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专项 01 三角函数、三角恒等变换与解三角形
参考答案
题型01 三角恒等变形与三角函数图象问题
析典例 · 建模型
1．【思路分析】（1）根据图象，结合正弦函数的性质，可求函数 的详解式，再求函数的单调区间
即可.
（2）根据同角三角函数的基本关系与两角和与差的余弦公式求值即可.
【规范答题】（1）由图可得 ， ，
所以 ，且 ， 得 ， ，
又因为 ，所以 ，所以 .
又因为 ， ，
解得 ， ，
所以 在 上的单调递增区间为 .
（2）因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
所以 .
破类题 · 提能力
1．【答案】(1) 和
(2)条件①：不符合题意；条件②： ；条件③：
【详解】（1）
直线 是 的最小值线，相邻交点距离等于 的周期，故 ，
由周期公式 ，得 ，因此： ，
正弦函数的单调递增区间满足： ，
解得： 结合 ，取 得 ，
取 得 ，
所以 在 上的单调递增区间为 和 ；
（2）由题意得： ， ，
选条件①：因为 ，其最大值为 对任意 均满足，函数 不唯
一，不符合题意，选条件②： 在 上单调递增，
的递增区间 ，得递增区间 ，
由 在区间 上单调递增得 时： ，
因此 ，
当 时， ， ，故 ，
若 恒成立，则 ，即 的取值范围为 ，
选条件③：因为 为偶函数，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，解得 ，
因此 ,当 时， ， ，故 ，
若 恒成立，则 ，即 的取值范围为 .
2．【答案】(1)
(2)
(3)【详解】（1）由题 ， ，
所以 ，
所以 的图象在点 处的切线方程为 即 .
（2）由（1）可知 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
故 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以函数 在区间 上的最大值为 .
（3）因为
要使函数 在区间 上有三个极值点，
则函数 在区间 上有三个不同的变号零点，
令 ，
则 ，
当 时，令 或 或 或 ，
故存在 使得 即 ，
所以当 时 ；当 时 ；当 时 ，故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
又 ，
作直线 与函数 的图象如图所示：
由图可知直线 与函数 的图象有3个不同的交点时 ，
所以函数 在区间 上有三个不同的变号零点，实数 的取值范围为 .
题型02 三角形中边长及周长问题
析典例 · 建模型
1．【思路分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理结合两角和的正弦公式及三角形内角关系求解；
（2）根据已知条件，利用余弦定理解三角形，再利用已知周长构造方程求解．
【规范答题】（1）已知 ，由正弦定理得 ，
，
又 ，
，
，
，又 ，
．
（2） ，由余弦定理： ，
，
的周长为8， ，解得 ，
故 ．
2．【思路分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解角 ；
（2）利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变形转化为正切函数的取值范围，最后可求周长的取值
范围.
【规范答题】（1）由 ，
因为在 中有 ，所以上式可化为 ，
又因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ；
（2）由正弦定理得： ，
可得 ，
所以 的周长为 ，
因为锐角 ，可知 ，
可得 ，则周长可化为：，
，
由 ，且 ，
所以 ，即 ，
故锐角 周长的取值范围为 .
破类题 · 提能力
1．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为 ,
根据正弦定理得 ，
整理得 ,
根据余弦定理 ,
可得 ，
又因为 ,（ 是 的内角）,所以 .
（2）由正弦定理 ，得 ，
由（1）知 ，结合 ，
由余弦定理得， .
（3）由已知 得 ，
，
.
2．【答案】（1） ；
（2）12
【分析】（1）由余弦定理的边角关系，将 化角为边求 ，再由正弦定理及
求得 ，即可得；
（2）由余弦定理、基本不等式有 ，进而可得周长的最大值.
【详解】（1）由 ，则 ，
所以 ，
由 ，而 ，即 ，
所以 ，而 ，故 ；（2）由（1）知 ，则 ，
当且仅当 时取等号，
所以 ，即 时取等号，
所以 周长 的最大值为 .
