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专项 01 三角函数与解三角形
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年北京卷考情，三角函数与解三角形是必考题，分值约13-15分．
命题趋势：
解答题：稳定考查三角函数与解三角形（常为第16题），解三角形是利用正余弦定理和面积公式解决
边、角、面积等综合问题．三角函数考察三角恒等变换、三角函数的图形与性质。
2026年预测：解答题极可能仍为三角函数与解三角形常规题．
备考核心：熟记定理与公式，解三角形解答题强化“边角互化”、正余弦定理、面积公式的灵活应用．
三角函数强化三角函数的图形与性质。
题型01 三角函数大题
析典例 · 建模型
1．（2026·北京延庆·一模）已知函数 ，从条件①、条件②、条件③这三个条
件中选择一个作为已知，使函数 存在．
(1)求 的值；(2)设 ，求 在区间 上的最大值和最小值．
条件①： 是偶函数；
条件②： 的图象上所有点向右平移 个单位长度，所得函数是奇函数；
条件③： 在区间 上单调递增．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
研考点 · 通技法
此类题型考察恒等变换和三角函数函数性质。
1、恒等变换的核心思想：
x
（1）将题目中出现的不同三角函数（如sin,cos,tan）、不同角度（如x,2x, ）通过恒等变换转化为同
2
一种函数、同一个角，以便后续分析
（2）和差化积、积化和差本质是将多项式形式转化为乘积形式（或相反），便于判断符号、单调性、最
值或零点。
（3）辅助角公式的应用，将asinx+bcosx 合并为Asin(x+φ)，本质是将两个不同三角函数的转化为
一个三角函数。
2、对三角函数进行化简后，再考察三角函数的性质：单调性、周期、对称性、最值与值域、零点问题。
破类题 · 提能力
1．（2025·北京海淀·三模）已知函数 （ ， ）．在区
间 上单调递增，且 是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中
选择一个作为已知，使函数 存在，并求解下列问题．
条件①： ；
条件②：当 时， 取到最小值；
条件③： ．(1)求 、 的值；
(2)若函数 在区间 上单调递减，求实数 的最大值．
2．（2025·北京·三模）已知函数 .
(1)若 ，求 的值；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数 存在，求出 ， 的值，并
证明：当 时， .
条件①： ；
条件②：当 时， 的最小值为 ；
条件③： 图象关于直线 对称.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
题型02 解三角形中边求长及周长
析典例 · 建模型
1．（2025·北京·三模）在△ABC中,
(1)求∠B；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长.
条件①: ；
条件②：△ABC的面积为 ；条件③：AC边上的高等于
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
研考点 · 通技法
求周长问题同求三角形的边长问题。利用面积公式与余弦定理的结合，辅助正弦定理求三角形的边长。其
问题的本质为a+b(周长相关),ab(面积相关),a2+b2 （余弦相关）这三者之间的关系，知二求
一。
破类题 · 提能力
1．（2025·北京朝阳·一模）在 中，
(1)求c的值；
(2)已知 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在且唯一，
求 的周长．
条件①： ；
条件②：AB边上的高为 ；
条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
2．（25-26高三上·北京海淀·期末）在 中， 为锐角， .
(1)求 ；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在，求 的周长.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： .题型03 解三角形中求周长或边长范围
析典例 · 建模型
1．（2026·四川攀枝花·一模）在 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足
．
(1)求角B；
(2)若 ，求 周长的取值范围．
2．（2026·河北张家口·一模）在 中，内角 的对边分别为 ，满足 ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，点 为边 上一点， 为 的平分线，求 的值；
(3)若 为锐角三角形，求 的取值范围．
研考点 · 通技法
若周长的最值或两边和的最值问题，通常有以下两种方法
1、若已知面积，则可利用基本不等式a+b≥2❑√ab可以把周长的最小值与面积挂钩。运用基本不等式时，
看是否满足取等条件。
a+b √a2+b2
2、若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 ≤❑ 把周长的最大值与余弦值挂钩。
2 2
3、若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制（锐角或钝角），这时可以考虑把边化角，通过三角函
数求范围问题来解决
若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问
题。
对三角函数比值求最值的问题可采用的方法：
1、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界
性来判断最值。
2、统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最
值。
破类题 · 提能力
1．（2025·云南大理·模拟预测）在锐角 ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
△，且 ABC外接圆半径为 .
