文档文本内容
第04 讲 一元二次函数（方程，不等式）
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................3
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）..........................................................................3
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）.............................................................................................6
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系.........................................................10
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题...............................................................................................12
角度1：
上恒成立（优选
法）..........................................................................................12
角度2：
上成立（优选
法）..............................................................................................13
角度3：
上恒成立（优选分离变量法）...............................................................................15
角度5：已知参数
，求
取值范围（优选变更主元法）.......................................................18
高频考点五：一元二次不等式的应用......................................................................................................20
第三部分：典型易错题型.................................................................................................................................23
第一部分：基础知识
1、二次函数
（1）形式：形如
的函数叫做二次函数.
（2）特点：
①函数
的图象与
轴交点的横坐标是方程
的实根.
②当
且
(
)时，恒有
(
)；当
且
(
)时，恒有
(
).
2、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式.
3.
或
型不等式的解集
不等式
解集
4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
二次函数
的图象
一元二次方程
的根
有两相异实数根
，
(
)
有两相等实数根
没有实数根
一元二次不等式
的解集
一元二次不等式
的解集
5、分式不等式解法
（1）
（2）
（3）
（4）
6、单绝对值不等式
（1）
（2）
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）解下列不等式（组）：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
【答案】(1)
或
(2)
或
(3)
(4)
(5)
或
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式
【详解】解：（1）方程
的两根为
，
．结合二次函数
的图象知，原
不等式的解集为
或
．
（2）原不等式可化为
，方程
的两根分别为
，
．结合二次函数
的图象知，原不等式的解集为
或
．
（3）原不等式为
，整理得
．解方程
，得
．
结合二次函数
的图象知，原不等式的解集为
．
（4）不等式
可化为
．因为方程
的两根为
，
．又二
次函数
的图象开口向上，所以不等式
的解集是
．
（5）原不等式等价于不等式组
不等式①可化为
，解得
或
．不等式
②可化为
，解得
．故原不等式的解集为
或
．
例题2．（24-25 高三下·湖北黄石·阶段练习）求下列不等式的解集
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)
(2)
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】（1）不等式化为
，分解因式法求解不等式.
（2）不等式化为
，转化为整式不等式求解．
【详解】（1）
化为
，即
，解得
或
，
所以不等式的解集为
.
（2）不等式
化为
，则
，
解得
或
，所以原不等式的解集是
．
方法总结
1．解不含参的一元二次不等式有以下3 种方法（先化为标准式）（优先推荐十字相乘法）．
（1）因式分解法：若不等式对应的一元二次方程能因式分解，则可以直接由一元二次方程的
根及不等号方向得到不等式的解集；
（2）配方法：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式
始终大于或等于零，不等式的解集易得；
（3）图象法：利用二次方程求根公式求不等式对应的一元二次方程的根（先用判别式判断根
的情况），然后结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集．
2．分式不等式的解法
（1）
；
（2）
且
．（特别注意不要忽略了分母不为0）
（3）另外
要先移项
，通分
再求解。
精练高频考点
1．（24-25 高三上·山西晋中·期中）解下列不等式：
(1)
；
(2)
(3)
【答案】(1)
或
；
(2)
；
(3)
.
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】（1）（2）利用一元二次不等式的解法求解.
（3）化分式不等式为不等式组，再利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】（1）不等式
化为：
，解得
或
，
所以原不等式的解集为
或
.
（2）不等式
化为：
，则
，
所以原不等式的解集为
.
（3）不等式
化为：
，解得
，
所以原不等式的解集为
.
2．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）（1）解不等式
；
（2）解不等式
．
【答案】（1）
；（2）
．
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】（1）利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集；
（2）利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集.
【详解】（1）原不等式即为
，即
，解得
或
，
故原不等式的解集为
；
（2）将不等式移项并通分，得到
，解得
，
因此原不等式的解集为
.
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）
典型例题
例题1．（2026 高三·全国·专题练习）若
，解关于
的不等式
.
【答案】答案见解析
【知识点】解含有参数的一元二次不等式
【分析】对二次式因式分解，即可求解方程的两个根，分类讨论两个根的大小即可求解.
【详解】移项得
，对应的方程
的两根为
和1，
当
时，
，解得
；
当
时，
，原不等式无解；
当
时，
，解得
.
综上所述，当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
.
