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第 01 讲 勾股定理
【题型1：已知直角三角形的两边，求第三边长】
【题型2：求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】
【题型3：等面积法求直接斜边上的高问题】
【题型4：作无理数的线段】
【题型5：勾股定理的证明】
考点1：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形 ABC的两直角边长分别
a，b c a2 b2 c2
为 ，斜边长为 ，那么 .
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可
以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
a2 c2 b2 b2 c2 a2 c2 ab2 2ab
， ， .
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.利用勾股定理，作出长为 的线段
【题型1：一直直角三角形的两边，求第三边长】
【典例1】直角三角形两条直角边分别为4和6，则斜边长为（ ）
A．6 B． C．10 D．6或
【答案】B
【解答】解：∵两条直角边的长分别为4和6，∴斜边＝ ＝2 ．
故选：B．
【变式1-1】直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若a＝5，c＝13，则b
的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．144
【答案】C
【解答】解：由勾股定理得：b＝ ＝ ＝12
故选：C．
【变式1-2】如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则AB的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则由勾股定理知：
AB＝ ＝ ＝ ．
故选：A．
【变式1-3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，则AC的长为（ ）
A．8 B． 或12 C． D．12
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴AC＝ ＝ ＝12．
故选：D．
【题型2：求直接三角形周长，面积、斜边上的高等问题】
【典例2】已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则△ABC的面积为（ ）A．17.5 B．20 C． D．28
【答案】C
【解答】解；如图，过A作AD⊥BC，垂足为D．
设BD＝x，则CD＝5﹣x，
∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD2＝AB2+BD2＝AC2+CD2，
∴82﹣x2＝72﹣（5﹣x）2
，∴x＝4，
∴AD＝ ＝ ＝4 ．
∴S ＝ BC•AD＝ ×5×4 ＝10 ．
△ABC
故选：C．
【变式 2-1】如图，∠B＝∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，BC＝3，则 AB 的长为
（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】A
【解答】解：∵∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，
∴AC＝ ＝ ＝5，
∵∠B＝90°，BC＝3，
∴AB＝ ＝ ＝4，
故选：A．【变式2-2】如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是
25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．144 B．194 C．12 D．13
【答案】A
【解答】解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面积＝169﹣25＝144．
故选：A．
【变式2-3】已知直角三角形的周长为24，斜边长为10，则三角形的面积为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】B
【解答】解：设直角三角形两直角边长为a，b，
∵该直角三角形的周长为24，其斜边长为10，
∴24﹣（a+b）＝10，
即a+b＝14，
由勾股定理得：a2+b2＝102＝100，
∵（a+b）2＝142，
∴a2+b2+2ab＝196，
即100+2ab＝196，
∴ab＝48，
∴直角三角形的面积＝ ab＝24，
故选：B．
【题型3：等面积法求直接斜边上的高问题】
【典例3】如图所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，AD⊥BC，那么AD
的长为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4.8
【答案】D
【解答】解：如右图所示，
在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，
∴BC＝ ＝ ＝10，
又∵S ＝ AC•AB＝ BC•AD，
△ABC
∴6×8＝10AD，
∴AD＝4.8．
故选：D．
【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设点C到AB的距离为h，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2＝AB2，
∵AC＝9，BC＝12，
∴AB＝ ＝15，
∵S ＝ AC•BC＝ AB•h，
△ABC∴h＝ ＝ ．
故选：A．
【变式3-2】如图，在网格中，每个小正方形的边长均为 1．点A、B，C都在格点上，若
BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由勾股定理得：AC＝ ＝2 ，
∵S ＝3×4﹣ ×1×2﹣ ×3×2﹣ ×2×4＝4，
△ABC
∴ AC•BD＝4，
∴ 2 BD＝4，
∴BD＝ ，
故选：C．
【变式 3-3】如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，则 AC 边上的高 BD 的长为
（ ）
A．4 B．4.4 C．4.8 D．5【答案】C
【解答】解：过A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AE⊥BC，
∴EB＝EC＝ CB＝3，
在Rt△ABE中，AE＝ ＝ ＝4，
∴△ABC的面积为 •BC•AE＝ ×6×4＝12，
∴ •AC•BD＝12，
5×BD＝12，
解得BD＝ ．
故选：C．
【题型4：作无理数的线段】
【典例4】边长为1的正方形OABC在数轴上的位置如图所示，点B表示的数是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵正方形OABC的边长为1，
∴在等腰直角三角形AOB中，
OB＝ ＝ ．
故选：B．
【变式4-1】如图，数轴上的点A所表示的数为x，则点A坐标为 ﹣ +1 ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，
∵OB＝OC＝1，
∴BC＝ ＝ ，
∴AC＝BC＝ ，OA＝ ﹣1，
∴点A表示的数为﹣ +1，
故答案为﹣ +1．
【变式4-2】（1）如图4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，若每个小正方形边长为 1
单位，请在方格中作一个正方形，同时满足下列两个条件：
①所作的正方形的顶点，必须在方格上；
②所作正方形的面积为8个平方单位
（2）在数轴上表示实数 （保留作图痕迹）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求的正方形；
