文档文本内容
专项 01 三角函数与解三角形
内容导航
【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年北京卷考情，三角函数与解三角形是必考题，分值约13-15分．
命题趋势：
解答题：稳定考查三角函数与解三角形（常为第16题），解三角形是利用正余弦定理和面积公式解决
边、角、面积等综合问题．三角函数考察三角恒等变换、三角函数的图形与性质。
2026年预测：解答题极可能仍为三角函数与解三角形常规题．
备考核心：熟记定理与公式，解三角形解答题强化“边角互化”、正余弦定理、面积公式的灵活应用．
三角函数强化三角函数的图形与性质。
题型01 三角函数大题
析典例 · 建模型
1．（2026·北京延庆·一模）已知函数 ，从条件①、条件②、条件③这三个条
件中选择一个作为已知，使函数 存在．
(1)求 的值；(2)设 ，求 在区间 上的最大值和最小值．
条件①： 是偶函数；
条件②： 的图象上所有点向右平移 个单位长度，所得函数是奇函数；
条件③： 在区间 上单调递增．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)选择①，不符合条件，选择②或选择③， ；
(2)最大值为 ，最小值为
【分析】（1）选择条件①，得 即可求解；
选择条件②，得 即可求解；
选择条件③，由正弦函数单调性得 即可求解；
（2）将(1)中求得的 值代入，化简 的表达式后，结合 的取值范围与正弦函数的性质求解最值.
【详解】（1）选择条件①：
由函数 ， 是偶函数，
则 ，因为 ，
则此时 不存在，即函数 不存在；
选择条件②： 右移 个单位后为奇函数。
平移后函数为 ，因为 为奇函数，
所以 ，解得： ，
因为 ，所以 ，此时
选择条件③： 在 上单调递增，
正弦函数 的单调递增区间为 ， ，
因为 在 上单调递增，
所以 ， ，解得：
因为 ，所以 ，此时 ，
后续最值与条件②一致，
（2）当 时，即 ，
当 时， ，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时，
研考点 · 通技法
此类题型考察恒等变换和三角函数函数性质。
1、恒等变换的核心思想：
x
（1）将题目中出现的不同三角函数（如sin,cos,tan）、不同角度（如x,2x, ）通过恒等变换转化为同
2一种函数、同一个角，以便后续分析
（2）和差化积、积化和差本质是将多项式形式转化为乘积形式（或相反），便于判断符号、单调性、最
值或零点。
（3）辅助角公式的应用，将asinx+bcosx 合并为Asin(x+φ)，本质是将两个不同三角函数的转化为
一个三角函数。
2、对三角函数进行化简后，再考察三角函数的性质：单调性、周期、对称性、最值与值域、零点问题。
破类题 · 提能力
1．（2025·北京海淀·三模）已知函数 （ ， ）．在区
间 上单调递增，且 是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中
选择一个作为已知，使函数 存在，并求解下列问题．
条件①： ；
条件②：当 时， 取到最小值；
条件③： ．
(1)求 、 的值；
(2)若函数 在区间 上单调递减，求实数 的最大值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）借助二倍角公式化简 ，根据 不成立说明不能选择条件①.若选条件②或③，
结合函数的对称性及特殊点的函数值可得结果.
（2）结合正弦函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】（1）由题意得，.
若选条件①：因为 是 图象的对称轴，所以 ，不可能满足 ，
所以不能选择条件①；
若选条件②：因为 在区间 上单调递增， 是 图象的对称轴，当 时， 取
到最小值，
所以 的最小正周期 ，且 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故 ，
所以 ， ，即 ， ，
因为 ，所以 .
若选条件③：因为 在区间 上单调递增， 是 图象的对称轴， ，
所以 的最小正周期 ，且 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故 ，
所以 ， ，即 ， ，
因为 ，所以 .
（2）由（1）知， ，因为 ，所以 ，
因为函数 在区间 上单调递减，
所以 ，解得 ，
故实数m的最大值为
2．（2025·北京·三模）已知函数 .
(1)若 ，求 的值；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数 存在，求出 ， 的值，并
证明：当 时， .
条件①： ；
条件②：当 时， 的最小值为 ；
条件③： 图象关于直线 对称.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）化简函数为 ，进而求得 的值；
（2）先化简得到 ，根据题意，分别选择①②，②③和①③，结合三角函数的图象与
性质，列出方程求解，即可得到答案.【详解】（1）解：若 ，可得 ，
所以 .
（2）解：由
，
若选择条件①：
由 ，可得 ，所以 ，因为 ，可得 不存在；
故只能选择条件②③：
由 ，由 且 的最小值为 ，
可得 ，可得 ，可得 ，所以 ，
此时 ，
又由 图象关于直线 对称，可得 ，
即 ，所以 ，可得 ，
因为 ，可得 ；
所以 ，当 时， ，
时， 取最大值 ，
所以， .
题型02 解三角形中边求长及周长
析典例 · 建模型1．（2025·北京·三模）在△ABC中,
(1)求∠B；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长.
条件①: ；
条件②：△ABC的面积为 ；
条件③：AC边上的高等于
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由余弦定理可求出 ，再由 可求出 ；
（2）若选择①：不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一；若选择②：由面积公式可求得 ，再
代入 可得 ，即可求出△ABC的周长；若选择③：由等面积法可求出 ，再代入
可得 ，即可求出△ABC的周长.
【详解】（1）由 可得 ，
由余弦定理可得： ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 .（2）若选择①：因为 ， ，所以 ，所以 ，
则 ，不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一，故不能选择①.
若选择②：由（1）可得 ，即 ，
则 ，解得 ，
再代入 可得： ，
所以△ABC的周长为： .
