文档文本内容
专项 02 立体几何
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
命题趋势：
年份 题号 核心考点 情境 难度
2025年 解答题 圆锥表面积计算、面面 圆锥与平面结合，涉及动 中档，梯度合理，侧
第18 平行证明、面面平行推 点M在线段OC上、Q为 重逻辑推理与基础计
题 导线面平行、线面角求 PA中点的线面平行证明场 算，符合上海卷“稳中
解 景，贴合立体几何基础模 求新”特点
型
2024年 解答题 线面关系证明、空间角 常规立体几何模型（棱 中档，难度平缓提
第17 （二面角为主）求解、 柱、棱锥结合），无复杂 升，基础问易得分，
题 空间几何体体积计算， 情境，侧重知识融会贯通 提升问侧重思维运用
兼顾基础与综合应用 与灵活应用
2023年 解答题 正四棱锥性质、空间几 正四棱锥“摆放”情境，考查 中档偏易，基础知识
第17 何体结构特征、线面平 逆向思维，从局部到整体 点占比高，创新设问
题 行/垂直证明、空间角求 想象几何体可能情形，设 不增加难度，侧重直
解 问有创新 观想象素养
2022年 解答题 圆锥表面积计算、线面 圆锥为核心载体，结合平 中档，注重基础技能
第17 关系证明、空间向量应 面几何性质，情境简洁， 考查，计算量适中，
题 用（辅助求解空间角） 聚焦核心知识点考查 无偏难考点
2021年 解答题 圆柱表面积计算、线面 圆柱与平面结合的常规情 中档偏易，基础问占
第17 平行/垂直证明、空间几 境，贴合教材基础模型， 比高，确保大部分考
题 何体体积计算，基础考 侧重基础知识与基本方法 生能拿到基础分数
点全覆盖 考查1. 核心考点稳定：近5年解答题始终围绕线面关系（平行、垂直）证明、空间角（二面角、线面角为
主）求解、空间几何体表面积/体积计算，其中柱体、圆锥为高频载体（5年3考）；
2. 情境特点：均以常规立体几何模型为载体，情境简洁不复杂，2023年解答题融入创新设问，侧重
思维灵活性，整体贴合教材基础模型；
3. 难度趋势：解答题整体稳定在中档，梯度设计合理，第一问多为基础证明（线面、面面关系），
易得分，后续设问侧重逻辑推理、直观想象与计算能力，无偏题怪题；
4. 能力侧重：重点考查直观想象、逻辑推理核心素养，支持几何定理、空间向量两种求解方法，注
重通性通法的应用，贴合上海卷“立足基础、稳中有新”的命题原则。
2026年预测：
位置关系证明（第一问，6-7分）：线线平行/垂直、线面平行/垂直、面面平行/垂直判定与性质
空间计算（第二问，7-8分）：线面角、二面角、几何体体积、点到平面距离；外接球/组合体表面积
体积为高频考点
命题风格预测
载体：常规棱柱/棱锥为主，少量组合体（如棱锥+棱柱），无复杂不规则几何体
计算简化：建系难度低，坐标好算，侧重向量点积、法向量求解，淡化纯几何辅助线技巧
动态设问：少量涉及体积最值、截面基础问题，不深挖几何难题
最可能考题型
四棱锥/长方体：线面垂直证明+线面角/二面角求解
棱柱：面面平行证明+几何体体积+点面距离
避坑要点：建系规范、坐标计算零失误；二面角区分锐角/钝角，体积公式不记错
题型01 线面、面面位置关系证明
析典例 · 建模型1．如图所示，在四棱锥 中，底面 是 且边长为 的菱形，侧面 为正三角
形，其所在平面垂直于底面 ，若 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： ；
(3)若点 ， 分别为 ， 的中点，求证:平面 平面 .
研考点 · 通技法
线面平行：中位线法、平行四边形法、面面平行推线面平行
线面垂直：证线⊥面内两条相交直线（勾股、等腰三线合一、面面垂直性质）
面面垂直：证一个面过另一个面的一条垂线
趋势：逆向设问（已知平行 / 垂直，求点位置 / 参数）、翻折中的垂直关系
破类题 · 提能力
1．如图，在三棱锥 中， ，
的中点分别为 ，点 在 上， ．求证： 平面 .2．如图，在直三棱柱 中， 是 边的中点，过 ， ， 作截面交 于点D.求证：
.
