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专项03 导数及其应用重难点
分析维度 具体内容
核心考点 1. 导数的概念与运算：导数定义（瞬时变化率）、基本导数公式（幂、指数、
对数、三角函数）、导数四则运算法则、复合函数求导（“链式法则”）；2. 导
数的几何意义：曲线在某点的切线方程、切点坐标求解、切线斜率与导数的关
系；3. 导数与函数性质：利用导数判断单调性（单调区间求解）、求极值（极
大值 / 极小值）、求最值（闭区间上的最值）；4. 导数的综合应用：函数零
点个数讨论、恒成立 / 存在性问题（参数范围求解）、不等式证明（构造函数
+ 导数判断单调性）、实际应用中的最值问题。
考查形式 1. 客观题（单选题 + 多选题）：5-10 分，多为第 8-12 题，考查导数运算、
几何意义、单调区间 / 极值判断（中档题为主）；. 解答题：12-14 分，固定
为第 20-21 题（压轴题区间），分 2-3 问，第一问基础（求导、单调区间、
切线方程），第二 / 三问综合（零点讨论、恒成立、不等式证明）；3. 新高
考特点：多选题增加导数与函数性质的辨析（如极值点个数、单调区间判
断），解答题强化逻辑推理和分类讨论，偶尔结合不等式、数列等模块。
命题特点 1. 基础题（送分）：导数运算、切线方程求解、简单单调区间判断，难度低，
侧重公式应用；>2. 中档题（核心得分）：利用导数求极值 / 最值、已知单调
性求参数范围、单一零点区间判断，需掌握基本方法；>3. 难题（拉分）：多
零点个数讨论、含参恒成立问题（双参数、隐零点）、导数与不等式证明（构
造复杂函数）、实际应用中的优化问题，强调分类讨论、数形结合、转化与化
归；. 趋势：命题聚焦 “导数工具性 + 逻辑严谨性”，减少纯运算题，增加对
“导数本质” 的考查（如瞬时变化率的理解），综合应用题型占比逐年提升。
重难点突破 1. 重点：① 导数运算：复合函数求导（如 y=ln (2x+1)、y=e^(x²)）、四则运
算法则的熟练应用；② 几何意义：切线方程求解（过点切线需分 “点在曲线
上” 和 “点在曲线外”）；函数性质：导数判断单调性、求极值 / 最值（闭区间
需比较端点值与极值）；>2. 难点：① 含参函数的单调性讨论（分类标准：导
数零点的大小关系、是否在定义域内）；② 零点个数讨论（利用单调性 + 极
值符号判断，结合极限思想）；③ 恒成立问题（分离参数法失效时的分类讨
论、隐零点代换）；④ 不等式证明（构造函数的技巧、放缩法与导数结合）。
关联模块 1. 直接关联：函数性质（单调性、极值、最值）、三角函数（导数运算载
体）、指数对数函数（高频考查载体）、不等式（恒成立、证明）；2. 间接关
联：解析几何（曲线切线问题）、数列（数列单调性与导数结合）、实际应用
（优化问题，如成本最低、利润最大）。
备考策略 1. 基础过关：牢记核心公式：基本导数公式（如 (xⁿ)’=nxⁿ⁻¹、(lnx)’=1/x、
(eˣ)’=eˣ）、复合函数求导法则（“外导乘内导”）；>② 规范解题步骤：求导→
化简导数→分析导数符号→得出结论（单调区间、极值）；. 方法强化：① 分
类讨论法：含参问题按 “导数零点是否存在、零点大小关系、零点是否在定义
域内” 分类，避免重复或遗漏；② 数形结合法：画函数图像（结合导数判断的
单调性、极值）辅助分析零点个数、不等式解集；>③ 构造函数法：不等式证
明时，根据结论构造 “差函数”（如 f (x)=g (x)-h (x)，证明 f (x)≥0）；. 难点突
破：① 隐零点问题：设导数的零点为 x₀，利用 f’(x₀)=0 建立关系式，代换化
简目标表达式；② 多参数问题：固定一个参数，转化为单参数问题，或利用变
量替换统一参数；实际应用：明确 “自变量→因变量→定义域”，建立函数模型后用导数求最值，验证实际意义；. 实战训练：多练含参综合题，规范分类讨
论的逻辑，总结 “导数解答题答题模板”（如单调区间求解模板、零点讨论模
板）。
易错点提醒 1. 导数运算错误：复合函数求导漏乘内导（如 y=sin (2x) 的导数误写为 cos
(2x)，正确为 2cos (2x)）；对数函数求导忽略定义域（如 y=ln (x-1) 的导数误
写为 1/x，正确为 1/(x-1)）；2. 切线方程误区：过点 P (x₀,y₀) 的切线，未判
断 P 是否在曲线上，直接用 f’(x₀) 求斜率（点在曲线外需设切点）；>3. 极
值判断错误：导数为 0 的点不一定是极值点（需验证左右导数符号是否变
化）；混淆极值与最值（极值是局部概念，最值是全局概念）； 分类讨论遗
漏：含参函数单调性讨论，未考虑参数 = 0、参数正负、导数零点是否在定义
域内的情况；5. 恒成立问题：分离参数时忽略参数系数的正负（导致不等号方
向错误）；未验证等号是否成立。
一、基础核心考点（送分题，必拿分）
（一）导数的概念与运算（客观题高频，5 分稳拿）