3．【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
∴ ，
∵ ，则 ，∴ ，又 ，∴ ；
（2）因为 ， ，
由余弦定理 ，即 ，
∴ ，解得 ，
∴ ；
（3）在 中，由正弦定理 ，
∴ ，
∴，
又 为锐角三角形，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
故 周长的取值范围为
题型03 三角形中面积问题
析典例 · 建模型
1．【思路分析】（1）由正弦定理得到 ，根据 得到方程，求出 ，根
据余弦定理得到 ，求出 ；
（2）由 利用三角形面积公式可得 ，根据基本不等式解出 的最小值，
应用取等条件求出三角形面积.
【规范答题】（1）因为 ，由正弦定理得 ，
因为 的角平分线交BC于点D，所以 ，
由 ，得 ，
则 ，
即 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ；（2）由 ，
得 ，
得 ，
化简得 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立， 取得最小值，
此时， 面积为 ．
2．【思路分析】（1）需利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合两角差的余弦公式及三角形内角
和定理化简，求解三角方程得出角A；
（2）求 面积的取值范围，先根据锐角三角形条件确定角B、角C的范围，再由正弦定理用角C
表示边b，结合正切函数性质求出b的范围，最后代入面积公式得出结果.
【规范答题】（1）由和差公式和正弦定理可得：
，
即 ，
即 ，
即 ，
整理得到 ，
因为在 中 ，
所以 ，即 ，因为 ，所以 ，
所以 ，得到 .
（2）因为 是锐角三角形，所以 ，
结合B为锐角，解得 ，同理可得 ，
由正弦定理 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 .
破类题 · 提能力
1．【答案】(1)
(2)等边三角形，
【详解】（1）在 中，由正弦定理得 ，
整理得 ，
因为 ，故 ，
又 ，故 ．
（2）已知 ，则 ，故 ，
，即 ，则 ， ，
因为 ．则 ．故 ，
所以， 是等边三角形．
因此 .
2．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在 中， ，而 ，即 ，
，由余弦定理得 ，
所以 .
（2）由（1）知， ， ，而 ，于是 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
因此 的面积 ，
所以当 时， 面积取得最大值 .
3．【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出 ，结合
正弦函数的单调性可证得结论成立；
（2）由正弦定理及三角恒等变换化简得出 ，根据已知条件求出角 的取值范围，结合余弦函数的基本性质和对勾函数的单调性可得出 的取值范围；
（3）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出 ，结合正切
函数和反比例函数的基本性质可求得 面积的取值范围.
【详解】（1）由 及正弦定理可得 ，即 ，
因为 ，则 ，所以 ，即 ，
由余弦定理可得 ，所以 ，
所以 ，由正弦定理可得
，
因为 为锐角三角形，故 ， ，所以 ，
又函数 在 上单调递增，且 ，故 ，即 .
（2）
，
因为 为锐角三角形，故 ，解得 ，
又因为 ，可得 ，故角 的取值范围是 ，
所以 ，故 ，令 ， ，
任取 、 且 ，
则
，
因为 ，所以 ，则 ，所以 ，
所以函数 在 上为增函数，故 ，
故 的取值范围是 .
（3）由正弦定理可得 ，所以 ， ，
所以
，
因为 ，所以 ，
令 ，函数 、 在 上均为减函数，故函数 在 上为减函数，所以 ，即 ，
因此 ，即 面积的取值范围是 .
题型04 解三角形中三线问题
析典例 · 建模型
1．【思路分析】（1）将已知三角等式通过内角和与二倍角公式转化为关于 的二次方程，求解角 ；
（2）先利用正弦定理求出三角形各边长度，再通过余弦定理计算 边上的中线长.
【规范答题】（1）在 中， ，故 .
由 ，得 ，
即 ，
即 ， (舍去，因 ).
由 ， ，得 .
（2）由 ， ，得 .
.
由正弦定理得 ，
同理， .设 的中点为 ，则 .
在 中，
，
故 ，即 边上的中线长为 .
2．【思路分析】（1）由正弦定理结合诱导公式及两角和正弦公式得出 ，应用角的范围求出角；
（2）先根据中线得出 ，再左右两边平方结合余弦定理得出 为直角三角形，最
后应用两角和正弦公式及正弦定理计算求解.