例题2．（2024 高三·全国·专题练习）解关于
的不等式：
．
【答案】答案见解析
【知识点】解含有参数的一元二次不等式
【分析】根据解含参的一元二次不等式的解法计算即可.
【详解】将不等式
变形为
．
当
时，
原不等式的解集为
或
；
当
时，
原不等式的解集为
；
当
时，
原不等式的解集为
或
；
当
时，
原不等式的解集为
；
当
时，
原不等式的解集为
或
综上所述，当
或
时，原不等式的解集为
或
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
或
；
当
时，原不等式的解集为
．
精练高频考点
1．（23-24 高三上·北京·期中）已知关于
的不等式
的解集为
.
(1)求实数
，
的值；
(2)求关于
的不等式
的解集.
【答案】(1)
，
(2)答案见解析
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，结合韦达定理即可求解；
（2）根据（1）的结果，并不等式转化为
，因式分解后，讨论的取值，解不等式.
【详解】（1）由题意可知，
的根是1 和2，
所以
，解得：
，
；
（2）由（1）知，
，
，
所以不等式为
，即
，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
.
2．（24-25 高三上·江苏泰州·期中）已知函数
.
(1)求函数
的解析式；
(2)求关于
的不等式
的解集.（其中
）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】已知f（g（x））求解析式、解含有参数的一元二次不等式
【分析】（1）利用换元法求解；
（2）分类讨论求解一元二次不等式即可.
【详解】（1）由题意，函数
，令
，
，
所以
．
（2）不等式
，即
，
整理得
，即
，
当
时，
，∴不等式的解集为
或
；
当
时，
，∴不等式的解集为
；
当
时，
，∴不等式的解集为
或
．
3．（24-25 高三上·河南驻马店·阶段练习）已知函数
，二次函数
满足：
且
．
(1)求
的解析式；
(2)若
，解关于x 的不等式
．
【答案】(1)
(2)答案见详解
【知识点】已知函数类型求解析式、解含有参数的一元二次不等式
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）不等式可整理为
，根据
的符号以及和的大小关系分类讨论即可.
【详解】（1）设二次函数
，
所以
，
即
，故
，
解得
，所以
，
所以
，解得
，
所以
.
（2）因为
，
所以
，即
，
当
时，则不等式为
，解得
，此时解集为
；
当
，即
时，不等式的解集为
，
当
，即
时，不等式的解集为
，
当
，即
时，不等式的解集为
，
当
，即
时，不等式的解集为
或
，
综上所述，
时，不等式的解集为
，
时，解集为
；
时，不等式的解集为
或
，
时，不等式的解集为
，
时，不等式的解集为
.
4．（24-25 高三上·浙江丽水·期中）已知不等式
的解集为
．
(1)解不等式
；
(2)若
，当
时，解关于
的不等式
．
【答案】(1)
或
(2)
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参
数
【分析】（1）根据一元二次不等式的解与方程根之间的关系，可得
，即可由因式分解求解不等
式的解，
（2）利用因式分解即可求解.
【详解】（1）∵不等式
的解集为
，
∴
，且
，是方程
的两根，
则
，解得
，
则有
，所以
，解得
或
故不等式的解集为
或
（2）由（1）可知：
，
故不等式
，
即
，又
，∴不等式
，
方程
的两根为
，
，
又
，得
，
∴不等式解集为
．
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
典型例题
例题1．（23-24 高二下·吉林长春·期末）不等式
的解集为
，则不等式
的解
集为 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、一元二次不等式的实际应用、分式不等式
【分析】根据
的解集求出
的关系，再化简不等式
，求出它的解集即可．
【详解】解：因为
的解集为
，则
，且对应方程的根为-2 和4，
所以
，
，且
，
不等式
可化为
,则
，即
，
解得
或
．
故答案为
．
例题2．（23-24 高三下·湖南长沙·阶段练习）设
为常数，且
，若不等式
的解集是
，则不等式
的解集是 .
【答案】
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
【分析】把不等式
化为
，求得
或
，即可求得不等式的解
集.
【详解】因为 不等式
的解集是
，
所以不等式
的解是
或
，
又不等式
，可化为
，
可得
或
，即
或
，
所以不等式
的解集是
.
故答案为：
.
精练高频考点
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，若
的解集为
，则下
列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
必与
同号
D．
必与
异号
【答案】D
【解析】根据题中条件，得到
，
是一元二次方程
的两个实数根，且
，得出
，进而可判断出结果.
