文档文本内容
专项 03 导数的应用
内容导航
【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
命题趋势：
年份 题号/分值 核心考点 题型特点 难度
2023 T18 / 14分 极值、零点、含参范围 函数极值+参数讨论 中难
2024 T21 / 18分 新定义、导数几何意义、极值 上海特色新定义+导数综合 难（压
轴）
2025 T19 / 14分 极大值、含参范围、不等式 函数极值+导数应用 中难
2026年预测：
1. 核心考点（必考题）
导数几何意义：切线方程、斜率、切点（3年3考）
函数单调性：含参讨论、单调区间、恒成立
极值与最值：极大/极小值、最值求解、参数范围
零点问题：零点个数、存在性、极值点偏移
不等式证明：构造函数、放缩、恒成立/能成立
2. 题型趋势
压轴回归：导数大概率重回T21压轴，分值18分
新定义+导数：上海特色，结合函数、数列、逻辑
综合化：导数+指数/对数/三角函数/数列思想方法：分类讨论、数形结合、转化化归、构造函数
3. 难度与设问
第1问：基础（求导、单调、极值）
第2问：中档（含参讨论、参数范围）
第3问：压轴（不等式证明、零点、极值点偏移）
题型01 导数与函数单调性（解答题核心）
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·上海·开学考试）已知 为常数，函数 ．
(1)根据 的不同取值，讨论函数 的奇偶性，并说明理由；
(2)若 ，判断函数 在 上的单调性，并求它的单调区间．
2．已知函数 ．
(1)若 的单调减区间是 ，求实数 的值；
(2)若 在 上为严格减函数，求实数 的取值范围．3．（2026·上海·二模）设 ．
(1)解不等式： ；
(2)设 ，若存在 ，使得 ，求实数a的取值范围．
研考点 · 通技法
求单调区间：① 求函数定义域；② 求导f′ (x)；③ 解不等式f′ (x)>0（增区间）、f′ (x)<0（减区
间），注意定义域对解集的限制。
含参单调性讨论：① 求导后，分析f′ (x)的表达式（一次、二次或分式）；② 找到参数的分界点
（如二次函数判别式Δ=0、一次项系数为0）；③ 按分界点分类，分别求解f′ (x)的正负，确定单调
区间（分类不重不漏）。
恒成立求参数：① 分离参数法（优先）：将参数移到一侧，转化为“a≥f(x)恒成立”（求f(x)最大
值）或“a≤f(x)恒成立”（求f(x)最小值）；② 端点效应：先验证端点处成立，再结合导数判断函数
单调性，验证整个区间成立（注意端点是否在定义域内）。
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·上海·月考）已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 的奇偶性；
(2)当 时，证明函数 在 上是严格增函数，并解不等式 .2．（25-26高三上·上海·期中）设 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若曲线 在点 处的切线与曲线 也相切，求 的值；
(3)若函数 的图像恒在函数 的图像的上方，求 的取值范围．
3．（2026·上海崇明·二模）函数 ， 是减函数，即对于任意的 ， ，当 时，均
有 ．
(1)若 ，求实数a的取值范围；
(2)是否存在函数 是偶函数，且满足 对所有 成立？若存在，请举出一个满足条件
的函数，若不存在，请说明理由；
(3)设 ，已知函数 是周期函数，求证： 为常值函数．
题型02 导数与极值、最值（解答题高频）
析典例 · 建模型
1．（2026·上海闵行·二模）已知 .(1)当 时，解方程 ；
(2)若函数 在 上有唯一的极值点，求 的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小
值点.
2．（2026·上海黄浦·二模）已知 ．
(1)求函数 的最小正周期与单调增区间；
(2)将函数 的图象上的所有点沿向量 平移，得到 的图象．若
同时满足：①图象关于点 对称；②有且仅有 个极大值点在区间 上．求 的取值范围．
3．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在 内的最大值为2，求 的值.
4．（24-25高三上·上海黄浦·期末）函数 的定义域为 ，在 上仅有一个极值点 ，方程
在 上仅有两解，分别为 、 ，且 ．若 ，则称函数 在 上的极值点左偏移；若 ，则称函数 在 上的极值点右偏移．
(1)设 ， ，判断函数 在 上的极值点是否左偏移或右偏移？
(2)设 且 ， ， ，求证：函数 在 上的极值点右偏移；
(3)设 ， ， ，求证：当 时，函数 在 上的极值点左偏移．
研考点 · 通技法
求极值：① 求导f′ (x)，令f′ (x)=0，求驻点；② 判断驻点两侧f′ (x)的符号（左正右负为极大值
点，左负右正为极小值点）；③ 代入驻点求极值（注意定义域内的驻点才有效）。
求最值：① 求函数定义域内的所有驻点和端点；② 计算各点的函数值；③ 比较大小，最大的为最
大值，最小的为最小值（闭区间必存在最值，开区间需验证极限
lim f(x)、 lim f(x)）。
x→+∞ x→−∞
含参极值、最值范围：① 按含参单调性讨论的方法，确定极值点/最值点与参数的关系；② 将极值
点/最值点代入函数，转化为关于参数的函数，求其值域（注意参数的取值范围）。
极值点偏移：① 构造对称函数（如f(x)的极值点为x ，构造g(x)=f(x +x)−f(x −x)）；② 求
0 0 0
g(x)的导数g′ (x)，判断g(x)的单调性；③ 结合f(x )=f(x )，证明x +x >2x （或x +x <2x
1 2 1 2 0 1 2 0
）。
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知函数 .
