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高考仿真重难点训练06 解三角形
一、选择题
1．若 的外接圆的半径 ， ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据正弦定理求解即可.
【解析】由正弦定理可得： ,
所以 .
故选：C
2．设 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ， ，则 的面积为
（ ）．
A． B． C．12 D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函数的基本关系计算出 的值，然后利用三角形的面积公式可求得 的面积.
【解析】∵ ，∴ ，
由三角形的面积公式可知， 的面积为 .
故选：B
3．在 中， 分别为角 的对边，若 ， ， ，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】根据同角三角函数关系求得 ， ，利用两角和的正弦公式求得 ，利用正弦定理求得b，c，进而求出a的值．
【解析】由 ，可得 ，根据 进而求出 ， ，
由 可得 ， ，
则 ，
由正弦定理可知 ，
又因为 ，解得 ， ，
由正弦定理可得 ．
故选：B．
4．在 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 ．若 ，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】将已知等式利用余弦定理统一成边的形式，化简变形可求得结果.
【解析】 ，
，
， ．
，即 ．
， ，即 ．
故选：D
5．释迦塔俗称应县木塔，建于公元1056年，是世界上现存最古老最高大之木塔，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.2016年、释迦塔被吉尼斯世界纪录认定为世界最高的木塔.小张为测
量木塔 的高度，设计了如下方案：在木塔所在地面上取一点 ，并垂直竖立一高度为 的标杆 ，
从点 处测得木塔顶端 的仰角为60°，再沿 方向前进 到达 点，并垂直竖立一高度为 的标
杆 ，再沿 方向前进 到达点 处，此时恰好发现点 ， 在一条直线上.若小张眼睛到地面的距离
，则小张用此法测得的释迦塔的高度 约为（参考数据： ）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点 作 于点 ,过点 作 于点 ,交 于点 ,利用特殊角的三角函数值以及
三角形相似即可得到答案.
【解析】如图,过点 作 于点 ,过点 作 于点 ,交 于点 ,
则四边形 , , 都是矩形,所以
,
所以 .在Rt 中, ,
所以 ,
由已知得 ,所以 ,
即 ,解得 .
故选：B.
6．在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，则
周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将已知条件中的切分离开来且切化弦，再结合三角恒等变换公式进行整理得出角A，接着利用
正弦定理进行边化角利用三角函数有界性即可探究周长取值范围，从而得出周长最大值.
【解析】由题意得 ，
整理得 ，
，又 ，故角 为 ，
所以由正弦定理得 ，
所以 ， ，
所以 的周长为：
，因为 是锐角三角形，所以 ， ， ，
，所以 ，则 ，
所以 ，
故 周长的最大值为 .
故选：B.
7．若 的内角 的对边分别为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 为锐角三角形
B．若 ，则此三角形为等腰三角形
C．若 ，则解此三角形必有两解
D．若 是锐角三角形，则
【答案】D
【分析】由余弦定理可判断A；由余弦定理化简即可判断B；由正弦定理即可判断C；由正弦函数的单调性
结合诱导公式即可判断D.
【解析】对于A，若 ，则 ，
因为 为三角形内角，只能说明 为锐角，不能说明 为锐角三角形，故A错误；
对于B，若 ，由余弦定理可得 ，
整理可得 ，所以 或 ，
所以 为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，若 ，由正弦定理可得 ，
因为 ，则 ，即三角形只有一解，故C错误；对于D，若 是锐角三角形，则 ，所以 ，
即 ，所以 ，即 ，
同理可得 ，所以 ，故D正确；
故选：D.
8．在锐角 中，角 的对边分别为 ， 为 的面积，且 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角形面积公式及余弦定理得到 ，结合同角三角函数关系得到 ，
，由正弦定理得到 ，且 根据三角形为锐角三角形，得到
，求出 ，利用对勾函数得到 的最值，求出 的取值范围.
【解析】由三角形面积公式可得： ，故 ，
，故 ，
因为 ，所以 ，
解得： 或0，
因为 为锐角三角形，所以 舍去，
故 ， ，由正弦定理得：
，
其中 ，
因为 为锐角三角形
所以 ，故 ，所以 ， ，
， ，
令 ，则 为对勾函数，在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
又 ，
因为 ，所以 ，
则 .
故选：C
【点睛】解三角形中求解取值范围问题，通常有两种思路，一是利用正弦定理将角转化为边，利用基本不
等式进行求解，二是利用正弦定理将边转化为角，结合三角函数的图象，求出答案.
