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专项 03 导数的应用
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
命题趋势：
年份 题号/分值 核心考点 题型特点 难度
2023 T18 / 14分 极值、零点、含参范围 函数极值+参数讨论 中难
2024 T21 / 18分 新定义、导数几何意义、极值 上海特色新定义+导数综合 难（压
轴）
2025 T19 / 14分 极大值、含参范围、不等式 函数极值+导数应用 中难
2026年预测：
1. 核心考点（必考题）
导数几何意义：切线方程、斜率、切点（3年3考）
函数单调性：含参讨论、单调区间、恒成立
极值与最值：极大/极小值、最值求解、参数范围
零点问题：零点个数、存在性、极值点偏移
不等式证明：构造函数、放缩、恒成立/能成立
2. 题型趋势
压轴回归：导数大概率重回T21压轴，分值18分
新定义+导数：上海特色，结合函数、数列、逻辑
综合化：导数+指数/对数/三角函数/数列思想方法：分类讨论、数形结合、转化化归、构造函数
3. 难度与设问
第1问：基础（求导、单调、极值）
第2问：中档（含参讨论、参数范围）
第3问：压轴（不等式证明、零点、极值点偏移）
题型01 导数与函数单调性（解答题核心）
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·上海·开学考试）已知 为常数，函数 ．
(1)根据 的不同取值，讨论函数 的奇偶性，并说明理由；
(2)若 ，判断函数 在 上的单调性，并求它的单调区间．
【思路分析】（1）根据 、 两种情况分类讨论，结合奇偶函数的定义即可求解；
（2）求出 ，再进一步求出 和 的范围即可求解．
【规范答题】（1）记 ，定义域为 ，
①当 时， ，
因为 ，故函数 为偶函数，
②当 时， ，
取 ，因为 且 ，即 且 ，所以函数 既不是奇函数，也不是偶函数．
（2） ，
因为 ，所以当 时， ，
当 时， ，
所以函数 在 上严格单调递增，在 上严格单调递减．
2．已知函数 ．
(1)若 的单调减区间是 ，求实数 的值；
(2)若 在 上为严格减函数，求实数 的取值范围．
【思路分析】（1）对函数求导后，由题意可得 的解集为 ，从而可求出实数 的值；
（2）由题意可得 在 上恒成立，转化为 在 上恒成立，利用函数 的范围，
从而可求出 的取值范围．
【规范答题】（1）由 ，
得 ，
因为 的单调减区间是 ，
所以 的解集为 ，
所以方程 的两个根为0和4，且 ，
所以 ，解得 ；（2）因为 在 上为严格减函数，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
因为 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
即实数 的取值范围为 .
3．（2026·上海·二模）设 ．
(1)解不等式： ；
(2)设 ，若存在 ，使得 ，求实数a的取值范围．
【思路分析】（1）化简 ，解一元二次不等式即可；
（2）先求证 的奇偶性和单调性，将问题转化为存在 ，使得 ，求一元二次函数的
最小值即可.
【规范答题】（1）因为 ， ，
所以 ，得 ，
故 的解集为 ；
（2） ，则 ，
因为 关于原点对称，所以 在 上为奇函数，易得 ，
因为 ，等号成立时 ，所以 ，
则 在 上单调递增，
若存在 ，使得 ，
则存在 ，使得 ，
则存在 ，使得 ，即 ，
因为 函数图象关于 对称，其在 上的最小值为 ，则 ，
故实数a的取值范围为 .
研考点 · 通技法
求单调区间：① 求函数定义域；② 求导f′ (x)；③ 解不等式f′ (x)>0（增区间）、f′ (x)<0（减区
间），注意定义域对解集的限制。
含参单调性讨论：① 求导后，分析f′ (x)的表达式（一次、二次或分式）；② 找到参数的分界点
（如二次函数判别式Δ=0、一次项系数为0）；③ 按分界点分类，分别求解f′ (x)的正负，确定单调
区间（分类不重不漏）。
恒成立求参数：① 分离参数法（优先）：将参数移到一侧，转化为“a≥f(x)恒成立”（求f(x)最大
值）或“a≤f(x)恒成立”（求f(x)最小值）；② 端点效应：先验证端点处成立，再结合导数判断函数
单调性，验证整个区间成立（注意端点是否在定义域内）。
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·上海·月考）已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 的奇偶性；
(2)当 时，证明函数 在 上是严格增函数，并解不等式 .
【规范答题】（1）因为 ，而 .函数的定义域为 .
当 时， ，此时函数 为偶函数；
当 时， ，此时函数 为奇函数；
当 时，函数 为非奇非偶函数；
（2）因为 时，函数 ，求导得 .
当 时， ，所以 ，所以 （当且仅当 时取等号）.
所以函数 在 上是严格增函数.
由（1）知 为偶函数，而 在 上是严格增函数.
所以根据函数的单调性和奇偶性，不等式 等价于 .
两边平方得 ，化简得 ，
解得 或 .
所以不等式的解集为 .
2．（25-26高三上·上海·期中）设 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若曲线 在点 处的切线与曲线 也相切，求 的值；
(3)若函数 的图像恒在函数 的图像的上方，求 的取值范围．
【规范答题】（1）当 时， ，
其定义域为 ，且 ，令 ，即 ，解得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，函数 在 上单调递增.
（2）因 ，
故曲线 在点 处切线的方程为 ．
设直线 与曲线 相切于点 ，且 ，
则 ，且 ，解得 ．
（3）由题意得 ，化简得 ．
设 ，则 ．
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减；
函数 在 处取得极大值，也是 上的最大值，可知 ．
因此a的取值范围为 ．
3．（2026·上海崇明·二模）函数 ， 是减函数，即对于任意的 ， ，当 时，均
有 ．
(1)若 ，求实数a的取值范围；
(2)是否存在函数 是偶函数，且满足 对所有 成立？若存在，请举出一个满足条件
的函数，若不存在，请说明理由；(3)设 ，已知函数 是周期函数，求证： 为常值函数．
【规范答题】（1） 为减函数，则 即 恒成立，所以 .
（2）因为 为减函数，取任意实数 ，设 ，则有 ，
又 为偶函数即有 ，可得 ，
同时根据单调性由 可得 ，所以
即 对任意实数 成立，所以 为常值函数，设 ，
则 ，
当 时， 不成立，所以不存在满足条件的函数.
（3）设函数 的正周期为 即对任意 都有 ，
因为 ，根据 为减函数可知 ，所以 ，
那么有 ，因为 ，
所以 即 ，于是可得 ，从而 ，
而 为减函数，所以 在 上为常值函数，其中 为任意实数，
所以 在 上为常值函数.
题型02 导数与极值、最值（解答题高频）
析典例 · 建模型
1．（2026·上海闵行·二模）已知 .
(1)当 时，解方程 ；(2)若函数 在 上有唯一的极值点，求 的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小
值点.
【思路分析】（1）利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质即可求出；
（2）先对 进行求导，令 并求导即可求出 的取值范围.
【规范答题】（1）当 时， ，
令 ，得 ，即 ， ，解得 ,
故方程的解集为 .
（2）由题意得 ，
在区间 上， ， ，
令 ，则 ，
在 上单调递增，且 ，
若函数 在 上有唯一的极值点，则 在该区间有唯一解，
即 有唯一解，故 的取值范围为 ，
设 为该极值点，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以极值点为极大值点.
