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专项 01 解三角形
参考答案
题型01 解三角形与三角恒等变换
析典例 · 建模型
1．【思路分析】
（1）利用正弦定理，将角的正弦关系转化为边的关系，逐步推导边 的大小.
（2）先由 求出 ，再利用二倍角公式求 和 ，最后利用两角差的余弦公式计算
.
【规范答题】
（1）由已知 及 ，即 ，
所以 ，则 ，
又 ， ，
所以 ，故 的大小为 .
（2）在 中， ，
，
，
，
故 的值为 .2．【思路分析】
（1）由余弦定理可得；
（2）由正弦定理及平方关系可得；
（3）由二倍角公式及两角和与差的公式可得.
【规范答题】
（1）因为 ，即 ，
解得 或 ，因为 ，所以 .
（2）因为 ，由（1）得 ，且 ，
因为 ，所以 .
由正弦定理 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ， .
（3）由（2）得 ， ，
故 .
破类题 · 提能力
1．【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
，所以 ， ，
所以 .
2．【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）由已知，由余弦定理可得， ， 得 ．
又 ， .
（2）由（1）及 ，
可得 ，解得： .
（3）由正弦定理可得， ，
即 解得： ，
而 ，所以 都为锐角，
因此 ，
由（2）知 ，
则 ，
所以 .
3．【答案】(1) ；(2) ， ；(3)
【解析】（1）由 ,
根据正弦定理，得 ，
则 ，在 中， ，则 ，
又 ，故 .
（2）由 ，
根据余弦定理可得 ，整理可得 ，
又 ，解得 ， 或 ， （舍去）.
（3）由 ，根据正弦定理，得 ，
则 ，
又 ，则 ，故 为锐角，
所以 ，
则 ，
，
所以 .
题型02 三角形面积与周长问题
析典例 · 建模型
1．
【思路分析】
（1）由正弦定理的边角互化并化简得 ，结合角的范围即可求解；
（2）由三角形的面积公式可得 的值，再由余弦定理可得 的值，从而可得 ，即可得到结果.
【规范答题】
（1） ，由正弦定理可得 ，因为 ，所以 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，所以 .
由余弦定理可得 ，
即 ，所以 .
所以 .
则 的周长为 .
研考点 · 通技法
解决三角形面积与周长问题的解题步骤
第一步：核心用面积公式——优先用 ，建立边与角的等式。
第二步：结合周长条件（ =定值），转化为边的和或积关系；若无周长，直接联立正弦定理、余
弦定理，将面积条件转化为边的关系，解出未知量。
第三步：简化运算——涉及多个未知量时，用整体代换（如设 ），避免单独求解，提升效率。
破类题 · 提能力
1．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1） ，
则 ，故 ；
（2）由 ，则 ，则 ，；
（3）由余弦定理 可得 ，
又 ，则 ，
即 ，则 .
2．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由 ，可得 ，
整理得 ．
则 ，
即 ，
所以 ．由 ，故 ，
又 ，所以 ．
（2）设 的内角 所对的边分别为 ，
由（1）知 ，则 的面积 ，得到 ，
因为 ，由余弦定理 ，
得 ，得到 ，所以 ，
所以 的周长为 ．
3．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）方法一：因为 ，
所以由正弦定理可得， ，
又因为 ，
所以 ，由于 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ；
方法二：因为 ，
所以由余弦定理可得 ，
整理可得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ；
（2）方法一：由（1）及题设知， ， ， .
在 中，由正弦定理得， .
在 中，由正弦定理得， .
两式相除可得 ，即 ，
在 中，由余弦定理可得 ，即
所以 的面积 ；
方法二：如图所示，过 作 ，垂足为 .
在 中， ，所以 .
由于 ，所以 ，
所以 ，即 ，
得 ，后同方法一；
方法三：由（1）及题设知， ， .因为两个三角形的高相同，所以 与 的面积之比等于 ，
又因为 与 的面积之比还等于 ，
所以 ， ，后同方法一.