(1)求出函数 所有的极值点.
(2)设函数 的图象上存在两点 ， 满足以 为直径的圆过原点 ，且该圆的圆心在轴上.
①证明： ， 两点在直线 的两侧.
②求a的取值范围.
2．（25-26高三上·上海·期中）已知 ，且关于 的函数 ．
(1)已知函数 ，且满足 ，解不等式 ；
(2)若 ， 为单位向量，讨论函数的单调性；
(3)若函数 在 上有极值，求 与 夹角的取值范围．
3．（25-26高三上·上海·期中）已知 ， ．
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的极值点个数；
(3)若对于任意 总有 ，求实数 的取值范围．
4．（2026·上海黄浦·二模）对于公共定义域为D的函数 与 ，定义集合
．
(1)若 ， ，求 ；
(2)若 ， ，且 ，求 的最小值；(3)已知 是定义在 上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数 ，使得 ．若
， ，且 ，求证： ．
5．（24-25高三下·上海杨浦·开学考试）若函数 在 上存在 ，使得
， ，则称 是 上的“双中值函数”，其中 称为
在 上的中值点.
(1)判断函数 是否是 上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数 ，存在 ，使得 ，且 是 上的“双中值函
数”， 是 在 上的中值点.
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： .
题型03 导数与函数零点（压轴）
析典例 · 建模型
1．（2025·上海嘉定·一模）已知 .
(1)若 ，求函数 的单调区间.
(2)若 在 上存在零点，求实数 的最大值.2．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知函数 ， ，设 ，
．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明：当函数 经过点 时函数 有且仅有一个零点；
(3)证明：对小于 的实数 ，存在实数 使得关于 方程 恰有三个不同的实数根，并指出实数
的取值范围．
3.已知函数 .
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点 ， ，且 ，求证： (其中 是自然对数的底数).
研考点 · 通技法
零点存在性证明：利用零点存在性定理（介值定理），找到区间[a,b]，满足f(a)⋅f(b)<0，且f(x)在[a,b]上连续，即可证明存在零点。
零点个数讨论：① 求函数的单调性和极值（最值）；② 结合函数的定义域、极限趋势（如x→+∞
、x→−∞时的函数值）；③ 根据极值与0的大小关系，判断零点个数（极大值>0且极小值<0时，
至少3个零点）。
双变量零点问题：① 由f(x )=f(x )（x ≠x ），结合函数单调性，确定x 、x 的范围；② 构造函
1 2 1 2 1 2
x
数（如令t= 1），转化为单变量问题；③ 利用导数判断构造函数的单调性，求解范围或证明不等
x
2
式。
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·上海·期中）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程
(2)证明： 有唯一零点
(3)记 的零点为 ，判断数列 中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列， 并说明理由.
2．（24-25高三下·上海·月考）已知k、 ，函数 的定义域为 ，直线l的方程为 ，
记集合 ．
(1)若 ，求集合 ；
(2)若 ，且存在实数k、m使得集合 中有且只有两个元素，求实数b的取值范围；
(3)若函数 的图象是一条连续曲线，且其导函数是定义域为 的严格减函数，求证：“集合 是单
元素集合 ”是“直线l是曲线 在点 处的切线”的充要条件．3．（25-26高三下·上海·月考）已知函数 ，其中 ．
(1)任取 ，若 ，证明： ；
(2)若存在 ，使得方程 存在三个不等实根 ，且 ；
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： ．
题型04 导数与不等式（压轴）
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·上海·期中）已知曲线 ，曲线 ，其中 .
(1)求曲线 在 处的切线；
(2)证明：E与F存在唯一交点；
(3)在（2）的条件下，设交点为 ，作 在点 处的切线，交 轴于点 ，证明:
2．（25-26高三下·上海·月考）设 ，已知 ．(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
3．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数 ， ， .
