文档内容
专题 01 三角形中的三线与内外角
目录
A题型建模・专项突破
题型一、三角形的三边关系化简绝对值..................................................................................................................1
题型二、三角形中的三线计算问题..........................................................................................................................2
题型三、三角形中的折叠求角度问题......................................................................................................................6
题型四、三角形的内外角有关的问题....................................................................................................................10
B综合攻坚・能力跃升
题型一、三角形的三边关系化简绝对值
1．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）若 、 、 分别为 三边，化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，先结合两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
得 ，再化简 ，即可作答．
【详解】解：∵ 、 、 分别为 三边，
∴ ，
∴ ，
则
．
2．已知 的三边长分别为a，b，c．
(1)若 ， ，且c为奇数，求c的值；
(2)化简： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形三边的关系是解题的关键．
（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出c的取值范围即可得到答
案；
（2）根据三角形三边的关系可得 ，则 ，据此去绝对值求解即可．
【详解】（1）解：∵ 的三边长分别为a，b，c， ， ，
∴ ，∴ ，即 ，
∵c为奇数，
∴ ；
（2）解： 的三边长分别为a，b，c，
∴ ，
∴ ，
∴
．
3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知 的三边长是 ．
(1)若 ，且三角形的周长是小于 的偶数，求 的值；
(2)化简 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键．
（1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于16的偶数，得出 ，即可得出答案；
（2）由三角形三边关系得 ，再利用绝对值的性质化简即可．
【详解】（1）解： 的三边长是 ， ，
， ，
，
的周长是小于 的偶数，
，即 ，
；
（2）解： 的三边三边长是a，b，c，
，
原式
．
题型二、三角形中的三线计算问题
4．如图， 是 的中线，已知 ．(1)求 与 的周长之差；
(2)若 边上的高为 ，求 边上的高．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形中线将 与 的周长之差转换为 和 的差即可得出答案；
（2）设 边上的高为 ，根据三角形面积公式列出方程求解即可．
【详解】（1）解： 的周长为 ，
的周长为 ，
∵ 是 的边 上的中线，
∴ ，
∴ ；
（2）设 边上的高为 ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 ．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题
的关键．
5．（24-25七年级下·四川资阳·期末）如图，在 中， 是高， 是 的平分线．
(1)若 ，求：
① 的度数；② 的度数．
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)① ，②
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和性质、角平分线的定义，三角形的等面积法求线段的长度，即可作答
（1）先根据三角形内角和性质得 ，再结合角平分线的定义得 ，再结合 是高，
得出 的度数，再根据角的关系进行运算得出 的度数，即可作答．
（2）运用等面积法进行列式 ，代入数值进行化简，即可作答．
【详解】（1）（1）解：①∵ 是高，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 是高，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
6．在 中， ， 为直线 上任意一点，连结 ， 于点 ， 于点 ．
为 边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分）【画图探究】（1）如图①，当点 在边 上时，请画出 ，猜想 ， ， 之间的数量关系并证
明．
【运用】（2）如图②，当点 为 中点时， 与 的数量关系为___________
【拓展】（3）如图③，当点 在 的延长线上时， 、 、 之间的数量关系为___________；
【答案】（1）作图见解析； ，证明见解析；（2） ，理由见解析；（3）
，理由见解析
【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积，
（1）过点 作 交 于一点 ，再根据 列式化简，即可得证；
（2）同理得 ，根据点 为 中点时得 ，继而推
出 ，可得结论；
（3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论．
解题的关键是熟练运用数形结合思想．
【详解】解：（1）依题意， 边上的高 如下图所示：
， ， 之间的数量关系： ．
证明：∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2） 与 的数量关系为： ．
理由：如图，过点 作 交 于点 ，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，点 为 中点时，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3） ， ， 之间的数量关系： ．
