文档文本内容
第13 讲 利用导数研究函数的单调性极值最值
易错分析
易错点一 忽视检验满足极值的参数
题型方法
题型一 讨论函数的单调性（区间）
题型二 已知函数单调性求参数（范围）
题型三 求函数的极值（点）
题型四 已知函数极值情况求参数（范围）
题型五 求函数的最值
题型六 已知函数最值情况求参数（范围）
1．函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，
b)上可导
f′(x)>0
f(x)在区间(a，b)上单调递增
f′(x)<0
f(x)在区间(a，b)上单调递减
题型梳理
知识清单
f′(x)＝0
f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1 步，确定函数的定义域；
第2 步，求出导数f′(x)的零点；
第3 步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)
在定义域内的单调性．
常用结论
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0 恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当
x∈(a，b)时，f′(x)≤0 恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0 有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，
则当x∈(a，b)时，f′(x)<0 有解
3．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a 处的函数值f(a)比它在点x＝a 附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a 附近的左
侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a 叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b 处的函数值f(b)比它在点x＝b 附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b 附近的左
侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b 叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
4．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
常用结论
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件
【易错点一】忽视检验满足极值的参数
【例1】已知函数
在
处取得极值10，则
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】D
【解析】根据函数
在
处取得极值10，得
，由此求得
的值，再验证
是否符合题意即可.
【详解】函数
在
处取得极值10，
所以
，
且
，
解得
或
，
当
时，
，
根据极值的定义知道，此时函数
无极值；
当
时，
，
令
得
或
，符合题意；
所以
，
故选D.
【点睛】该题考查的是有关根据函数的极值求解析式中的参数的问题，注意其对应的条件为函数值以及函数在对应点
处的导数的值，构造出方程组，求得结果，属于简单题目.
【举一反三】【变式1】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数
在
处有极值
，则
易错分析
等于（ ）
A．
B．16
C．
或16
D．16 或18
【答案】A
【分析】求导，即可由
且
求解
，进而代入验证是否满足极值点即可.
【详解】
，
若函数
在
处有极值8，
则
且
，即
，
解得：
或
，
当
时，
，此时
不是极值点，故舍去，
当
时，
，
当
或
时，
，当
，故
是极值点，
故
符合题意，
故
，
故
，
故选：A
【变式2】（2022·新疆·三模）若函数
在
处有极值10，则
（ ）
A．6
B．
C．
或15
D．6 或
【答案】B
【分析】先求出函数的导函数
，然后根据在
时
有极值10，得到
，求出满足条件
的
，然后验证在
时
是否有极值，即可求出
【详解】
，
又
时
有极值10
，解得
或
当
时，
此时
在
处无极值，不符合题意
经检验，
时满足题意
故选：B
【变式3】（2022·宁夏银川·一模）已知函数
，若
时，
取得极值0，则
.
【答案】
【分析】由题意可得
，列方程组可求出
，然后再检验
时，函数是否能取得极值，即可得答案
【详解】由
，得
，
因为
时，
取得极值0，
所以
，
，
解得
或
，
当
时，
，此时函数在
在
处取不到极值，
经检验
时，函数
在
处取得极值，
所以
，所以
.
故答案为：18
【题型一】讨论函数的单调性（区间）
【例1】（2023·全国·模拟预测）已知函数
，则
的单调递增区间为（ ）
题型方法
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间．
【详解】由
得：
，即
的定义域为
；
因为
，
所以当
时，
；当
时，
；
所以
的单调递增区间为
．
故选：A.
解题技巧
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的
定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点
【举一反三】【变式1】（2025·海南·模拟预测）若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】命题
转化为
，通过构造函数得
，再判定命题的条件关系即可.
【详解】设命题
，命题
，
对于命题p，因为
，所以，
，
构造函数
，易知
在
上为增函数，所以
；
对于命题q，因为
，所以
；
所以
为真命题，
为假命题；
所以p 是q 的充分不必要条件．
故选：A．
【变式2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数
的单调递减区间是 .