2．（2026·上海黄浦·二模）已知 ．(1)求函数 的最小正周期与单调增区间；
(2)将函数 的图象上的所有点沿向量 平移，得到 的图象．若
同时满足：①图象关于点 对称；②有且仅有 个极大值点在区间 上．求 的取值范围．
【思路分析】（1）利用三角恒等变换化简函数 的解析式，利用正弦型函数的周期公式和正弦型函数
的单调性可求得答案；
（2）利用三角函数图象变换可得出函数 的解析式，根据函数 满足条件①以及 的范围可得出
的值，再根据函数 满足条件②可得出关于 的不等式，解之即可.
【规范答题】（1）因为 ，
所以函数 的最小正周期为 ，
由 ，可得 ，
所以函数 的单调增区间为 ．
（2）由（1）知 ，
将函数 的图象上的所有点沿向量 平移，得到 的图象，
所以 ，
由 的图象关于点 对称，可得 ，
所以 ，解得 ，
又 ，可知 ，故 ，当 时， ，
由②知 ，解得 ，
故 的取值范围是 ．
3．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在 内的最大值为2，求 的值.
【思路分析】（1）先求得函数 的导函数 ，讨论 的零点的大小关系，利用 的正负可
得到 的单调性；
（2）由（1）分析 在 上的单调性，进而求得其最大值，构造新函数，分析新函数的单调性及零点，
即可求得实数 的值.
【规范答题】（1）函数 的定义域为 .
则 ，
令 ，解得 或 .
若 ，即 ，则
当 或 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
若 ，即 ，则 恒成立，
所以 在区间 上单调递增；当 ，即 ，则
当 或 时， ；当 时， .
所以 在区间 上单调递减，在 和 上单调递增.
综上所述，若 ，则 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
若 ，则 在 上单调递增；
若 ，则 在 上单调递减，在 和 上单调递增.
（2）由（1）知，当 时， 在 上单调递增，则 ，解得 ，
与 矛盾，舍去；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 .
令 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递减.
又 ，故 .
综上所述，
4．（24-25高三上·上海黄浦·期末）函数 的定义域为 ，在 上仅有一个极值点 ，方程
在 上仅有两解，分别为 、 ，且 ．若 ，则称函数 在 上的极
值点左偏移；若 ，则称函数 在 上的极值点右偏移．(1)设 ， ，判断函数 在 上的极值点是否左偏移或右偏移？
(2)设 且 ， ， ，求证：函数 在 上的极值点右偏移；
(3)设 ， ， ，求证：当 时，函数 在 上的极值点左偏移．
【思路分析】（1）先求 的根及 的极值点，再根据题设定义，即可求解；
（2）先求 的根，对 求导，得到 ，通过计算得到 ，再利用
二次函数的性质，即可求解；
（3）设 的两个零点为 ，根据条件得到 ，再构造函数
，利用函数的单调性，得到 ，即可求
解.
【规范答题】（1）由 ，得到 ，所以 ，
又 ，由 ，得到 ，又当 时， ，当 时， ，
所以 只有一个极值点，且极值点为 ，此时 ，
所以函数 在 上的极值点不偏移.
（2）因为 ， 且 ， ，
由 ，得到 或 ，则 ，
又 ， ，则 有两根，
不妨设为 ，且 ，又 ，所以 ，
又 时， ， 时， ，所以函数 在 上只有一个极值点 ，且，
又 ，
所以 ，故函数 在 上的极值点右偏移.
（3）由题知， ，令 ，得到 ，
当 时， ，当 时， ， 所以 是 的极值点，
且 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
又 ， 时， ， 时， ， ，
则 有两个零点，不妨设为 ，且 ，所以 ， ，
令 ，
则 在 恒成立，
所以 在区间 上单调递增，
所以 ，即 ，
故 ，又 ，
故 ，得到 ，即 ，
所以当 时，函数 在 上的极值点左偏移．
研考点 · 通技法
求极值：① 求导f′ (x)，令f′ (x)=0，求驻点；② 判断驻点两侧f′ (x)的符号（左正右负为极大值
点，左负右正为极小值点）；③ 代入驻点求极值（注意定义域内的驻点才有效）。求最值：① 求函数定义域内的所有驻点和端点；② 计算各点的函数值；③ 比较大小，最大的为最
大值，最小的为最小值（闭区间必存在最值，开区间需验证极限
lim f(x)、 lim f(x)）。
x→+∞ x→−∞
含参极值、最值范围：① 按含参单调性讨论的方法，确定极值点/最值点与参数的关系；② 将极值
点/最值点代入函数，转化为关于参数的函数，求其值域（注意参数的取值范围）。
极值点偏移：① 构造对称函数（如f(x)的极值点为x ，构造g(x)=f(x +x)−f(x −x)）；② 求
0 0 0
g(x)的导数g′ (x)，判断g(x)的单调性；③ 结合f(x )=f(x )，证明x +x >2x （或x +x <2x
1 2 1 2 0 1 2 0
）。
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知函数 .
(1)求出函数 所有的极值点.
(2)设函数 的图象上存在两点 ， 满足以 为直径的圆过原点 ，且该圆的圆心在
轴上.
①证明： ， 两点在直线 的两侧.
②求a的取值范围.
【答案】(1)极小值点为0和1，极大值点为
(2)①证明见解析；② .
【分析】（1）求出函数 的导数 ，利用导数求 的单调性，即可得出极值点；
（2）①设 ，根据题意可得 ， ，据此分析两点不能
同在 的左或右两侧，从而得证；
②由①可得 ，据此分离参数后知方程 在 上有解，利用导数，
求出方程右边的取值范围即可得解.
【详解】（1） ，定义域为R，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 的极小值点为0和1，极大值点为 ；
（2）①证明：设 ，
因为以 为直径的圆过原点 ，所以 ，即 ，
又以 为直径的圆的圆心在 轴上，所以
显然 两点不能同在直线 的右侧，且 均不能为1，
假设 两点同在直线 的左侧，即 ，
不妨设 ，易知 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故 ，
则 ，
这与 矛盾，所以假设不成立，
故 两点在直线 的两侧.
②由①可知， 两点在直线 的两侧，
不妨设 ， ，则 ， ，由 得
则关于 的方程 在 上有解.
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以
则 解得
故 的取值范围为 .
2．（25-26高三上·上海·期中）已知 ，且关于 的函数 ．
(1)已知函数 ，且满足 ，解不等式 ；
(2)若 ， 为单位向量，讨论函数的单调性；
(3)若函数 在 上有极值，求 与 夹角的取值范围．
【答案】(1) 或 ．
(2)递增区间为 和 ，递减区间为 ．
(3)
【分析】（1）结合题意将原不等式转化为一元二次不等式，再求出解集即可.
（2）结合题意并利用导数求解单调区间即可.