（2）以A为圆心、AB为半径做弧交数轴于点E，点E即为所求．考点2：勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .【题型5：勾股定理的证明】
【典例5】如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂
线，垂足分别为点D和点E．
（1）求证：∠DAC＝∠BCE；
（2）如果AC＝BC．
①求证：CD＝BE；
②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）①证明过程见解答；
②证明过程见解答．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE；
（2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
由（1）知：∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE；
②由图可知：
S ＝S +S +S ，
梯形ADEB △ADC △ACB △CEB∴ ＝ ，
化简，得：a2+b2＝c2．
【变式5-1】（1）为了证明勾股定理，李明将两个全等的直角三角形按如图 1所示摆放，
使点A、E、D在同一条直线上，如图1，请利用此图证明勾股定理；
（2）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以
每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B运动，设运动时间为t秒（t＞0），若点P在∠BAC的
平分线上，求此时t的值．
【答案】（1）a2+b2＝c2；
（2）t＝ ．
【解答】解：（1）S ＝S +S +S ，
梯形ADCB △AEB △BEC △EDC
＝ + + ，
a2+2ab+b2＝c2+2ab，
a2+b2＝c2；
（2）过A作∠BAC的角平分线交BC于点P，过P作PD⊥AB交AB于点D，
∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝8cm，
∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，
∴PC＝PD，
∵S +S ＝S ，
△ACP △ABP △ABC
AC•CP+ AB•PD＝ AC•BC，
×8×CP+ ×10×CP＝ ×8×6，
∴CP＝ ，
∴P点走过的路径为AC+CP＝8+ ＝ ，
∴t＝ ÷4＝ ．
【变式5-2】我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其
为“赵爽弦图”，如图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大
正方形．若大正方形的面积为25，每个直角三角形两直角边的和为7，求中间小正方形
的边长．
【答案】1．
【解答】解：设直角三角形的两直角边中较长边为a，较短边为b，
∴大正方形的边长为 ，面积为a2+b2，
由题意得： ，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝49﹣25＝24，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝25﹣24＝1，
∴a﹣b＝1，
∴小正方形的边长为：4﹣3＝1．【变式5-3】如图1，将长为2a+3，宽为3a﹣2的长方形ABCD分割成四个全等的直角三角
形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
（1）求图2中小正方形MNPQ的边长（用含a的代数式表示）；
（2）当a＝3时，请直接写出小正方形MNPQ的面积．
【答案】（1） +4；（2） ．
【解答】解：（1）∵直角三角形的较长直角边长2a+3，较短直角边长 （3a﹣2），
∴小正方形MNPQ的边长＝2a+3﹣ （3a﹣2）＝ +4；
（2）∵当a＝3时， +4＝ ，
∴小正方形MNPQ的面积是 × ＝ ．
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋•朝阳区校级期末）图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的
正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（ ）
A．28cm2 B．42 cm2 C．49 cm2 D．63 cm2
【答案】C
【解答】解：由图形可知2个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B的面积之和＝49cm2．
故选：C．
2．（2023秋•绥化期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（ ）
A．26 B．18 C．20 D．21
【答案】C
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，
∴c＝ ＝ ＝20．
故选：C．
3．（2023秋•榆树市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，
DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，则AE的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解答】解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，
由勾股定理知：AB＝ ＝ ＝20．
∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．
∴AE＝BE＝ AB＝10．
故选：C．
4．（2023秋•泉山区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD平分
∠BAC，则AD的长为（ ）A．5 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC于点D，
∴BD＝ BC＝5，
∴AD＝ ，
故选：C．
5．（2022秋•卢龙县期末）如图，长方形OABC的OA长为2，AB长为1，OA在数轴上，
点O与原点重合，以原点为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这
个点表示的实数是（ ）
A．2.5 B．﹣2 C． D．﹣
【答案】D
【解答】解：在Rt△OAB中，OB＝ ＝ ＝ ，
则这个点表示的实数为﹣ ，
故选：D．
6．（2023秋•广饶县期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，则Rt△ABC的
斜边AB上的高CD的长是（ ）A． B． C．9 D．6
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
由勾股定理得，AB＝ ＝ ＝10，
△ABC的面积＝ ×BC×AC＝ ×AB×CD，即＝ ×6×8＝ ×10×CD，
解得，CD＝ ，
故选：B．
7．（2022秋•双流区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16cm，以点A为圆心，
AC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点B为圆心，BD长为半径画弧，交线段BC于
点E．若BD＝CE，则AC的长为（ ）
A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm
【答案】A
【解答】解：设AC＝AD＝x cm，
∵BD＝CE，BD＝BE，
∴ ，
在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+162＝（x+8）2，
解得：x＝12，
即AC＝12cm，
故选：A．
8．（2022秋•高青县期末）如图，已知网格中每个小正方形的边长均为 1，以点A为圆心，
AB为半径画弧交网格线于点D，则ED的长为（ ）A． B．3 C．2 D．
【答案】A