(1)求函数 在区间 上的最小值；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围；
(3)对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
研考点 · 通技法
构造函数证明不等式：① 移项，将不等式转化为“h(x)=f(x)−g(x)≥0”（或h(x)=f(x)−g(x)≤0
）；② 求h(x)的导数h′ (x)，判断h(x)的单调性；③ 求h(x)的最小值（或最大值），证明最小值
≥0（或最大值≤0）（必要时二次求导h″ (x)判断单调性）。
恒成立求参数范围：同“导数与函数单调性”中的恒成立解题方法，补充：当分离参数困难时，直接构
造函数，求函数的最值，结合最值与参数的关系求解。
能成立（存在性）问题：转化为“a≥f(x)能成立”（求f(x)最小值）或“a≤f(x)能成立”（求f(x)最大
值），与恒成立问题区分开（恒成立是“所有x满足”，能成立是“存在x满足”）。
破类题 · 提能力1．（25-26高三下·上海虹口·月考）记 （ ）．
(1)若 ，解不等式： ；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．
2．（25-26高三上·上海普陀·月考）设 是实数， .
(1)证明:函数 的图像关于点 成中心对称；
(2)若存在正数 ，使得 成立，求 的取值范围；
(3)试根据正数 的不同取值，讨论经过点 且与曲线 相切的直线的条数.
题型05 导数与新定义（上海特色）
析典例 · 建模型
1．（2026·上海徐汇·二模）已知函数 与函数 的定义域均为 ，且在 上的导函数分别为
和 .若存在常数 ，使得对任意实数 恒成立，则称 是 的“调整函数”，并称 为调整系数.
(1)设 .求证： 是 的“2-调整函数”；
(2)设 .若存在实数 ，使得 是 的“ 调整函数”，求调
整系数 的取值范围；
(3)已知 是 的“1-调整函数”，函数 的值域是一个闭区间，记作集合 ，函数
的值域记作集合 .若 ，判断 是否一定是常值函数，并说明理由.
2．（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知定义域为 的函数 ，其导数为 ，若对任意的
都有 ，则称函数 为“导可控函数”.
(1)请说明 是否为“导可控函数”；
(2)若函数 为“导可控函数”，且存在正数 ，使 在 上恒成立，试判断函数
的零点个数，并说明理由；
(3)若函数 为“导可控函数”，且存在 、 ，使得 ，证明：对任意的实数 、
，都有 .研考点 · 通技法
核心思路：先准确理解新定义（如“凸函数”“拟单调函数”等），将新定义转化为导数语言（如凸函数
⇔f″ (x)≤0），再结合导数的常规方法求解。
新定义+单调性/极值：① 翻译新定义，得到关于f(x)或f′ (x)的不等式；② 求导，结合新定义的条
件，判断函数的单调性或极值点；③ 求解相关问题（如参数范围、极值大小）。
新定义+不等式证明：① 结合新定义，构造符合条件的函数；② 利用导数判断构造函数的单调性、
最值；③ 结合新定义的约束条件，证明不等式成立（注意新定义中定义域、取值范围的限制）。
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·上海·月考）已知函数 及其导函数 的定义域都为 ．若对任意
，有 ，则称 为“卓越函数”．
(1)判断 是否为“卓越函数”？
(2)已知 为“卓越函数”，求实数 的取值范围；
(3)已知 为“卓越函数”，且存在唯一正实数 ，使得 ，求实数 的取值范围．
2．（2025·上海浦东新·二模）定义域为 的可导函数 满足，在曲线 上存在三个不同的点
，使得直线 与曲线 在点 处的切线平行（或重合）．
若 成等差数列，则称 为“等差函数”；若 成等差数列且 均为整数，则称
为“整数等差函数”．
(1)设 ， ，分别判断 和 是否为“整数等差函数”，直接写出结论；
(2)若 为“整数等差函数”，求实数 的最小值；
(3)已知 的导函数 在 上为增函数，且存在一个正常数 ， 使得对任意 ，
成立，证明： 为“等差函数”的充要条件是 为常值函数．
3．（24-25高三上·上海·期中）若定义在 上的函数 和 分别存在导函数 和 .
且对任意实数 ，都存在常数 ，使 成立，则称函数 是函数 的“ 控制函
数”，称 为控制系数.
(1)求证: 函数 是函数 的“ 控制函数”;(2)若函数 是函数 的“ 控制函数”，求控制系数k的取值范围；
(3)若 函数 为偶函数，函数 是函数 的“ 控制函数”， 求证:“
”的充要条件是“存在常数 ， 使得 恒成立”.
（建议用时：45分钟）
刷模拟
1．（2026·上海金山·二模）已知函数 ，其中 ．
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 ，其中 ，若存在 ，使得直线 与函数 的图像有
3个不同的交点，求实数 的取值范围．
2．（2026·上海长宁·二模）设函数 定义域为 ，区间 ，记函数 在区间 上的最大
值为 ，最小值为 .(1)设 ， ，若 ，求实数 的值；
(2)设 ， ，若 ，且 ，求 的值；
(3)已知 ， ，且对任意闭区间 ， 与 均存在.