（3）根据题意， 有两个不等的实根，求得 ，再利用向量夹角公式求得 ，从而
求得答案即可.【详解】（1）由题意 ，又 ，
所以 的图像关于 对称，
则 ，即 ，得到 ，
由 ，所以 ，解得 或 ，
故不等式 的解集为 或 ．
（2）因为 ，所以 ，
因为 为单位向量，所以 ， ，
题意有 ，由 ，
令 ，可得 ，令 ，可得 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
故递增区间为 和 ，递减区间为 ．
（3）设 与 的夹角为θ．
∵ ，∴ ，
∵函数 在R上有两个极值，∴方程 有两个不同的实数根，
即 ，∴ ，
又 ，∴ ，即 ，又 ，∴ ．
3．（25-26高三上·上海·期中）已知 ， ．
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的极值点个数；
(3)若对于任意 总有 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可；
（2）按照 和 分类讨论研究函数的单调性，利用极值的定义求解即可；
（3）参变分离得 对于 恒成立，设 ，然后利用导数法求得
的最小值，即可得解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，所以 ，即切线的斜率为 ，
又 ，所以所求的切线方程为 ，即 ；
（2）由 得 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
①当 ，即 时， 对 恒成立，
此时 在 单调增，故 没有极值点；
②当 ，即 时，方程 有两个不等正数解 ，，
不妨设 ，则当 时， 单调递增；
时， 单调递减；
时， 单调递增；
所以 分别为 极大值点和极小值点， 有两个极值点．
综上所述，当 时， 没有极值点；当 时， 有两个极值点．
（3） ，
由 ，得 对于 恒成立，设 ，
则 ，
因为 ，所以 时， 单调递减，
时， 单调递增，所以 ，所以 ．
4．（2026·上海黄浦·二模）对于公共定义域为D的函数 与 ，定义集合
．
(1)若 ， ，求 ；
(2)若 ， ，且 ，求 的最小值；
(3)已知 是定义在 上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数 ，使得 ．若
， ，且 ，求证： ．【答案】(1) ．
(2) ．
(3)证明见详解．
【分析】（1）先求出 的解析式，再转化为二次函数值域问题求解.
（2）由题设可知函数 的值域为非负实数集，从而其最小值为 ，再据此构造极值点并
结合基本不等式求最小值.
（3）法一：由 得 ．取 ，构造 ，证明其为常量，从
而得到 ．再结合单调性与连续性，求出 ，进而求得 .
法二：由 得 ．再分正整数、零、负整数三种情况迭代，证明
．结合单调递增与图像连续，得到 ，从而求得 .
法三：先由 推出 ．再对正整数、负整数分别迭代，得到对任意 ，都
有 ．最后结合连续性与单调性确定 的值域，进而求得 .
【详解】（1）由题意， .
因为 ，所以 .
当 时，等号成立．故 = .
（2）令 .
由题设可知， 的值域为非负实数集，从而其最小值为 .
设 时取到最小值，则 ，且 ，因为 所以 .
又由 ，得 即 .
从而 .
由 可得 故
令 ，则 当且仅当 时，等号成立.
此时 ，由 得 ，于是 ，又 ，故 ．所以 的最
小值为 .
（3）法一：由 可知，对任意 ，都有 .
而 所以 . (1)
已知存在正数 ，使得 .
对任意整数 ，令 .
由式（1）可得 即 .
所以 为常量，即对任意 ，都有 .
于是 . (2)
下面证明 .
先证 对任意 都成立．
任取 ，必存在 ，使 .
因为 在 上为增函数，所以 .
故对任意 ，都有 ． (3)再由式（2）知 且 .
由于 的图像是连续曲线，且 在 上单调递增，因此 的值域为 ．
又因为 所以
当 取遍 时， 也取遍 ．
故 .
法二：
由 可知，对任意 ，都有 .
而 所以 ． (1)
已知存在正数 ，使得 .
先证明：对任意整数 ，都有 ． (2)
当 时，由式（1）反复应用可得 .
当 时，显然 .
当 时，设 （ ），则由式（1）得 ,
故 .
反复使用上式可得 .
所以式（2）对任意整数 都成立．
由式（2）知 且 .
又因为 在 上单调递增，且图像连续，所以 .由 ，可得 .
于是 .
法三：
由 可知，对任意 ，都有 .
而 所以 ． (1)
已知存在正数 ，使得 .
由式（1）对正整数 反复迭代，可得
.
从而 .
同理，对负整数部分可得 ,
于是对任意 ，都有 ． (2)
由式（2）知 且 .
又因为 在 上连续且单调递增，所以 .
再由 可得 .
故 .
5．（24-25高三下·上海杨浦·开学考试）若函数 在 上存在 ，使得
， ，则称 是 上的“双中值函数”，其中 称为在 上的中值点.
(1)判断函数 是否是 上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数 ，存在 ，使得 ，且 是 上的“双中值函
数”， 是 在 上的中值点.
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： .
【答案】(1)是，理由见解析；
(2) 的取值范围为 ；证明见解析.
【分析】（1）利用定义及导数的计算法则计算即可；
（2）①根据定义知 ，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件
先转化问题为 ，构造差函数 ，利用多次求导判定其单调性去函数符号即
可证明.
【详解】（1）是，理由如下：
根据条件易知 ，
又 ，可得 ，
显然 ，符合“双中值函数”定义，
即函数 是 上的“双中值函数”；
（2）①因为 ，所以 .
因为 是 上的“双中值函数”，所以 .由题意可得 .
设 ，则 .
当 时， ，则 为减函数，即 为减函数；
当 时， ，则 为增函数，即 为增函数.
故 .
因为 ，且 时， , 时， ，
所以 ，所以 ，即 的取值范围为 ；
②证明：不妨设 ，
则 ， ，即 ， ．
要证 ，可证 ，即证 ．
设 ，
则 ．
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，则 在 上单调递减．
因为 ，所以 ，即 ．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．因为 ，所以 ．
由①可知 在 上单调递增，所以 ，即 得证．
题型03 导数与函数零点（压轴）
析典例 · 建模型
1．（2025·上海嘉定·一模）已知 .
(1)若 ，求函数 的单调区间.
(2)若 在 上存在零点，求实数 的最大值.
【思路分析】（1）应用导数研究函数的单调区间即可；
（2）问题化为 与 在 上有交点，应用导数研究 的单调性并求出值域，即
可得范围.
【规范答题】（1）由题设 ，则 ，
当 或 ，即 在 上单调递增，
当 ，即 在 上单调递减，
所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
（2）在 上，令 ，
所以 在 上有解，
即 与 在 上有交点，
由 且 ，所以 ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 或 ，有 ，且 ，
所以 ，故最大的 为 .
2．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知函数 ， ，设 ，
．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明：当函数 经过点 时函数 有且仅有一个零点；
(3)证明：对小于 的实数 ，存在实数 使得关于 方程 恰有三个不同的实数根，并指出实数
的取值范围．
【思路分析】（1）由题可得切线斜率，然后由点斜式可得切线方程；
（2）由函数 经过点 可得 ，然后由 单调性可完成证明；
（3）通过导数研究 性质可得 与 大致图象，从而可得 关于 的表达式，然后可完成证明，
并能指出实数 的取值范围
【规范答题】（1） 时， ， ，
， ，则曲线 在点 处的切线方程为：
；（2）证明：因函数 经过点 ，则
.令 ， .
令 ； ，
则 在 上递减，在 上递增，则 ，
故由 ，可得 .
则此时， ， .令 ，
则 在 上递增，
注意到 ，结合 在 上递增，
则 .
得 在 递减，在 上递增，则 .
即函数 经过点 时函数 有且仅有一个零点1；
（3）证明： ，其中 .
，令 ，
则 ，则 在 上递增.
注意到 ， ，
则 ，使 ，结合 在 上递增.
则 .
得 在 递减，在 上递增，则 的极小值为
令 ，则
得 在 上单调递减，
故 .