二、多选题
9．若 的三个内角 的正弦值为 ，则（ ）
A． 一定能构成三角形的三条边
B． 一定能构成三角形的三条边
C． 一定能构成三角形的三条边D． 一定能构成三角形的三条边
【答案】AD
【分析】根据正弦定理边角化，结合三角形三边满足的关系即可根据选项逐一求解.
【解析】对于A，由正弦定理得 ，
所以 ， ， 作为三条线段的长一定能构成三角形，A正确，
对于B，由正弦定理得 ，
例如 ，则 ，
由于 ， ，故不能构成三角形的三条边长，故B错误，
对于C, 由正弦定理得 ，
例如： 、 、 ，则 、 、 ，
则 ， ， ， 作为三条线段的长不能构成三角形，C不正确；
对于D，由正弦定理可得 ，不妨设 ，则 ，故
，且 ，
所以 ，故D正确，
故选：AD
10．如图，在锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，且
，D是 外一点且B、D在直线AC异侧， ， ，则下列说法
正确的是（ ）
A． 是等边三角形B．若 ，则A，B，C，D四点共圆
C．四边形ABCD面积的最小值为
D．四边形ABCD面积的最大值为
【答案】ABD
【分析】由正弦定理的边角互化即可得到 ，从而判断A，由余弦定理即可得到 ，从而判断
B，由三角形的面积公式代入计算，即可判断CD.
【解析】 ，
根据正弦定理得 ，
即 ，
，显然 ，则 ，根据题意，有 ，
又 ，可得 ， ， 为等边三角形，故A正确；
， ，在 中， ，
当 时， ， ，即 ，
A，B，C，D共圆，B正确．
又 ，
四边形ABCD面积，
， ，
，则 ，
所以四边形ABCD的面积没有最小值，C错误．当 ，即 时，四边形ABCD面积取最大值 ，故D正确．
故选：ABD．
11．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球 的半径为R，A，B， 为球面上
三点，劣弧BC的弧长记为 ，设 表示以 为圆心，且过B，C的圆，同理，圆 的劣弧 的
弧长分别记为 ，曲面 （阴影部分）叫做曲面三角形， ，则称其为曲面等边三角形，线段
OA，OB，OC与曲面 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面 ．设
，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面 是面积为 的等边三角形，则
B．若 ，则
C．若 ，则球面 的体积
D．若平面 为直角三角形，且 ，则
【答案】BC
【分析】对于B，利用 代入易得；对于C，先求得三棱锥 的体积
，由球面 的体积 即得；对于A，由条件知 三边为 ，推得排除A，对于D，由余弦定理和题设可得 ，取特殊值即可排除D.
【解析】对于A，因等边三角形 的面积为 ，则 ，
又 ，故 则 ，故A错误；
对于B，由 可得 ，故 ，即B正确；
对于C，由 可得， 故 .
由正弦定理， 的外接圆半径为 ，点 到平面ABC的距离 ，
则三棱锥 的体积 ,
而球面 的体积 ，故C正确；
对于D，由余弦定理可知 由 可得， ，
即 ，化简得， ．
取 ，则 ，则 ，故D错误．
故选：BC
三、填空题
12．在 中， ， .则 .
【答案】
【分析】根据正弦定理及余弦定理可得 ，再由诱导公式及二倍角正弦公式求解.【解析】由正弦定理， ，
所以由 可得 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
13．在锐角三角形 中， ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用 为锐角三角形，求出角B的范围，再利用正弦定理求出 的范围即可得解.
【解析】因 为锐角三角形，则 ，解得 ，
由正弦定理得 ，
， 在 上递增，
， ，则 ，
依题意 ，即 ，则 ，
所以 的最小值为为 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：给定三角形角的关系，处理三角形中边的关系时，利用正弦定理化边为角，再借助三角函数变换作答是解决问题的关键.
14．剪纸又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一，如图，一圆形纸片沿直径AB
对折，使圆上两点C、 重合，D，E为直径AB上两点，且 ，对折后沿直线DC，EC级剪，
展开得到四边形 ，若 ，则当四边形 的面积最小时， ．
【答案】 /
【分析】根据正弦定理，结合三角形面积公式，辅助角公式、二倍角的正弦公式进行求解即可.
【解析】设圆的半径为r， ，∵ ，∴ ，
在 中由正弦定理可得 ，∴ ，
在 中由正弦定理可得 ，∴ ，
，当 时四边形 的面积取得最小值
，此时 ，∴ .
