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2026 年高考考前平稳发挥练手卷
数学（全国Ⅰ卷）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ，
，
则 .
2．已知 为虚数单位，若复数 ，则 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】本题主要考查复数的乘法运算及复数的几何意义，先利用复数的乘法法则化简复数，再根据复平面内点
的坐标特征判断其所在象限.
【详解】解：由 ，所以 在复平面内对应的点的坐标为 ，因此，点在第一象限.
3．记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则 （ ）
A．16 B．18 C．24 D．32
【答案】C
【分析】根据等比数列通项公式和求和公式求解即可.【详解】若公比 ，则 ，此时 ， ，
显然 ，因此 .
由等比数列前 项和公式 ，
代入 得：
则 ，整理得 ，
所以 .
4．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为 ，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件结合图形求出圆台母线长，再利用圆台侧面积公式计算即可.
【详解】设圆台母线长为 ，上、下底面半径分别为 和 ，高为 ，如图所示：
则 ，
所以圆台的侧面积为 .
5．定义在 上的奇函数 ，其导函数为 ，当 时， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】根据奇函数定义，两边取导数可得 ，据此求解即可.
【详解】因为定义在 上的奇函数 ，所以 ，
两边取导数可得 ，即 ，
所以 ，
因为 时， ，所以 时， ，
所以 .
6．已知一组样本数据的样本容量为10，平均数为6，方差为2．现去掉其中的两个数据3和9，则剩下的8个样本
数据的方差为（ ）
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【详解】设原样本为 ，则去掉数据后 的平均值为 ，
又 ，所以 ，
所以去掉数据后 的方差为 .
7．已知 、 为非零实数，则使不等式 成立的一个充分不必要条件是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】若 ，则 ， ，此时不可能满足 .
若 ，则 ，令 ，则
，所以当且仅当 （即 ）时取等号.
因此，不等式 成立的充要条件是
A. ：此时式子 ，与题目矛盾，排除.
B. ：这是不等式成立的充要条件，不是“充分不必要条件”，排除.
C. ：若 ，则 ，一定能推出不等式成立（充分性成立）；
但不等式成立只要求 ，也可以是 ，不一定是 （必要性不成立），所以这是充分不必要条
件
D. ：此时 ，式子 ，与题目矛盾，排除
8．已知两点 ，若圆 上存在点 使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知，点 在以 为直径的圆 上，根据圆与圆的位置关系可得 的范围.
【详解】因为 ，所以点 在以 为直径的圆 上，
又因为点 在圆 上，所以 ，
即 ，
所以 ，解得 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量 ，则（ ）A．当 时，
B．存在 ，使
C．当 时， 在 方向上的投影向量为
D．当 与 的夹角为锐角时，
【答案】AD
【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，根据向量模的坐标运算判断B，根据投影向量的计算公式求解判断C，
根据数量积的坐标运算判断D.
【详解】对A， ，则 ，解得 ，A正确；
对B， ，若 ，则 ，
即 ，故不存在 ，使 ，B错误；
对C，当 时， ， ，
在 方向上的投影向量为 ，C错误；
对D，当 与 夹角为锐角时， 且 不共线，
即 且 ，解得 ，D正确．
10．已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的单调递增区间为 ，
C． 的对称中心为 ，D． 的对称轴为 ，
【答案】AC
【分析】由函数 的图象与性质，根据选项利用性质逐一判断即可.
【详解】对于A，函数 最小正周期为 ，故A正确；
对于B，函数 的单调递增区间满足 ，
解得 ，所以 的单调递增区间为 ，故B错误；
对于C，函数 的对称中心满足 ，
解得 ，此时 ，所以对称中心为 ，
故C正确；
对于D，函数 的对称轴满足 ，
解得 ，故D错误.
11．如图，在棱长为2的正方体 中， 为棱 的中点， 为正方形 内一动点（含边界），
则下列说法中正确的有（ ）
A．直线 与 所成角的余弦值为
B．用平面 截该正方体，所得截面面积为C．若 与 交于点 ，则 长度的取值范围是
D．若三棱锥 与三棱锥 体积相等，则动点 的轨迹长度为
【答案】BC
【分析】对于A：建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法求解即可；对于B：取 中点 ，判断
四边形 为平面 截该正方体所得截面，求等腰梯形 的面积即可；对于C：根据两点间距离公式求
出最小值，结合勾股定理判断最大值；对于D：取 、 中点 、 ，证出平面 平面 ，得到动
点 的轨迹为线段 ，求出 即可.
【详解】以点 为原点，以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， .
对于A：因为 为棱 的中点，所以 ， ， .
设直线 与 所成角为 ，
所以 ，A错误.
对于B：取 中点 ，连接 ， ， ，易知 为平行四边形，所以 .
又 ， 为中点，所以 ，即 ，所以 、 、 、 四点共面，
即平面 截该正方体所得截面为四边形 .易知 ， ， ，
所以四边形 为等腰梯形，设高为 ，则 ，
所以面积为 ，B正确.
对于C：正方体 中， ，所以 ，所以 .
设 ，则 ，所以 .
设 ， .
则 .
易知当 ， 时， 取得最小值，为 ，
由于 故 时，故 取得最大值，所以 ，
故 长度的取值范围是 ，C正确.
对于D：取 、 中点 、 ，连接 、 、 、 、 ，
则 ， .
正方体 中，易知 ， ， ，则所以四边形 为平行四边形，所以 .