注意到 ， ，
则 ，使 ；
令 ， 在 上递增，
则 ，
即 ；
令 ， .
，
则 在 递增，在 上递减，
则 .
则 ，
又 ， .
则 ，使 .
则可得 大致图象如下，图象则相当于对 图象做翻折变换，可得大致图象如下.
方程 恰有三个不同的实数根，则直线 与 图象有3个交点，
由图可得 时满足题意.
则对小于 的实数 ，存在实数 使得关于 方程 恰有三个不同的实数根，
注意到
则 时满足题意
令 ，
则 ，则 在 上递减，
则 ， .
则 的范围为：
3.已知函数 .
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点 ， ，且 ，求证： (其中 是自然对数的底数).
【思路分析】（1）求出函数 的定义域与导函数，再对 分类讨论，分别求出函数的单调区间；（2）由题意， ， 是方程 的两个根，即可得到 ，令 则
，则 ，
解法一：只需证明当 时，不等式 成立即可；
解法二：构造函数 利用导数说明单调性后即可得证.
【规范答题】（1）函数 的定义域为 ，
则 ，
当 时令 ，解得 或 ，
当 ，即 时 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 即 时，令 ，解得 或 ，则 在 ， 上单调递增，
令 ，解得 ，则 在 上单调递减；
当 即 时，令 ，解得 或 ，则 在 ， 上单调递增，
令 ，解得 ，则 在 上单调递减；
综上可得， 当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
（2）因为 ，由题意 ， 是方程 的两个根，①， ②，
①②两式相加，得 ③，①②两式相减，得 ④，
联立③④，得 ， ，
设 ， ， ， ， ，
解法一:因为 ，所以 ，则 ，
若 ，则一定有 ，
只需证明当 时，不等式 成立即可，即不等式 成立，即不等式
成立，
设函数 ， ，
在 上单调递增，故 时， ，
即证得 成立，
即证得当 时， ，即证得 ，
，即证得 ，则 ．
解法二：则要证明 ，只需证 ，令 ， ，则 ，
令 ，则 ，
所以 ，所以 ，
在 时单调递增，
则 ，则 .
研考点 · 通技法
零点存在性证明：利用零点存在性定理（介值定理），找到区间[a,b]，满足f(a)⋅f(b)<0，且f(x)
在[a,b]上连续，即可证明存在零点。
零点个数讨论：① 求函数的单调性和极值（最值）；② 结合函数的定义域、极限趋势（如x→+∞
、x→−∞时的函数值）；③ 根据极值与0的大小关系，判断零点个数（极大值>0且极小值<0时，
至少3个零点）。
双变量零点问题：① 由f(x )=f(x )（x ≠x ），结合函数单调性，确定x 、x 的范围；② 构造函
1 2 1 2 1 2
x
数（如令t= 1），转化为单变量问题；③ 利用导数判断构造函数的单调性，求解范围或证明不等
x
2
式。
破类题 · 提能力
1．（25-26高三上·上海·期中）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程
(2)证明： 有唯一零点
(3)记 的零点为 ，判断数列 中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列， 并说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)数列 中不存在连续三项按某顺序构成等比数列.【分析】（1）先求 ，根据导数的几何意义即可求切线方程；
（2）分 和 两种情况，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理即可判断零点；
（3）由方程 两边取对数，转化为 ，再构造函数 在 上单调
递增，结合等比数列的性质，即可判断证明.
【详解】（1）由题意有 ，所以 ，时 ，
所以 ，即 ，
所以切线方程为 ；
（2）当 时， ，所以 在 上无零点，
因为 ，所以 在 上单调递增，
所以 在 上至多一个零点，
当 时， 有一个零点1，
当 时，因为 ，
所以 有唯一的零点；
（3）由（2）有： ，且 ，
两边取自然对数得 ①，
所以 ②，
由② ①有： ，
所以 ，因为 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以数列 单调递增，
假设数列 中存在 成等比数列，
所以 ，即 ③，
由①有： 代入③有：
，
所以 ④，
因为 ，所以 ，
当且仅当 时取等，
又因为 ，
所以方程④无解，故数列 中不存在连续三项按某顺序构成等比数列.
2．（24-25高三下·上海·月考）已知k、 ，函数 的定义域为 ，直线l的方程为 ，
记集合 ．
(1)若 ，求集合 ；
(2)若 ，且存在实数k、m使得集合 中有且只有两个元素，求实数b的取值范围；
(3)若函数 的图象是一条连续曲线，且其导函数是定义域为 的严格减函数，求证：“集合 是单
元素集合 ”是“直线l是曲线 在点 处的切线”的充要条件．【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由已知求得 ，解不等式 即可求解；
（2） 的解集为 ，进而得方程 有重根 及 ，
据此求解即可．
（3）记 ，必要性，则有 ，由题意可得 的单调性，可得结论；
充分性， 时 ，结合已知可得函数 在 处取得极大值，进而
可得结论.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由 ，得 ，解得 ，所以 ．
（2）存在实数k，m使得集合 ，则 的解集为 ，
即 的解集为 ，
所以方程 有重根 及 ．
因此 恒成立，故有 ，
则 是二次方程 的两个不相等的实数解，
所以 ，所以实数b的取值范围是 ．
（3）记 ，则 ，在 上严格递减，①若直线l是曲线 在点 处的切线，
则有 ，所以 ．
故 时， ，所以函数 在 上严格递减， ；
时， ，所以函数 在 上严格递增， ；
所以 的解集为 ，集合 是单元素集合 ；
②若集合 是单元素集合 ，故 时， ，
而函数 的图象是一条连续曲线，所以 ．
则在 的附近其他自变量对应的函数值都小于 ，
故函数 在 处取得极大值，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，直线l是曲线 在点 处的切线．
综上，“集合 是单元素集合 ”是“直线l是曲线 在点 处的切线”的充要条件．
3．（25-26高三下·上海·月考）已知函数 ，其中 ．
(1)任取 ，若 ，证明： ；
(2)若存在 ，使得方程 存在三个不等实根 ，且 ；
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： ．
【答案】(1)证明见解析.(2)（i） ;
（ii）证明见解析.
【分析】（1）通过变量替换将不等式中双变量转化为单变量函数的单调性问题;
（2）（i）将方程整理为 ，其中 ，需 有两个正的极值点，且
极小值小于 才能满足存在 ，使得方程有三个不等实根，由此得出 的取值范围；
（ii）利用（1）的结论得到新的不等式，再通过 的取值范围求解不等式，最后证明结论.
【详解】（1）由于 ，不妨设 （当 时证明类似），令 ，则
，
将 代入不等式左边得 ，不等式右边得 ，因
此原不等式等价于证明 ，两边除以 ，得 ，整理为 ，
令 ，则 ，因此 在 上单调递增，
且 ，故 在 上恒成立，即 ，从而 .
（2）（i）将方程 整理为 ，
令 ， ，
对 求导得 ，
令 ，则两根分别为 ， ，因为存在 时方程 有三个不等实根，
所以 要有两个极值点，且极值点均为正数，并且极小值
因此 ，解得 .
当 ，即 时， 在 递减， 递增， 递减，极小值 ，代入得
令 ，则 ，代入 得
令 ，则求导得 ，因此 在 上单调递
增，故 ，即 ，符合条件，
当 ，即 时，由于 在 递减， 递增， 递减，极小值 ，不符
合条件，
综上所述， 的取值范围为 .