若选择③：由（1）可得 ，即 ，
由 可得： ，
所以 ，
又因为AC边上的高等于 ， ，
所以 ，解得： ，所以 ， ，
所以△ABC的周长为： .
研考点 · 通技法
求周长问题同求三角形的边长问题。利用面积公式与余弦定理的结合，辅助正弦定理求三角形的边长。其
问题的本质为a+b(周长相关),ab(面积相关),a2+b2 （余弦相关）这三者之间的关系，知二求
一。
破类题 · 提能力
1．（2025·北京朝阳·一模）在 中，
(1)求c的值；
(2)已知 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在且唯一，
求 的周长．条件①： ；
条件②：AB边上的高为 ；
条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合两角和的正弦公式化简求解 的值；
（2）根据所选条件，结合正弦定理、三角形面积公式等求出三角形的其他边，进而求得周长.
【详解】（1）由正弦定理 及
得 ．
所以 ．
所以 ．
又因为 ，所以 ．
所以 ．
（2）选条件①：因为 ，且 ，
所以 ．
因为 ，所以 ．所以 ．
又因为 ，所以 ．
所以 ．
又 ，所以 ．所以 的周长为 ．
选条件②：因为 边上的高为 ，所以 ．
又因为 ，所以 ．
所以 ．
因为 ，所以 ．
（1）当 时，由 ，得 ．
又 ，所以 ．
所以 ．
所以 的周长为 ．
（2）当 时，由 ，得 ．
又 ，所以 ，不符合题意．
综上， 的周长为 ．
选条件③：
由余弦定理 ，可得 ，即 。
解得 或 ，此时 不唯一，不符合要求.
2．（25-26高三上·北京海淀·期末）在 中， 为锐角， .
(1)求 ；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在，求 的周长.条件①： ；
条件②： ；
条件③： .
【答案】(1)
(2) 的周长为
【分析】（1）根据题目条件结合正弦定理与角度的函数值即可求出 .
（2）选取条件后利用余弦定理与正弦定理求出 的周长.
【详解】（1）在 中，由正弦定理 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
因为 为锐角，所以 ；
（2）选择条件①： ，
由（1）得 ，所以 ，
由余弦定理 ，
得 ，
所以 （舍）， 的周长为 .
选择条件③： ，
由余弦定理 ，得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
的周长为 .
选择条件②： ，由（1）得
由正弦定理得： ，此时三角形不存在.
题型03 解三角形中求周长或边长范围
析典例 · 建模型
1．（2026·四川攀枝花·一模）在 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足
．
(1)求角B；
(2)若 ，求 周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知条件利用余弦定理角化边，即可得 ，可求角B；
（2）已知 ， ，由正弦定理结合三角恒等变换得 ，再利用角
的范围和正弦函数的性质求得 周长的取值范围.
【详解】（1）因为 ，
所以由余弦定理得 ，
即 ，即 ，
又 ，则 .
（2）由（1）知 ，又 ，
由正弦定理可得 ，则
，
由 ，得到 ， ，
则 ，可得 ，
故 周长的取值范围为 ．
2．（2026·河北张家口·一模）在 中，内角 的对边分别为 ，满足 ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，点 为边 上一点， 为 的平分线，求 的值；
(3)若 为锐角三角形，求 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角恒等变换即可得证；
（2）先计算 ，利用二倍角余弦公式得 ，再由 结合二倍角正弦公式即可求解；
（3）由（1）有 ，得 ，又由正弦定理得 ，利用锐角三角形求出 的
范围，进而求解.
【详解】（1）由 ，利用正弦定理得： ，
又 ，
所以 ，所以 ，
所以 或 ，
所以 或 （舍去）
所以 ；
（2）由 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又由 为 的平分线，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又由余弦定理得： ，
所以 ，所以 ；
（3）由（1）有 ，又 ，所以 ，
又由正弦定理得：
，
又 为锐角三角形，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .研考点 · 通技法
若周长的最值或两边和的最值问题，通常有以下两种方法
1、若已知面积，则可利用基本不等式a+b≥2❑√ab可以把周长的最小值与面积挂钩。运用基本不等式时，
看是否满足取等条件。
a+b √a2+b2
2、若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 ≤❑ 把周长的最大值与余弦值挂钩。
2 2
3、若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制（锐角或钝角），这时可以考虑把边化角，通过三角函
数求范围问题来解决
若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问
题。
对三角函数比值求最值的问题可采用的方法：
1、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界
性来判断最值。
2、统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最
值。
破类题 · 提能力
1．（2025·云南大理·模拟预测）在锐角 ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
△
，且 ABC外接圆半径为 .
△
(1)求角B的大小；
(2)求 ABC周长的取值范围.
△
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）由 ，利用正弦定理，可得 ，由余弦定理求
出 ，从而得到 的值.
（2）由正弦定理得 的值，将 进行边化角，得到 ，由△ABC为锐角三角形得到，结合正弦函数的性质得到 的范围，从而得到△ABC周长的取值范围.
【详解】（1）∵ ，
由正弦定理，可得 ，即 .
由余弦定理，可得 ，又∵ ，∴ .
（2）由正弦定理 ，可得 ，
，
ABC为锐角三角形，可得 ，即 ，解得 ，
∵△
∴ ，∴ ，∴ ，
即 ，△ABC周长的取值范围为 .
2．（2026·广东汕头·模拟预测）在 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c． 且
．
(1)若D为AB边上靠近点A的三等分点， ，求 面积的最大值；
(2)求 的取值范围．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式以及正弦定理可把题中第一个条件转化为 ，根据余弦定理可将题
中第二个条件化简为 ，根据向量的线性表示以及模长公式，即可余弦定理得
，进而根据二次方程的判别式求解 ，即可根据面积公式求解，
（2）利用基本不等式，以及三角形的三边关系即可求解.