△
(1)求角B的大小；
(2)求 ABC周长的取值范围.
△
2．（2026·广东汕头·模拟预测）在 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c． 且
．
(1)若D为AB边上靠近点A的三等分点， ，求 面积的最大值；
(2)求 的取值范围．
题型04 解三角形中求面积
析典例 · 建模型
1．（2026·北京密云·一模）在 中， .
(1)求 ；
(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的面积.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
研考点 · 通技法
1 1 1
通常根据面积公式S ABC= absinC= bcsin A= acsinB来求值。
Δ 2 2 2
1、利用正余弦定理求边长，然后求得面积
2、结合余弦定理与面积公式也可求得面积。破类题 · 提能力
1．（2025·北京·模拟预测）在 中， ，
(1)求 的值.
(2)从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的 存在，求 的面积.
① 边上的高为7；
② ；
③ 边上的中线长5.
2．（2025·北京昌平·二模）在 中， 为锐角， ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积．
题型05 解三角形中求面积的范围
析典例 · 建模型
1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知 分别是锐角 三个内角 的对边，且
， ．
(1)求 的值；
(2)求 面积的取值范围．
研考点 · 通技法
关于面积的最值问题，通常有以下两种方法
1、利用基本不等式a+b≥2❑√ab或a2+b2≥2ab可以求面积的最大值。
2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来
解决破类题 · 提能力
1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知 为锐角三角形，角 所对的边分别为 ，且
.
(1)证明： ；
(2)已知点 在线段 上，且 ，若 ，求 面积的取值范围.
2．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 若
(1)求 ；
(2)若 是锐角三角形， ，求 面积的取值范围.
题型06 解三角形中的四边形问题
析典例 · 建模型
1．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形 中，已知 交于点 ，
．
(1)若 ，求 的值；
(2)证明：当 时， 位于 外接圆的内部．
研考点 · 通技法
1、若题目中所有的角都可用某一个角度表示，假设这个角为θ，将别的未知的角用θ来表示，然后多次使
用正弦定理。在求范围与最值的问题中使用较多。
2、若有互为补角的两个角，则可以两次使用余弦定理。正余弦定理结合面积公式使用，解决四边形问题。
破类题 · 提能力
1．（2025·山东·模拟预测）在四边形 中， ， ， ，
．
(1)求 的周长
(2)求四边形 的面积．
2．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知平面四边形 中， ， ， .
(1)若 ，求 的长；
(2)设 ，记四边形 的周长 ，求 的最大值.
题型07 解三角形中的中线问题
析典例 · 建模型
1．（2025·北京海淀·三模）在 中，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一
确定，求 边上中线的长．条件①： ；条件②： ；条件③： 的面积为 ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
研考点 · 通技法
1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和：
1 2 1 2 1 2
换成三角形的中线，则有|AD| 2= |AB| + |BC| - |BC|
2 2 4
1 1
2、可以通过向量法⃗AD= (⃗AB+⃗AC),两边平方后可得|AD| 2= (|AB| 2+|AC| 2+2|AB||AC|cosA)
2 4
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·北京东城·月考）在 中， .