理由：如图，过点 作 交 于点 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
题型三、三角形中的折叠求角度问题
7．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点E，F分别在 边 和 上，连接 ，将 沿
着直线 折叠，使得点A与点 重合，连接 ， ， 平分 ， 平分 ．(1)若 ，求 的度数：
(2)若 ， ，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查折叠的性质，三角形内角和定理和角平分线定义等知识，熟练掌握疏导他对于空间
解答本题的关键．
（1）由三角形内角和定理求出 ，由角平分线定义得 ，再由三角
形内角和定理可求出 ；
（2）设 ，则 ，求出
根据 可得结论．
【详解】（1）解：如图，
，且
又 平分 ， 平分 ，
∴
∴
；
（2）解：设 ，则 ，
由折叠得，
∴∴
而
∵
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴ ．
8．（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片 沿 折叠．
(1)如图1，点 落在四边形 内部点A处时， 与 之间有一种数量关系始终保持不
变，写出这种关系并证明；
(2)如图2，点 落在四边形 外部点A处时，直接写出 与 之间的数量关系．
【答案】(1) ，见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质．
（1）由折叠得到 ， ，根据平角得到 ，
，再结合三角形内角和得到 ，即可解决问题；
（2）由折叠得到 ， ，根据平角得到 ，
，再结合三角形内角和得到 ，即可解决问题．
【详解】（1）解： ．
证明：∵三角形纸片 沿 折叠得到 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，∴ ；
（2）解：∵三角形纸片 沿 折叠得到 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
9．如图（1）所示， 把 沿 折叠，
(1)当点C落在四边形 内部时， 与 、 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这
个规律，请你写出规律并证明你的规律．
(2)当点A落在四边形 上方时， 与 、 之间数量关系是 ．
(3)当点A落在四边形 下方时， 与 、 之间数量关系是 ．
【答案】(1) ，证明见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由折叠的性质可得 ， ，由邻补角的定义可得 ，
，由三角形内角和定理可得 ，由此计算即可得解；
（2）由折叠的性质可得 ， ，从而得出 ，
，由三角形内角和定理可得 ，由此计算即可得解；
（3）由折叠的性质可得 ， ，从而得出 ，
，由三角形内角和定理可得 ，由此计算即可得解．
【详解】（1）解： ，证明如下：
由折叠的性质可得： ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
，即 ；
（2）解：由折叠的性质可得： ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
，
即
（3）解：由折叠的性质可得： ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
，
即 ．
题型四、三角形的内外角有关的问题
10．如图，在 中，点 在边 上，且 平分 交 于点 ．
(1)求 的度数．
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角定理，角平分线的计算，熟练掌握三角形内角和定理，外角
定理是解题的关键．
（1）在 中，由三角形内角和定理求解即可；
（2）先由外角定理求出 ，然后由角平分线求出 ，最后由三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）解： ，
．
在 中，，
；
（2）解： 是 的外角，
．
，
．
平分 ，
．
在 中， ，
．
11．（24-25七年级下·全国·期中）如图， 中，D为 边上一点，过点D作 ，交 于点
E，F为 边上一点，连接 并延长，交 的延长线于点G，且 ．
(1)试说明 平分 ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理；解题的关键是能融会贯通综合
运用这些性质和定理．
（1）根据 得到 ，结合 ，得到 即可．
（2）先求得 ，结合 ，三角形外角性质求解即可．
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
所以 平分 ．
（2）解：因为 ， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．12．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图， 为 的角平分线，点 在 上（不与 重合），
，延长 交 于点 ．
(1)如图1，若 ，则 的度数为___________．
(2)当 时，求证： ；
(3)如图2， 的角平分线交 于点 ，请用一个等式表示 三个角之间的数
量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据角的平分线，对顶角相等，三角形内角和定理计算解答即可．
（2）根据（1）的证明解答即可；
（3）根据（2）的结论，证明解答即可；
本题考查了角的平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，对等角相等，等量代换，熟练掌握相关知
识是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ 为 的角平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：∵ 为 的角平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解： ．理由如下：
根据（2）解答，得 ，
根据三角形内角和定理，得 ，
∴ ，
∵ 的角平分线交 于点 ，
∴ ，
故 ．
一、单选题
1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在 中，点 分别是 、 的中点，且 ，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中线，根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：