【详解】（1）由 可得 ，即 ,
故 ，则
,
由正弦定理可得 ，
由 可得 ,
由于D为AB边上靠近点A的三等分点， ，故 ,
平方可得 ,
故 ，
由余弦定理可得 ，故 ，
则 ，
将 代入上式可得 ，由于该关于 的一元二次方程有解，故 ，故 ，
由于 ,当且仅当 取到等号.
故三角形面积的最大值为 ，
（2） ，当且仅当 时取到等号，
，
又 ，故 ，故 ，
因此 ，
综上可得
题型04 解三角形中求面积
析典例 · 建模型
1．（2026·北京密云·一模）在 中， .
(1)求 ；
(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的面积.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
【答案】(1)(2)条件①：不存在这样的三角形；条件②：存在这样的三角形， 的面积 ；条件③：存在这样的
三角形， 的面积 .
【分析】（1）利用余弦定理求解即可；
（2）条件①，由 的值得到 的范围，结合 的值得到这样的三角形不存在；条件②，由 的值得
到 的范围，利用同角关系式求出 ，利用 结合两角和的正弦公式求出 ，
利用正弦定理求出 ，利用三角形的面积公式求出 ；条件③，由 利用正弦定理进
行边化角，结合两角和的正弦公式求出 ，利用正弦定理求出 ，利用同角关系式求出 ，由
结合两角和的正弦公式求出 ，利用三角形的面积公式求出 .
【详解】（1） ， ，
， ， .
（2）条件①， ， ，
， ，不符合题意，不存在这样的三角形；
条件②， ， ，
， ，
，
， ， ， ，；
条件③，
，其中 为 的外接圆的半径，
，
， ， ，
， ， ， ， ，
，
，
.
研考点 · 通技法
1 1 1
通常根据面积公式S ABC= absinC= bcsinA= acsinB来求值。
Δ 2 2 2
1、利用正余弦定理求边长，然后求得面积
2、结合余弦定理与面积公式也可求得面积。
破类题 · 提能力
1．（2025·北京·模拟预测）在 中， ，
(1)求 的值.
(2)从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的 存在，求 的面积.
① 边上的高为7；
② ；
③ 边上的中线长5.【答案】(1)
(2)选①无解；选② 或 ；选③
【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式可得；
（2）选①，由三角形中边长数据分析可得不合题意；选②，利用正弦定理，余弦定理及三角形面积公式
即得；选③，由 ，利用余弦定理可求得 ，再由余弦定理可求得 ，进而求得
，由三角形面积公式即得.
【详解】（1）在 中， ，
又 ，
由正弦定理得， ，
即 ，
即 ，由正弦定理得， ，
又 ，所以 .
（2）选① 边上的高为7，
过 作 于 ，如图，
由已知，在 中， ， ，
显然这样的三角形不存在，所以无解.
选② ，即 ，
又 ， ，则由正弦定理得 ，即 ，
则 ，
由余弦定理 ，得 ，
即 ，解得 或 ，
当 时， 的面积 ，当 时， 的面积 .
选③ 边上的中线长5，
设 的中点为 ，由（1）知 ，则 ，
又 ，
在 中，由余弦定理， ，
在 中，由余弦定理， ，
因为 ，所以 ，
则 ，解得 ，
在 中，由余弦定理， ，
则 ，
所以 的面积 .
2．（2025·北京昌平·二模）在 中， 为锐角， ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再通过三角函数的运算求出角；（2）先根据正弦定理求出 的值，再利用余弦定理求出 的值，最后根据三角形面积公式求解.
【详解】（1）由 及正弦定理 ，
得 ．
因为在 中， ，所以 ．
因为 ，所以 ．
因为 为锐角，所以 ．
（2）由 ，且 ，解得 ．
由余弦定理 ，得 ，解得 或 （舍）．
所以 的面积 ．
题型05 解三角形中求面积的范围
析典例 · 建模型
1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知 分别是锐角 三个内角 的对边，且
， ．
(1)求 的值；
(2)求 面积的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出 ，再由已知条件结合正弦定理求得 ；（2）先根据正弦定理求出 的关系式，然后根据 的范围求出 的范围，最后利用三角形面积公式即可
求得其面积的范围.
【详解】（1）在锐角 中，由正弦定理得 ，
又 ，
∵ ，
所以 ，
则 ，
在锐角 中， ，
，即 .
，
（2）由（1）得 ，
由正弦定理： ，得
因为 为锐角三角形，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
故 面积的取值范围为 ．
研考点 · 通技法
关于面积的最值问题，通常有以下两种方法
1、利用基本不等式a+b≥2❑√ab或a2+b2≥2ab可以求面积的最大值。
2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来
解决
破类题 · 提能力
1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知 为锐角三角形，角 所对的边分别为 ，且
.
(1)证明： ；
(2)已知点 在线段 上，且 ，若 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正弦定理得 ，结合三角形内角和锐角三角形，证得结果.
（2）根据正弦定理和三角形面积公式得 ，进而利用锐角三角形得到正切的范围，最后得到三
角形面积的取值范围.
【详解】（1）证明：由 ，由正弦定理得 ，
即 ，
又 ，所以 ，故 ，
因为 为锐角三角形，所以 ， ，故 ，
故 ，即 .
（2）由（1）可知， 中， ，
由正弦定理得 ，所以 ，
故 ，
而 是锐角三角形，故 ， ， ，
解得 ，故 ，故 面积的取值范围为 .
2．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 若
(1)求 ；
(2)若 是锐角三角形， ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换求解即可；
（2）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得 ，进而结合锐角三角形条件即可
求得 ，再根据正切函数的性质求解即可.
