周期函数
C．直线
与函数
的图像有1 个交点
D．函数
的值域为
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】利用对数函数的性质综合解题、函数基本性质的综合应用
【分析】根据已知条件中函数是偶函数且
时，有
以及
时，
，
画出函数图象，逐一分析四个结论的真假，可得答案．
【详解】根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线
和函数
的图象如图所示，
根据图象可知选项A 中，
正确；
对于选项B，函数
在定义域上不是周期函数，所以B 不正确；
对于选项C，根据函数图象可知
与
的图象有个交点，所以C 正确；
对于选项D，根据图象，函数
的值域是
，所以D 正确.
故选：ACD.
7．（2024·陕西西安·二模）已知函数
满足
，
.则
.
【答案】
.
【难度】0.65
【知识点】等差数列前n 项和的基本量计算、函数基本性质的综合应用、求函数值
【分析】根据题意，取
，求得
，再令
，得到
，结合
，利用等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由函数
满足
，
取
，可得
，
令
，可得
，
即
则
.
故答案为：
.
8．（2022·四川乐山·一模）若函数
同时满足：（i）
为奇函数；（ii）定义域为
，值域为
；（iii）对任意
且
，总有
，则称函数
具有性质
.写出一个具有性质
的函数 .
【答案】
（答案不唯一）.
【难度】0.65
【知识点】简单复合函数的导数、函数基本性质的综合应用、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶
性的应用
【分析】根据（i）可知
是偶函数，根据（iii）结合函数单调性的定义可知
在
上单调递增，
写出一个符合性质（i）（ii）（iii）的函数即可.
【详解】由
可得
，
不妨设
，则
，可得
，
所以
在
上单调递增，
因为
为奇函数，所以
是偶函数，且
定义域为
，值域为
，
作函数
的图象如图所示：
图象关于
轴对称，
是偶函数，满足（i）
为奇函数；
满足（ii）定义域为
，值域为
；在
上单调递增，满足（iii），
所以
具有性质
，写出一个具有性质
的函数可以是
，
故答案为：
（答案不唯一）.
重难点题型8 函数性质的综合应用
1．（2023·四川绵阳·一模）若函数
的定义域为
，且
偶函数，
关于点
成中心
对称，则下列说法正确的个数为（ ）
①
的一个周期为2 ②
③
的一条对称轴为
④
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用
【分析】由题意，根据函数的对称性，可得
，
，且
，根
据函数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；根据函数的轴对称性的性质，
可判③的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根据函数的对称性，可得
，
，可判④的正误.
【详解】因为
偶函数，所以
，则
，即函数
关于直线
成轴对称，
因为函数
的图象是由函数
的图象向左平移个单位，所以函数
关于点
成中心对称，
则
，且
，
对于①，
，
，则函数
的周期
，故①错误；
对于②，
，故②正确；
对于③，
，故③正确；
对于④，
，则
，
，则
，
由
，则
，故
④正确.
故选：C.
2．（2024·安徽合肥·一模）已知函数
的定义域为
，且
，
记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】比较函数值的大小关系、函数基本性质的综合应用
【分析】根据函数
满足的表达式以及
，利用赋值法即可计算出
的大小.
【详解】由
可得，
令
，代入可得
，即
，
令
，代入可得
，即
，
令
，代入可得
，即
；
由
可得
，
显然可得
.
故选：A
【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函
数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解.
3．（22-23 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知定义在
上的函数
为增函数，且函数
的图象关于点
成中心对称，若实数
、
满足不等式
，则当
时，
的最大值为 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】求平方和型目标函数的最值、函数基本性质的综合应用、根据函数的单调性解不等式、奇偶函
数对称性的应用
【分析】推导出函数
为奇函数，且在
上为增函数，由
得出
，由此将问题转转化为在约束条件
下求
的最大值，
作出不等式组所表示的平面区域，将代数式
转化为点
到平面区域内的动点
的距
离的平方，数形结合可得出结果.
【详解】
函数
的图象关于点
成中心对称，则函数
的图象关于原点对称，所以，
函数
为奇函数，且该函数在
上为增函数，
由
，得
，
，
，则有
，
不等式组
所表示的平面区域如下图所示的
：
联立
，得
，可得点
，同理可得点
，
代数式
可视为点
到平面区域内的动点
的距离的平方，
由图象可知，当点
与点
或点
重合时，
取最大值
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查抽象函数单调性与奇偶性的应用，将问题转化为线性规划下非线性目标函数的最值问题
是解答的关键，考查化归与转化思想以及数形结合思想的应用，属于难题.
4．（2022·辽宁·三模）已知
，
，其中
，则下列判断正确的是
．（写出所有正确结论的序号）
①
关于点
成中心对称；
②
在
上单调递增；
③存在
，使
；
④若
有零点，则
；
⑤
的解集可能为
.
【答案】①③⑤
【难度】0.4
【知识点】函数零点的定义、函数基本性质的综合应用
【分析】对于①，根据函数
为奇函数并结合函数图象的平移可得正确．对于②，分析可得
当
时，函数
在
上单调递减，故不正确．对于③，由
，可得
，从而得
，可得结果成立．对于④，根据③中的函数的值域可得
时方程也有解．对于⑤，分析可得
当
时满足条件，由此可得⑤正确．
【详解】对于①，令
，则该函数的定义域为
，且函数为奇函数，故其图象关于原点
对称．又函数
的图象是由
的图象向上或向下平移
个单位而得到的，所以
函数
图象的对称中心为
，故①正确．
对于②，当
时，
，若
，则函数
在
上单调递减，所以函数
单调递增；函数
在
上单调递增，所以函数
单调递减．故②不正确．
对于③，令
，则当
时，
，
则
．
所以
，
令
，则
成立．故③正确．
对于④，若
有零点，则
，得
，从而得
，
故
，结合③可得当
有零点时，只需
即可，而
不一定为零．故④不正确．
对于⑤，由
，得
．取
，则
，整理得
．
当
时，方程
的两根为
或
．又函数
为奇函数，故方程的解集为
．故⑤正确．
综上可得①③⑤正确．
故答案为①③⑤
【点睛】本题考查函数性质的运用及命题真假的判定，解题时要结合函数的性质对函数的零点情况进行分
析，注意直接推理的应用，同时在判断命题的真假时还要注意举反例的方法的运用，难度较大．