• 导数定义
1. 核心要点：瞬时变化率（函数在某点的瞬时变化快慢，是极限值）；导数的几何意义铺垫（曲线在该点的瞬时
斜率）。
2. 考法：利用定义求简单函数在某点的导数（低频）、理解导数本质（单选题）。
• 基本导数公式与四则运算法则
3. 核心要点：
基本公式（必记）：
幂函数导数：x 的 n 次方的导数等于 n 乘以 x 的（n-1）次方；
指数函数导数：e 的 x 次方的导数等于自身；a 的 x 次方的导数等于 a 的 x 次方乘以 ln a；
对数函数导数：ln x 的导数等于 1/x；log 以 a 为底 x 的导数等于 1/(x 乘以 ln a)；
三角函数导数：sin x 的导数等于 cos x；cos x 的导数等于 -sin x；
四则运算法则：
加减导数：两个函数相加 / 减的导数，等于各自导数相加 / 减；
乘法导数：两个函数相乘的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数；
除法导数：两个函数相除的导数，等于（分子导数乘分母 - 分子乘分母导数）除以分母的平方（分母不为 0）。
4. 考法：直接求导运算（单选题 / 填空题）、结合复合函数求导（中档题）。
• 复合函数求导（“链式法则”）5. 核心要点：外函数的导数乘内函数的导数（例如 y 是 g (x) 的函数，g (x) 是 x 的函数，则 y 对 x 的导数
等于 y 对 g (x) 的导数乘 g (x) 对 x 的导数）；多层复合函数从外到内依次求导（例如 y=ln (sin x²)，先求
ln 的导数，再求 sin 的导数，最后求 x² 的导数，相乘即可）。
6. 考法：复合函数求导（客观题 / 解答题第一问）、含复合函数的切线方程求解（中档题）。
（二）导数的几何意义（客观题 + 解答题第一问，必考）
• 核心要点：曲线 y=f (x) 在点（x0，f (x0)）处的切线斜率 k，等于函数在该点的导数 f’(x0)；切线方程为：y -
f (x0) = f’(x0)(x - x0)。
• 关键区分：
7. 点在曲线上：直接代入上述公式求切线方程；
8. 点在曲线外：设切点为（x1，f (x1)），列出切线方程 y - f (x1) = f’(x1)(x - x1)，将曲线外的点坐标代入方程，
求解 x1，进而得到切线方程（可能存在多条切线）。
• 考法：求切线方程（解答题第一问，5 分）、求切点坐标 / 切线斜率（单选题）、已知切线方程求参数（填空
题）。
二、核心应用考点（中档题，核心得分区）
（一）导数与函数性质（解答题核心，8-10 分）
• 单调性与单调区间
9. 核心要点：
判定规则：函数定义域内，导数大于 0 时，函数在该区间单调递增；导数小于 0 时，函数在该区间单调递减；
解题步骤：第一步求函数导数，第二步化简导数（优先因式分解），第三步求导数等于 0 的点（导数零点），第
四步用导数零点划分函数定义域，第五步判断每个区间内导数的正负，第六步得出函数的单调递增 / 递减区间；
含参处理：按导数零点是否存在、多个零点的大小关系、零点是否在函数定义域内进行分类讨论。
10. 考法：求单调区间（解答题第一问）、已知单调性求参数范围（客观题 / 解答题）。
• 极值求解与判断
11. 核心要点：
极值点判定：导数等于 0，且该点左右两侧导数符号发生改变（即 “变号零点”），这样的点才是极值点；
解题步骤：第一步求函数导数，第二步找出导数零点，第三步验证每个零点左右两侧的导数符号，第四步判断极
值类型（左侧正、右侧负为极大值点；左侧负、右侧正为极小值点），第五步将极值点代入原函数，求出极值大
小。
12. 考法：求函数极值（解答题第一问）、判断极值点个数（多选题）、已知极值求参数（填空题）。
• 闭区间上的最值
13. 核心要点：解题步骤：第一步求函数导数，第二步找出函数在闭区间内的所有极值点，第三步计算每个极值点以及闭区间两
个端点的函数值，第四步比较这些函数值的大小，最大的即为最大值，最小的即为最小值。
14. 考法：求闭区间最值（解答题第一问 / 客观题）、实际应用中的最值（解答题）。
（二）简单综合应用（中档题，客观题 + 解答题第二问）
• 函数零点区间判断
15. 核心要点：结合函数单调性和极值符号判断（例如函数在区间 [a,b] 上单调递增，且 f (a) 小于 0、f (b) 大
于 0，则函数在该区间有唯一零点）；辅助使用零点存在定理（连续函数在区间内两端点函数值异号，则区间
内至少有一个零点）。
16. 考法：判断零点所在区间（单选题）、判断零点个数（多选题）。
• 简单恒成立问题
17. 核心要点：采用分离参数法求解（例如 a 大于等于 f (x) 恒成立，等价于 a 大于等于 f (x) 的最大值；a 小
于等于 f (x) 恒成立，等价于 a 小于等于 f (x) 的最小值）。
18. 考法：已知恒成立求参数范围（填空题 / 解答题第二问）。
