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专题3.3 导数与函数的极值、最值
重难点题型1 求函数的极值与极值点
求可导函数
极值的一般步骤
（1）先确定函数
的定义域；
（2）求导数
；
（3）求方程
的根；
（4）检验
在方程
的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为
负，那么函数
在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数
在这个根处取得极小值．
1．（2021·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
的单调递减区间为
B．
的极小值点为1
目录●重难点题型分布
C．
的极大值为
D．
的最小值为
2．（2024·浙江·模拟预测）函数
的极小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河北秦皇岛·三模）（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
的极小值是1
B．
恰有2 个零点
C．方程
恰有1 个实根
D．对任意的
，都有
4．（2025·河北邯郸·模拟预测）（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
的极小值为
B．
有两个零点
C．存在
使得关于
的方程
有三个不同的实根
D．
的解集为
5．（2025·四川·三模）函数
的极小值是 .
6．（2024·辽宁鞍山·二模）
的极大值为 ．
7．（2025·重庆九龙坡·三模）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值;
(2)设
有两个不同的零点
，求
的取值范围.
8．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的极值；
(2)求不等式
的解集．
重难点题型2 利用函数的极值与极值点求参数的取值范围
1．（2025·甘肃·模拟预测）已知
是函数
的极值点，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
2．（2025·湖南·三模）已知函数
在
时取极小值，则其导函数
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河南·一模）若函数
在区间
上有极大值
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．1
D．e
4．（2019·辽宁丹东·一模）若
是函数
的极值点，则
的值为
（ ）
A．
B．3
C．
或3
D．
或2
5．（2025·云南大理·模拟预测）若
是
的极值点，则
；
在
上的最小值是 .
6．（2023·吉林长春·一模）若
在
内存在极值，则实数
的取值范围是
．
7．（2023·江西赣州·模拟预测）当
时，函数
取得极小值1，则
.
8．（2023·辽宁·模拟预测）已知
和
是函数
的两个极值点，且
，则
的取值范围是 ．
重难点题型3 求函数的最值
导函数为
（1）当
时，最大值是
与
中的最大者；最小值是
与
中的最小者．
（2）当
时，最大值是
与
中的最大者；最小值是
与
中的最小者．
一般地，设
是定义在
上的函数，
在
内有导数，求函数
在
上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求
在
内的极值（极大值或极小值）；
（2）将
的各极值与
和
比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
考向1 不含参数
1．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的最大值；
(2)若
恰有一个零点，求a 的取值范围．
2．（2021·北京·高考真题）已知函数
．
（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若
在
处取得极值，求
的单调区间，以及其最大值与最小值．
3．（23-24 高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数
．
(1)若
，求函数
在
上的最大值和最小值；
(2)讨论函数
的单调性．
4．（2024·安徽黄山·一模）已知函数
在
处取得极大值．
(1)求
的值；
(2)求
在区间
上的最大值．
考向2 含有参数
5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性，并求最值.
6．（23-24 高三上·山东青岛·期中）已知函数
．
(1)若
是函数
的极值点，求
在
处的切线方程．
(2)若
，求
在区间
上最大值．
7．（2024·海南·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，若函数
有最小值2，求
的值.
8．（2024·北京海淀·一模）已知函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)若函数
存在最大值，求
的取值范围.
重难点题型4 根据最值，求参数的取值范围
1．（2022·四川凉山·三模）函数
，若
在
上有最小值，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·湖南·开学考试）已知函数
在区间
上有最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）当
时，函数
取得最大值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
4．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知函数
的最小值是
，则
.
5．（2024·河南南阳·一模）已知函数
在区间
上有最小值，则整数
的一
个取值可以是 ．
6．（2023·广东·二模）已知函数
的最小值为0，则a 的值为 .
重难点题型5 函数的单调性、极值与最值的综合问题
1．（2025·内蒙古包头·二模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
在
有最小值4，求
的值．
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数
.
(1)若
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
时，
在区间
上的最小值为
，求实数
的值.
3．（2023·四川泸州·一模）已知
是函数
的极值点．
(1)求
的值；
(2)若函数
在
上存在最小值，求的取值范围．
4．（2023·新疆·三模）已知函数
，且
的最小值为0．
(1)求
的值；
(2)设函数
．
（i）求
的极小值点；
（ii）设
的极大值点为
，证明
．
重难点题型6 不等式的能成立问题
（3）若函数
在区间Ｄ上存在最小值
和最大值
，即
，则对不等式有
解问题有以下结论：
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
；
（4）若函数
在区间D 上不存在最大（小）值，如值域为
，则对不等式有解问题有以下
结论：
不等式
在区间D 上有解
不等式
在区间D 上有解
（5）对于任意的
，总存在
，使得
；
（6）对于任意的
，总存在
，使得
；
（7）若存在
，对于任意的
，使得
；
（8）若存在
，对于任意的
，使得
；
（9）对于任意的
，
使得
；
（10）对于任意的
，
使得
；
（11）若存在
，总存在
，使得
（12）若存在
，总存在
，使得
．
1．（2017·湖南娄底·二模）已知函数
.若存在
，使得
成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·四川成都·模拟预测）若关于
的不等式
在
内有解，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高三下·湖北武汉·期中）已知函数
，若有且仅有两个整数
，满足
，则实数a 的取值范围为 ．
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
，且
在
处取得极值．
(1)求m 的值及
的单调区间；
(2)若存在
，使得
，求实数a 的取值范围．
5．（2025·新疆喀什·二模）已知函数
(1)当
时，求
的极值；
(2)若存在
，使得
，求
的取值范围．
重难点题型7 不等式的恒成立问题
（1）若函数
在区间D 上存在最小值
和最大值
，则
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
（2）若函数
在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为
，则
不等式
在区间D 上恒成立
．
不等式
在区间D 上恒成立
．
1．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知不等式
，对
恒成立，则
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·湖南长沙·一模）不等式
对任意
成立，则实数
的取值范围是
.
3．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数
．
(1)若
恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)证明：当
时，
．
4．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
的极值点个数；
(2)若
恒成立，求实数a 的取值范围．
