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专项 02 数列及求和
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年全国卷考情，等差数列、等比数列与数列求和是必考主干，分值约10-22分．
命题趋势：
解答题：稳定考查数列（常为第15题或16题），通常情况下与解三角形解答题二选一，一般考查内容
是等差等比数列性质的简单应用，求和部分一般主要考查错位相减求和，裂项求和以及奇偶项讨论分
组求和，随着新课程改革，数列新定义问题也会作为压轴题的形式出现，主要考查学生对与新概念的
认识以及自主学习能力问题.
2026年预测：解答题极可能仍为数列常规题．
备考核心：熟记等差（等比）数列的通项公式、求和公式和性质，解答题强化“求数列通项及求和”
综合训练，小题提升转化与化归能力．
题型01 数列通项及分组求和
析典例 · 建模型
1．（2026·陕西商洛·二模）已知等差数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；(2)若数列 是首项为2，公比为3的等比数列，求数列 的前 项和．
研考点 · 通技法
通项求解：优先观察型（等差、等比、周期）；递推型用累加法、累乘法、构造法（如a =pa+q）；
n+1 n
S 与a 混用必用 ，勿忘验证首项.
n n
分组求和：识别通项可拆为等差、等比、常数、奇偶项等结构，按类型拆分数列.分别对各组用对应求
和公式（等差、等比求和），再合并结果。注意项数统计、下标换算与符号，尤其奇偶分组时项数要准
确.
核心：先拆通项结构，再分组套公式，严谨核对项数与首末项.
破类题 · 提能力
1．（25-26高三下·上海·月考）已知数列 满足 ．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
2．（2026·湖南邵阳·二模）已知数列 是等差数列，且 ， ，数列 满足 ，
.
(1)求 的通项公式，并证明数列 是等比数列；
(2)若数列 满足 ，求 的前 项和 .题型02 数列通项及裂项求和
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·河北石家庄·期末）在正项数列 中， ， .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)记 ，设数列 的前 项和为 ，求满足 的最小整数 .
2．（2026·河北保定·一模）已知数列 的前n项和为 ，且 ， .
(1)求
(2)若 ，求数列 的前n项和.
研考点 · 通技法
一般地，如果一个数列的通项公式是分式形式，那么往往可灵活运用“裂项”求和技巧简捷求解该数列
的前n项和．常见的“裂项”结论有：1 = 1 − 1 1 = 1( 1 − 1 ) 1 =√n+1−√n(n∈N¿)
n(n+1) n n+1 (2n−1)(2n+1) 2 2n−1 2n+1 √n+1+√n
(1)
an
(a∈N¿,a≥2)
(an −1)(an+1 −1)
(2)形如
an 1 ( 1 1 )
= −
a∈N¿
，
a≥2
时，易知
(an −1)(an+1 −1) a−1 an −1 an+1 −1
当
an−1 (a−1)
(a∈N¿,a≥2,b>0)
(3)形如
(an−1 +b)(an +b)
an−1 (a−1) 1 1
= −
a∈N¿
，
a≥2
时，易知
(an−1 +b)(an +b) an−1 +b an +b
当
a2n+1(a2n−n−1)
(a∈N¿,a≥2)
n(n+1)
(4)形如
a2n+1(a2n−n−1) a2n+3 a2n+1
= −
a∈N¿
，
a≥2
时，易知
n(n+1) n+1 n
当
(a−1)n+a
(a∈N¿,a≥2)
(5)形如
n(n+1)an+1
(a−1)n+a 1 1
= −
当
a∈N¿
，
a≥2
时，易知
n(n+1)an+1 nan (n+1)an+1
破类题 · 提能力
1．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列 前 项的积为 .
(1)判断 是否成等差数列，并给出证明；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ，2．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列 满足 ，且对任意的正整数 ，当 时，都有
．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
3．（2026·云南·模拟预测）已知函数 （ 且 ）的图象经过点 ，记数列 的前
项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
题型03 数列通项及错位相减求和
析典例 · 建模型1．（25-26高三上·吉林·期中）已知数列 的前n项和 ， ，数列 满足
.
(1)求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 .
研考点 · 通技法
设 是等差数列， 是公比 的等比数列，则数列 的前n项和 的常规求法是错位相减
法 ， 取 巧 可 这 样 做 ： 设 ， 则 ， 其 中 ，
.推导过程请参考视频，x、y的计算公式可不记，记住 的形式，取 和 用待
定系数法来算就可以了.
破类题 · 提能力
1．（2026·吉林通化·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求数列 的前n项和 ．
2．（2026·河南·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ，．
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求数列 的前n项和 ．
题型04 数列通项及奇偶项讨论问题
析典例 · 建模型
1．（2026·黑龙江·一模）数列 是各项均为正数的等比数列，其前n项和为 ，满足____．数列 满
足 ，且 ．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中.
① ， ；
② ， ， ， 成等差数列；
③ ， ；
(1)分别求出数列 与 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前10项和 ．
（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）研考点 · 通技法
核心思路：分奇偶讨论、分别构造通项、合并结果，3 步速解：
1.拆分奇偶项：按下标n分奇数项与偶数项分组，单独分析递推关系、公差或公比.
2.求分段通项：奇数项、偶数项分别套用等差或等比公式，写出对应k的表达式.
