文档文本内容
专项 01 解三角形
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年天津卷考情，解三角形为解答题必考主干，分值14分。
命题趋势：
稳定出现在第16题，以正余弦定理、面积公式为核心，考查边角互化、求值与范围综合问题，难度基础。
2026年预测：仍为第16题常规基础题，题型稳定无大变化。
备考核心：熟练边角互化，牢记公式与常见模型。
题型01 解三角形与三角恒等变换
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·天津滨海新·月考）在 中，角 所对的边分别为 .已知
.
(1)求边 的大小；
(2)求 的值.
【思路分析】
（1）利用正弦定理，将角的正弦关系转化为边的关系，逐步推导边 的大小.
（2）先由 求出 ，再利用二倍角公式求 和 ，最后利用两角差的余弦公式计算.
【规范答题】
（1）由已知 及 ，即 ，
所以 ，则 ，
又 ， ，
所以 ，故 的大小为 .
（2）在 中， ，
，
，
，
故 的值为 .
2．（25-26高三上·天津·月考）在 中，角A、B、C所对的边分别为 .已知 ， ，
，且 .
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
【思路分析】
（1）由余弦定理可得；
（2）由正弦定理及平方关系可得；
（3）由二倍角公式及两角和与差的公式可得.
【规范答题】
（1）因为 ，即 ，
解得 或 ，因为 ，所以 .
（2）因为 ，由（1）得 ，且 ，因为 ，所以 .
由正弦定理 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ， .
（3）由（2）得 ， ，
故 .
研考点 · 通技法
第一步：边角互化，统一形式——优先用正弦定理（ 、 、 ），将
混合等式转化为只含角的式子（齐次式必用此方法）；若等式含平方项，可结合余弦定理转化为边的关
系；已知三边、两角一边等基本量，直接确定用正弦或余弦定理。
第二步：三角恒等变换化简——利用和差公式、二倍角公式、诱导公式，化简角的等式或已知条件，得到
、 、特殊角三角函数值，或直接化简出边、角的明确关系。
第三步：求解与验证——结合三角形内角范围（ ），排除增解；已知基本量的，直接用定
理求边、求角，优先求小角或最大角，简化计算；最后验证大边对大角、内角和为π，确保无错解。
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·天津·月考）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ，
．
(1)求 的值；
(2)求 值；
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
又因为 ，所以 ，所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
，
所以 ， ，
所以 .
2．（25-26高三上·天津滨海新·月考）在 中，角 所对的边分别是 ．已知
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）由已知，由余弦定理可得， ， 得 ．
又 ， .
（2）由（1）及 ，
可得 ，解得： .
（3）由正弦定理可得， ，
即 解得： ，
而 ，所以 都为锐角，
因此 ，
由（2）知 ，则 ，
所以 .
3．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 ， ；
(3)若 ，求 .
【答案】(1) ；(2) ， ；(3)
【解析】（1）由 ,
根据正弦定理，得 ，
则 ，
在 中， ，则 ，
又 ，故 .
（2）由 ，
根据余弦定理可得 ，整理可得 ，
又 ，解得 ， 或 ， （舍去）.
（3）由 ，根据正弦定理，得 ，
则 ，
又 ，则 ，故 为锐角，
所以 ，
则 ，，
所以 .
题型02 三角形面积与周长问题
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·天津·月考）在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 的周长.
【思路分析】
（1）由正弦定理的边角互化并化简得 ，结合角的范围即可求解；
（2）由三角形的面积公式可得 的值，再由余弦定理可得 的值，从而可得 ，即可得到结果.
【规范答题】
（1） ，由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，所以 .
由余弦定理可得 ，
即 ，所以 .
所以 .
则 的周长为 .
研考点 · 通技法
解决三角形面积与周长问题的解题步骤第一步：核心用面积公式——优先用 ，建立边与角的等式。
第二步：结合周长条件（ =定值），转化为边的和或积关系；若无周长，直接联立正弦定理、余
弦定理，将面积条件转化为边的关系，解出未知量。
第三步：简化运算——涉及多个未知量时，用整体代换（如设 ），避免单独求解，提升效率。
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）在 中， 内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ， 已知
.
(1)求 的值；
(2)求 ；
(3)若 ， 的周长为 ， 求 的面积．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1） ，
则 ，故 ；
（2）由 ，则 ，则 ，
；
（3）由余弦定理 可得 ，
又 ，则 ，
即 ，则 .