3．如图，在直四棱柱 中，底面 为正方形，E为棱 的中点，P为棱 的中点，
， ．
(1)证明：平面 平面 ．
(2)求点A到平面 的距离．
4．如图，在长方体 中， .(1)求证：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
5．如图，四边形 是正方形， 平面 ， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
6．如图，已知圆锥 的底面圆 的半径 ，且圆锥侧面展开图中扇形的中心角为 ，点 是
母线 的中点， ，垂足为 上的点 ，点 在底面圆 上，且 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.题型02 空间角计算
析典例 · 建模型
1.如图所示，在直三棱柱 中， ，若 ，
(1)设 的中点 ，求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角的大小.
2．如图，在正三棱柱 中， ， ， 为棱 上一点且 .(1)求异面直线 与 所成角的大小；
(2)求二面角 的大小.
研考点 · 通技法
二面角：每年必考，向量法（法向量夹角）为主，几何法（找棱、作垂线）为辅
线面角：高频，向量法（直线方向向量与平面法向量夹角的余角）
异面直线所成角：偶考，平移共面或向量法
破类题 · 提能力
1．如图， 分别是空间四边形 中 的中点， ，求异面直线 与
所成角的大小.
2．在直四棱柱 中， ， ， ， .(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小.
3．如图，在圆柱 中， 是底面圆 的一条直径， 和 是两条母线， 是底面圆 上异于
的一点， 是线段 的中点．
(1)求证：直线 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的大小．题型03 体积 / 表面积计算
析典例 · 建模型
1．如图，圆柱 轴截面 是边长为2的正方形，动点 在底面圆周上， 是母线 的中点.
(1)求圆柱 的体积与表面积；
(2)求四面体 的体积的最大值及此时 的大小.
2．如图， 是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为 cm和 cm，高 cm．
(1)求正四棱台 的侧面 与底面 所成二面角的大小；
(2)现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比．
3．如图，在四面体 中，设棱 ，其余5条棱长都为2.
(1)当 时，求直线 与平面 所成角的大小；
(2)当四面体 的表面积最大时，求 的值及其体积.
4．如图是一把直角三角尺，其中间做了镂空设计，设直角三角尺外轮廓的三角形的三边为 ，其对应
的内角为 ，被挖去的三角形与直角三角尺的外轮廓三角形相似，且二者外接圆半径之比为1:2．
(1)若被挖去的三角形的外接圆面积为16 ，求： 的值；(2)若直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径为6，求：该直角三角尺做镂空设计前绕其一边旋转一周而
成的几何图形体积的最小值的最大值．
研考点 · 通技法
常规：柱、锥、球、组合体的体积 / 表面积
方法：公式法、割补法、等体积转化（点面距）
热点：动态体积最值、体积比、旋转体体积
破类题 · 提能力
1．如图，四棱锥 中，底面 为矩形， ， ，且平面 底面 .
(1)求该四棱锥的体积；
(2)求直线 与平面 所成角的大小.
2．在正四棱台 中，底面四边形 边长为2，底面四边形 边长为4，棱台高为
.(1)证明：平面 平面 ；
(2)求直线 和平面 所成角；
(3)求棱台 的表面积.
3．如图，三棱柱 是所有棱长均为4的直三棱柱，D、E分别是棱AB和棱 的中点．
(1)求三棱柱的体积与表面积；
(2)求点E到平面 的距离；
(3)求二面角 的余弦值．4．如图1所示，已知 与 满足： ， ，二面角
的大小为 为线段 的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)如图2所示，若点 满足 平面 且 平面 ，求六面体 的体积.
题型04 创新 / 拓展考点
析典例 · 建模型
1．在正四棱锥 中，侧棱 的长为 ， 与 所成的角的大小等于 ．(1)求正四棱锥 的体积；
(2)若正四棱锥 的五个顶点都在球 的表面上，求此球 的半径．
2．如图，在四棱锥 中， 面 ， ，且 ， ， ， ，
，E、F分别为 ， 的中点.
(1)求直线 到平面 的距离；
(2)在线段 上是否存在一点M，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ？若存在，求出 的值，
若不存在，说明理由；
(3)在平面 内是否存在点H，满足 ，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的
轨迹图形形状.
3．如图所示，置于水平桌面的正四棱柱 为内壁厚度忽略不计的有底且无盖容器，其高为
，底面四边形 是边长等于 的正方形，容器内有液体，液面高度恰为2.由制作工艺的限制，满足
.(1)当 时，求容器的容积 和液体体积 ；
(2)在满足题意的条件下，求 的取值范围，并请问当 为何值时，容器的容积 可达最大？
(3)当 时，将该容器绕着 逆时针旋转，设平面 和水平面 所成的锐二面角的大小为 ，若液
体在旋转过程中总不溢出，求 的取值范围.
