文档文本内容
专项 01 三角函数、三角恒等变换与解三角形
内容导航
【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年全国卷考情，三角函数、三角恒等变换与解三角形是必考主干，分值约13-22分．
命题趋势：
解答题：稳定考查解三角形（常为第15题或16题），核心是利用正余弦定理和面积公式解决边、角、
面积等综合问题．
2026年预测：解答题极可能仍为解三角形常规题．
备考核心：熟记定理与公式，解答题强化“边角互化”综合训练，小题提升图象分析与快速变形能力．
题型01 三角恒等变形与三角函数图象问题
析典例 · 建模型
1．（2026·山东青岛·一模）函数 （ ， ， ）的部分图像如图所示.(1)当 时，求 的单调递增区间；
(2)已知 ，且 ，求 的值.
研考点 · 通技法
此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多.
1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：
（1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S )；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C )
2α 2α
（2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，
2、再通过辅助角公式“化一”，化为
3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝.
4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：
一般将 看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题.与三角函数相关的方程根的问题（零
点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析.
破类题 · 提能力
1．（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数 ，直线
与函数 两个相邻交点之间的距离为 ；
(1)求 在 上的单调递增区间；
(2)设函数 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，
使函数 存在且唯一，在区间 上若 恒成立，求 的取值范围．
条件①： 的最大值为 ；条件②： 在区间 上单调递增；
条件③： 为偶函数．
2．（25-26高三上·山西临汾·期末）已知函数 .
(1)求 的图象在 处的切线方程；
(2)求 在区间 上的最大值；
(3)若 ， 有三个极值点，求实数 的范围.
题型02 三角形中边长及周长问题
析典例 · 建模型
1．（2026·四川绵阳·模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的周长为8，求 ．
2．（25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足.
(1)求 ；
(2)若 ，求锐角 周长的取值范围.
研考点 · 通技法
利用正、余弦定理求解三角形的边长周长问题，对于求边长问题，主要是把未知边或者角度通过正弦余
弦定理用已知边或者是已知角度表示出来.
对于周长问题通常牵涉到两种题型，周长或者是周长范围问题，
类型一：一般来说如果求周长或者是边长的最值问题可采用基本不等式+余弦定理求解决.
类型二：常规三角形的周长范围问题也可采用余弦定理+基本不等式解决，或者是通过正弦定理把边装
化成角度，利用辅助角公式从而转化为三角函数问题
类型三：锐角三角形中周长或者是边长以及其他的范围问题，则一般采用边角转化，把边长转化成角
度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·天津·期末）在 中，角 所对的边分别为 ．已知
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ，求 的值．2．（25-26高三下·重庆·开学考试）已知 的内角 的对边分别为 ，且 ，
.
(1)求c及C；
(2)求 周长的最大值.
3．（25-26高三下·江苏苏州·开学考试）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 的面积；
(3)若 ，且 为锐角三角形，求 的周长的取值范围．
题型03 三角形中面积问题
析典例 · 建模型1．（2026·山东济宁·一模）在 中，内角 所对的边分别为 为 的
角平分线，且 .
(1)若 ，求 的大小；
(2)当 取得最小值时，求 的面积.
2．（25-26高三下·贵州贵阳·月考）在 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，
．
(1)求角A的大小；
(2)若 是锐角三角形， ，求 面积的取值范围．
研考点 · 通技法
利用正、余弦定理求解三角形的面积问题，两种题型，一种十求面积：另外一种是求面积范围.一般思
路是：
1、选定理.对于求面积问题，一般是余弦定理或者是正弦定理加上面积公式即可解决.
面积范围问题：第一为求面积最值，一般采用余弦定理加基本不等式.第二类为锐角三角形中的面积范
围问题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解
决，但是因注意角度的取值范围问题
破类题 · 提能力
1．（2026·贵州贵阳·一模）在 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 ．
(1)求A的大小；
(2)若 ， ，试判断 的形状，并求 的面积．2．（2026·四川德阳·二模）在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积
△
．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝4时，求 ABC面积的最大值．
△
3．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且
满足 ， .
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围；
(3)若 ，求三角形 面积的取值范围．
题型04 解三角形中三线问题析典例 · 建模型
1．（2026·四川·模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A；
(2)若 ， ，求AB边上中线的长.
2．（25-26高三上·安徽宣城·期末）在 中，内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 边上的中线 长为 的角平分线 交 于点 ，求线段 的长.
研考点 · 通技法
三线问题指的是角平分线，中线，高线.
对于角平分线：一种是采用等面积法（面积分割），或者是角平分线定理去解决.
对于中线问题 一般采用向量思想去解决.
高线问题，一般采用正弦定理或者是等面积法去解决.