， ， ，依此即可求解．
【详解】解：∵点D为边 的中点， ，
∴ ，
∵点E为边 的中点，∴ ， ，
∴ ．
即阴影部分的面积等于4．
故选：C．
2．（24-25七年级下·广东梅州·期中）作 的边 上的高，下列作法中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查画三角形的高线，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键
根据三角形的高线的定义，进行判断即可．
【详解】解：作 边上的高 ，是从顶点 出发，引对边 的垂线段，
据此，符合题意的是 ；
故选：D．
3．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在 中， ， 是 的平分线，外角
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质．
利用三角形的外角求出 的度数，利用角平分线的性质求出 的度数，再利用三角形的外角性
质即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
，
∴ ，
故选：C．
二、填空题
4．（13-14八年级上·甘肃嘉峪关·期末）已知 、 、 是三角形的三边长，化简：
．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边、
两边之差小于第三边 ）以及绝对值的性质（正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数）是解题的
关键．利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简．
【详解】解： 、 、 是三角形的三边长
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
∵
，即 ； ，即
∴ 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数
∵ ，
∴则
故答案为： ．
5．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，现有一张三角形纸片 ，点D，E分别是 边上的一
点，将该纸片沿 折叠，使得点A落在四边形 的外部点 的位置，且点 与点C在直线 的异
侧．若 ， ，且 ，则 的度数为 ．【答案】 /30度
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质．连接 ，根据三角形内
角和定理可得 的度数，再由折叠的性质可得 ，从而得到
， ，然后根据三角形外角的性质可得 ，再由平行线的性质
可得 ，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴
由折叠的性质得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
6．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图， 的面积为 ，第一次操作：分别延长 ， ，
至点 ， ， ，使 ， ， ，顺次连接 ，得到 ；第二次操
作：分别延长 ， ， 至点 ， ， ，使 ， ， ，顺次连接
，得到 ；…；按此规律，第 次操作后，得到 ，要使 的面积超过 ，
则至少需要操作 次．【答案】
【分析】本题考查了三角形中线的性质，图形规律，连接 根据三角形中线的性质得出 与
的面积相等，根据 得出 的面积等于 的面积的 倍，等于 ， 同理可得 的
面积为 ， 的面积为 ，得出第一次操作后的， 的面积为 ，根据规律得出第四次操作后
的面积为 ，结合题意即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ， 面积为 ，
∴ 与 的面积相等，等于 ，
∵ ，
∴ 的面积等于 的面积的 倍，等于 ，
同理可得 的面积为 ， 的面积为 ，
∴ 的面积等于 ，
同理可证，第二次操作后 的面积为 的面积的 倍，等于 ；
第三次操作后 的面积为 的面积的 倍，等于 ；
第四次操作后 的面积为 的面积的 倍，等于 ；
故按此规律，要使三角形的面积超过 ，至少操作 次，故答案为： ．
三、解答题
7．如图所示，已知三角形 的面积为20， ， ，求阴影部分的面积．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中线有关的面积，由边之间的关系得 ， ，阴影部分
的面积转化成 的面积，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
设 ，
， ，
， ， ，
，
，
，
解得∶ ，
故阴影部分的面积为 ．
8．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图， 中， 平分 ，P为 延长线上一点，
于E，已知 ．(1) 的度数为_______；
(2)求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及角平分线
的定义，求出 的度数是解题的关键．
（1）在 中，利用三角形内角和定理可求出 的度数；
（2）结合角平分线的定义可得出 的度数，在 中，利用三角形内角和定理可求出 的度
数，结合对顶角相等可得出 的度数，再在 中利用三角形内角和定理可求出 的度数．
【详解】（1）解：∵ 中， ，
，
故答案为： ．
（2）解：∵ 平分 ，
，
在 中， ，
，
，
，
，
．
9．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，在 中， 是角平分线，点D在边 上（不与点
A，B重合）， 与 交于点 ．
(1)若 是中线， ， ，则 与 的周长差为______；
(2)若 ， 是 的高，求 的度数．【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了三角形的内角和是定理，三角形的外角定理，三角形角平分线的定义，三角形高
的定义，理解三角形角平分线的定义和三角形高的定义，灵活运用三角形的外角定理进行角度的计算是解
答此题的关键．
（1）首先由 是中线得 ，再分别求出 和 的周长，然后再求出它们的差即可；
（2）先根据 是 的高得 ，再根据角平分线的定义求出 ，然后根据三角形
的外角定理可得 的度数．
【详解】（1）解： 是中线，
，
， ，
的周长 ，
则 的周长 ，
的周长 的周长 ，
故答案为： ；
（2）解：∵ 是 的高，
，
， 是 的角平分线，
，
．
10．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图， ， 平分 ，点A，B，C分别是射线