【详解】（1）由 ，
可知 ，
由正弦定理得 ，故 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
则 ，则 ，
故 ，得 或 ， ，
结合 ，可得 .
（2）由正弦定理可得 ，
故 ，
因为 为锐角三角形，故 ，解得 ，
则 ，所以 ，
故 面积的取值范围是 .
题型06 解三角形中的四边形问题
析典例 · 建模型
1．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形 中，已知 交于点 ，
．(1)若 ，求 的值；
(2)证明：当 时， 位于 外接圆的内部．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出相关线段长度，进而求解；
（2）利用正弦定理结合已知条件求出 ，再利用四点共圆的性质求出 ，比较 的大小
判断 的位置．
【详解】（1） ， ，
在 中，由余弦定理得
，
，
同理 ，
，
．
（2）在 中，由正弦定理得 ，，
，
设 为射线 上一点，且 四点共圆，则 ，
，解得 ，
， 位于 外接圆的内部．
研考点 · 通技法
1、若题目中所有的角都可用某一个角度表示，假设这个角为θ，将别的未知的角用θ来表示，然后多次使
用正弦定理。在求范围与最值的问题中使用较多。
2、若有互为补角的两个角，则可以两次使用余弦定理。
正余弦定理结合面积公式使用，解决四边形问题。
破类题 · 提能力
1．（2025·山东·模拟预测）在四边形 中， ， ， ，
．(1)求 的周长
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理结合 的取值范围可得出角 的值，结合 及正弦定理
可求得 的值，然后利用正弦定理可求得 、 的长，即可得出 的周长；
（2）根据已知条件分析可知四边形 为等腰梯形， ，即可得出梯形 的面积.
【详解】（1）因为 ，
所以 因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，故 ，所以 ， ，
且
，
由正弦定理 ，所以 ，
则 ，
故 ，
所以 的周长为 .（2）连接 ，
因为 ， ， ，
所以 ， ，所以 ，且 ，
所以四边形 为等腰梯形，所以， ，
则 ，
又因为 ，即 ，设 ，
所以四边形 的面积
.
2．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知平面四边形 中， ， ， .
(1)若 ，求 的长；
(2)设 ，记四边形 的周长 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接 ，在 中，由余弦定理可解；（2）在 中，由正弦定理可得 ，再利用两角和与差的正弦公式
可得最大值.
【详解】（1）
连接 ，
因为 ， ， ，
所以 为正三角形， ，
在 中，由余弦定理可得 ，
代入数值可得 ，解得 .
（2）在 中，由正弦定理可得 ，
所以 ，
所以四边形 的周长
，
所以当 时， 的最大值为 .
题型07 解三角形中的中线问题
析典例 · 建模型
1．（2025·北京海淀·三模）在 中，已知 ．(1)求 ；
(2)若 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一
确定，求 边上中线的长．
条件①： ；条件②： ；条件③： 的面积为 ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【答案】(1) ；
(2)所选条件见解析， .
【分析】（1）法一：由正弦定理及已知可得 ，再由三角形内角的性质、诱导公式、
和角正弦公式并整理得 ，进而求角的大小；法二：由余弦边角关系及已知得
，再由余弦定理求角的大小；
（2）根据所选条件，综合运用正余弦定理、三角形面积公式求 边上中线的长．
【详解】（1）法一：由正弦定理 及 ，得 ，
因为 ，
所以 ，整理得 ．
因为 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ．
法二：由余弦定理， ，代入得： ．
整理得： ，所以 ，又 ，所以 ．
（2）选条件①：取 的中点 ，连接 ，由正弦定理及 ，得 ，
因为 ，所以 ， ，所以 ，
在 中，由余弦定理知， ，
所以 ，即 边上中线的长为 ．
选条件③：取 的中点 ，连接 ，由正弦定理及 ，得 ，
因为 的面积为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ， ，所以 ，
在 中，由余弦定理知， ，
所以 ，即 边上中线的长为 ．
选条件②：由 ，知 ，
在 中，由余弦定理知， ，
若 ，则 ，该等式恒成立，
即 不唯一，不符合题意．
研考点 · 通技法
1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和：1 2 1 2 1 2
换成三角形的中线，则有|AD| 2= |AB| + |BC| - |BC|
2 2 4
1 1
2、可以通过向量法⃗AD= (⃗AB+⃗AC),两边平方后可得|AD| 2= (|AB| 2+|AC| 2+2|AB||AC|cosA)
2 4
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·北京东城·月考）在 中， .
(1)求角 的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中线的长度．
条件①． 的周长为 ；条件②． ；条件③． 边上的高线长为1．注：如果选择的条
件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2) 不符合题意③
① ②
【分析】（1）由正弦定理可解得；（2）选条件①由余弦定理可得；选条件②，验证不符合题意；选条件
③由三角形的面积公式和余弦定理可得.
【详解】（1）在 中，因为 ，又 ，所以 ．
因为 ，所以 ．因为 ，所以 ．
（2）选条件①：因为 中， ， ， ，
所以 ，即 为等腰三角形，其中 ．因为 ，
所以 ．所以 ．
设点 为线段 的中点，在 中，由余弦定理得
，
所以 ，即 边上的中线的长 .选择条件②：由（1）知 ，所以 ，可知 ，
不唯一，故②不符合题意，不可选择条件②.
选择条件③：因为 中， ， ， ，
所以 ，即 为等腰三角形，其中 ．设 边上的高线长为 ，
则 面积 ，即 ，解得 ，因此 ，
设点 为线段 的中点，则 ，在 中，由余弦定理得
，
所以 ，即 边上的中线的长 .