破类题 · 提能力1．（25-26高三上·贵州铜仁·期末）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，且 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，且 边上的中线的长度为 ，求 的值.
2．（2026·山东威海·一模）记 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求BC边上的高的最大值．
3．（25-26高三上·宁夏·月考）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角 的大小；
(2)若 为 的角平分线，且 ， ，求角平分线 的长度；
(3)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
题型05 三角形中图形类边长及范围问题
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知 、 、 分别为 三个内角 、 、 的对边，且
.(1)求角 ；
(2)已知 ，求 的取值范围.
2．（25-26高三上·山东东营·期末）在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为边
上一点， ， 的面积为 .
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的最小值.
研考点 · 通技法
范围问题一般包含长度范围问题，周长范围问题，面积范围问题以及其他范围问题.主要是两类题.一类
是无限制三角形的对应的范围问题，一类是
第二类为锐角三角形中的范围问题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，
转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题
破类题 · 提能力
1．（2026高三上·四川眉山·专题练习）已知 的面积记为 . 内角 ， ， 的对边分别为 ，
， ， .
(1)若 ， ，求 ；
(2)若 为锐角三角形， ，求 的取值范围.2．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知 ， ， 分别为锐角 三个内角 ， ， 的对边，且
．
(1)求角 的大小
(2)求 的取值范围．
题型06 三角形中证明类问题
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·广东·月考） 中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求 的值；
(2)B的角平分线BD交AC于D，
（i）证明： ；
（ii）若 ，求 的最大值．
研考点 · 通技法
解三角形证明题求解策略:
1.边角互化核心：优先用正弦定理（a=2RsinA）边化角或角化边，统一形式后化简，是最常用突破口.
2.公式灵活套用：结合余弦定理、三角恒等变换（和差倍角、诱导公式），消元化简向结论靠拢.
3.目标导向变形：先明确结论结构（如证边相等、角为特殊值），逆向推导所需条件，减少无效运算.
4.隐含条件挖掘：利用三角形内角和A+B+C=π、大边对大角、边长为正等限制条件验证结果.5.特殊值检验：用等边、直角三角形等特殊情形快速验证证明思路是否合理.
破类题 · 提能力
1．（2026·甘肃武威·模拟预测）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
.
(1)证明： ；
(2)求 的最大值.
题型07 解三角形中内切圆、外接圆问题
析典例 · 建模型
1．（2026·浙江·模拟预测）在 中，角 对应边分别是 .已知 成等差数列，且
.
(1)求 的值；
(2)若 的外接圆半径为 ，求 的面积.2．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）在 中，内角 所对的边分别为 ，且
.
(1)求C；
(2)若 ，求 的内切圆的半径.
研考点 · 通技法
解三角形中的内切球与外接球问题，与外接球问题，对于内切圆圆心是三个角角平分线的交点，外接圆
则是三边中垂线的交点，对于内切圆的半径则采用等面积发，即 对于外接球半径问题 一
a b c
般采用正弦定理 = = =2R 解决.
sinA sinB sinC
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·河北沧州·期末）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 的面
积， .
(1)求 的外接圆半径；
(2)若 ， ，求 中 边上的高 的值.
2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在 中，已知角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且.
(1)求角 大小；
(2)求证： ；
(3)设 为 的内心，求 的最小值.
题型08 解三角形中图形类问题
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·重庆·月考）如图 为平面四边形 中 的角平分线，
的面积为
(1)求边BC的长度；
(2)若 的外接圆直径 求 ACD的周长.
△2．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形 中，已知 交于点 ，
．
(1)若 ，求 的值；
(2)证明：当 时， 位于 外接圆的内部．
研考点 · 通技法
利用正、余弦定理求解三角形的图形类问题，此类题目比较难，这类题目的实质是实现边角的转化，解
题的思路是：利用角度的等量关系，将未知边长利用正弦定理转换成一直角度及已知边长的形式，最后
变成关于一个未知角度的三角函数关系，在利用三角函数的函数及性质，利用角度的范围，从而求出变
成或者是对应面范围问题.
破类题 · 提能力1．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在平面四边形 中，已知 ， ， ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，且 ，求 的长．
2．（25-26高三上·江西·月考）已知平面四边形 如图所示，其中 ， ，
.
(1)若 ， ，求 的面积；
(2)求 的取值范围.
题型09 解三角形的实际应用
析典例 · 建模型
1．（2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的 处发现两座小岛 ，测得小岛 在 的北偏
东 的方向上，小岛 在 的北偏东 的方向上，海轮从 处向正东方向航行 海里后到达处，测得小岛 在 的北偏西 的方向上，小岛 在 的北偏东 的方向上.
(1)求 处与小岛 之间的距离；
(2)求 两座小岛之间的距离.