（ii）由于方程 的三个不等实数根满足 ，由（i）得
，
由（1）的结论，对于 ，有 .
而 ，即 ，整理得，代入不等式 ，得：
，化简得 ，即
，
由于 ，且 ，因此解出不等式得 ，即 .
由于 ，所以 ，而 ，因此 .
题型04 导数与不等式（压轴）
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·上海·期中）已知曲线 ，曲线 ，其中 .
(1)求曲线 在 处的切线；
(2)证明：E与F存在唯一交点；
(3)在（2）的条件下，设交点为 ，作 在点 处的切线，交 轴于点 ，证明:
【思路分析】（1）由导数求出切线斜率，再由点斜式即可求解；
（2）构造函数 ，将问题等价转化成研究函数的零点，分
和 两段依次分析函数的函数值情况和单调性情况即可得证；
（3）先利用导数依次求出 在点 处的切线方程和点B，利用两点间的距离公式和
将题设所要求证的问题等价转换成求证 ，再构造函数 ，利用导数分析其在 上的单调性即可求证.
【规范答题】（1）对 求导得 ，
当 时，切线斜率为 ， ，
所以所求切线方程为 ；
（2）记 .
则当 时， ，故 ，
而 ，故此时 无零点；
当 时，函数 和 均为减函数，
所以 严格递减，且 ，故 有唯一零点.
综上， 与 有唯一交点.
（3）由（2）得 ，对 求导得 ，
故 在点 处的切线斜率为
所以 在点 处的切线方程为 ，
令 得 ，故 ，
要证 ，只需证 即 .由（ ）式得 ，故只需证 .
记 在 上单调递增，
所以 ，即 ，故得证.
2．（25-26高三下·上海·月考）设 ，已知 ．
(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
【思路分析】（1）根据 ，求出 的值，再利用导数的几何意义，求得曲线 在
处的切线方程；
（2）分析函数 的单调性，求得其最小值为 ；令 ，并构造函数
，利用导数分析其单调性，结合其取值情况可求得 的取值范围.
【规范答题】（1） 的定义域为 .
若 ，则 ，
整理得 ，所以 .
所以 .
，所以 .
.
所以曲线 在 处的切线方程为 .
（2） 的定义域为 ..
因为 ，所以 .
又 ，
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
所以函数 在 处取得极小值，即最小值，最小值为 .
因为当 时，不等式 恒成立，所以 .
令 ，则 .
因为 与 均为减函数，所以 是减函数.
因为 ， ，所以 在 上存在唯一零点，记作 ，即 ，
即 .
所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
因为当 时， ，即当 时， ，且 ，
所以当且仅当 时， ，即 .
所以 的取值范围是 ．
3．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数 ， ， .
(1)求函数 在区间 上的最小值；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围；
(3)对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.【思路分析】（1）根据 单调性可确定最小值点，由此可得最小值；
（2）将问题转化为 ，令 ，利用导数可求得 的单调性，由此可求
得 ，进而得到结果；
（3）将问题转化为 ，根据 单调性可求得 ，分离变量可得
，令 ，利用导数可求得 单调性，进而求得最小值，由此可得 取值范围.
【规范答题】（1）由题意知： ；
与 在 上均为增函数， 在 上单调递增，
.
（2）当 时，由 得： ，
若存在 ，使得 成立，则 ；
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增， ，
，即实数 的取值范围为 .
（3）由 得： ，
若对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，则 ；
在 上单调递增， ， ， ，当 时， ， ；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
，即实数 的取值范围为 .
研考点 · 通技法
构造函数证明不等式：① 移项，将不等式转化为“h(x)=f(x)−g(x)≥0”（或h(x)=f(x)−g(x)≤0
）；② 求h(x)的导数h′ (x)，判断h(x)的单调性；③ 求h(x)的最小值（或最大值），证明最小值
≥0（或最大值≤0）（必要时二次求导h″ (x)判断单调性）。
恒成立求参数范围：同“导数与函数单调性”中的恒成立解题方法，补充：当分离参数困难时，直接构
造函数，求函数的最值，结合最值与参数的关系求解。
能成立（存在性）问题：转化为“a≥f(x)能成立”（求f(x)最小值）或“a≤f(x)能成立”（求f(x)最大
值），与恒成立问题区分开（恒成立是“所有x满足”，能成立是“存在x满足”）。
破类题 · 提能力
1．（25-26高三下·上海虹口·月考）记 （ ）．
(1)若 ，解不等式： ；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数函数的单调性转化为求解不等式 ，再结合对数函数的定义域和单调性求
解不等式；（2）先将原不等式整理为 ，构造函数 ，分析函数 的单调性和极值点，
进而根据函数性质建立关于 的不等式求解取值范围.
【详解】（1）当 时， .
因此，
等价转化为 ，即 ，解得 .
故原不等式的解集为 .
（2）将 代入 得 .
故 ，其中 .
令 ，则 在 上是严格增函数，
故不等式转化为 .
从而 ，即 对于 恒成立.
令 ，故 ， .
+ 0 -
严格增 极大值 严格减
所以 在 上为严格增函数，在 上为严格减函数.
因此， 在 上的极大值也是最大值为 .
故 的取值范围是 .
2．（25-26高三上·上海普陀·月考）设 是实数， .
(1)证明:函数 的图像关于点 成中心对称；(2)若存在正数 ，使得 成立，求 的取值范围；
(3)试根据正数 的不同取值，讨论经过点 且与曲线 相切的直线的条数.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据对称公式进行证明；
（2）分离参数，构造新的函数 ，利用导数研究函数的单调性求出其取值范围；
（3）求出过点 的切线方程，分离参数 ，构造函数 ，利用导数研究该函数的单
调性及极值，画出图像，结合函数图像分析.
【详解】（1）证明: ，
，
函数 的图像关于点 成中心对称；
（2） ，
，
，
设 ，
则 ， ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
的最小值为 ，
，
的取值范围为
（3）设过 的切线与曲线 于点 ，
切线方程为 ，又其过 ，
，
，
设 ，
，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
的极小值为 ， 的极大值为 ,
当 ,当 ，①当 或 时，方程 有1解，
即过点 可以作1条直线与曲线 相切；
②当 或 时，方程 有2解，
即过点 可以作2条直线与曲线 相切；
③当 时，方程 有3解，
即过点 可以作3条直线与曲线 相切，
综合可得:当 或 时，过点 可以作1条直线与曲线 相切；
当 或 时，过点 可以作2条直线与曲线 相切；
当 时，过点 可以作3条直线与曲线 相切.
题型05 导数与新定义（上海特色）
析典例 · 建模型
1．（2026·上海徐汇·二模）已知函数 与函数 的定义域均为 ，且在 上的导函数分别为
和 .若存在常数 ，使得对任意实数 恒成立，则称 是 的“
调整函数”，并称 为调整系数.
(1)设 .求证： 是 的“2-调整函数”；(2)设 .若存在实数 ，使得 是 的“ 调整函数”，求调
整系数 的取值范围；
(3)已知 是 的“1-调整函数”，函数 的值域是一个闭区间，记作集合 ，函数
的值域记作集合 .若 ，判断 是否一定是常值函数，并说明理由.
【思路分析】（1）对 分别求导，并根据 是 的“k-调整函数”的定义判断即可；
（2）对 分别求导，根据 是 的“k-调整函数”的定义，得 恒成立，
时显然成立；当 时，设 ，利用导数，分 和 两种情况分析，
可得 .并分析此时 时，满足题意，即可确定 的取值范围；
（3）对题意所述函数举出实例说明 不一定是常值函数即可.