2．（25-26高三上·北京东城·期末）在锐角 中， ．
(1)求 的值；
(2)若 为 边上的中点，从下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在，求 的长．
条件①： ；
条件②： 的面积为 ；
条件③： 的周长为 ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【答案】(1)
(2)详解见解析
【分析】（1）借助二倍角公式和正弦定理计算即可得；
（2）选条件②或③，借助余弦定理与面积公式求解，并验证三角形为锐角三角形的条件；不可选①，不
存在这样的三角形.
【详解】（1）由 ，得 ．因为 为锐角三角形，所以 ．
所以 ．
由正弦定理 ，得 ．
由 ，得 ．
（2）选择条件①：即 ，由（1）知 ， ，
根据余弦定理 ，
即 ，方程无解，所以不能选择条件①；
选择条件②： 的面积为 ．
因为 的面积 ，得 ，故 ．
因为 为锐角三角形，所以 ．
在 中，由余弦定理 ．
所以 ，
此时在 中，由余弦定理 ，
所以 ，所以 为锐角，
又 ，所以 也为锐角，符合 为锐角三角形的条件．
选择条件③： 的周长为 ．
因为 ， 的周长为 ，所以 ．
由余弦定理 ．
在 中，由余弦定理 ．
所以 ，此时在 中，由余弦定理 ，所以 为锐角，
又 ，所以 、 也为锐角，符合 为锐角三角形的条件．
题型08 解三角形中的高线问题
析典例 · 建模型
1．（2026·北京平谷·一模）在 中， ．
(1)求 的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在，并求出 边上的高线的长度．
条件①： ；
条件②： ；
条件③：
【答案】(1) ；
(2)选②， 不存在；可选条件①或③，答案均为
【分析】（1）由正弦定理和诱导公式化简，结合特殊角三角函数值得到答案；
（2）选择①，利用余弦定理进行求解；选择②，由正弦函数单调性得到角的大小，从而三角形不存在；
选择③，由同角三角函数关系，诱导公式和正弦和角公式进行求解
【详解】（1）在 中， ，由正弦定理可得 ．
因为 ，所以 ．
故 ，
所以 ．
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ；（2）条件②： ，
又 ，故 ，且 为锐角，
因为 ，故 ，
此时 ，不合题意，此时 不存在；故不能选②；
选条件①： ，
由余弦定理 ，得 ，
即 ，解得： ，负值舍去，
则 边上的高线 ．
选择③： ，
因为 ，且 为锐角，则 ，
，
则 边上的高线 ．
研考点 · 通技法
1、如图AD为BC边上的高线，则有AD=AB⋅sin∠B=AC⋅sin∠C
2、利用面积公式有：AD⋅BC=AB⋅AC⋅sin∠BAC
破类题 · 提能力1．（2025·北京西城·一模）在 中， ．
(1)求 的值；
(2)若 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求
边上的高．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【答案】(1)
(2)条件选择见解析，答案见解析
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出 的值；
（2）对于条件①，利用余弦函数的单调性求出角 的取值范围，结合三角形的内角和定理推出矛盾，可
值条件①，不符合要求；
选择条件②，求出 的值，利用余弦定理可求出 的值，然后利用三角形的面积公式结合等面积法可求
出边 上的高；
选择条件③；求出 、 的值，利用两角和的正弦公式可求出 的值，利用正弦定理求出 的值，
进而可得出边 上的高为 ，求解即可；
【详解】（1）由正弦定理 ，且 ，
得 ，即 ．
由 ，得 ．所以 ．
由 ，得 ，所以 ．
（2）选择条件①：因为 ，且余弦函数 在 上单调递减，故 ，又因为 ，从而可得 ，与三角形的内角和定理矛盾，故①不成立.
选择条件②：由 ，且 ，得 ．
由余弦定理 ，得 ，
解得 或 （舍）．
设边 上的高为 ，则三角形面积 ，
所以 ．
选择条件③：由 ，且 ，得 ．
由 ，且 ，得 ．
所以 ．
由正弦定理，得 ，所以边 上的高 ．
2．（2025·北京丰台·二模）在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 , ，求 边上的高．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数的性质求解角 ；
（2）先根据余弦定理求出边 ，然后利用三角形面积公式求出 边上的高.
【详解】（1）在 中，因为 ，
由正弦定理 及 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
所以 ．
（2）因为 ，
由余弦定理 ，得 ，
所以 ．设 边上的高为 ，
又 的面积 ，
所以 ，
所以AB边上的高为 ．
题型09 解三角形中的角分线问题
析典例 · 建模型
1．（2025·北京大兴·三模）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，角 的角平分线交
于点 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，角 的角平分线为 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再根据二倍角公式化简可得解；（2）根据三角形面积可得 ，再根据等面积法可得角分线长度.
【详解】（1）由已知 ，
又由正弦定理可得 ，
又 ，所以 ，
则 ，又 ，即 ，
又 ， ，即 ，
则 ，所以 ， ；
（2）由已知 ，所以 ，
因为 为角 的角分线，
故 ，
所以 ，
即 ，
解得 .
研考点 · 通技法
1 、 面 积 法 ： 如 图 三 角 形 中 ，
1 1 1
S =S +S ⟺ |AB||AC|sinA= |AB||AD|sinα+ |AD||AC|sinβ
△ABC △ABD △ADC 2 2 2sinα sinβ
化简有sin(α+β)=|AD|( + )
|AC| |AB|
1 1 1
2、角分线张角定理：若AD为角分线，则α=β，则化简上式有cosα= |AD|( + )
2 |AC| |AB|
3、斯库顿定理：若AD为角分线，有AD2=AB⋅AC-BD·DC
破类题 · 提能力
1．（2025·四川成都·模拟预测） 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ， 边上的中线长为2，点 在 上，且 为 的平分线，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角后，再利用两角和的正弦公式及 ，得到
，再得出 的值；
（2）由余弦定理得 ①，又 平方可得 ②，由①②得：
，故 ，根据 和面积公式可得 .