【答案】
（写成
，
，
，
同样给分）
【分析】根据导数和函数单调性的关系，即可求解.
【详解】因为
，
，
令
，得
，解得
，
所以
的单调递减区间是
.
故答案为：
【变式3】（2025·海南·模拟预测）已知函数
的图象在
处的切线与直线
平行．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若
，且
时，
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
在
上单调递增，在
上单调递减
(2)
【分析】（1）对于
求导，根据切线与直线
平行，求出
，代入进行求解单调区间；
（2）由
，
恒成立，转化为
，构造函数
，
转化为
对
恒成立，从而求解范围.
【详解】（1）
的导数为
，
可得
的图象在
处的切线斜率为
，
由切线与直线
平行，可得
，
即
，
，
由
，可得
，由
，可得
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减．
（2）因为
，若
，由
，
即
恒成立，设
，
所以
在
为增函数，
即
对
恒成立，
可得
在
恒成立，
由
的导数为
，
当
，可得
，
在
单调递减，在
单调递增，
即
在
处取得极小值，且为最小值
，
可得
，解得
，
则实数
的取值范围是
．
【题型二】已知函数单调性求参数（范围）
【例2】（2025·湖南长沙·二模）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先对原函数进行求导，根据题意导数小于0，然后根据正弦函数的性质确定其最值即可求出
的取值范围.
【详解】由题意得
在
上恒成立，
则
.
因为
，
要使得不等式恒成立，则
．
故选：D.
解题技巧
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集
【举一反三】【变式1】（2025·河北·模拟预测）已知
，
，两个函数图象至少有一个在
区间
上不单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用二次函数的性质，求得函数
在
上不单调时，求得
的取值范围，再由导数求得函数
在
上不单调时，求得
的取值范围，进而得到答案.
【详解】由函数
的对称轴为
，
若
在
上不单调，则满足
，解得
；
又由函数
，可得
，
若
在
上不单调，则满足
，解得
，
所以两个函数图象至少有一个在区间
上不单调，则有
或
，
可得
，所以实数
的取值范围为
.
故选：D.
【变式2】（2025·山西·模拟预测）若函数
在区间
单调递增，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求出导函数，再根据单调性得出
，最后结合基本不等式计算求解.
【详解】
，
令
，则当
时，
，
又因为
，
当且仅当
时等号成立，且当
时，
不恒为0，
故
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式3】（2025·黑龙江·一模）设函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
为增函数，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；
（2）法一：参变分离得到
在
上恒成立，构造函数
求最值即可；法二：构造函
数
，通过分类讨论求最值即可求解；
【详解】（1）当
时，
，
所以
，
，
，
∴曲线
在
处的切线方程为
，
整理得，
，
∴曲线
在
处的切线方程为
.
（2）
，
，
是增函数，即
在
上恒成立，
方法一：即
在
上恒成立，所以
，
设
，
，则
，
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
∴当
时，
取得极大值，也是最大值，
∵
，∴
的取值范围是
.
方法二：即
在
上恒成立，所以
，
设
，
，则
，
，
①若
，则
，
在
上单调递增，
当
趋近于0 时，
趋近于
，即
不恒成立，
所以
在
上不单调递增，与题意不符，舍去.
②若
，则当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
则当
时，
取得极小值，也是最小值，
∴
，解得
，
∴
的取值范围是
.
【题型三】求函数的极值（点）
【例3】（2024·江西新余·模拟预测）函数
在其定义域内的极小值点为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用指数式与对数式的互化关系变形函数
，换元构造函数
，利用函数
与
的单调性相
同，再求出
的极小值点即可得解.
【详解】函数
的定义域为
，
，
令
，则
，令
，
函数
是增函数，则函数
与
的单调性相同，
，
当
时，
；当
时，
，
于是函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
函数
在
处取得极小值，由
，得
，
所以函数
在其定义域内的极小值点为
.