【规范答题】（1）因为 ，
所以 .
所以
所以 是 的“2-调整函数”；
（2）由 ，得 .
由于 是 的“ 调整函数”，那么存在常数 ，使得 恒成立，
即 ，即 .
因为存在实数 ，满足上式，所以 ，即 .
1)若 ，则 成立；2)若 ，则 ，所以 ，且 .
设 ，则 在 单调递增.
当 时，因为 ，
所以存在 ，当 时， ， 单调递增，
所以当 时， ，不满足题意；
当 时， ， ，所以 ， 在 上单调递减，
所以 恒成立.
3)当 时，对 ， 恒成立.
综上，调整系数 的取值范围是 .
（3） 不一定是常值函数.
例：令 ， ，
， .
此时函数 的值域是一个闭区间，为集合 ，函数 的值域为集合 ，满足
.又 ，满足对任意实数 恒成立，即满足 是 的“ 调整函
数”，
此时 不是常值函数.
2．（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知定义域为 的函数 ，其导数为 ，若对任意的
都有 ，则称函数 为“导可控函数”.
(1)请说明 是否为“导可控函数”；
(2)若函数 为“导可控函数”，且存在正数 ，使 在 上恒成立，试判断函数
的零点个数，并说明理由；
(3)若函数 为“导可控函数”，且存在 、 ，使得 ，证明：对任意的实数 、
，都有 .
【思路分析】（1）对函数 求导，依条件 判断即可；
（2）利用导数判断函数 的单调性，再结合函数值域可判断零点个数；
（3）利用导数的定义得 ，再由不等式的性质，适当放缩得证.
【规范答题】（1）若 ，则 ，
当 时， ，
故 不是 “导可控函数” .
（2）依题意， ，
所以， 在 上为减函数，所以至多一个零点；，，
当 时， ，
当 时， ，
所以 存在零点，综上存在1个零点；
（3）因为 ，由导数的定义得 ，
即 ，
不妨设
若 ，则
若 ，
则
.
研考点 · 通技法
核心思路：先准确理解新定义（如“凸函数”“拟单调函数”等），将新定义转化为导数语言（如凸函数
⇔f″ (x)≤0），再结合导数的常规方法求解。
新定义+单调性/极值：① 翻译新定义，得到关于f(x)或f′ (x)的不等式；② 求导，结合新定义的条
件，判断函数的单调性或极值点；③ 求解相关问题（如参数范围、极值大小）。
新定义+不等式证明：① 结合新定义，构造符合条件的函数；② 利用导数判断构造函数的单调性、
最值；③ 结合新定义的约束条件，证明不等式成立（注意新定义中定义域、取值范围的限制）。
破类题 · 提能力1．（25-26高三上·上海·月考）已知函数 及其导函数 的定义域都为 ．若对任意
，有 ，则称 为“卓越函数”．
(1)判断 是否为“卓越函数”？
(2)已知 为“卓越函数”，求实数 的取值范围；
(3)已知 为“卓越函数”，且存在唯一正实数 ，使得 ，求实数 的取
值范围．
【答案】(1)不是
(2)
(3) 或
【分析】（1）结合定义，找出使得 的 即可得；
（2）结合定义计算可得 ，构造函数计算即可得；
（3）结合定义，构造函数 ，可得其单调性，则可得 ，再构造函数
，结合导数分类讨论其单调性，结合零点存在性定理得其零点个数即可得解.
【详解】（1） ，
则 ，
则当 时，有 ，
故 不是“卓越函数”；（2） ，
则 ，
故 在 上恒成立，
即有 在 上恒成立，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，故 ；
（3）由 为“卓越函数”，则 定义域为 ，
且对任意 ，有 ，
则 ，有则 ，
设函数 ，则 ，
，
故 在 上单调递增，故 ，
即存在唯一正实数 ，使得 ，
令 ， ， ，当 时， ，故 在 上单调递增，
又 时， ， 时， ，
故存在唯一正实数 ，使得 ，符合题意；
当 时，当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，
又 时， ， 时， ，
故当 时， 有唯一正实数解，
由关于 的函数 在 上单调递增，
且当 时，有 ，
故当 时， 有唯一正实数解；
综上所述：实数 的取值范围为 或 .
2．（2025·上海浦东新·二模）定义域为 的可导函数 满足，在曲线 上存在三个不同的点
，使得直线 与曲线 在点 处的切线平行（或重合）．
若 成等差数列，则称 为“等差函数”；若 成等差数列且 均为整数，则称
为“整数等差函数”．
(1)设 ， ，分别判断 和 是否为“整数等差函数”，直接写出结论；
(2)若 为“整数等差函数”，求实数 的最小值；(3)已知 的导函数 在 上为增函数，且存在一个正常数 ， 使得对任意 ，
成立，证明： 为“等差函数”的充要条件是 为常值函数．
【答案】(1) 不是“整数等差函数”， 是“整数等差函数”
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）设公差为 ，根据所给定义及导数的几何意义得到 ，即可判断；
（2）设公差为 ，则 且 ，由 得到 从而确定 的最小值；
（3）首先证明充分性，再说明必要性，设公差为 ，结合所给定义得到
，令 ，结合 推
出 为常值函数.
【详解】（1）假设 成等差数列，得 ，
设公差为 ，则 ，
对于 ：直线 的斜率 ，
因为 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
由题意， 恒成立，
取 ， ，则 成等差数列且均为整数，故 是“整数等差函数”．
对于 ，直线 的斜率 ，因为 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
由题意 ，
若 ，则 ，
令 ， ，则 恒成立，所以 在 上单调递减，
所以 ，即 在 上恒成立，
即 恒成立，所以 无解，
故 不是“整数等差函数”．
（2）因为 为“整数等差函数”，所以 成等差数列且 均为整数，
设公差为 ，则 ，且 ，
直线 的斜率 ，
因为 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
由题意， ，
又 的定义域为 ，有 ，
当 时, ,此时 ,无最小值；
当 时,因为 ， ，
所以，
则 ，可取 使等号成立，故 的最小值为 ;
综上，实数 无最小值；
（3）充分性，因为 为常值函数，所以 ，
任意取等差数列 ，则直线 的斜率 ，
曲线 在点 处的切线斜率为 ，
因为 ，所以 为“等差函数”．
必要性，因为 为“等差函数”，所以 成等差数列，
设公差为 ，则 ，
直线 的斜率 ，
曲线 在点 处的切线斜率为 ，
由题意， ,
，
令 ，
则
，令 ，
则 ，
因为 在 上为增函数，所以 ， 在 上为增函数，
因为 ，所以 ， 在 上为增函数，
因为 ，所以 在 上恒成立，
又 ，由 的单调性知 ，
故 ， ，
， 为常数，
，
，
，
接下来，一方面，因为 ，且 在 上为增函数，
所以 在 上为增函数，故 ， ，
由 ，可得 ，
另一方面，因为 ，
所以 ，可得 ，
以此类推， 在 上恒成立，即 为常值函数．
命题得证！
3．（24-25高三上·上海·期中）若定义在 上的函数 和 分别存在导函数 和 .且对任意实数 ，都存在常数 ，使 成立，则称函数 是函数 的“ 控制函
数”，称 为控制系数.