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
则 ，又
所以 ，因为在 中， ，所以 .
（2）由余弦定理得： ，即有 ①；
设 为 的中点，即 ，又因为 ，
所以 ，即 ②，
由①，②得： ，
所以 ，所以 ．
因为 为 的平分线，所以 ，
则 ，
即 ．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知 的内角 的对边分别为 ， ， ．
(1)设 ，求 的解析式；
(2)求 面积的取值范围；
(3)求顶点 的轨迹；
(4)求 边上的中线长的取值范围；
(5)求角 的平分线 长的取值范围．
【答案】(1) ， ．(2) ．
(3)顶点 的轨迹是以 为公共弦、 的两圆的优弧组成的“8”字型图案（不含 两点）
(4) ．
(5)
【分析】（1）由已知根据射影定理求得 ，得 ，再由正弦定理求得 ，进
而利用三角形面积公式结合三角恒等变形即可求得 的解析式；
（2）利用三角函数的性质求（1）中函数 的值域即可；
（3）由 所对的角为定角 ，结合正弦定理求得外接圆的半径为 ，可知顶点 的轨迹；
（4）由余弦定理结合基本不等式求解即可得中线长的取值范围；
（5）解法1：结合圆的性质，运用运动观点和极端原理可求得 边上的中线长的取值范围；
解法2：设 ， ， ， ，在 中，由正弦定理得
，再令 ，通过换元转化得到 ， ，即可求得
角平分线长 的取值范围；
解法3：根据角平分线的性质及余弦定理，结合基本不等式即可求得角平分线长的取值范围.
【详解】（1）由 得 ，
又由射影定理得 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，∴ ,由正弦定理，得 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
即
， ．
（2）因为 ， ，
由 ， ，得 ．
（3）由（1）知， ，又 ，∴ 的外接圆的直径 .
所以顶点 的轨迹是以 为公共弦、 的两圆的优弧组成的“8”字型图案（不含 两点），
如图中实线所示．
（4）一方面，设 是 的中点，设中线 ，
在 中，由余弦定理得①； ②
由①②得， ，即 .
在 中，由余弦定理得 ，
又 ，当且仅当 时取等号.
∴ ，则 ，
∴ ，所以 .
另一方面，由 ，∴ ，即 ．
综上得 ．
（5）解法1：如图，设角 的平分线 的长为 ，由圆和角平分线的性质，运用运动观点和极端原理，即
得 ．
解法2：正弦定理法
如图，设 ， ， ， ，则 ．
由 得 ，
进而得
令 ，∵ ，∴ ，.
则 ， ，
所以 ．
解法3：余弦定理法
由角平分线的性质得 ．
在 中，由余弦定理得 ， ，
从而 ，
， ，
，所以 ．
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，所以 ，
所以 ．又 ，所以 ．
综上， ．（建议用时：60分钟）
刷模拟
1．（2025·北京朝阳·二模）已知函数 ．
(1)求 的最小正周期和单调递增区间；
(2)设函数 ，再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
函数 存在且唯一，求 在区间 上的最大值和最小值．
条件①： 在区间 上单调递增；
条件②： 的最大值为 ；
条件③： 为偶函数．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【答案】(1)最小正周期 ，单调递增区间为
(2)答案见解析
【分析】（1）由两角和的正弦公式化简，再由正弦型函数的周期性、单调性求解；
（2）分别选择条件后根据条件分析 的取值是否唯一，若唯一，再由正弦型函数的性质求最值即可，若
不唯一，则放弃该条件的选择.
【详解】（1）由题意得 ，
所以 的最小正周期 ，由 ，
得 ．
所以 的单调递增区间为 ．
（2）选择条件①：
由题意得 ．
由（1）可知 的单调递增区间为 ．
由 在区间 上单调递增，得
解得 ．
又因为 ，所以 ．
从而 存在且唯一，
当 时， ，
所以当 ，即 时， 取得最大值 ；
当 ，即 时， 取得最小值 ．
选择条件②：
由题意得 ，
函数最大值为 ，则只需 ，
由于 ，故 的取值不唯一，故不符合题意，即不能选择条件②；
选择条件③：
由题意得 ．由 为偶函数可知 ，
解得 ．
又因为 ，所以 ．
从而 存在且唯一．
当 时， ，
所以当 ，即 时， 取得最小值 ；
当 ，即 时， 取得最大值 ．
2．（2026·四川成都·二模）已知 分别是锐角 的角 的对边，
．
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用正余弦定理，把混合等式转化为可化简的统一形式，利用锐角三角形的范围约束，结
合余弦函数在 上单调递减的性质，证明 ；
（2）利用正弦定理将 转化为角的正弦比值，再结合（1）中 的结论，将表达式统一用角 表示，
根据锐角三角形的三个内角都为锐角的条件，列出关于角 的不等式组，确定角 的取值范围，进而求出
的取值范围.
【详解】（1）对已知等式 ，由正弦定理角化边得： ，
整理得： ，
再由余弦定理： ，
对比得 ，
因为 是锐角三角形， ，则 ，
因为余弦函数在 单调递减，所以 ，得证；
（2）由 ，内角和 得 ，
因为 是锐角三角形，
所以： ，
由正弦定理：
，
令 ，则 ，
因为函数 在 时单调递增，
而 ， ，所以 ，
故 的取值范围为 .