故选：A
【举一反三】【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
是函数
的极值点，则函数
的极小值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】A
【分析】求出函数
的导数，利用给定极值点求出
，进而求出极小值.
【详解】函数
的定义域为R，求导得
，
由
是函数
的极值点，得
，解得
，
函数
，
，
当
或
时，
；当
时，
，
所以函数
的极小值
.
故选：A
【变式2】（2025·广东·模拟预测）已知函数
，则
的极小值为 .
【答案】
【分析】求出函数的导函数，分析可得
在区间
上单调递增，又
，即可得到
在区间
上单调递减，从而求出函数的极值.
【详解】因为
，所以
，
当
时，
，故
，
所以
，
当
时，
，故
，
所以
，
综上，当
时，
恒成立，故
在区间
上单调递增，
又因为
，
，
即
，所以
的图象关于直线
对称，
故
在区间
上单调递减，故
为
的极小值点，
的极小值为
.
故答案为：
【变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数
(1)当
时，求
单调区间
(2)讨论
极值点的个数.
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
（2）求出函数的导函数，分
、
两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值点个数.
【详解】（1）当
时，
定义域为
，且
，
令
，解得
或
（舍去），即
，
当
时，
；当
时，
；
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）函数
的定义域为
，
由题意知，
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，即
极值点的个数为
个；
当
时，令
，
，可得
，
易知
，
故解关于的方程
得，
（舍去），
，
即
，则
，
所以当
时，
，即
在
上单调递增，
当
时，
，即
在
上单调递减，
即
极值点的个数为个.
综上，当
时，
极值点的个数为
个；当
时，
极值点的个数为个.
【题型四】已知函数极值情况求参数（范围）
【例4】（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数
的极小值是
，则实数
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】分
、
、
讨论，利用导数求出极小值可得答案.
【详解】
，令
得
或
，
当
时，
，
在R 上单调递增，无极值；
当
即
时，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
得
在
处取得极小值，即
，
解得
；
当
即
时，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
得
在
处取得极小值，即
，
不满足题意；
综上，实数
.
故选：C.
解题技巧
根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
【举一反三】【变式1】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数
在区间
上恰有3 个
极值点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将函数
在区间
上恰有3 个极值点转化为
在
上有三个极值点的问题，再数形
结合即可得解.
【详解】
，
，
，
令
，则
，
，
作出
的图象，
要使函数
在区间
上有三个极值点，则
，
解得
，则
的取值范围为
.
故选：B.
【变式2】（2025·江苏徐州·模拟预测）若函数
在
处取得极小值，则a 的值为
．
【答案】1 或2
【分析】对函数求导，结合
求参数值，注意验证
处是否取得极小值即可.
【详解】由题设
，则
，
所以
或
，
当
，则
，
，
若
，则
，此时
，即
在
上单调递减，
若
，令
，则
，
对于
且
，则
，故
时
，
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
，故
在
上恒成立，
对于
且
，则
，
所以
在
上单调递增，则
，故
在
上恒成立，
综上，
在
上恒成立，即
，
所以
在
上单调递增，则
，
所以
在
上单调递增，
此时
在
处取极小值，满足；
当
，则
，
同上分析，易知
在
上单调递减，
若
，令
，则
，
所以
在
上单调递增，则
，
所以
在
上单调递增，
此时
在
处取极小值，满足；
综上，
或
.