【详解】∵
的解集为
，
∴
，
是一元二次方程
的两个实数根，且
.
∴
．
∴
与
必异号．
故选：D.
2．（多选）（24-25 高三上·河南信阳·阶段练习）已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
【分析】根据一元二次不等式的解集得出
、
，对选项一一判断即可得出答案.
【详解】关于
的一元二次不等式
的解集为
或
，
所以
，
是方程
的根，且
，故A 正确；
所以
，所以
，则
，故B 正确；
所以
，故C 错误；
，故D 正确；
故选：ABD.
3．（多选）（23-24 高三上·福建龙岩·期中）若不等式
的解集是
，则下列结论正确的
是（ ）
A．
且
B．
C．关于
的不等式
的解集是
D．关于
的不等式
的解集是
【答案】ACD
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
【分析】根据题意可得
，
，
，从而可对A、C 项判断，由
是方程
的
根，可对B 项判断，将
化简为
并结合一元二次不等式可对D 项判断.
【详解】对于A 项：由题意可知，
，
和1 是方程
的两根，可得
，
，所以
，
，即故A 项正确．
对于B 项：因为
是方程
的根，所以
，故B 项错误．
对于C 项：由A 项知：
，即
，因为
，得：
，故C 项正确.
对于D 项：不等式
即
，化简得
，解得
或
，故D 正
确.
故选：ACD.
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题
角度1：
上恒成立（优选法）
典型例题
例题1．（2025 高三下·全国·专题练习）若一元二次不等式
对一切实数
都成立，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】根据一元二次不等式定义可得
，由条件结合二次函数性质列不等式求结论.
【详解】因为
是一元二次不等式，所以
．
因为
对一切实数
都成立，
所以
，解得
．
故选：D.
例题2．（2025 高三下·全国·专题练习）不等式
对一切
恒成立，则实数
的取值范围
是 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】分
和
两种情况讨论，当
时，只需结合二次函数的性质解决问题即可.
【详解】当
时，
，不等式恒成立；
当
时，
，解得
．
综上，
．
故答案为：
.
精练高频考点
1．（24-25 高三上·山东·阶段练习）已知不等式
的解集为空集，则
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】将问题转化为
在
上恒成立，从而得解.
【详解】
不等式
的解集为空集，
不等式
在
上恒成立，
，
，
即
的取值范围是
.
故选：D.
2．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
，若对任意
，
恒成立，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】根据判别式，结合分类讨论即可求解.
【详解】当
时，
恒成立；
当
时，要使
恒成立，只需
且
，解得
.
综上，实数
的取值范围是
.
故答案为：
角度2：
上成立（优选法）
典型例题
例题1．（24-25 高三上·山东济南·期末）若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】分
，
和
三种情况分类讨论，其中当
时，利用判别式列不等式求解即可，最
后求并集.
【详解】当
时，不等式为
，即
，显然
在
有解，符合题意；
，命题“
”为真命题，
当
时，对于抛物线
，开口向下，
显然
在
有解，符合题意；
当
时，对于抛物线
，开口向上，
只需
，解得
或
，
又
，所以
或
，
综上，实数
的取值范围是
或
，即
.
故选：D
例题2．（23-24 高三上·江苏无锡·期中）已知关于x 的不等式
在R 上有解，则a 的取值
范围为
【答案】
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】根据一元二次不等式的解法即可得．
【详解】关于x 的不等式
在R 上有解，
即
在R 上有解，
只需函数
的图象与
轴有公共点，
所以
，即
，即
，
解得
，所以实数
的取值范围是
．
故答案为：
．
精练高频考点
1．（23-24 高三上·福建龙岩·阶段练习）若命题“
，
”是真命题，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】根据条件得到
，即可求解.
【详解】
命题“
，
”等价于
有两个不等的实数根，
所以
，即
，解得
或
，
故选：D.
2．（24-25 高三上·江苏苏州·期末）若命题“
”是假命题，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，列不等式解得结果.
【详解】因为命题“
”是假命题，
所以“
” 是真命题，
因此
即实数
的取值范围是
.
故选：B.
角度3：
上恒成立（优选分离变量法）
典型例题
例题1．（24-25 高三上·安徽宿州·期中）已知
，
恒成立，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值
【分析】利用分离常数法，结合基本不等式来求得
的取值范围.
【详解】当
时，
恒成立；当
时，
恒成立，
又
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
，所以
.