求证：“ 在区间 上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间 、 ，当
，且 时，均有 .”
3．（2026·上海普陀·二模）已知p、q为实数，设函数 的最小值为 ，函数 的最小值
为 ，若 且 ，则称函数 和函数 是T函数.
(1)设函数 的表达式为 ，函数 的表达式为 ，请判断函数 和
函数 是否为T函数，并说明理由；
(2)设a、b为正实数，函数 的表达式为 ，函数 的表达式
为 ( )，若函数 和函数 不是T函数，求 的最小值；
(3)设k、t、a为实数，函数 的表达式为 ( )，函数 的表达式为
，若存在 ，对任意的 ，皆有 成立，且函数
和函数 是T函数，求k的取值范围.4．（2026·上海静安·二模）已知函数 （ 且 ）．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若直线 是曲线 的一条切线，求 的值和切点的坐标；
(3)若函数 的图像与 的图像相交于相异两点 和 ，求 的取值范围．
5．（2026·上海嘉定·二模）已知在神经网络中， 常作为神经元激活函数．
(1)证明：对任意实数x，有 ，并由此写出 图像的对称中心；
(2)设交叉熵损失函数 ，用于衡量预测值 与真实标签t之间的差异，其中
．试确定t的值，使得 在 上是减函数；
(3)在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程．设数列 满足 ，其中n为
正整数．证明：存在唯一实数 ，使得 ，且对任意实数 和任意正整数n，都有．
6．（2026·上海奉贤·二模）设定义域为 的函数 的表达式为 ，我们可以
证明函数 存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点 作函数 的切线 与
轴的交点为 ，设横坐标为 ，若 ，则过点 作函数 的切线 与x轴的交点为
，设横坐标为 ；若 ，则停止作切线．…依次类推，得到数列 ，记 ， ．
(1)若 ， ，求 ；
(2)求证：数列 是严格递减数列；
(3)若 ，比较 与 的大小，并说明理由．刷真题
1．（2026·上海·高考真题）已知函数 .
(1)当 ， ，求函数 在 处的切线方程；
(2)若函数 的最小正周期为 ，且 在 上恰好有1351个解，求 的取值范围.
2．（2025·上海·高考真题）已知 ．
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若函数 满足在 上存在极大值，求m的取值范围；
3．（2025·上海·高考真题）已知函数 的定义域是 ．对于 ，定义集合 ．
(1) ，求 ；(2)对于集合 ，若对任意 都有 ，则称 是对称集．若 是对称集，证明：“函数 是偶
函数”的充要条件是“对任意 ， 是对称集”；
(3)若 ， ．求 的取值范围，使得对于任意 ，都有 ．
4．（2024·上海·高考真题）记
(1)若 ，求 和 ;
(2)若 ，求证:对于任意 ，都有 ，且存在 ，使得 .
(3)已知定义在 上 有最小值，求证" 是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数 ，均有
”.
5．（2024·上海·高考真题）对于一个函数 和一个点 ，令 ，若
是 取到最小值的点，则称 是 在 的“最近点”．
(1)对于 ，求证：对于点 ，存在点 ，使得点 是 在 的“最近点”；
(2)对于 ，请判断是否存在一个点 ，它是 在 的“最近点”，且直线 与在点 处的切线垂直；
(3)已知 在定义域R上存在导函数 ，且函数 在定义域R上恒正，设点
， ．若对任意的 ，存在点 同时是 在 的“最近
点”，试判断 的单调性．
6．（2023·上海·高考真题）令 ，取点 过其曲线 作切线交y轴于 ，取点
过其作切线交y轴于 ，若 则停止，以此类推，得到数列 ．
(1)若正整数 ，证明 ；
(2)若正整数 ，试比较 与 大小；
(3)若正整数 ，是否存在k使得 依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试
说明理由．
7．（2023·上海·高考真题）设函数 ，其中 ，若任意均有 ，则称函数 是函数 的控制函数”，且对于所有满足条件的函数
在 处取得的最小值记为 ．
(1)若 ，试问 是否为 的控制函数”；
(2)若 ，使得直线 是曲线 在 处的切线，证明：函数 为函数 的控
制函数，并求“ ”的值；
(3)若曲线 在 处的切线过点 ，且 ，证明：当且仅当 或 时，
．
8．（2023·上海·高考真题）已知 为正比例系数，定义： 为建筑物暴露在空气中的面积（单位：
平方米）， 为建筑物的体积（单位：立方米）．
(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为 ，高度为 ，求该建筑体的 （用 表示）；
(2)现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A为底面面积，L为建筑底面周长．已知 为正比例系数，
与 成正比，定义： ，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为．已知该建筑体推导得出 ， 为层数，层高为3米，其中 ，试求当取第
几层时，该建筑体 最小？