故答案为：
或
【变式3】（2025·重庆·三模）已知函数
(1)当
时，求函数
在点
处的切线方程；
(2)若函数
在区间
内有且仅有一个极值点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求解
及
，从而可得函数
在点
处的切线方程；
（2）当
，
不满足题意，当
时，
单调递增，结合
，
，可得
在区间
上有唯一的零点
，满足题意，进而可得结论．
【详解】（1）当
时，
，可得
，
则
，
又
，
所以函数
在点
处的切线方程为：
；
（2）由于
，
则
，
若
，当
时，则
，所以
，
则
在区间
上单调递增，没有极值点，舍去；
若
，设
，则
在区间
上恒成立，
所以
在区间
上单调递增，即
在区间
上单调递增，
又
，
，
所以
在区间
上有唯一的零点
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
在区间
内有唯一的极值点，符合题意．
综上，实数
的取值范围是
．
【题型五】求函数的最值
【例5】（2022·全国乙卷·高考真题）函数
在区间
的最小值、最大值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用导数求得
的单调区间，从而判断出
在区间
上的最小值和最大值.
【详解】
，
所以
在区间
和
上
，即
单调递增；
在区间
上
，即
单调递减，
又
，
，
，
所以
在区间
上的最小值为
，最大值为
.
故选：D
解题技巧
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从
而得到函数f(x)的最值．
【举一反三】【变式1】（2025·湖北黄冈·三模）已知函数
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由解析式可分析得到的一个周期为
，则只需考虑在
上的值域即可，利用导函数求得其最值即可.
【详解】由题
的一个周期为
，故只需考虑
在
上的值域，
，
当
或
时，
，当
时，
，
所以函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
因此
的极小值为
，极大值为
，
又易知
，所以函数
在
上的值域为
，
结合函数的最小正周期为
，所以函数
的值域为
所以
的最小值为
，
故选：B
【变式2】（2023·四川资阳·模拟预测）若函数
存在最小值，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】从
，
，及
进行分析求解.
【详解】注意到，当
时，
，
由于
，
，显然
，没有最小值；
当
时，
且无限接近
，
为增函数，
则
，
，
，
，
此时没有最小值；
当
时，
为减函数，则
，
，
，由于
增长变化速度远大于
减少速度，
此时
，由于函数定义域为R,函数连续不断，所以
存在最小值．
故答案为：
【变式3】（2025·湖南长沙·三模）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线经过原点，求
；
(2)若
，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)4．
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，结合切线过原点求出参数
的值；
（2）在
时，对
求导，利用零点存在定理判断其单调性，借助于导函数的零点，即可化简转化，求得
的最大值.
【详解】（1）
的定义域为
，则
．
，则
．
所以曲线
在点
处的切线方程为
．
依题意，将点
代入切线方程，解得
．
（2）当
时，
，且
，
所以
，
设
，易知
在
上单调递减，
且
，
故存在
，使得
，即
，所以
，即
，
当
时
，故
在
上单调递增，
当
时
，故
在
上单调递减，
所以
，
故
的最大值为4．
【题型六】已知函数最值情况求参数（范围）
【例6】（2022·全国甲卷·高考真题）当
时，函数
取得最大值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知
，
即可解得
，再根据
即可解出．
【详解】因为函数
定义域为
，所以依题可知，
，
，而
，所以
，即
，所以
，因此函数
在
上递增，在
上递减，
时
取最大值，满足题意，即有
．
故选：B.
【举一反三】【变式1】（2025·四川自贡·三模）函数
，若
在
有最大值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对函数求导，分
，
，
三种情况讨论求解即可.
【详解】由
，
则
，
令
，得
或
，
当
，即
时，
，
函数
在
上单调递增，此时
在
上没有最大值，不符合题意；
当
，即
时，
令
，得
或
，
令
，得
，
则函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
又
，则
在
没有最大值，不符合题意；
当
，即
时，
令
，得
或
，
令
，得
，
则函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，
要使
在
有最大值，
则
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故选：B.
【变式2】（2025·江苏扬州·三模）若函数
的最小值为2，则实数a 的值是 .
【答案】1
【分析】由函数求导，根据参数与零的大小关系，利用导数与函数单调性的关系，求得函数最小值，建立方程，可得
答案.
【详解】由
，求导可得
，
当
时，令
，可得
，
由
可得
，由
得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，解得
；
当
时，
，显然函数
在
上单调递减，故不合题意；
当
时，
，函数
在
上单调递减，故不合题意.