， ， 上的动点（点A，B，C不与点O重合），且 ，连接 交射线 于点D．
(1)求 的度数；
(2)当 中有两个相等的角时，求 的度数．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，关键是要分两种情况讨论．
（1）由角平分线定义得到 ，由平行线的性质推出 ；
（2）分 和 两种情况，由三角形内角和定理，即可计算．【详解】（1）解： ， 平分 ，
，
，
；
（2）解： ， ，
∴ ，
当 时，
；
当 时，
，
，
；
或 ．
11．如图1，在 中， ，D是 上一点，且 ．
(1)请说明 ；
(2)如图2，若 平分 ，交 于点F，交 于点E， 与 相等吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查了垂直的定义、对顶角相等、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握三角形的内角和定
理是解题关键．
（1）先求出 ，再根据等量代换可得 ，从而可得 ，由此
即可得；
（2）先根据角平分线的定义可得 ，再求出 ，然后根据对顶角相等可得
，由此即可得．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
（2）解： ，理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（1）已得： ，
∴ ，
∴ ，
由对顶角相等得： ，
∴ ．
12．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图， 是 的高， 是 的角平分线， 是
的中线．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)若 ， ， 与 的周长差为 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的角平分线、
中线和高定义和性质是解题的关键；
（1）根据三角形的高的概念得到 ，根据直角三角形的性质求出 ，根据角平分线的定义
求出 ，根据三角形的外角性质计算即可；
（2）根据三角形的中线的概念得到 ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】（1）解： 是 的高，
，
是 的角平分线， ，
，
；（2） 是 中点，
，
与 的周长差为 ， ；
，
，
．
13．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）已知 ，直线 与 交于点C，与 交于点D，点
C，D均不与点O重合， 平分 ， 平分 ．
(1)如图1， 的度数为______；
(2)如图2，延长 与 交于点F，过E作射线 与 交于点G，且满足 ．求证：
．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，内错角相等两直线平行，弄清各角之间的
数量关系是解题的关键．
（1）根据已知得 ，进而得出
，再根据三角形内角和定理可得答案；
（2）根据角平分线定义得 ，进而得 ，再根据三角
形外角的性质得 ，然后结合已知可得 ，则答案可证．
【详解】（1）解：∵ ， 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 平分 ， 平分 ，∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
14．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在 中， ， 分别为 ， 的角平分
线， 与 相交于点 ．
(1)若 ， ，则 _____度；
(2)求证： ；
(3)直接写出 与 ， ， 的数量关系．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，得 ， ，根据
解答即可；
（2）根据三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线证明即可；
（3）根据（2）证明可以直接写出结论．
本题考查了三角形内角和定理应用，三角形外角性质，角的平分线，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ， 分别为 ， 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）证明：∵ ， 分别为 ， 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）证明：∵ ， 分别为 ， 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
15．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在 中，点 为边 延长线上一点，射线 平分
，点 为射线 上一点．
(1)若 ，
当 平分 时， ___________；
当 平分 时， ___________；
(2)当 平分 时， ， ，则 ___________；
当 平分 时， ，则 ___________；
(3)若 ， ，当直线 垂直于 的边时， 的度数为___________．
【答案】(1) ， ，
(2) ，
(3) 或
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理、外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和定理、外角的性质是解决本题的关键．
（1）根据角平分线的定义和三角形内角和的性质可得结论；
（2）根据据角平分线的定义和三角形内角和、平行线性质转化角的关系，可得结论；
（3）直线 与 的一条边垂直，分三种情况：分别和三边垂直，根据三角内角和列式可得结论．
【详解】（1）解：当 平分 时，如解图1；
又∵ 平分 ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ ；
当 平分 时，如解图2；
又∵ 平分 ，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
（2）当 平分 时， ， ，如解图3，∴ ， ，
， ，
∴ ， ，
∴ ，即
∴ ，
当 平分 时， ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）∵ ， ，
∴ ，
①当 时，如解图5，则 ，
∵ ，
∴ ；
②当 时，如解图6，点P在射线 的反向延长线上，不合题意舍去，中， ；
③当 时，延长 交直线 于H，如图7，则 ，
∵ ，
∴
中， ；
综上， 的度数为 或 ．