3．（2025·北京·二模）已知 中， ．
(1)求 的大小；
(2)设 为 的中点，且 ，求 的面积．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由同角三角函数的关系及正弦二倍角公式化简，即可求解；
（2）由正弦定理求得 ，再结合余弦定理求得 ，结合三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由 ，得 ．
由 ，得 ，故 ，
所以 ．
（2）由正弦定理得， ，即 ．
由余弦定理得， ，
即 ，解得 或 （舍）．
所以 ，
故 ．
4．（2025·广东揭阳·三模）已知 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
.
(1)证明： ；
(2)求 的最值；
(3)若 ， ，求 的面积S的取值范围.
【答案】(1)证明见解析.
(2)最小值 ，无最大值.(3) .
【分析】(1)根据和差化积公式的证明构成做答即可.
(2)根据半角公式，题干条件化简为余弦,通过两角和差的余弦公式带入解方程,得内角三角函数关系式,带入
求得最值.
(3)根据正弦面积公式,和正弦定理,将面积公式转化为函数问题,利用对钩函数单调性,求出面积范围.
【详解】（1）因为 ，
，
两式相加得 ，得证.
（2）当 时， ，满足 .
令 ， ，故 无最大值，
因为
，
，
则 ，
，
，
则 或 ，
由 ，有 ，则 .
① 时， ， 时取等号，
② 时，，
时取等号，
因为 ，则 的最小值是 ，
综上， 有最小值 ，无最大值.
（3）① 时， ，
则 .
② 时，
在 中，由正弦定理有 ，则 ， ，
则 ，
由函数 在 上单调递减，有 ，
∴
综上， 的面积 的取值范围是 .
5．（25-26高三上·北京西城·期末）在 中， ．
(1)证明： ；
(2)若 的面积为 为边BC上的一点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为
已知，使得 存在，求AD的长．
条件①： ；条件②： ；
条件③： ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)答案见解析
【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解 ，再应用余弦定理可证明；
（2）若选择①：由已知求解可得不存在；若选择②：结合余弦定理计算可求；若选择③：计算边长结合
正弦定理计算可求.
【详解】（1）由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ， ， ，
，由余弦定理得 ，得
即 ；
（2）由 ，得 ，故 ，
，解得 ，
若选择条件①： ， 与三角形内角和为 矛盾，故选择条件①时 不存
在；
若选择条件②：由（1）可得 ， ，
在 中，由余弦定理可得 ；
若选择条件③：由 ，
则 ，结合 ，解得 ，
在 中 ，所以 ，
在 中，由正弦定理可得；
6．（25-26高三上·浙江杭州·期末）如图，在四边形 中， ，
(1)若 为等边三角形，求线段 的长度；
(2)若 ，求线段 的长度
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在 中利用余弦定理可求；
（2）利用两角和差的余弦公式求出 ，再在 中利用余弦定理可求.
【详解】（1）依题意， ，
故在 中由余弦定理得
，
故
（2）依题意： ，则 ，
则 ，
因为 ，故 为等腰直角三角形，故
因此
故在 中由余弦定理得，
即 .
7．（25-26高三下·北京·开学考试）在 中， 为锐角， ．
(1)求 ；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在，求 的面积及
边上的中线长．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用正弦定理与角度的函数值求解.
（2）选①，首先排除 为钝角，再利用正弦定理求得 ，再利用两角和的正弦公式求得 ，最后
利用三角形面积公式与余弦定理即可求得答案；选②，利用余弦定理即可验证；选③，利用余弦定理即可
求得相关长度，再利用同选①的方法即可求得中线长.
【详解】（1）在 中，由正弦定理 ，
所以
因为 ，
所以 ．
又 ，所以 ，
因为 为锐角，所以 ．
（2）条件①： ，因为 是 的内角，若 为钝角，
则 ，
，不成立，
所以 为锐角，即 ，
由正弦定理 得：
，得 ，
又 ，
所以 ， ，
设 中点为M，由余弦定理 ，
得 ，
选条件②： 由余弦定理 ，
代入得 ，判别式 ，
三角形不存在，不符合要求。
选条件③： ， ，
由余弦定理 ，解得 ， ，
，
同条件①计算得中线长为 .8．（2025高三上·北京·专题练习）已知 的面积为 ， ．
△
(1)求 ；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 边上
中线的长． △
条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用三角形面积公式求解；
（2）若选①，由题 可能为锐角也可能为钝角，故△ 存在但不唯一确定；若选②，由题得 或
，故△ 存在但不唯一确定；若选③，由条件结合余弦定理得 ，进而求得 ，利用余
弦定理求解.
【详解】（1）由已知得△ 的面积 ，所以 .
（2）若选①， ，则 可能为锐角也可能为钝角，故△ 存在但不唯一确定；
若选②， ，则由（1） ，得 ， 或 ，故△ 存在但不唯一确定；
若选③， ，得 ，
所以 ，又 ，所以 ，由（1） ，得 ，
故此时 、 、 均确定，△ 存在且唯一确定，符合题意，
如图， 为 边上中线，在 中，由余弦定理得 ，
故 .
9．（25-26高三上·北京·月考）在 中， ， ．
(1)求A；
(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得 存在且唯一，求BC边上的高h．
条件 ： ；条件 ： ；条件 ： ．
① ② ③
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由正弦定理和三角形的内角和定理，求得 ，进而求得 的大小；
又因为 ，所以 ，可得 .
（2）分别选择条件①②③，结合题意，利用正弦定理、余弦定理和面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为 ，由正弦定理得 ，
因为 ，且 ，
所以 ，得 ，
因为 ，即 ，则 ，又因为 ，可得 ，
所以 ，可得 ，可得 .
（2）解：选择条件①： ，因为 且 ，
由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
所以 为方程 的根，解得 或 ，
即 或 ，所以三角形的元素不唯一，不符合题意.