故答案为：
【变式3】（2025·福建·模拟预测）已知函数
.
(1)求函数
的极值点；
(2)若函数
在区间
上的最小值为0，求实数
的值.
【答案】(1)极小值点为
，无极大值点
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点；
（2）分
、
、
三种情况讨论，得到函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
又
，
所以当
时
，当
时
，
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
所以
为
的极小值点，无极大值点.
（2）当
，即
时，
在
上单调递增，
所以在
处取得最小值，
，不符合题意；
当
，即
，此时
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，解得
；
当
，即
，此时
在
上单调递减，
所以
，不符合题意；
综上可得
.
一、单选题
好题必刷
1．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】对A，根据解析式判断单调性得解；对B，C，D，求导，利用判断导数正负得解.
【详解】对于A，
的定义域为
，
在
上单调递增，在
上单调递增，不满足
在
上单调递增，故A 错误.
对于B，
在
上单调递减，不满足在
上单调递增，故B 错误.
对于C，
，满足在
上单调递增，故C 正确.
对于D，
在
上单调递减，在
上单调递增，不满足在
上单调递增，故D 错误.
故选：C.
2．（2025·重庆·模拟预测）若
，
的最小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】A
【分析】令
，构造
，应用导数及分类讨论研究函数的最值，结合已知最小值求参数即可.
【详解】令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递减，显然无最小值，不符；
当
时，令
，则
，
若
，
时，
，则
在
上单调递增，故
，不符；
若
，
时，
在
上
，即
在
上单调递减，
在
上
，即
在
上单调递增，
所以
，则
，
可得
，又
，可得
；
综上，
.
故选：A
3．（2025·河南安阳·三模）已知函数
的极小值为
，则实数
的值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】A
【分析】由已知得
，令
，得
，判断单调性，根据极小值求出参数
的值.
【详解】由已知得
，令
，得
，
当
时，
单调递减，
当
或
时，
单调递增，
所以
的极小值为
，解得
.
故选：A.
4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设函数
，若
有且仅有2 个整数解，则
的最
大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先构造新函数，分析它的单调性，然后画出图象，要求
的最大值，即求直线
斜率的最大值.
【详解】
，
令
，则
，
当
时，
，所以
在
上是单调减函数；
当
时，
，所以
在
上是单调增函数.
由
可得
，
根据题意，存在2 个整数解使得
，
则函数
与直线
的图象有2 个横坐标为整数的交点，直线
必过
点，
函数
在
处的导数
，则切线方程为
且经过
点，
即此时直线
与
相切，此时
，又因为
，
分析图象可知，另一个交点只能在
处，且此时直线斜率能取最大，
即
可以取最大值，
，当直线
过点
时，则
，解得
.
故选：C.
5．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
有两个极值点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得
在
内有两个不等实根，求解即可.
【详解】由题意，由
，可得
函数
有两个极值点，即方程
在
内有两个不等实根，
即函数
与
在
上有两个交点，
因
，
，
，
所以
，解得
.
故选：A.
二、多选题
6．（2025·云南·模拟预测）若函数
有两个极值点，则a 的值可以是（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】由题意可和得
有两个根，令
，可导可得
在
单调递增，在
单调递减，
进而可得
.
【详解】函数
的定义域为
，
由已知得：
有两个变号的零点，即：
有两个根，
令
，则
，又
在
上单调递减，且
时
，
令
得：
，所以
在
单调递增；
令
得：
，所以
在
单调递减；
所以
在
处取得极大值，而
时，
，
时，
，
所以，要使函数
有两个极值点，则
，
故选：BC．
7．（2025·重庆·模拟预测）若
，则下列结论正确的为（ ）
A．
有最大值
B．
有最小值
C．
有最大值
D．
有最小值
【答案】BD
【分析】本题可先根据已知条件得出
关于
的表达式，再分别分析
和
的最值情况.