三、高阶综合考点（难题，拉分区间）
（一）含参综合问题（压轴题核心，10-12 分）
• 含参函数的单调性 / 极值 / 最值讨论
19. 核心要点：分类讨论标准清晰（按参数的正负、导数零点的个数、多个零点的大小关系划分），避免重复讨
论或遗漏情况；结合导数符号变化分析函数的走势。
20. 考法：解答题第二 / 三问，综合考查分类讨论与逻辑推理能力。
• 多零点个数讨论
21. 核心要点：
解题步骤：第一步求函数导数，第二步分析函数的单调性和极值情况，第三步结合极限思想（例如 x 趋近于正无
穷或负无穷时，函数值的变化趋势），第四步按极值的正负情况划分参数范围，第五步确定不同参数范围内函数
的零点个数。
22. 考法：解答题第二 / 三问，压轴题高频考法。
• 复杂恒成立 / 存在性问题
23. 核心要点：
隐零点代换：当导数的零点无法直接求解时，设该零点为 x0，利用 f’(x0)=0 建立关系式，将目标表达式中的复
杂项用该关系式代换，进而化简求解；
双参数问题：固定其中一个参数，将问题转化为单参数问题，或通过变量替换将两个参数统一为一个参数，再进
行分析。
24. 考法：解答题第三问，拉分关键。（二）导数与不等式证明（压轴题，10-12 分）
• 核心要点：
25. 构造函数法：构造差函数（例如要证明 f (x) 大于等于 g (x)，令 h (x)=f (x)-g (x)，只需证明 h (x) 的最小值
大于等于 0）；
26. 放缩法：结合常见不等式（例如 e 的 x 次方大于等于 x+1、ln x 小于等于 x-1）辅助证明；
27. 利用函数单调性：证明构造的函数在定义域内单调递增（或递减），且函数在定义域起点（或终点）的函数
值大于等于 0（或小于等于 0）。
• 考法：解答题第三问，压轴题高频考法，强调构造技巧与逻辑推导能力。
（三）实际应用中的优化问题（中档 - 难题，8-12 分）
• 核心要点：
28. 解题步骤：第一步仔细审题，明确问题中的自变量和因变量，第二步建立函数解析式，第三步确定函数的定
义域（结合实际问题意义），第四步求导并找出函数的极值点，第五步求函数的最值，第六步验证最值的实际
意义（确保符合题意）。
29. 常见模型：利润最大、成本最低、产量最优、距离最短、面积最大等实际场景问题。
30. 考法：解答题第二问，偶尔考查，侧重建模能力和应用能力。
四、高考考法总结
• 客观题（5-10 分）：聚焦基础考点（导数运算、几何意义、单调区间 / 极值判断）和简单综合（零点区间、
简单恒成立），难度低 - 中档；
• 解答题（12-14 分）：分层次命题，第一问基础（求导、单调区间、切线方程），第二 / 三问综合（含参讨
论、零点个数、不等式证明），难度中档 - 难题；
• 新高考趋势：多选题强化性质辨析（如极值点个数、单调区间判断），解答题弱化纯运算、强化逻辑推理和分
类讨论，综合应用题型占比提升。
一、单选题
1．（2026·江西宜春·模拟预测）已知偶函数 满足当 时， ，则 的图象在 处
的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数 ， 与 的零点分别为 ，， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·河北邯郸·三模）已知函数 的图象关于直线 对称，则 （ ）
A． B．2 C．1 D．
4．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数 在 处取得极值 ，则
（ ）
A． B． C． D．3
5．（2026·山东济南·三模）已知实数 ，函数 的值域为 ，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·浙江·三模）如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共
轭双曲线，已知 ， 互为共轭双曲线，且 ， 的离心率分别为 ， ，则 的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2026·山东青岛·二模）已知直线 与曲线 相切，则 的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
8．（2026·河北保定·二模）已知函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2026·四川雅安·二模）若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
10．（2026·河南开封·模拟预测）若 ，则
（ ）
A．1 B．-1 C．6078 D．-6078
11．（2026·北京丰台·模拟预测）已知函数 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． 的周期为