研考点 · 通技法
探索性问题：是否存在点满足平行 / 垂直 / 角度条件（设参数求解）
动态问题：动点轨迹、角度 / 距离范围、最值（函数 + 导数 / 不等式）
截面 / 翻折：截面形状 / 面积、翻折前后不变量（长度、垂直）
球的切接：长方体外接球（体对角线 = 直径）、正棱锥内切 / 外接球
破类题 · 提能力
1．如图，直三棱柱 内接于高为 的圆柱中，已知 ， 为
的中点.
(1)求圆柱的侧面积与表面积；
(2)求二面角 的大小.2．如图，等腰直角三角形 中， ， ．
(1)点 是边 的中点，点 是边 上一点（不与 重合），将三角形 沿 逆时针翻折，点 的
对应点是 ，设二面角 的大小为 ；
①若点 是边 的中点， ，求四棱锥 的体积；
②是否存在点 和 ，使得 ，若存在，请指出点 的位置和 的大小，若不存在，请说明理由；
(2)四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，空间中取一点 ，使得 、 、 、 四点可组成“鳖
臑”，且该四面体的体积为 ，求 的长（直接写出答案即可）．3．李华同学用如下左图所示的炒勺做蛋饺，在学习立体几何后，他打算研究炒勺（不考虑勺柄，下同）
的容积与表面积.如图所示，取定球面上一点N，连接N与球心 ，在线段 上取一点 ，过 垂直于
的平面（记作 ）将球面分成了两部分；李华同学将炒勺抽象为其中含有点N的那部分曲面，并设球
面半径为R.
(1)若将炒勺简化为一个半球面（即 与 重合），求炒勺的容积；
(2)李华记得必修三教材中，半球体积是利用如图所示的圆柱、圆锥以及祖暅原理推导所得.模仿教材中的方
法， ，求炒勺的容积V，并写出推导过程；(3)设 厘米， 厘米，利用必修三教材中近似地推导球的表面积公式的方法，帮助李华同学
推测炒勺的内表面面积S（近似到0.01平方厘米），并写出推导过程.
4．在学习立体几何的过程中，无数公理的直观体现和定理应用都在正方体 中展开.已知正
方体 的棱长为
性质1：对角线 与 所成夹角大小为______.
性质2：体对角线 的长度为______.
...
(1)请直接完成上方正方体性质的填写；
(2)求证：线段 被平面 与平面 三等分；
(3)若正方体 每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，求： 截此正方体所得截面面积的最大值并在上方性质卡片图中画出此时 与正方体的截面.
5．勒洛四面体是一个非常神奇的＂四面体＂，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面
都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为
半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体 的棱长为 ，请解答以下问题：
(1)求勒洛四面体中过 三点的截面面积．
(2)求勒洛四面体能够容纳的最大球的半径．
(3)若 是勒洛四面体 表面上的任意两点，若正四面体 的棱长 ，求 长度的最大值．（建议用时：45分钟）
刷模拟
1．（2025·上海闵行·一模）如图，三棱锥 中，侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角
三角形， 为AC中点．
(1)求证：
(2)若 ，求二面角 的大小．2．（2025·上海普陀·一模）如图所示，过圆柱的轴 的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正
方形 是该圆柱底面圆周上异于 两点的点．
(1)设平面 平面 ，求证： ；
(2)当三棱锥 的体积最大时，求二面角 的余弦值．
3．（2025·上海金山·一模）如图，已知圆锥 ，点 在底面圆周上， ，且 ，
动点 落在劣弧 上．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若点 平分劣弧 ，过点 分别作 ，垂足分别为 两点，求二面角
的大小．4．（2025·上海徐汇·一模）如图，已知 是 的直径，点 是 上异于 、 的一点．设过点 的直
线 垂直于 所在的平面，且 ．
(1)若 为 中点， 为线段 的中点， 为线段 上一点，且 平面 ．求证： 为线段
中点，并求三棱锥 的体积；
(2)记二面角 的平面角为 ，求 的最小值，并指出其取得最小值时点 的位置．
5．（2025·上海宝山·三模）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为矩形， 为线
段 的中点， ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 的夹角的正弦值．6．（2025·上海黄浦·一模）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形， 平面BEC，
， ，G，F分别是线段BE，DC的中点．
(1)求证： 平面ADE；
(2)设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角 的余弦值．
7．（2025·上海虹口·一模）如图，已知四棱锥 的底面是边长为2的菱形，点 为 中点.