2．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）在 中， ．
(1)求 ；(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由 ，可得 ，
整理得 ．
则 ，
即 ，
所以 ．由 ，故 ，
又 ，所以 ．
（2）设 的内角 所对的边分别为 ，
由（1）知 ，则 的面积 ，得到 ，
因为 ，由余弦定理 ，
得 ，得到 ，所以 ，
所以 的周长为 ．
3．（24-25高三下·天津·月考）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求 ；
(2) 为边 上一点，若 ，且 ，求 的面积.
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）方法一：因为 ，
所以由正弦定理可得， ，
又因为 ，
所以 ，
由于 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ；
方法二：因为 ，所以由余弦定理可得 ，
整理可得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ；
（2）方法一：由（1）及题设知， ， ， .
在 中，由正弦定理得， .
在 中，由正弦定理得， .
两式相除可得 ，即 ，
在 中，由余弦定理可得 ，即
所以 的面积 ；
方法二：如图所示，过 作 ，垂足为 .
在 中， ，所以 .
由于 ，所以 ，
所以 ，即 ，
得 ，后同方法一；
方法三：由（1）及题设知， ， .
因为两个三角形的高相同，所以 与 的面积之比等于 ，
又因为 与 的面积之比还等于 ，所以 ， ，后同方法一.
题型03 三角形的中线、角平分线与高线
析典例 · 建模型
1．（25-26高三下·天津·统练）已知 的内角 的对边分别为 的面积为
．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的周长为5，设 为边BC中点，求AD.
【思路分析】
（1）根据三角形的面积公式结合正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；
（2）根据三角形的周长，结合余弦定理求出 ，再向量化即可得解.
【规范答题】
（1）依题意， ，
所以 ，
由正弦定理可得， ，
由余弦定理， ，解得 ，
因为 ，所以 ；
（2）依题意， ，
因为 ，解得 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
2．（25-26高三上·河南·月考）在 中，角 的对边分别为 ，且， ．
(1)求 ；
(2)若 边上的高为 ，求 的周长．
【思路分析】
（1）利用正弦定理及两角和的余弦公式可得出 ，进而求出 ，再利用正弦定理
即可求出 ；
（2）根据三角形面积公式求出 ，再利用余弦定理即可求出答案.
【规范答题】
（1）因为 ，
由正弦定理得： ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ， ．
由正弦定理得： ，
又因为 ，所以 ，即 ，
所以 .
（2）因为 边上的高为 ，所以有 ，
所以 ，即 ，
再由余弦定理得： ，
所以 ，化简得： ，
又因为 ，解得 ，所以 ，
则 的周长为： ．研考点 · 通技法
1、角平分线问题：利用角平分线定义（平分内角），结合正弦定理，在两个小三角形中列等式，得到边
的比例关系；或用角平分线定理（AB/AC=BD/DC），直接转化边的关系，再联立正、余弦定理求解。
2、中线问题：将中线延长一倍，构造平行四边形，利用平行四边形性质转化边、角关系；或直接用余弦
定理，分别在中线两侧的三角形中表示同一角（或互补角），利用互补角余弦值互为相反数联立方程。
3、高线问题：利用高线的垂直关系（夹角为90°），在两个直角三角形中，结合正弦、余弦定理，用公共
高建立边与角的联系，联立求解；也可结合面积公式（S=1/2·底·高），快速转化未知量。
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·河北保定·月考）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)记 的中点为 ，若 ，且 ，求 的周长．
【答案】(1)证明见解析；(2)16.
【解析】（1）由正弦定理，得 ，
，
，
，
，即 ，
，即 ；
（2）由（1）及题设有 ，又 ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
显然有 ，则 ，
整理得 ，即 ，又 ，所以 ，从而 ，
的周长为 .