【规范答题】（1）根据题意 ，且 ，
由正弦定理得 ，
化简得 ，因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ；
（2）根据题意，在 中， 边上的中线 长为 ，
得 ，
两边平方得
化简 ，故有 ，
解得 （舍去）或 .
在 中， ，
又 ，故 为直角三角形，在 中， ，所以 ，
又 ，
所以根据正弦定理得
，
解得 .
破类题 · 提能力
1．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由正弦定理知， ，所以 ，
即 ，
所以 ，所以 ，所以 或 ，
所以 或 ，又因为 是锐角三角形，所以 ；
（2）不妨设 为 边上的中线，
在 中，有 ，由（1）可得 ，故 ，
所以 ．
在 中，有 ，所以 ．
即 ，解得 ．2．【答案】(1)
(2)2
【详解】（1）由 可得 ，
由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
（2）依题意， ，设BC边上的高为 ，
由 ，可得 ，
由余弦定理 可得 ，
即 ，当且仅当 时等号成立，
因此 ，
所以BC边上的高的最大值为2．
3．【答案】(1)
(2)
(3)【详解】（1） ， ，
， ，
由余弦定理得 ，
又 ， ；
（2）由 的角平分线将 的面积分为两部分，
则 ， ，
于是 ，
即 ，解得 ，
所以 的长为 ；
（3）由三角形面积公式得 ，
由正弦定理得
，
三角形为锐角三角形， ，得 ， ，
， ， ， .
题型05 三角形中图形类边长及范围问题
析典例 · 建模型
1．【思路分析】（1）利用余弦定理角化边，再利用余弦定理公式可得答案；（2）利用正弦定理将 转化为 ，然后利用三角恒等变换的公式将 表示成三角函
数的形式，通过三角函数的值域的求法求出范围.
【规范答题】（1）因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，
又 ，所以 ；
（2）由（1）知 ，又 ，
由正弦定理 ，
所以 ，
所以
，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围是 .
2．【思路分析】（1） 两边平方，结合题目条件，余弦定理和面积公式得到 ，因为 为
锐角，所以 .
（2）设 ， ，则 ，在 中和在 中，由正弦定理联立得，因为 ，所以 ，求出 的最小值.
【规范答题】（1）由 ，两边平方得 ，故 ，
所以 的面积 ，
由余弦定理 及 ，
得 ，
因为 ，所以 ，因为 为锐角，所以 .
（2）设 ， ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，
因为 ，
所以 ，
则 ①，
在 中，由正弦定理得 ，
则 ②，
由①②得， ，
因为 ，所以 ，所以
所以 ，故 的最小值为1.破类题 · 提能力
1．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 ，得 ，
因为 为三角形边长，所以 ，所以 ，
若 ，则 ，代入得 ，矛盾，
所以 ，方程两边同除以 得 ，又 ，所以 .
根据余弦定理 ，
得 .即 ，整理得 .
解得 或 （舍去）.所以 .
（2）由 ，得 ， ，
因为 ，则 ， ，
所以 ，
，
因为 为锐角三角形，所以 则 ，
所以 ，即 取值范围为 .
2．【答案】(1) ;(2)
【详解】（1）由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，所以 ；
（2）根据正弦定理得 ，
由（1）得 ， ，
， 为锐角，所以 ， ，
其中 ， ，即 ，
综上可知， 的取值范围是 ．
题型06 三角形中证明类问题
析典例 · 建模型
1．【思路分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和与差的正弦公式即可计算求解；
（2）（i）先分别在 和 中利用正弦定理结合 和比例的性质得
和 ，接着在 和 中利用余弦定理结合 即
可分析计算求解；（ii）先由（1）得 ，进而得到 ， ，接着由题设结合（i）得
，再结合基本不等式即可求解．
【规范答题】（1）因为 ，
所以由正弦定理得
，
因为A， ，所以 ， ，故 ；
（2）（i）证明： 中，由正弦定理得 ①，
同理在 中， ②，
BD是 的角平分线，则 ，则 ，
故 得 ，
由比例的性质得 ，即 ，
同理得 ，即 ，
在 中，由余弦定理得 ③，
中，由余弦定理得 ④，
又 ，故 ， ，
由 得
，
则 ，即 ；
（ii）因为 ，故 ，
则 ，则 ， ，
由 以及（i）知 ，
即 ，则 ，
当且仅当 ，结合 ，即 ， 时等号成立，
故 的最大值为 ．
破类题 · 提能力
1．【答案】(1)见解析；(2)
【详解】（1）由正弦定理可知， ，
得 ，且 ，
即 ，整理为 ，
即 ；
（2） ，
由（1） 可知， ，且 ，
所以 ，上下同时除以 ，
，
因为 ，得 ，
所以 ，当 时等号成立，所以 ，
所以 的最大值为 .