3.验证合并：核对边界项一致性，整理成分段函数形式；求和时同理，奇项和、偶项和分开计算再累加.
破类题 · 提能力
1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知等差数列 满足 ．数列 的各项均为正数，
，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
2．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知等差数列 的前 项和为 ， 是公比大于0的等比数列， ， ， ，且 ， ， 成等差数列.
(1)求数列 与 的通项公式；
(2)设 ，求 ；
(3)设 （ ），求 .
题型05 数列证明类问题
析典例 · 建模型
1．（2026·山西运城·一模）设正项数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式;
(2)若 ，记数列 的前n项和为 ，证明： ．2．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知数列 满足 ， ， .
(1)求数列 的通项公式;
(2)证明:对 ， .
研考点 · 通技法
核心是抓定义、用递推、巧放缩，分三类突破：
1.等差等比证明：紧扣定义，证相邻项差或比为常数，或用中项性质，优先化简递推式.
2.通项与求和证明：利用累加法、累乘法、S 与a 关系推导，代入验证等式成立.
n n
3.不等式证明：常用放缩法（裂项、等比放缩）、数学归纳法、函数单调性，先放缩再求和.
关键步骤：先梳理递推关系，再选对应方法，严谨书写推理过程，注意 n 的取值范围.
破类题 · 提能力
1．（25-26高三下·重庆·月考）已知数列 满足 .
(1)数列 能否是常数列，若能，求出其通项公式；若不能，请说明理由；
(2)证明: .2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列 满足 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求证： ；
(3)求 的值．
题型06 数列型定义问题
析典例 · 建模型
1．（2026·北京平谷·一模）设数阵 ，其中 ．设
，其中 且 ．定义变换 为“对于数阵的每一行，若其中有 或 ，
则将这一行中每个数都乘以 ；若其中没有 且没有 ，则这一行中所有数均保持不变
． 表示“将 经过 变换得到 ，再将 经过 变换得到 ，…，以此类推，
最后将 经过 变换得到 ”，记数阵 中四个数的和为 ．
(1)若 ，写出 经过 变换后得到的数阵 ；
(2)若 ，求 的值；(3)对任意确定的一个数阵 ，证明：对所有可能的非空子集 ，对应的 的值的总和不超过 ．
研考点 · 通技法
定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下：
第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号，
第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方
法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点.
第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的
性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等）.
第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论.
破类题 · 提能力
1．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列 中，记 ，若 为等差数列，则称 为二阶等差
数列．
(1)若 ，判断 是否为二阶等差数列？并说明理由；
(2)已知二阶等差数列 满足 ， ， ．
①求数列 的通项公式；
②若不等式 对 恒成立，求实数k的取值范围．2．（25-26高三下·重庆·月考）设有穷数列 ： ，…， 满足 且
，则称其为“n阶 数列”．
(1)若“8阶 数列”： 是递增的等差数列，求 ；
(2)设“n阶 数列”满足 ．
（i）记该“n阶 数列”的前r项和为 ．证明：数列 不是“n阶
数列”；
（ii）证明： ．
（建议用时：60分钟）
刷模拟
1．（25-26高三上·山东临沂·期末）已知等比数列 的公比为 且 ，等差数列 的公差为 ，
满足条件： ， ， .(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
2．（25-26高三上·河南信阳·期末）设数列 是等差数列， 是等比数列.已知 ， ，
.
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项的和 .
3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知各项递增的等比数列 ，等差数列 其前n项和分别为 ， ，
满足 ， ， .
(1)求 ， 的通项公式；
(2)将数列 与 中的项按从小到大依次排列构成一个新数列 ，求数列 的前50项和 .4．（2026·河北保定·一模）已知等差数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求 的前2n项和 及其最小值．
5．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知数列 的首项 ，且满足 ， .
(1)证明数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，证明： .
6．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)证明： 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .7．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数 .
(1)若数列 ，求数列 的前n项和 ；
(2)已知函数 在 处的切线为直线 ，直线 在y轴上的截距为 ，求数列 的前n
项和 .
8．（2026·湖北孝感·二模）已知数列 的前 项和为 ，若对任意 ，向量 ，
，有 ．数列 满足 ，其前 项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
9．（2026·陕西·模拟预测）已知函数 定义在区间 内， 时，恒有.
(1)证明： 为奇函数；
(2)若数列 满足 ， ， .
（i）证明：数列 为等比数列，并求出数列 的通项公式；
（ii）设 ，若 对 恒成立，求 的取值
范围.
10．（25-26高三下·北京·开学考试）已知 为正整数， ，若数列 同时满足：
① 对任意 ，均有 ；
② 对任意 ，均有 ；
③ 对任意 ，均有 ，
则称该数列为 数列．
(1)若数列 是 数列，直接写出 的所有可能值；
(2)若数列 是 数列，求 的最大值；
(3)若数列 是 数列，求 的最小值．刷真题
1．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列 中， ， .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数 ，求 ．
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．3．（2023·全国甲卷·高考真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数
列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列 是公差不为0的等差数列，若从中删去两
项 和 后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列
是 可分数列．
(1)写出所有的 ， ，使数列 是 可分数列；(2)当 时，证明：数列 是 可分数列；
(3)从 中任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率为 ，证
明： ．