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
同理可得 平面 ，
又 ，所以平面 平面 ，
即线段 上的点到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
所以三棱锥 与三棱锥 体积相等时动点 的轨迹为线段 ，
而 ，故D错误.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．从 ， ， ， 中随机取出六个不同的数 、 、 、 、 、 ，制作长、宽、高分别为 、 、
和 、 、 的两个盒子，则其中一个盒子能以相邻三个面对应平行方式放入另一个盒子的概率为_____．
【答案】 /0.5
【详解】记 ， ， 按由小到大排序为 ， ， ， 按由小到大排序为 ，
要使一个盒子能以相邻三面对应平行方式放入另一个盒子只需 ， ， 或 ， ，
，
它与取到哪6个数无关，不失一般性，不妨以取到的6个数为1，2，3，4，5，6为例，
平均分成两组的分法有： 种，
以下枚举 与 符合条件的情形：
与 ， 与 ， 与 ， 与 ， 与
共5种，所以 ．
13．已知函数 的图象在点 处的切线斜率为 ，且 时， 有极值，则_____．
【答案】2
【分析】根据导数的几何意义以及极值点的性质求 ，并结合单调性检验即可.
【详解】因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
则函数 ， ，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ，
可知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
则函数 在 处取到极大值，即 ， 符合题意，
所以 .
14．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，数列 的前 项和为 ，若 对于
任意正整数 恒成立，则 的最小值为___________．
【答案】
【分析】先求 的通项公式，再求和 的表达式，并确定 的最小值
【详解】设 的公差为 ，则 ，
所以 ，所以 ，
，
且当 时， ，所以为使若 对于任意正整数 恒成立，则 ，
则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．在 中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，其中A为钝角， ，且满足
(1)求角B；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)结合商数关系化简以及和角公式可得 ，分 和
两种情况讨论即可求解；
(2)结合(1)可得 ,分别求出 ,利用 求出 ，结合正弦定理和面积公式求解即可.
【详解】（1）由题意可知： ，
化简可知： ，
得 ，
① 时， ，又 ，则 ，A为锐角，不符合题意；
② ，此时可得 （B为锐角），此时符合题意．
综上，
（2） ，
可得 ， ，
，
， ，．
16．如图，在多面体 中，底面四边形 为直角梯形， ， ， ，
， 平面 ， 平面 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 和平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理和线面垂直的性质，进而证明面面垂直；
（2）建立直角坐标系，分别求平面 和平面 的法向量，利用两个法向量夹角的余弦公式计算平面夹角的
余弦值
【详解】（1）如图，取 的中点 ，连接 ．
因为 ， ， ， ，
所以 ， ，所以四边形 是正方形，
所以 ， ．在 中， ，
则在 中， ，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以平面 平面 ．（2）因为 平面 ， ， 平面 ，所以 ， ．
又因为 ，所以 ， ， 两两垂直．
以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ．
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ．
因为 ，
所以平面 和平面 夹角的余弦值为 ．
17．已知函数 ，其中 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1) 的单调递增区间为 ，单调递减区间为(2)
【分析】（1）当 时，利用导数求单调区间即可；
（2）易知 时不符合题意， 时，利用导数结合隐零点问题求解．
【详解】（1）当 时， ， ．
由 得 ，由 得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2）当 时， ，不满足题意．
所以 ，此时 ，显然 是 上的增函数，
且 时 ， 时 ，
所以存在唯一正实数 使得 ，即 ．
此时 在 上单调递减，在 上单调递增．
由题意 ．
将 代入上式整理得： ，解得： ．
此时 ，代入后 ．
化简得： ，解得： ．
令 ，其中 ．则 ，
所以 是区间 上的增函数．
所以 ，代入得到a的取值范围是 ．18．已知圆 的圆心在第一象限且圆 与两坐标轴均相切，抛物线 经过圆心 ．
(1)求圆 的标准方程．
(2)设 与圆 交于 ， 两点，证明： ， 两点到 轴的距离均不小于 ．
(3) 为坐标原点，过圆心 的直线 交 于另一点 ， 的焦点为 ，求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3) .
【分析】（1）设出圆心坐标，代入抛物线方程求出圆半径即可.
（2）联立圆与抛物线方程，借助不等式的性质求出 的范围即可.
（3）设出直线 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及抛物线定义列出目标式的函数关系求出最小值.
【详解】（1）设圆 的半径为 ，
圆 的圆心在第一象限且圆 与两坐标轴均相切，则圆心 ，
由抛物线 经过圆心 ，
得 ，解得 ，
所以圆 的标准方程为 .
（2）由 ，得 ，
即 ，则 ，
而 ，因此 ，
所以 两点到 轴的距离均不小于 .
（3）抛物线 的焦点为 ，设 ，
由抛物线定义得 ，则 ，
同理 ，
因此
，
设直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
，则 ， ，
因此 ，
所以当 时， 取得最小值 .
19．近年来，女子10米气步枪作为奥运会首金项目备受关注，国家队在选拔运动员时，通常需要测试她们在不同
场景下的命中率．射击爱好者小明到当地射击俱乐部选择场景A与场景B进行相关训练，制定如下规则：若在某
场景下命中，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中，则更换到另一场景下进行射击．已知小明在场景A
下命中率为 ，在场景B下命中率为 ，命中记1分，未命中记0分，且第1次在场景A下射击．
(1)若小明在前3次射击中得到2分，求这2分均在场景B下获得的概率；
(2)求小明第 次在场景A下射击的概率 ；
(3)求小明在 次射击后总得分的期望．
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】(1)根据条件概率公式求解；
(2)由全概率公式求解出 与 的关系式，再由递推式的关系结合数列知识求出 ；
(3) 利用期望可加性求解.
【详解】（1）设事件 “小明在前 次射击中得到 分”，
事件 “这 分均在场景B下获得”，
则 ， ．
所以 ．
（2）设第 次在场景 下射击为事件 ，
则 ， ， ，
由全概率公式可得 ，
即 ，
则 ，
且 ，可知数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，所以 ；
（3）设第 轮得分期望为 ，则 ，
所以前 轮期望总得分为 ．