题型07 解三角形中内切圆、外接圆问题
析典例 · 建模型
1．【思路分析】（1）先根据等差数列的性质得到 的关系，再根据正弦定理将角化边，最后利用余
弦定理求值；
（2）先根据正弦定理求出 ，再结合（1）中的 的关系求出 ，最后根据三角形的面积公式求
解.
【规范答题】（1）由 成等差数列知 ，又 得 ，
于是 ，设 ，则 ，
所以 ；
（2）由（1）知 ，
由 得 ，所以 ，
所以 的面积 .
2．【思路分析】（1）由已知及三角恒等变换化简得 ，根据正弦定理边
角关系、余弦定理求角的大小；
（2）由（1）得 ，结合已知求边长，进而得到三角形面积，应用等面积法求内切圆
半径.
【规范答题】（1）由 ，
有 .可得 .
由正弦定理，有 .
又由余弦定理，有 .
又由 ，可得 ；
（2）由（1）有 ，代入 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ，可得 的面积为 .
设 的内切圆的半径为r，有 ，
代入 ，有 ，可得 ，
故 的内切圆的半径为 .
破类题 · 提能力
1．【答案】(1)7
(2) 或 .
【详解】（1）设 的外接圆半径为 ，
由三角形面积公式有 ，故 ，则 ，
又 ，故 ，即 .
故 的外接圆半径为7.（2）由 ，且 ，
所以 ，所以 .
在 中，由余弦定理 ，
解得 或 ，
所以 边上的高 或 .
2．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由 ，
则 ，
根据余弦定理得 ，即 ，
由 ，则 .
（2）由（1）知， ，则有 ，
又 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，解得 ，所以 ，当且仅当 取到等号，
（3）设 的内切圆 的半径为 ，由等面积法可得 ，故 ，
所以 ，故
，
当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为 .
题型08 解三角形中图形类问题
析典例 · 建模型
1．【思路分析】（1）利用三角形的面积公式与余弦定理求解即可；
（2）先用正弦定理求 ，进而利用余弦定理可求 ，从而可得周长.
【规范答题】（1）由 为 的角平分线及 ，知 .
，即 ，得 ..
故边BC的长度为 .
（2）由 的外接圆直径 ，得 ，则 .
由余弦定理知， ，
设 ，则 ，即 ，
，解得 （舍去）或 ，则 .
所以 ACD的周长为 .
△
2．【思路分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出相关线段长度，进而求解；
（2）利用正弦定理结合已知条件求出 ，再利用四点共圆的性质求出 ，比较 的
大小判断 的位置．
【规范答题】（1） ， ，
在 中，由余弦定理得
，
，
同理 ，
，
．（2）在 中，由正弦定理得 ，
，
，
设 为射线 上一点，且 四点共圆，则 ，
，解得 ，
， 位于 外接圆的内部．
破类题 · 提能力
1．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在 中，由余弦定理知 ，
即 ，
解得 ，
；（2）在 中，由正弦定理知 ，解得 ，
又在 中， ，
，
，
，
，
在 中， ，
，
在 中，由正弦定理得 ，
解得 .
2．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在 中，由余弦定理可得：
，所以 ,
所以 或 ，因为 ，所以
所以 .
即 的面积为 .（2）设 ，
在 中， ，所以 ，
由正弦定理： ，即 ，
所以 ，
在 中， , ,
由正弦定理 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，化简得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
在 中， ,
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 的取值范围为 ，即 .所以 的取值范围为 .