B． 的图象关于 对称
C． 的最大值为
D． 在区间 上单调递增
12．（2026·四川泸州·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 ； B．若 ，则 ；
C．若 ，则 ； D．若 ，则 .
13．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数 的定义域为 ， ，当 时，
，则曲线 在点 处的切线的斜率为（ ）
A．2 B．1 C． D．
14．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数 ， ， ， （点 在直线
下方），过点 作 直线 ，垂足为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2026·重庆·三模）已知函数 若 ，且 不是 的极值，则（ ）A． B． C． D．
二、多选题
16．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最大值为2
B． 的图象关于直线 对称
C． 在区间 上恰有2个极值点
D．把函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 的图象
17．（2026·河南·二模）将函数 图象向左平移 个单位长度后得到一偶函数图象，则当
取最小值时，下列说法正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 为奇函数
C．函数 在区间 单调递增
D．函数 的图象在 处的切线斜率为1
18．（2026·河南开封·模拟预测）(多选)已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 的零点为 B． 有两个极值点
C． 在 处取得极小值 D． 在上单调 递增
19．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 有三个零点
B．C．曲线 上不同的两点 ， 处的切线分别为 ， ，若 ，则
D．若方程 有三个不同的实数根 ， ， ，则
20．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，则下列说法正
确的是（ ）
A．当 时，
B． 的极大值点是
C． 的值域为
D．当 时，函数 有 个零点
三、填空题
21．（2026·河南周口·三模）若函数 有且仅有2个零点，则 ______.
22．（2026·北京朝阳·二模）已知函数 ．
给出下列四个结论：
①曲线 是中心对称图形；
②当 时，曲线 在曲线 的上方；
③当 时， ；
④设正实数 分别是 的零点，则 ．
其中正确结论的序号是___________
23．（2026·河北张家口·二模）已知曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则
________．
四、解答题
24．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知函数 ，其中 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；(2)若 ，求 的取值范围．
25．（2026·上海静安·二模）已知函数 （ 且 ）．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若直线 是曲线 的一条切线，求 的值和切点的坐标；
(3)若函数 的图像与 的图像相交于相异两点 和 ，求 的取值范围．
26．（2026·安徽安庆·二模）设 .
(1)解不等式 ;
(2)设 ，若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围.
27．（2026·上海黄浦·二模）已知 ．
(1)求函数 的最小正周期与单调增区间；
(2)将函数 的图象上的所有点沿向量 平移，得到 的图象．若 同时满足：
①图象关于点 对称；②有且仅有 个极大值点在区间 上．求 的取值范围．
28．（2026·江苏南通·三模）在 中，内角 所对的边分别为 ，
(1)证明： ；
(2)记 ，设函数 ，讨论 的单调性，并判断当 时， 的零点个数；
(3)若角 ，边 ，求 周长最大值.
29．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数
(1)设 ，分别讨论函数 与 在 上的单调性；(2)证明：当 时， .
30．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个不同的零点 为 的导函数，试证明: .