2．（25-26高三上·甘肃平凉·月考）目前，中国已经建成全球最大的 网络，无论是大山深处还是广袤平
原，处处都能见到 基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座 基站 ，
已知基站高 .该同学眼高 （眼睛到地面的距离），该同学在初始位置 处（眼睛所在位
置）测得基站底部 的仰为 ，测得基站顶端 的仰角为 .
(1)求出山高 （结果保留一位小数）；
(2)如图（第二幅），当该同学面向基站 前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置 处
（眼睛所在位置）到基站 所在直线的距离 ，且记在 处观测基站底部 的仰角为 ，观
测基站顶端 的仰角为 .试问当 多大时，观测基站的视角 最大？
参考数据： ， ， ， .研考点 · 通技法
解三角形实际应用核心是构建三角形模型，用正、余弦定理求解，分三类场景：
1. 测量距离
先确定可测边与夹角，构造解三角形模型。两点不可达时，用基线结合两角构造三角形，通过正弦
定理求边长；两点可达时，直接用余弦定理计算间距，注意统一长度单位.
2. 测量高度
区分底部可通达与不可通达。底部可达时，测仰角与水平距离，用直角三角形边角关系求解；底部
不可达时，在同一直线测两个仰角，设高列方程，结合正弦定理消元求解，排除视线遮挡误差.
3. 测量角度
已知三角形三边或两边及夹角，用余弦定理求内角，结合方位角、俯角换算实际角度，注意方位角
的象限与方向标注，保证结果符合实际场景.
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·河北·月考）某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧 两地相距50米，
河对岸有 两地，测得 米， .
(1)求 的值；
(2)若测量后发现 ，求 两地的距离.2．（25-26高三上·山东聊城·期中）某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立
不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量
重兴塔高度 时，可以选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点 ， ，且在 ， 两点测得
塔顶 的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得 ， ， 两地相距36米.
(1)求重兴塔高 ；
(2)如图2，塔顶为点 ，距离塔顶 点竖直向下5米处有点 ，若在离地面竖直高度为2米的点 处
用测角仪器测得 ，求 的最大值.
（建议用时：60分钟）
刷模拟
1．（25-26高三下·重庆·月考）已知函数 的最小正周期为 ．
(1)若 ， ，求 的值；(2)将函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移1个单位，得到的图象对应函数记为 ，求
函数 在 上的值域．
2．（2026·河北邯郸·一模） 的内角 的对边分别为 ，已知 成等差数列，且 ．
(1)求 ；
(2)记 外接圆的面积为 ，若 ，求 的取值范围．
3．（2026·山东烟台·一模）已知 的内角 的对边分别为 ， ，且
的面积为 ．
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形， ，求 的值．
4．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在平面四边形 中，
．
(1)证明： ；(2)已知 ， 的外接圆半径为1，求 面积的最大值．
5．（2026·湖北襄阳·一模）在 中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线
上一点．
(1)若 ，AM平分∠BAC， ， ，求 的周长；
(2)若 ，且 ，求 的最大值和最小值．
6．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）在锐角三角形 中，记 分别为内角 的对边，
．
(1)求 的值；
(2)求角 的最大值．
7．（2026·广东·一模）设 的内角 所对的边分别为 ，且 ，记 .
(1)若 成等差数列，求 的最小值；
(2)若 成等比数列，求 的取值范围.8．（2026·河北张家口·一模）在 中，内角 的对边分别为 ，满足 ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，点 为边 上一点， 为 的平分线，求 的值；
(3)若 为锐角三角形，求 的取值范围．
9．如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的
北偏东 的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西 的方向上，已知B，C相距6
海里， ．
(1)若 ，求 的距离；
(2)求 面积的最小值．10．（2026·陕西西安·模拟预测）布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪
提出，其定义如下：设P是 内一点，若 ，则称点P为 的布洛
卡点，角 为 的布洛卡角.如图，在 中，记它的三个内角分别为 ，其对边分别为
的面积为S，点P为 的布洛卡点，其布洛卡角为 ，请完成以下问题：
(1)若 ，求 的大小及 的值；
(2)已知 的条件下，解下列两个问题：
①若 ，求 的值；
②若 ，求S.
刷真题
1．（2026·全国二卷·高考真题）已知函数 ．
(1)求 ;(2)设函数 ，求 的值域和单调区间．
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 ，
(1)求B；
(2)若 的面积为 ，求c．
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若 ， ，求 的周长．
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在 中， ．
(1)求 ；(2)设 ，求 边上的高．
5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 ，
为 中点，且 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
6．（2023·全国乙卷·高考真题）在 中，已知 ， ， .
(1)求 ；
(2)若D为BC上一点，且 ，求 的面积.