2．（25-26高三上·河北唐山·期中）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知向量 ， 满足
，且 ．
(1)求 的值；
(2)若 ， 的面积是 ， 的角平分线 交 于点 ．
①求 ；
②求 的值．
【答案】(1) ；(2)① ；② ．
【解析】（1） ，
由正弦定理得 ，
，则 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以
（2）①由 得 ，
由余弦定理 得 ，
所以 ．
②由 得
，
所以
3．（25-26高三上·天津武清·月考）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小：
(2)若 ， ， ，求 的值；
(3)设 是边 上一点， 为角平分线且 ，求 的值.【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）由题意及正弦定理可得： ，
可得 ，即 ，
在 中， ，所以 ，
因为 ，所以 ；
（2）因为 ， ， ，
由余弦定理得 ，
所以 ，即 ，
所以 ， ，由正弦定理可得： ，
可得 ，
因为 ，则 ，则 ，
可得 ，且 ，
所以
；
（3）因为 ， 是角平分线，即 ，
因为 ，
所以 ，由正弦定理可知 ，
所以 ，所以 ，整理可得 ，
又因为 ，且 ，
即 ，解得 .
题型04 三角形中的最值与范围问题
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·天津·月考）已知 ．
(1)求 的最小正周期及单调递减区间；
(2)已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 ，求 面积的最大值．
【思路分析】
（1）利用诱导公式先化简，再利用三角恒等变换化简得 ，利用正弦型函数求周期和
单调减区间即可求解；
（2）先求 ，再利用余弦定理和基本不等式即可求解.
【规范答题】
（1）由题意有： ，
所以 ，
令 ，解得 ，
所以 的单调递减区间 ；
（2）由 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，由余弦定理得： ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
所以 的面积的最大值为 .
2．（24-25高三上·天津·月考）已知 的内角A，B，C所对边分别为a，b，c， .
(1)求角A；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ，求 的取值范围.
【思路分析】
（1）利用辅助角公式得到 ，结合 ，求出 ；
（2）由余弦定理列出方程，求出 ，故 ，求出答案；
（3）由正弦定理 ，表达出 ，结合 ，求出 的取值范围.
【规范答题】
（1） ，故 ，
因为 ，所以 ，
故 ，解得 ；
（2）由余弦定理得 ，
又 ， ，所以 ，
故 ，所以 ，
故 ， ；
（3）由正弦定理得 ， 为 外接圆半径，
故 ，
又 ，故 ，因为 ，故 ，故 ，
又 ，
则
，
因为 ，所以 ，故 ，
.
研考点 · 通技法
方法一：余弦定理+基本不等式（优先用）——由 （c、C为定值时），变形利用
，求 的最值；再由 ，求 的范围。
方法二：角化边+三角函数值域——用正弦定理将 表示为角的函数（ 、 ），
结合内角和消去一个角，化简为单一三角函数（如 ），利用 求范围。
注意关键约束：必须满足三角形内角范围、两边之和大于第三边，避免范围扩大。
小技巧：题干若给出“某角为定值、对边为定值”，优先用三角函数值域；若给出边的关系，优先用基本
不等式，计算量更小。
破类题 · 提能力
1．（2025·天津南开·模拟预测）在 中，内角 对应的边分别是 、 、 ，且
．
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由正弦定理可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，
由余弦定理知 ，代入数据得 ，解得 ，所以 ，所以 的面积为 .
（2） ，
因为 ，所以 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 的取值范围为 .
2．（24-25高三上·广东梅州·期中）已知 函数 ．
(1)求函数 的解析式及对称中心；
(2)若 ，且 ，求 的值．
(3)在锐角 中，角 、 、 分别为 、 、 三边所对的角，若 ，求 周长的
取值范围．
【答案】(1) ,对称中心为 ；(2) ；(3)
【解析】（1） .
令 ，则 ， ，
函数的对称中心为 ， .
（2）由 可知， ，
化简得 ，
， ， ，.
（3）由 可得 ， 即 ，
又 ，则 ，则 ，所以 .
由正弦定理有
所以
，
因为 为锐角三角形，所以 ，解得 .
所以 ，则 ，
所以 ，则 ，
所以 的周长的取值范围为 .
3．（24-25高三上·天津·期中）已知 的内角 所对应的边分别为 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积．
(3)若 ， 的面积为 ，求 的最大值．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1） ，
因此，根据题意， ，
由正弦定理可得 ，即 ，
在 中， ，所以 ，
即 ， ，
，故 .
（2）依题意， ， ，根据余弦定理可得：
，
即 ， ， ，解得 ，
根据三角形面积公式得 .
（3）依题意， ， ，根据余弦定理可得：
，
即 ， ，
由基本不等式可知 ，当且仅当 时取等，
即 ，解得 ，当且仅当 时取等，
综上， ，
即当 时， 取最大值 .