选择条件②： ，因为 ，可得 ,
由正弦定理 ，可得 ，
因为 且 ，所以 为锐角且唯一，所以 存在且唯一，
又由 ，
由正弦定理可得 ，所以 ，
可得 ，即 ，解得 ，即 边上的高为 .
条件③： ，由正弦定理 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 为锐角，且唯一确定，所以 存在且唯一，又由 ，
因为 ，
所以 ，
又由正弦定理得 ，所以 ，
可得 ，即 ，解得 ，即 边上的高为 .
10．（2025·陕西榆林·一模）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
．
(1)求角 的值；
(2)若 的面积为 ， 的平分线 交 于 ，求线段 的最大值．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，求得 ，进而求得 .
（2）利用三角形的面积公式列方程，求得 ，再根据面积列方程，利用基本不等式求得 的最大值.
【详解】（1）由正弦定理 ，及 ，
得 ，即 ，
由余弦定理得 ， ，所以 ．
（2）如图所示，因为 ，所以 ，因为 为 的平分线， ，
所以 ， ，
当且仅当 时，等号成立，所以线段 的最大值为 ．
刷真题
1．（2025·北京·高考真题）在 中， ．
(1)求c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求BC边上的高．
条件①： ；条件②： ；条件③： 的面积为 ．
【答案】(1)6
(2)答案见解析
【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解；
（2）若选①，可得 都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理求得 ，由余弦定理求得 ，利用等面积法
求得高；若选③，首先根据三角形面积公式求得 ，再根据余弦定理可求得 ，由此可说明三角形 存
在，且可由等面积法求解 .
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由正弦定理有 ，解得 ；
（2）如图所示，若 存在，则设其 边上的高为 ，若选①， ，因为 ，所以 ，因为 ，这表明此时三角形 有两个钝角，
而这是不可能的，所以此时三角形 不存在，故 边上的高也不存在；
若选②， ，由 有 ，由正弦定理得 ,所以 ，
所以由余弦定理得 ,
此时三角形 是存在的，且唯一确定，
所以 ,即 ，
所以 边上的高 ；
若选③， 的面积是 ，则 ，
解得 ，由余弦定理可得 可以唯一确定，
进一步由余弦定理可得 也可以唯一确定，即 可以唯一确定，
这表明此时三角形 是存在的，且 边上的高满足： ，即 .
2．（2024·北京·高考真题）在 中，内角 的对边分别为 ， 为钝角， ，
．
(1)求 ；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的面积．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【答案】(1) ；(2)选择①无解；选择②和③ ABC面积均为 .
△
【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；
（2）选择①，利用正弦定理得 ，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出 ，再代
入式子得 ，再利用两角和的正弦公式即可求出 ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先
得到 ，再利用正弦定理得到 ，再利用两角和的正弦公式即可求出 ，最后利用三角形
面积公式即可；
【详解】（1）由题意得 ，因为 为钝角，
则 ，则 ，则 ，解得 ，
因为 为钝角，则 .
（2）选择① ，则 ，因为 ，则 为锐角，则 ，
此时 ，不合题意，舍弃；
选择② ，因为 为三角形内角，则 ，
则代入 得 ，解得 ，
,
则 .选择③ ，则有 ，解得 ，
则由正弦定理得 ，即 ，解得 ，
因为 为三角形内角，则 ，
则
，
则
3．（2023·北京·高考真题）设函数 ．
(1)若 ，求 的值．
(2)已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
一个作为已知，使函数 存在，求 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在区间 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【答案】(1) .(2)条件①不能使函数 存在；条件②或条件③可解得 ， .
【分析】（1）把 代入 的解析式求出 ，再由 即可求出 的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把 的解析式化简，根据 在 上的单调性及
函数的最值可求出 ，从而求出 的值；把 的值代入 的解析式，由 和 即可求出
的值；若选条件③：由 的单调性可知 在 处取得最小值 ，则与条件②所给的条件一样，
解法与条件②相同．
【详解】（1）因为
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，所以 的最大值为 ，最小值为 .
若选条件①：因为 的最大值为 ，最小值为 ，所以 无解，故条件①不能使
函数 存在；
若选条件②：因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ,所以 , ,
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 .
所以 ， ；
若选条件③：因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得最小值 ，即 .
以下与条件②相同．
4．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数 ．
(1)求 ;
(2)设函数 ，求 的值域和单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）直接由题意得 ，结合余弦函数的单调性即可得解；
（2）由三角恒等变换得 ，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数 的单
调区间.
【详解】（1）由题意 ，所以 ；
（2）由（1）可知 ，
所以，
所以函数 的值域为 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间为 ，
函数 的单调递增区间为 .
5．（2025·上海·高考真题）在 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ．
(1)若 ，求a；
(2)若 ，求 的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可；
（2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可；
【详解】（1）由正弦定理可得 即 ，
又 ，所以 ，即 ，解得 ，
所以 .
（2）因为 ，且 ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，当 取最小值时， 取最大值，最大值 ，
所以 的面积的最大值为 .
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若 ， ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角
三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出 ，然后根据正弦定理算出 即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由 可得 ，即 ，
由于 ，故 ，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由 ，又 ，消去 得到：
，解得 ，
又 ，故
方法三：利用极值点求解设 ，则 ，
显然 时， ，注意到 ，
，在开区间 上取到最大值，于是 必定是极值点，
即 ，即 ，
又 ，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设 ，由题意， ，
根据向量的数量积公式， ，
则 ，此时 ，即 同向共线，
根据向量共线条件， ，
又 ，故
方法五：利用万能公式求解
设 ，根据万能公式， ，
整理可得， ，
解得 ，根据二倍角公式， ，
又 ，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又 ，则 ，进而 ，得到 ，于是 ，
，
由正弦定理可得， ，即 ，
解得 ，
故 的周长为