(1)求证: 函数 是函数 的“ 控制函数”;
(2)若函数 是函数 的“ 控制函数”，求控制系数k的取值范围；
(3)若 函数 为偶函数，函数 是函数 的“ 控制函数”， 求证:“
”的充要条件是“存在常数 ， 使得 恒成立”.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）结合定义，只需证明 即可得；
（2）结合定义，构造函数 ，结合导数求出 最小值即可得；
（3）先证明充分性：若存在常数 使得 恒成立，结合偶函数定义计算即可得；再证明必要
性：由题意可得 ，又 ，则可结合偶函数性质得到
，即可得证.
【详解】（1） ， ，则 ，故 ，
即 恒成立，故函数 是函数 的“ 控制函数”；
（2）有 ， ，
则 ， ，令 ，
则
，
由 ，
故当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，即有 ，
则当 时，函数 是函数 的“ 控制函数”，
即 ；
（3）充分性：若存在常数 使得 恒成立，
则 为偶函数，
因为函数 为偶函数，所以 ，
则 ，即 ，
所以 恒成立，所以 ；
必要性：若 ，则 ，所以函数 为偶函数，
函数 是函数 的“ 控制函数”，因此 ，又 ，
因此函数 是函数 的“ 控制函数”，
所以 ，即 恒成立，
用 代换 有 ，
综上可知 ，记 ，
则 ，
因此存在常数 使得 恒成立，
综上可得，“ ”的充要条件是“存在常数 使得 恒成立”．
（建议用时：45分钟）
刷模拟
1．（2026·上海金山·二模）已知函数 ，其中 ．
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 ，其中 ，若存在 ，使得直线 与函数 的图像有
3个不同的交点，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的单调性及函数的定义域列出不等式组求解即可；
（2）求出函数导数，分类讨论，利用导数可得函数的单调性及极值，结合单调性及极值即可得解.【详解】（1）由 可得 ，
又 为严格单调递增函数，且 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
（2）因为 ，
所以 ， ，
由 可得 ， ，
当 时， ， 在 上单调递增，不合题意；
当 时， ，故当 或 时， ，
当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，所以 的极小值 ，
此时，不存在 ，使得直线 与函数 的图像有3个不同的交点；
当 时， ，故当 或 时， ，
当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，所以 的极大值 ，
故 的极小值 ，又当 时， ，
所以存在 ，使得直线 与函数 的图像有3个不同的交点.综上，实数 的取值范围 .
2．（2026·上海长宁·二模）设函数 定义域为 ，区间 ，记函数 在区间 上的最大
值为 ，最小值为 .
(1)设 ， ，若 ，求实数 的值；
(2)设 ， ，若 ，且 ，求 的值；
(3)已知 ， ，且对任意闭区间 ， 与 均存在.
求证：“ 在区间 上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间 、 ，当
，且 时，均有 .”
【答案】(1)
(2) 或 或
(3)证明见解析
【分析】（1）讨论 在区间 上的单调性，则可找到其最小值，即可求出答案；
（2）讨论 ， ， ，分别求出 ，即可求出答案；
（3）必要性直接证明即可，利用反证法再证明充分性.
【详解】（1）由题意知函数 ，在区间 上的最小值为 ，
由题意得 ，
①当 时， 恒成立，
在区间 上单调递增，无最小值，不满足题意；
②当 时，当 时， ，在区间 上单调递减，
当 时， ，
此时 在区间 上单调递增，
此时 ，满足题意；
③当 时， 恒成立，
在区间 上单调递减，无最小值，不满足题意；
综上所述， .
（2）由题意得 ,
当 或 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
又 ，
①当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
此时 ，
因为 ，所以 ，
又 在区间 上单调递减，即 ，
所以 ，故 ；
②当 时， 在区间 上单调递减，
此时 ，满足 ；
③当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
此时 ，因为 ， 在区间 上单调递减，
所以 ，则 ，得到 ，解得 ，
综上所述： 或 或 .
（3）必要性：若 在区间 上严格增，
设 ，
因为 在区间 上严格增，
所以 ，
又 ， ，
所以 ，又 在区间 上严格增，
所以 ，必要性成立；
充分性：假设 在 上不严格增，
则存在 ，使得 ，
令 ，设 ， ，
由函数 在区间 连续，
所以必存在 ，使得 ，
令 ，则 ， ，
由于 ，函数 在区间 上不可能是严格增函数，
若函数 在区间 上为常数，可取 ，
则 ，与题设矛盾；若函数 在区间 上不为常数，则其最大值与最小值不可能同时在两个端点 取到，
故 是 的真子集，即 与题设矛盾.
因此假设不成立， 在 上严格增，充分性成立.
综上所述：“ 在区间 上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间 、 ，
当 ，且 时，均有 .”
3．（2026·上海普陀·二模）已知p、q为实数，设函数 的最小值为 ，函数 的最小值
为 ，若 且 ，则称函数 和函数 是T函数.
(1)设函数 的表达式为 ，函数 的表达式为 ，请判断函数 和
函数 是否为T函数，并说明理由；
(2)设a、b为正实数，函数 的表达式为 ，函数 的表达式
为 ( )，若函数 和函数 不是T函数，求 的最小值；
(3)设k、t、a为实数，函数 的表达式为 ( )，函数 的表达式为
，若存在 ，对任意的 ，皆有 成立，且函数
和函数 是T函数，求k的取值范围.
【答案】(1)函数 和函数 为T函数，理由见解析；
(2) ；
(3)【分析】（1）根据T函数的定义判断；
（2）由T函数的定义求得 ，然后由基本不等式求得最小值；
（3）先求得 和 的最小值和最小值点，根据题意得出 ， ，
然后消去 得关于 的等式，构造函数使用同构法得出 ， ，再利用导数求得 的范围．
【详解】（1） ， ，
， ，
，且 ，
所以函数 和函数 的最小值相等，且最小值点均不相同，因此它们为T函数；
（2） ， ，
因为 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
函数 和函数 不是T函数，
所以 ，即 ，
又 ，
所以 ，当且仅当 ，即
时等号成立，
所以 的最小值是 ；
（3） 是减函数，又 ，所以 ，， ，
是 上的增函数，
依题意，存在 ，使得 ①且 ②，
由①得 ，代入②得 ，
整理得 ，即 ③，
设 ，则③式为 ，
易知 是增函数，所以 ， ， ，
设 ，
则 ， 时， ， 递增， 时， ， 递减，
所以 ，又 ，
所以 的取值范围是 ，
所以 的取值范围是 ．
4．（2026·上海静安·二模）已知函数 （ 且 ）．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若直线 是曲线 的一条切线，求 的值和切点的坐标；
(3)若函数 的图像与 的图像相交于相异两点 和 ，求 的取值范围．
【答案】(1)极大值 ，无极小值
(2) ，切点坐标为(3) 的取值范围
【分析】（1）求导找单调性变化点，进而确定极值；
（2）先求导得到切线斜率公式，再根据 “切点在曲线、切线上，且切线斜率等于导数” 列三个方程，
联立消元求解，试根得到切点横坐标，最终算出 和切点坐标；
（3）将两函数交点问题转化为方程根的问题，用导数分析函数单调性，再根据零点存在性求参数范围．
【详解】（1）当 时， ， 的定义域为 ，
，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
所以 在 处取极大值 ，无极小值．
（2） ，
设切点为 ，切线 的斜率为 ，所以 ①，
因为切点同时在曲线和切线上，所以 ②，
由①得 ③，由②得 ④，
③ ④得 ⑤，
将⑤代入②中得 ，即 ⑥，
设 ， ，令 ，
由 ，得 ， 单调递增，
又 ，
所以 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
又 ，
所以 是 的唯一零点，
即 方程⑥的根，代入⑤得 ，切点坐标为 ．
（3）令 ，即 ，整理得 ，
问题转化为 在 有 个不同正根，
令 ，
，
若 ，则 ， 在 单调递增，最多 个零点，不符合题意，
若 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
要使 有 个不同零点，需满足极小值小于 （当 和 时， 满足题意），
所以 ，解得 ，所以 的取值范围 ．
5．（2026·上海嘉定·二模）已知在神经网络中， 常作为神经元激活函数．
(1)证明：对任意实数x，有 ，并由此写出 图像的对称中心；
(2)设交叉熵损失函数 ，用于衡量预测值 与真实标签t之间的差异，其中
．试确定t的值，使得 在 上是减函数；
(3)在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程．设数列 满足 ，其中n为
正整数．证明：存在唯一实数 ，使得 ，且对任意实数 和任意正整数n，都有
．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用中心对称性恒等式进行证明即可；
（2）利用求导，结合不等式恒成立可确定参数取值；
（3）利用拉格朗日中值定理，构造递推数列关系，结合迭代法可证明不等式.