题型03 三角形的中线、角平分线与高线
析典例 · 建模型
1．
【思路分析】
（1）根据三角形的面积公式结合正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；
（2）根据三角形的周长，结合余弦定理求出 ，再向量化即可得解.
【规范答题】
（1）依题意， ，
所以 ，
由正弦定理可得， ，
由余弦定理， ，解得 ，
因为 ，所以 ；
（2）依题意， ，
因为 ，解得 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．2．
【思路分析】
（1）利用正弦定理及两角和的余弦公式可得出 ，进而求出 ，再利用正弦定理
即可求出 ；
（2）根据三角形面积公式求出 ，再利用余弦定理即可求出答案.
【规范答题】
（1）因为 ，
由正弦定理得： ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ， ．
由正弦定理得： ，
又因为 ，所以 ，即 ，
所以 .
（2）因为 边上的高为 ，所以有 ，
所以 ，即 ，
再由余弦定理得： ，
所以 ，化简得： ，
又因为 ，解得 ，所以 ，
则 的周长为： ．
破类题 · 提能力
1．
【答案】(1)证明见解析；(2)16.【解析】（1）由正弦定理，得 ，
，
，
，
，即 ，
，即 ；
（2）由（1）及题设有 ，又 ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
显然有 ，则 ，
整理得 ，即 ，又 ，
所以 ，从而 ，
的周长为 .
2．
【答案】(1) ；(2)① ；② ．
【解析】（1） ，
由正弦定理得 ，
，则 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以
（2）①由 得 ，
由余弦定理 得 ，所以 ．
②由 得
，
所以
3．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）由题意及正弦定理可得： ，
可得 ，即 ，
在 中， ，所以 ，
因为 ，所以 ；
（2）因为 ， ， ，
由余弦定理得 ，
所以 ，即 ，
所以 ， ，由正弦定理可得： ，
可得 ，
因为 ，则 ，则 ，
可得 ，且 ，
所以
；
（3）因为 ， 是角平分线，即 ，因为 ，
所以 ，由正弦定理可知 ，
所以 ，所以 ，
整理可得 ，
又因为 ，且 ，
即 ，解得 .
题型04 三角形中的最值与范围问题
析典例 · 建模型
1．
【思路分析】
（1）利用诱导公式先化简，再利用三角恒等变换化简得 ，利用正弦型函数求周期和
单调减区间即可求解；
（2）先求 ，再利用余弦定理和基本不等式即可求解.
【规范答题】
（1）由题意有： ，
所以 ，
令 ，解得 ，
所以 的单调递减区间 ；
（2）由 ，即 ，又 ，所以 ，
所以 ，即 ，
由余弦定理得： ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
所以 的面积的最大值为 .
2．
【思路分析】
（1）利用辅助角公式得到 ，结合 ，求出 ；
（2）由余弦定理列出方程，求出 ，故 ，求出答案；
（3）由正弦定理 ，表达出 ，结合 ，求出 的取值范围.
【规范答题】
（1） ，故 ，
因为 ，所以 ，
故 ，解得 ；
（2）由余弦定理得 ，
又 ， ，所以 ，
故 ，所以 ，
故 ， ；
（3）由正弦定理得 ， 为 外接圆半径，
故 ，
又 ，故 ，
因为 ，故 ，故 ，又 ，
则
，
因为 ，所以 ，故 ，
.
破类题 · 提能力
1．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由正弦定理可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，
由余弦定理知 ，代入数据得 ，解得 ，
所以 ，所以 的面积为 .
（2） ，
因为 ，所以 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 的取值范围为 .
2．【答案】(1) ,对称中心为 ；(2) ；(3)
【解析】（1） .
令 ，则 ， ，
函数的对称中心为 ， .
（2）由 可知， ，
化简得 ，
， ， ，
.
（3）由 可得 ， 即 ，
又 ，则 ，则 ，所以 .
由正弦定理有
所以
，
因为 为锐角三角形，所以 ，解得 .