(1)求角 的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中线的长度．
条件①． 的周长为 ；条件②． ；条件③． 边上的高线长为1．注：如果选择的条
件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
2．（25-26高三上·北京东城·期末）在锐角 中， ．
(1)求 的值；
(2)若 为 边上的中点，从下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在，求 的长．
条件①： ；
条件②： 的面积为 ；
条件③： 的周长为 ．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
题型08 解三角形中的高线问题
析典例 · 建模型
1．（2026·北京平谷·一模）在 中， ．
(1)求 的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在，并求出 边上的高线的长度．
条件①： ；
条件②： ；
条件③：
研考点 · 通技法
1、如图AD为BC边上的高线，则有AD=AB⋅sin∠B=AC⋅sin∠C
2、利用面积公式有：AD⋅BC=AB⋅AC⋅sin∠BAC
破类题 · 提能力
1．（2025·北京西城·一模）在 中， ．
(1)求 的值；
(2)若 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求
边上的高．
条件①： ；条件②： ；
条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
2．（2025·北京丰台·二模）在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 , ，求 边上的高．
题型09 解三角形中的角分线问题
析典例 · 建模型
1．（2025·北京大兴·三模）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，角 的角平分线交
于点 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，角 的角平分线为 ，求 的长．
研考点 · 通技法
1 、 面 积 法 ： 如 图 三 角 形 中 ，
1 1 1
S =S +S ⟺ |AB||AC|sinA= |AB||AD|sinα+ |AD||AC|sinβ
△ABC △ABD △ADC 2 2 2
sinα sinβ
化简有sin(α+β)=|AD|( + )
|AC| |AB|
1 1 1
2、角分线张角定理：若AD为角分线，则α=β，则化简上式有cosα= |AD|( + )
2 |AC| |AB|
3、斯库顿定理：若AD为角分线，有AD2=AB⋅AC-BD·DC破类题 · 提能力
1．（2025·四川成都·模拟预测） 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ， 边上的中线长为2，点 在 上，且 为 的平分线，求 的长．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知 的内角 的对边分别为 ， ， ．
(1)设 ，求 的解析式；
(2)求 面积的取值范围；
(3)求顶点 的轨迹；
(4)求 边上的中线长的取值范围；
(5)求角 的平分线 长的取值范围．
（建议用时：60分钟）
刷模拟
1．（2025·北京朝阳·二模）已知函数 ．
(1)求 的最小正周期和单调递增区间；
(2)设函数 ，再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
函数 存在且唯一，求 在区间 上的最大值和最小值．
条件①： 在区间 上单调递增；条件②： 的最大值为 ；
条件③： 为偶函数．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
2．（2026·四川成都·二模）已知 分别是锐角 的角 的对边，
．
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围．
3．（2025·北京·二模）已知 中， ．
(1)求 的大小；
(2)设 为 的中点，且 ，求 的面积．
4．（2025·广东揭阳·三模）已知 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
.
(1)证明： ；
(2)求 的最值；
(3)若 ， ，求 的面积S的取值范围.
5．（25-26高三上·北京西城·期末）在 中， ．
(1)证明： ；
(2)若 的面积为 为边BC上的一点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为
已知，使得 存在，求AD的长．条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．
6．（25-26高三上·浙江杭州·期末）如图，在四边形 中， ，
(1)若 为等边三角形，求线段 的长度；
(2)若 ，求线段 的长度
7．（25-26高三下·北京·开学考试）在 中， 为锐角， ．
(1)求 ；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在，求 的面积及
边上的中线长．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．
选条件②： 由余弦定理 ，
代入得 ，判别式 ，
三角形不存在，不符合要求。8．（2025高三上·北京·专题练习）已知 的面积为 ， ．
△
(1)求 ；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 边上
中线的长． △
条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．
9．（25-26高三上·北京·月考）在 中， ， ．
(1)求A；
(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得 存在且唯一，求BC边上的高h．
条件 ： ；条件 ： ；条件 ： ．
① ② ③
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
10．（2025·陕西榆林·一模）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
．
(1)求角 的值；
(2)若 的面积为 ， 的平分线 交 于 ，求线段 的最大值．
刷真题
1．（2025·北京·高考真题）在 中， ．
(1)求c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求BC边上的高．
条件①： ；条件②： ；条件③： 的面积为 ．2．（2024·北京·高考真题）在 中，内角 的对边分别为 ， 为钝角， ，
．
(1)求 ；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的面积．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
3．（2023·北京·高考真题）设函数 ．
(1)若 ，求 的值．
(2)已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
一个作为已知，使函数 存在，求 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在区间 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
4．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数 ．
(1)求 ;
(2)设函数 ，求 的值域和单调区间．5．（2025·上海·高考真题）在 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ．
(1)若 ，求a；
(2)若 ，求 的面积的最大值．
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若 ， ，求 的周长．