【详解】由条件
或
.
选项：
时，
，故
没有最大值；
当
时，
；
当
时，
，
；
当
时，
；
故
有最小值 0，当
时取得. A 错误： B 正确.
C、D 选项：
，
当
时有最小值
，C 错误，D 正确.
故选：BD
8．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数
，则下列叙述正确的是（ ）
A．
有四个单调区间
B．
存在最小值
C．
有三个极值点，从小到大依次为
，则
成等差数列
D．
有三个极值点，从小到大依次为
，则
成等比数列
【答案】ABD
【分析】利用二次求导分析得导函数
的单调性和零点，得出其大致图象，从而可得函数
的单调区间、极值
点、最值，可判断AB；通过计算发现
，可得出极值点的关系式，从而判断CD.
【详解】求导得
，令函数
，
则
，令
，解得
.
当
时，
；当
时，
；当
时，
，
所以函数
在区间
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，且
，其大致图象如
下，
，使
，
所以函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
有四个单调区间，且存在最小值，故AB 正确；
又函数
存在三个零点
，其中
，
且因为
，
所以由
，可得
，即
，则
成等比数列.故C 错误，D 正确.
故选：ABD.
三、填空题
9．（2025·四川成都·模拟预测）若函数
存在唯一极值点，则实数a 的取值范围为 .
【答案】
【分析】求导后构造
，再求导分析单调性数形结合可得.
【详解】
，因为
存在唯一极值点，所以
存在唯一变号根.
即
存在唯一变号根，设
，
，
函数
在
上单减；在
上单增，在
上单减；
当
时，
；当
时，
；则实数a 的取值范围为
.
故答案为：
.
10．（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数
在
处的切线与直线
垂直，则
的极小值为
．
【答案】
【分析】求出函数
的导数，利用导数的几何意义求出
，再求出极小值.
【详解】函数
，求导得
，依题意，
，解得
，
令
，解得
，则当
时，
；当
时，
，
所以
的极小值为
.
故答案为：
四、解答题
11．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数
的图象在点
处的切线方程为
.
(1)求a，b 的值；
(2)求
的单调区间与极值.
【答案】(1)
，
.
(2)递减区间为
，递增区间为
，有极小值
，无极大值.
【分析】（1）先根据导数的运算法则求出
；再根据切点、切线和导数的几何意义之间的关系列出方程组即可求
解.
（2）令
可求出函数
的单调增区间，令
可求出函数
的单调减区间，进而可得到函数
的
极值.
【详解】（1）由
可得：
，
，
则
.
由直线方程
可得：直线斜率为：
.
因为函数
的图象在点
处的切线方程为
，
所以
，解得：
.
故
，
.
（2）由（1）可得
，
.
令
，得
；
令
，得
；
则函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以当
时，函数
有极小值
.
故函数
的递减区间为
，递增区间为
，有极小值
，无极大值.
12．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有极小值，且极小值大于
，求
的取值范围．
【答案】(1)分类讨论，答案见解析；
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域，对函数进行求导，分
和
来讨论单调性；
（2）由（1）求出函数的极小值，列出不等式，将不等式转化为
，令
，研究函数的
单调性来求解即可．
【详解】（1）
的定义域为
．
①
时，
，此时
在
上单调递减；
②
时，令
得
，令
得
，
此时
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）由（1）知
时，
，整理得
．
令
，则
，当且仅当
即
时取等号，
故
在
上单调递增，又
，所以
的取值范围为
．
13．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数
．
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，求
的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出结果；
（2）利用导数与函数单调性间的关系，求出
和
的解集，即可求出函数的单调区间，再求出两端点
函数值及极值，通过比较，即可求出结果.
【详解】（1）由函数
，可得
，
可得
，且
，
所以切线的斜率为
，切点为
，
则所求切线方程为
．
（2）由（1）得，当
时，可得
．
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增．
而
，
所以函数
的值域为
．