【解答】解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3，AE＝2，
在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2，
∴DE＝ ，
故选A．
9．（2023秋•蕉城区期中）如图：4×1网格中每个正方形边长为1，表示 长的线段是
（ ）
A．OA B．OB C．OC D．OD
【答案】C
【 解 答 】 解 ： 由 网 格 的 特 点 可 知 ， ，
， ，
∴表示 长的线段是OC，
故选：C．
10．（2023•阜宁县二模）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成
的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正
方形的面积为16，则小正方形的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【解答】解：由题意可得， ，
∴小正方形的面积＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝16﹣12＝4，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．（2023秋•市北区期末）若实数a，b满足|a﹣3|+ ＝0，且a，b恰是直角三角形
的两条边长，则该直角三角形的斜边长为 4 或 5 ．
【答案】4或5．
【解答】解：∵实数a，b满足|a﹣3|+ ＝0，
∴|a﹣3|＝0， ，
∴a＝3，b＝4，
∵a，b恰是直角三角形的两条边长，
当b＝4为直角边时，斜边长＝ ，
当b＝4为斜边时，斜边长＝4，
∴该直角三角形的斜边长为4或5，
故答案为：4或5．
12．（2023秋•北碚区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，CB＝12，BD平分
∠ABC，则AD的长是 5 ．【答案】5．
【解答】解：由勾股定理得，AC＝ ，
∵BD平分∠ABC，BC⊥CD，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
∵ ，
∴ ，
∴CD＝4，
∴AD＝AC﹣CD＝9﹣4＝5，
故答案为：5．
13．（2023秋•二道区期末）如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成
一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人
们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为 7cm，短直角边为
3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为 32
cm．
【答案】32．
【解答】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，
∴BC＝7﹣3＝4（cm），
由勾股定理得：AC＝ ＝5（cm），∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．
故答案为：32．
14．（2022秋•鲤城区校级期末）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为 5 ．
【答案】5．
【解答】解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A＝∠ABD，
∴BE＝AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∴∠EBC＝∠BEC，
∴BC＝CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD＝BE，
∵BD＝1，BC＝3，
∴CE＝3，
∴AE＝BE＝2，
∴AC＝AE+EC＝2+3＝5．
故答案为：5．
15．（2023秋•泉山区校级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，DE是
边AB的垂直平分线，则△ADC的周长为 1 6 ．【答案】16．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，
∴BC＝ ＝10，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴BD＝AD，
∴△ADC的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝6+10＝16．
故答案为：16．
三．解答题（共3小题）
16．（2022秋•绿园区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC
＝20，BC＝15．
求：（1）CD的长；
（2）AD的长．
【答案】（1）12；
（2）16．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB＝ ＝ ＝25，
∵CD⊥AB，
∴S ，
∴CD＝ ＝12；
（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD＝ ＝ ＝9，
AD＝25﹣9＝16．
17．（2023秋•金凤区校级期末）如图，图1为4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，
每个小正方形边长为1．
（1）图1中正方形ABCD的面积为 1 0 ，边长为 ；
（2）①依照图1中的作法，在下面图2的方格中作一个正方形，同时满足下列两个要
求：
Ⅰ．所作的正方形的顶点，必须在方格的格点上；
Ⅱ．所作的正方形的边长为 ．
②请在图2中的数轴上标出表示实数 的点，保留作图痕迹．
【答案】（1）10， ；
（2）①作图见解析过程；
②作图见解析过程．
【解答】解：（1）正方形的边长为： ，面积为： ，
故答案为：10， ；
（2）①如图所示的正方形即为所作；②如图2中，正方形EFGH是所画的面积为8的格点正方形，
以点E为圆心、EF为半径画弧，交数轴于点P，则点P的坐标为实数 ．
18．（2023春•临朐县期中）阅读材料，解决问题：
三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．
实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图 2，这是由8个全等的直角
边长分别为a，b，斜边长为c的三角形拼成的“弦图”．
（1）在图2中，正方形ABCD的面积可表示为 （ a + b ） 2 ，正方形PQMN的面积
可表示为 （ a ﹣ b ） 2 ．（用含a，b的式子表示）
（2）请结合图2用面积法说明（a+b）2，ab，（a﹣b）2三者之间的等量关系．
（3）已知a+b＝5，ab＝4，求正方形EFGH的面积．
【答案】（1）（a+b）2，（a﹣b）2；（2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（3）17．
【解答】解：（1）正方形ABCD的面积可表示为（a+b）2，正方形PQMN的面积可表
示为（a﹣b）2．
故答案为：（a+b）2，（a﹣b）2．
（2）∵正方形ABCD的面积＝正方形MNPQ的面积+直角三角形的面积×8，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+ ab×8，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
∴（a+b）2，ab，（a﹣b）2三者之间的等量关系是（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（3）∵正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣直角三角形的面积×4，
∴正方形EFGH的面积＝（a+b）2﹣ ab×4＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