（建议用时：45分钟）
刷模拟
1．（2025·天津·二模）在 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， ，．
(1)求 的值；
(2)若 ，求c的值．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理，得 ，
即 ．
因为 ， ，所以 ， ．
由 ，得 ，
因为 ，所以 ．
（2）由正弦定理，可得 ．
又 ，
由正弦定理，可得 ．
2．（2025·天津南开·二模）在 中，角 的对边分别为 ．已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，整理得 ，
由余弦定理可得 ，
又 ，故 ．（2）由（1）知 ，又 ，得 ，
由正弦定理可得 ，
又 ，解得 ．
（3）因为 ，所以 ，故 ．
所以 ．
所以 ．
3．（2026·天津河东·一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边， ，
， .
(1)求a， 的值：
(2)求 的值；
(3)求 的面积.
【答案】(1) ， ；(2) ；(3)
【解析】（1）在△ABC中，由 ， ，可得 ，
因为 ， ， ，
可得 ，
代入 ， ，可得： ，
化简得： ，
所以 ， ，即 ；
（2）由（1）可知C为钝角，且 ，
则 ， ，所以 .
（3） .
4．（2026·天津滨海新区·一模）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知
.
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求：
①边长 的值；② 的值．
【答案】(1) ；(2)① ；②
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理，可得 ，
又因为 ，
可得 ，
所以 ，即
因为 ，可得 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
（2）解：①因为 ，由正弦定理得 ，
所以 的面积为
又因为 的面积为 ，可得 ，解得 ，则 ，
由余弦定理得 ，所以 ；
②由正弦定理 ，可得 ，
因为 ，可得 为锐角，所以 ，则 ，
，
又因为 ，
所以 .
5．（2025·天津·三模）在 中，角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)若 ，求 的外接圆的周长；
(2)若 为锐角三角形，且 ，
①求角 的取值范围；
②求 面积的取值范围．
【答案】(1) ；(2)① ；② ．
【解析】（1）在 中，由 及正弦定理，得 ，
而 ，则 ， ，又 ，
于是 ， ，因此 ，设 的外接圆半径为 ，
由正弦定理得 ，
所以 的外接圆的周长为 .
（2）①由 为锐角三角形，得 ，又 ，
则 ，解得 ，所以角 的取值范围是 ；
② 的面积 ，
由正弦定理得 ．由 ，得 ，则 ，因此 ，
所以 面积的取值范围是 .
刷真题
1．（2025·天津·高考真题）在 中，角 的对边分别为 ．已知 ，
， ．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求 的值．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）已知 ，
由正弦定理 ，得 ，
显然 ，得 ，
由 ，故 ；
（2）由（1）知 ，且 ， ，
由余弦定理 ，
则 ，解得 （ 舍去），
故 ；
（3）由正弦定理 ，且 ，
得 ，且 ，则 为锐角，
故 ，故 ，
且 ；故 .
2．（2024·天津·高考真题）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）设 ， ，则根据余弦定理得 ，
即 ，解得 （负舍）；
则 .
（2）法一：因为 为三角形内角，所以 ，
再根据正弦定理得 ，即 ，解得 ，
法二：由余弦定理得 ，
因为 ，则
（3）法一：因为 ，且 ，所以 ，
由（2）法一知 ，
因为 ，则 ，所以 ，
则 ，
.
法二： ，则 ，
因为 为三角形内角，所以 ，
所以
3．（2023·天津·高考真题）在 中，角 所对的边分别是 ．已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）由正弦定理可得， ，即 ，解得： ；
（2）由余弦定理可得， ，即 ，
解得： 或 （舍去）．
（3）由正弦定理可得， ，即 ，解得： ，而 ，
所以 都为锐角，因此 ， ，
．
4．（2022·天津·高考真题）在 中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知
.
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）因为 ，即 ，而 ，代入得 ，解得： ．
（2）由（1）可求出 ，而 ，所以 ，
又 ，所以 ．
（3）因为 ，所以 ，故 ，
又 ，
所以 ，
，
而 ，所以 ，
故 ．
5．（2021·天津·高考真题）在 ，角 所对的边分别为 ，已知 ，
．
（I）求a的值；
（II）求 的值；
（III）求 的值．
【答案】（I） ；（II） ；（III）
【解析】（I）因为 ，由正弦定理可得 ，
， ；
（II）由余弦定理可得 ；
（III） ， ，
， ，所以 .