所以 ，则 ，
所以 ，则 ，
所以 的周长的取值范围为 .3．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1） ，
因此，根据题意， ，
由正弦定理可得 ，即 ，
在 中， ，
所以 ，
即 ， ，
，故 .
（2）依题意， ， ，根据余弦定理可得：
，
即 ， ， ，解得 ，
根据三角形面积公式得 .
（3）依题意， ， ，根据余弦定理可得：
，
即 ， ，
由基本不等式可知 ，当且仅当 时取等，
即 ，解得 ，当且仅当 时取等，
综上， ，
即当 时， 取最大值 .刷模拟
1．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理，得 ，
即 ．
因为 ， ，所以 ， ．
由 ，得 ，
因为 ，所以 ．
（2）由正弦定理，可得 ．
又 ，
由正弦定理，可得 ．
2．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，整理得 ，
由余弦定理可得 ，
又 ，故 ．（2）由（1）知 ，又 ，得 ，
由正弦定理可得 ，
又 ，解得 ．
（3）因为 ，所以 ，故 ．
所以 ．
所以 ．
3．
【答案】(1) ， ；(2) ；(3)
【解析】（1）在△ABC中，由 ， ，可得 ，
因为 ， ， ，
可得 ，
代入 ， ，可得： ，
化简得： ，
所以 ， ，即 ；
（2）由（1）可知C为钝角，且 ，
则 ， ，
所以 .
（3） .
4．【答案】(1) ；(2)① ；②
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理，可得 ，
又因为 ，
可得 ，
所以 ，即
因为 ，可得 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
（2）解：①因为 ，由正弦定理得 ，
所以 的面积为
又因为 的面积为 ，可得 ，解得 ，则 ，
由余弦定理得 ，所以 ；
②由正弦定理 ，可得 ，
因为 ，可得 为锐角，所以 ，
则 ，
，
又因为 ，
所以 .
5．
【答案】(1) ；(2)① ；② ．【解析】（1）在 中，由 及正弦定理，得 ，
而 ，则 ， ，又 ，
于是 ， ，因此 ，设 的外接圆半径为 ，
由正弦定理得 ，
所以 的外接圆的周长为 .
（2）①由 为锐角三角形，得 ，又 ，
则 ，解得 ，所以角 的取值范围是 ；
② 的面积 ，
由正弦定理得 ．
由 ，得 ，则 ，因此 ，
所以 面积的取值范围是 .
刷真题
1．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）已知 ，
由正弦定理 ，得 ，
显然 ，得 ，
由 ，故 ；（2）由（1）知 ，且 ， ，
由余弦定理 ，
则 ，解得 （ 舍去），
故 ；
（3）由正弦定理 ，且 ，
得 ，且 ，则 为锐角，
故 ，故 ，
且 ；
故 .
2．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）设 ， ，则根据余弦定理得 ，
即 ，解得 （负舍）；
则 .
（2）法一：因为 为三角形内角，所以 ，
再根据正弦定理得 ，即 ，解得 ，
法二：由余弦定理得 ，
因为 ，则
（3）法一：因为 ，且 ，所以 ，由（2）法一知 ，
因为 ，则 ，所以 ，
则 ，
.
法二： ，
则 ，
因为 为三角形内角，所以 ，
所以
3．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）由正弦定理可得， ，即 ，解得： ；
（2）由余弦定理可得， ，即 ，
解得： 或 （舍去）．
（3）由正弦定理可得， ，即 ，解得： ，而 ，
所以 都为锐角，因此 ， ，
．
4．
【答案】(1) ；(2) ；(3)【解析】（1）因为 ，即 ，
而 ，代入得 ，解得： ．
（2）由（1）可求出 ，而 ，所以 ，
又 ，所以 ．
（3）因为 ，所以 ，故 ，
又 ，
所以 ，
，
而 ，所以 ，
故 ．
5．
【答案】（I） ；（II） ；（III）
【解析】（I）因为 ，由正弦定理可得 ，
， ；
（II）由余弦定理可得 ；
（III） ， ，
， ，
所以 .