题型09 解三角形的实际应用
析典例 · 建模型
1．【思路分析】（1）在 中利用正弦定理计算可得；
（2）在 中利用余弦定理求出 ，再在 中利用余弦定理求出 ；
【规范答题】（1）由题可知在 中， ， ，所以 ，
由正弦定理可得： ，及 ，
所以 （海里）．
（2）由题可知在 中： ， ，所以 ．
所以 （海里），
由余弦定理可得：
，
所以 （海里），
由题意可知，在 中， ，
由余弦定理可得：
，
所以 （海里）.
2．【思路分析】（1）利用仰角差得 ，通过正弦定理求 ，结合直角三角形求山高 即可.
（2）用正切表示仰角，通过正切差公式表示视角的正切值，结合基本不等式求最值即可.
【规范答题】（1）由题意可知， ， ， ， ，在 中， ，所以 ，
在 中， ，
所以山高 .
（2）由题意知， ， ，且 ，
则 ，
在 中， ，
在 中， ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 时， 取得最大值，
又 ，所以此时视角 最大.
综上，当 时，视角 最大.
破类题 · 提能力
1．【答案】(1)
(2) 米
【详解】（1）因为 ，所以
.所以 ，所以 .
在 中，根据正弦定理， ，即 ，
解得 .
（2）在 中，根据余弦定理， ，
化简得 ，由于 ，所以解得 米.
因为 ，在 中，根据余弦定理 ，
化简得 ，解得 米.
在 中，根据余弦定理 ，
化简得 ，解得 米.
2．【答案】(1) 米
(2)
【详解】（1）由题意得，设 米，
在 中， ，则 ；
在 中， ，则 .在 中，由余弦定理得， ，
整理得 ，解得 或 （舍）
所以重兴塔高 米
（2）过点 作 交 于 ，设 ，
则在 中， ，
在 中， ，
.
当且仅当 ，即 等号成立
所以 的最大值为
（建议用时：60分钟）
刷模拟
1．【答案】(1)(2)
【详解】（1） 函数 的最小正周期为 ，
，解得 ， 即 ，
，
，则 ，
，则 ，
，
，
，
，即 ，
.
∴
（2） ，
的图象向右平移 个单位后得到的函数为 ，即 ，
再向上平移1个单位得到的图象对应函数为 ，
，
当 时， ，令 ，则 ，
则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 则
，
，
，
函数 在 上的值域为 ．
2．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 成等差数列，所以 ，又 ，所以 ．
设 ，则 ，则 ．
（2）由（1）得 ，
则 外接圆的半径 ，
则 ，则 ， ，
则 的取值范围为 ．
3．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理得 ，因为 ，所以 .
由三角形面积公式得 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）由（1）知， ，得 ，
而 ，得 ，又 ，
得 为等边三角形，得 ，
故 .
4．【答案】(1)证明见详解；
(2)
【详解】（1）证明：设 ，
因为 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得， ，
在 中，由正弦定理得， ，
所以 .
（2）因为 的外接圆半径为1，
由正弦定理 ，得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，①
在 中，同理可得 ，②由①②可知， 是关于的方程 的两根，
所以 ．
的面积为 .
由 ，得到 ，
又因为 ，所以 ，
所以
即 面积的最大值为 .
5．【答案】(1)
(2)最大值 ；最小值4
【详解】（1）由题意得
所以 ①
又 ②
由①②解得 ，所以 的周长为 ；
（2）∵ ，
又 ，∴
∴当且仅当 ，即 时取“ ”，
又 ，当且仅当 时取“ ”，
所以 的最大值 ，最小值4．
6．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
又因为 ，
即 ，
且 为锐角三角形，则 ，则 ，
可得 ，所以 .
（2）因为 ，且 ，则 ，
可得 ，解得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
则 ，
因为 ，则 ，可得 ， ，
则 ，
即 的最大值为 ，且 ，
所以角 的最大值为 .
7．【答案】(1)1
(2)
【详解】（1）
，
因为 成等差数列，所以 ，
又 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，
，
当 取得最大值时， 取得最小值，
因为 ，所以 ，
所以当 时， 取得最小值1.