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角形面积公式、正弦定理得到面积的表达式，利用辅助角公式进
行求解.
四、解答题
15．在 中， ， ， .
(1)求 的面积；
(2)求c及 的值.
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）利用平方关系求得 ，应用三角形面积公式求 的面积；
（2）余弦公式求c，再应用正弦定理求 .
【解析】（1）由 且 ，则 ，
所以 .
（2）由 ，则 ，而 ，则 .
16．在 中， 分别为内角 所对的边，若 ， ．
(1)求 的面积；
(2)求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理结合题干条件可推出 ，然后由三角形的面积公式求解；
（2）结合（1）中推出的条件和基本不等式进行求解.
【解析】（1）由余弦定理， ，结合 可得 ，
整理可得 ，根据三角形的面积公式， .
（2）由（1）知 ，根据基本不等式， ，
当 时， 的最小值是 .
17．在 中，已知角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ．
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式，结合余弦定理将角转化为边，可将式子变形为 ，
再利用余弦定理即可求解；（2）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角恒等变换可得 ，根据锐角三角形可得
的取值范围，结合三角函数的图象和性质即可求解.
【解析】（1）在 中，
，
因为 ，
所以 ，
化简得 ，由余弦定理得 ，
又 ，所以 ；
（2）由正弦定理知
，
由 为锐角三角形可知 ，而 ，所以 得 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
则 的取值范围为 .
18．在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 ，在边 上（不含端点）存在点 ，使得 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接用余弦定理求得 ，进而得到 ；
（2）思路一：利用正弦定理三角恒等变换得 ，进一步结合正弦定理得
，由 即可求解；思路二：设边 上的高线长为 ，则 长度的取值
范围是 ，从而条件等价于 ，最后用 表示 和 ，即可求出 的范围.
【解析】（1）由余弦定理得 ，所以.
（2）方法一：因为 ，所以 ，
由（1）知道 ，所以 ，
所以 ，
所以由 ，可得 ，
从而 （因为 ），
所以 ，结合 是三角形内角可知， ，
当 时，在三角形 中，设 ，则 ，
由正弦定理得 ，故 ，
因为 ，
所以 ，
在三角形 中，由正弦定理得 ，
故 ，
因为 ，
所以 的取值范围是 ，所以 的取值范围是 .
方法二：在本小问的解析中，所有“线段 上”均不含端点 和 .
由 知角 是钝角，所以角 都是锐角，
这表明点 在直线 上的投影 在线段 上.
设 ，则由 在线段 上及 可知，
对线段 上的点 ， 长度的取值范围是 ，所以条件等价于 .
而我们有 ，
故 .
由于 ，
故我们又有 .
所以条件等价于 ，即 .
综上， 的取值范围是 .
19．若 内一点 满足 ，则称点 为 的布洛卡点， 为 的布洛
卡角．如图，已知 中， ， ， ，点 为的布洛卡点， 为 的布洛卡角．(1)若 ，且满足 ，求 的大小．
(2)若 为锐角三角形．
（ⅰ）证明： ．
（ⅱ）若 平分 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）先判断 与 相似，进而得到 ，应用余弦定理求出 的值即可；
（2）（ⅰ）在 内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，针对 分别在 、 和 内，三次应用余弦
定理以及三角形的面积公式，且 表示出三角形的面积，由余弦定理形式相加，
再化简整理得： ，即可得证；（ⅱ）得出 与 的等量关系，再利用余弦定
理和三角形的面积公式， 平分 ，将 代入，化简整理即可得证.
【解析】（1）若 ，即 ，得 ，
点 满足 ，则 ，
在 和 中， ， ，所以 与 相似，且 ，
所以 ，即 ，
由余弦定理得： ，且 ， ，
得 ，且 ，
所以 ；
（2）（ⅰ）在 内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，
，
，
三式相加可得： ①
在 内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，
在 和 内，同理： ， ，
三式相等： ，
因为 ，由等比性质得：②
由①②式可证得： ；
（ⅱ）因为 ，
即 ，
所以 ，
在 中，
分别由余弦定理得： ， ，
，
三式相加整理得 ，
，
将 代入得：
若 平分 ，则 ， ，
所以 ③
又由余弦定理可得： ④
由③-④得：
所以 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：根据 表示出三角形得面积，在 中，由余弦定理相加，得出 与 的等量关系，是解决本题的关键.