故选：B
例题2．（23-24 高三上·河南·阶段练习）当
时，关于x 的不等式
恒成立，则m 的
取值集合是 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】当
时不等式显然成立；当
、
时，根据一元二次不等式恒成立，结合二次函数的
性质即可求解.
【详解】当
时，
，显然恒成立．
当
时，二次函数
的图像开口向上，对称轴为直线
，
当
时，
恒成立，则
，解得
．
当
时，二次函数
的图像开口向下，对称轴为直线
，
当
时，
恒成立，则
，显然成立，所以
，
故
的取值集合是
．
故答案为：
．
精练高频考点
1（2024 高三·全国·专题练习）若不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式的恒成立问题
【分析】由参变量分离法可得
对任意
恒成立，利用基本不等式求出函数
在
上的最小值，即可求得实数
的取值范围.
【详解】不等式
对任意的
恒成立，
等价于
对任意的
恒成立，
记
，等价于
，
因为
，由基本不等式可得
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立.
所以，
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
.
2．（24-25 高三上·山东淄博·阶段练习）已知函数
.
(1)若不等式
的解集为
，求
的取值范围；
(2)对任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和
的最小值
【分析】（1）分类讨论，当不等式为二次不等式时，由题意列出不等式组求解即可；
（2）分离参数，换元后利用基本不等式求最值，即可得出m 的取值范围.
【详解】（1）当
时，由
，得到
，所以
，不合题意，
当
时，由
的解集为
，
得到
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
（2）由题对任意
，不等式
恒成立.
即
，因为
时，
恒成立.
可得
，设
，则
，所以
，
可得
.
因为
，当且仅当
时取等号.
所以
，当且仅当
时取等号.
故得m 的取值范围
.
角度5：已知参数
，求取值范围（优选变更主元法）
典型例题
例题1．（23-24 高一上·江苏盐城·期中）设函数
．
(1)若对于
恒成立，求
的取值范围；
(2)若对于
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求二次函数的值域或最值、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成
立问题
【分析】（1）先转化为
对于
恒成立，再求
的最小值,即得m
的取值范围.
（2）题设条件可以转化为
对于
恒成立,将
分别代入不等式,即可求
出
的范围.
【详解】（1）由题意得，
在
恒成立，
即
在
恒成立，
∵
对一切实数恒成立，
∴
在
恒成立，
∵函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
，∴
在
上的最小值为
，∴
.
故
的取值范围为
.
（2）
对于
恒成立,
对于
恒成立,
,
解得
,
故
的取值范围为
.
精练高频考点
1．（24-25 高三上·天津武清·阶段练习）（1）若对于任意
，
恒成立，求实数
的取值范围；
（2）若对于任意
，
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
；
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】（1）根据题意，转化为
恒成立，令
，结合一次函数的
单调性，列出不等式，即可求解；
（2）根据题意，转化为
恒成立，令
，结合二次单调性，求得
，进
而求得实数
的取值范围；
（3）根据题意，不等式化为
，分
，
和
，三种情况分类讨论，结合一
元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】解：（1）不等式
可得化为
，
因为对于任意
，不等式
恒成立，
即对于任意
，不等式
恒成立，
令
，
因为
，所以函数
在
上为单调递增函数，
所以
，即
，
解得
，所以实数
的取值范围为
.
（2）由不等式
可化为
，
因为
，且对于任意
，
恒成立，
即对于任意
，
恒成立，
令
，可得函数
在
为单调递增函数，
所以
，所以
的最小值为
，
可得
，所以实数
的取值范围为
.
高频考点五：一元二次不等式的应用
典型例题
例题1．（2024 高三·全国·专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于
的内接
矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长
（单位：m）的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式的实际应用
【分析】根据题意，由相似三角形将
表示出来，从而表示出，然后求解不等式，即可得到结果.
【详解】
如图，过
作
于
，交
于
，易知
，即
，
则
，
．所以矩形花园的面积
，
解得
．
故选:C．
例题2．（23-24 高三上·山东济宁·期中）2022 中国国际智能产业博览会于8 月22~24 日在重庆隆重举办，
主题延续“智能化：为经济赋能，为生活添彩”，某企业遵循国家发展战略目标，进一步优化内部结构，
深入拓展大数据智能化建设，据悉，该企业研发部原有80 人，年人均投入a（
）万元，现把研发部
人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x 名（
且
），调整后，研发人员
的年人均投入增加
，技术人员的年人均投入为
（其中
且
）万元.