（2）因为 成等比数列，所以 ，由（1）知 ，
因为 ，所以 ，
将 代入 ，化简得 ，
两边同除以 ，得 ，即 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，即 ，得 ，
所以 的取值范围为 .
8．【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【详解】（1）由 ，利用正弦定理得： ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以 或 （舍去）
所以 ；
（2）由 ，所以 ，
又 ，所以 ，又 ，所以 ，
又由 为 的平分线，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又由余弦定理得： ，
所以 ，所以 ；
（3）由（1）有 ，又 ，所以 ，
又由正弦定理得：
，
又 为锐角三角形，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .
9．【答案】(1) （海里）
(2) （平方海里）．
【分析】（1）在 和 中反复使用正弦定理，用角度 表示边长 、 、 、 ，
代入求值即可；
（2）将面积表达式化简为关于 的三角函数，利用和角公式、二倍角公式进行变形，通过三角函数的
范围求解面积的最小值.【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，
又 ，设 ，
∴ ， ， ．
在 和 中由正弦定理可得 ，
，
即 ， ，
，
．
当 时，则 ， ，
∴ ， ，
∴ （海里）．
（2）
令，
∴ ．
因为 ，∴ ，∴ ，
所以当 时， （平方海里）．
10．【答案】(1)
(2) 12；②
①
【分析】（1）根据角的关系求得 ，在 、 中，分别由正弦定理可
得 ， ，由商数关系求 的值；
（2）由 ，可得 ，对于①在 、 、
中由余弦定理结合代数运算可得 ，再根据面积可
求 的值；②由面积公式结合余弦定理可得 ，结合①可得
，平方展开运算得解.
【详解】（1）在 中， ，
所以 ，而 为锐角，故 ，所以 ，
所以 ，而 ，故 .
又 ，故 ，
在 中，由正弦定理有 ，所以 ，
在 中，由正弦定理有 ，所以 ，
所以 ，故 .
（2）
因为 ，所以 ，即 ，
① ，所以
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
三式相加得，
整理得： .
②又
又由①知 ，
所以 ，
故 ，
整理得： ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以 .
刷真题
1．【答案】(1)
(2)答案见详解
【详解】（1）由题意 ，所以 ；
（2）由（1）可知 ，
所以
，
所以函数 的值域为 ，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间为 ，
函数 的单调递增区间为 .
2．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理有 ，对比已知 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，
从而 ，
又因为 ，即 ，
注意到 ，
所以 .
（2）由（1）可得 ， ， ，从而 ， ，
而 ，
由正弦定理有 ，从而 ，
由三角形面积公式可知， 的面积可表示为
，
由已知 的面积为 ，可得 ，
所以 .
3．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由 可得 ，即 ，
由于 ，故 ，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由 ，又 ，消去 得到：
，解得 ，
又 ，故
方法三：利用极值点求解
设 ，则 ，
显然 时， ，注意到 ，
，在开区间 上取到最大值，于是 必定是极值点，
即 ，即 ，
又 ，故方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设 ，由题意， ，
根据向量的数量积公式， ，
则 ，此时 ，即 同向共线，
根据向量共线条件， ，
又 ，故
方法五：利用万能公式求解
设 ，根据万能公式， ，
整理可得， ，
解得 ，根据二倍角公式， ，
又 ，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又 ，则 ，进而 ，得到 ，
于是 ，
，
由正弦定理可得， ，即 ，
解得 ，
故 的周长为
4．【答案】(1) (2)6【详解】（1） ，
，即 ，
又 ，
，
，
，
即 ，所以 ，
.
（2）由（1）知， ，
由 ，
由正弦定理， ，可得 ，
，
.
5．【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）方法1：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，在 中， ，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，则 ，
，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，有 ，则 ，
，过 作 于 ，于是 ， ，
所以 .
（2）方法1：在 与 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，而 ，则 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点，则 ，又 ，
于是 ，即 ，解得 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .6．【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则 ， ，
.
（2）由三角形面积公式可得 ，
则 .