(1)若点 是线段 上的动点，求证：直线 与直线 不相交；
(2)若 平面 ， ， ，求点 到平面 的距离.8．（2025·上海长宁·二模）如图，在直三棱柱 中， ，点D
是棱 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离以及三棱锥 的体积．
9．（2025·上海黄浦·二模）在四面体 中， ， ．
(1)若 为正三角形，平面 平面 ，求四面体 体积；
(2)若 ， ，求二面角 的大小．
10．（2025·上海普陀·二模）如图，在三棱柱 中， ，且.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角的正弦值.
11．（2025·上海杨浦·二模）坐落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中
的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，
分别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知 .(1)求证： ；
(2)求点 到平面 的距离.
12．（2025·上海宝山·二模）如图，在四面体 中， 是边长为 的正三角形，且 .
(1)证明： ；
(2)若 是 的中点，且二面角 的大小为 ，求 与平面 所成角的大小.
13．（24-25高三下·上海虹口·期中）如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， ，
， ， .
(1)求证：平面 平面 ；(2)若异面直线 和 所成角为 ，求点 到平面 的距离.
14．（2025·上海浦东新·二模）如图，四边形 为长方形， 平面 ， ， ．
(1)若 分别是 的中点，求证： ∥平面 ；
(2)边 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的大小为 ？若存在，求 长；若不存在，
说明理由．
15．（2025·上海奉贤·一模）如图，将直角三角形 绕直角边 所在直线旋转一周形成圆锥 ．已
知圆锥 的底面半径为3cm，圆锥的侧面积 ．设 、 是底面圆周上的两点，线段 不经过点
．(1)求圆锥 的体积；
(2)求证：直线 与直线 是异面直线；
(3)二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的大小．
16．（2026·上海·一模）如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是平行四边形．
(1)若E是PB上任意一点，四边形ABCD是菱形， ，BD= 6 ，当 面积的最小值是9时，
求证： 平面 ；
(2)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角
形的四面体称为鳖臑．若四棱锥 是阳马，PD=5，CD=4，AD=3，求：该阳马的外接球表面积；
(3)若四棱锥 是阳马，且 ，点 可能为 的中点，试确定点E位置使得四面体
为鳖臑，并证明．
刷真题1．（2023·上海·高考真题）已知三棱锥 中， 平面 为 中
点，过点 分别作平行于平面 的直线交 于点 .
(1)求直线 与平面 所成的角的正切值；
(2)证明：平面 平面 ，并求直线 到平面 的距离.
2．（2025·上海·高考真题）在三棱锥 中，平面 平面 ， ，
，
(1)若O是棱 的中点，证明： 平面 ，并求三棱锥 的体积；
(2)求二面角 的大小．3．（2023·上海·高考真题）已知 为正比例系数，定义： 为建筑物暴露在空气中的面积（单位：
平方米）， 为建筑物的体积（单位：立方米）．
(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为 ，高度为 ，求该建筑体的 （用 表示）；
(2)现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A为底面面积，L为建筑底面周长．已知 为正比例系数，
与 成正比，定义： ，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为
．已知该建筑体推导得出 ， 为层数，层高为3米，其中 ，试求当取第
几层时，该建筑体 最小？
4．（2022·上海·高考真题）如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且 底
面ABC，
(1)求三棱锥P-ABC的体积；
(2)若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角大小（结果用反三角数值表示）.5．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥 为底面 的中心．
(1)若 ，求 绕 旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若 为 的中点，求直线 与平面 所成角的大小．
6．（2024·上海·高考真题）如图， 、 、 为圆锥三条母线， .
(1)证明: ；
(2)若圆锥侧面积为 为底面直径， ，求二面角 的大小7．（2023·上海·高考真题）在直四棱柱 中， ， ， ， ，
(1)求证： 平面 ；
(2)若四棱柱 体积为36，求二面角 大小.
8．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且 ．
(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为 ，求圆锥的侧面积；(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为 ， ．设点M在线段OC
上，证明：直线 平面PBD．
9．（2026·上海·高考真题）如图所示正四棱台 ，其中 ， .
(1)当 时，求 和平面 所成角；
(2)证明： 平面 ；若棱台高为3，求三棱锥 的体积.