(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的80 人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员x
的取值范围是多少？
(2)若研发部新招聘1 名员工，原来的研发部人员调整策略不变，且同时满足下列两个条件：①技术人员的
年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入.请分析是否
存在满足上述条件的正实数m，若存在，则求出m 的值；若不存在，则说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【知识点】一元二次不等式的实际应用、基本（均值）不等式的应用
【分析】（1）根据调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的80 人的年总投入列不等式求解；
（2）先根据条件①列不等式求出
的最小值，根据条件②列不等式求出
的最大值，通过
的最值可得
答案.
【详解】（1）依题意得，调整后研发人员人数为
人，年人均投入为
万元，
则有
，
解得
.
因为
，且
，所以
.
所以优化调整后的技术人员人数的范围是
.
（2）由题意知，现在研发部共有81 人.
假设存在正实数
同时满足题设中的条件①②，那么，
由条件①，技术人员的年人均投入始终不减少，则有
，
解得
且
，
因为
且
，所以当
时，
，
所以
；
由条件②，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，
则有
且
，
即
，
所以
且
.
由于
，
当且仅当
，即
时等号成立，
即
，
所以
.
综上所述，显然不存在正实数
同时满足题设条件（1）和（2）.
精练高频考点
1．（2025 高三·北京·专题练习）某商家为了提高一等品M 的销售额，对一等品M 进行分类销售．据统
计，该商家有200 件一等品M，产品单价为
元．现计划将这200 件一等品分为两类：精品和优
品．其中优品x 件（
，
），分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%，优品的单价调整为
元（
），因市场需求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不低于
分类前一等品M 的单价，且精品的总销售额不低于优品的总销售额，则n 的值可能为 .
【答案】6 或7
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式的实际应用、
不等式综合
【分析】根据题意列出不等式组求解即可.
【详解】依题意
，则
，
由
知：
，且
，
由
知：
在
上恒成立，
因为
在
上递增，
所以
，即
，
综上，
，
.
故答案为： 6 或7.
2．（23-24 高三上·上海·期中）为确保2023 年第六届中国国际进口博览会安全顺利进行，上海市公安局决
定在进博会期间实施交通管制.经过长期观测发现，某最高时速不超过100 千米/小时的公路段的车流量
（辆/小时）与车辆的平均速度（千米/小时）之间存在函数关系：
.
(1)当车辆的平均速度为多少时，公路段的车流量最大？最大车流量为多少？
(2)若进博会期间对该公路段车辆实行限流管控，车流量不超过4125 辆/小时，则汽车的平均速度应在什么
范围内？
【答案】(1)车辆的平均速度为35 千米/小时，最大车流量为12000 辆/小时；
(2)
.
【知识点】一元二次不等式的实际应用、基本（均值）不等式的应用、分段函数模型的应用、解不含参数
的一元二次不等式
【分析】（1）利用函数的单调性及基本不等式求出分段函数的最大值即得.
（2）利用给定条件，列出不等式并求解即得.
【详解】（1）当
时，函数
在
上单调递增，当
时，
，
当
时，
，
当且仅当
，即
时取等号，而
，
所以车辆的平均速度为35 千米/小时时，公路段的车流量最大，最大车流量为12000 辆/小时.
（2）当
时，
，整理得
，解得
，则
，
当
时，
，不等式
化为：
，整理得
，解得
或
，则
，
所以汽车的平均速度应在
范围内.
第三部分：典型易错题型
备注：一元二次不等式最高项系数容易忽略化正。
1．（24-25 高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式
【答案】
【知识点】解不含参数的一元二次不等式
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】由
，得
，
即
，解得
或
，
所以不等式的解集为
.
2．（24-25 高一上·四川成都·阶段练习）解下列不等式
；
【答案】
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【详解】将不等式
化简为
，
因为
，
该不等式无实数解，即解集为
；
备注：分式不等式容易直接乘到另一侧忽略正负而漏解。
1．（24-25 高三上·四川成都·阶段练习）解下列不等式
.
【答案】
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【详解】
，即
，通分可得
，
则
，解得
，
所以解集为
.
2．（24-25 高三上·陕西西安·阶段练习）解下列关于
的不等式.
；
【详解】（1）由
，得
，即
，即
，
等价于
，解得
，
所以原不等式的解集为
.