【详解】（1）由 ，得 ，求和可得：
，
则对任意实数x，有 ，
即 图像的对称中心为： ；（2）由题意可得：
，
求导得： ，
要使得 在 上是减函数，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ；
（3）构造 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递减，
又因为 ， ，
且 在 上连续递减，结合零点存在定理，
可知存在唯一实数 ，使得 ，
再由 ，当且仅当 时取等号，
根据拉格朗日中值定理，对任意 有： ，
又因为 ， ，所以对任意 ，恒有不等式 成立，
则由迭代法，结合不等式性质可得：
，
因为 ，即 ， ，所以 ，
因此 ，即问题得证.
6．（2026·上海奉贤·二模）设定义域为 的函数 的表达式为 ，我们可以
证明函数 存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点 作函数 的切线 与
轴的交点为 ，设横坐标为 ，若 ，则过点 作函数 的切线 与x轴的交点为
，设横坐标为 ；若 ，则停止作切线．…依次类推，得到数列 ，记 ， ．
(1)若 ， ，求 ；
(2)求证：数列 是严格递减数列；
(3)若 ，比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)对于 ，当 ， ；当 ， ；当 ，
【分析】（1）根据导数的几何意义建立切线方程，直接代入 即可.（2）根据切线方程构造递推公式作差，再通过零点与交点横坐标的关系化简即可证明.
（3）先将条件作差，再将递推公式代入化简，构造函数，通过求导分析函数单调性，最后确定零点，可
判断大小.
【详解】（1）已知 ， ，
当 ， ，设切线斜率为 ，
则 ，直线 为 ，
令 ， .
（2）设 ， ， ， ，所以 ，
，
则直线 为 .
令 ，则 .
，
因为 ，且 ，
所以 ，
所以数列 是严格递减数列.
（3）当 时， ， ，令 ，
则 ，
令 .
所以 .
构造函数，令 ， ，求导 ，
构造函数 ， ，所以 单调递增，且 ，
所以 ，所以函数 在 上单调递增，
当 ， ，
根据零点存在定理，存在唯一的 使得 ，
所以结合数列 的单调递减性，
当 ， ，此时 ；
当 ， ，此时 ；
当 ， ，此时 .
刷真题
1．（2026·上海·高考真题）已知函数 .
(1)当 ， ，求函数 在 处的切线方程；
(2)若函数 的最小正周期为 ，且 在 上恰好有1351个解，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2) 或 ，
【分析】（1）根据 以及 可得 ，即可求导以及点斜式求解直线方程，
（2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可分类讨论求解.【详解】（1）当 时，则 ，
根据 可得 ，故 ，故 ，
由于 ，故 ，故 ，
，则 ，
故函数 在 处的切线方程为 ，故 ，
（2）函数 的最小正周期为 ，故 ，所以 ，
令 ，当 ，则 ，
令 ，则 或 ，
当 时，要使得 有1351个实数根，则 ，解得 ，
当 时，要使得 有1351个实数根，则 ，解得 ，
当 时，要使得 有1351个实数根，则 ，无解，
综上可得 或 .
2．（2025·上海·高考真题）已知 ．(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若函数 满足在 上存在极大值，求m的取值范围；
【答案】(1)
(2) 且 .
【分析】（1）先求出 ，从而原不等式即为 ，构建新函数 ，由该函数为增
函数可求不等式的解；
（2）求出函数的导数，就 分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）因为 ，故 ，故 ，故 ，
故 即为 ，
设 ，则 ，故 在 上为增函数，
而 即为 ，故 ，
故原不等式的解为 .
（2） 在 有极大值即为有极大值点.
，
若 ，则 时， ， 时， ，
故 为 的极小值点，无极大值点，故舍；
若 即 ，则 时， ，
时， ，
故 为 的极大值点，符合题设要求；若 ，则 时， ， 无极值点，舍；
若 即 ，则 时， ，
时， ，
故 为 的极大值点，符合题设要求；
综上， 且 .
3．（2025·上海·高考真题）已知函数 的定义域是 ．对于 ，定义集合 ．
(1) ，求 ；
(2)对于集合 ，若对任意 都有 ，则称 是对称集．若 是对称集，证明：“函数 是偶
函数”的充要条件是“对任意 ， 是对称集”；
(3)若 ， ．求 的取值范围，使得对于任意 ，都有 ．
【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解；
（2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性；
（3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解.
【详解】（1）由定义得， .
（2）证明：
必要性：因为函数 是偶函数，所以对任意 ， ，
对任意 ，若 ，即 ，则 ，所以 ，所以对任意 ， 是对称集.
充分性：若对任意 ， 是对称集，
因为对任意 ， ，所以 ，即 ①，
又 ，所以 ，即 ②.
由①②得，对任意 ， ，
所以函数 是偶函数.
综上，“函数 是偶函数”的充要条件是“对任意 ， 是对称集”，得证.
（3）因为对于任意 ，都有 ，
所以若 ，则 ，即若 ，则 ，
所以 ，所以 在 上单调不减，
所以对任意 ， 恒成立.
当 时，显然成立， ；
当 时， 恒成立，令 ， ，
所以 在 单调递减， 单调递增，所以 ；
当 时， 恒成立，此时
因为 在 上单调递减，当 时， ，
时， ，
所以 ；综上， .
4．（2024·上海·高考真题）记
(1)若 ，求 和 ;
(2)若 ，求证:对于任意 ，都有 ，且存在 ，使得 .
(3)已知定义在 上 有最小值，求证" 是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数 ，均有
”.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）将 代入求解即可；
（2）根据函数 的单调性，对 进行分类讨论，然后求出 即可证明;
（3）利用偶函数的定义，即可证明必要性，利用 ，得出两个集合中最小的元素相同，从而
，即可证明充分性.
【详解】（1）由题意得: ；
（2）由题意知 ，记 ，有
或2，
0 2
正 0 负 0 正极大值 极小值
现对 分类讨论:
当 ，有 为严格增函数，因为 ，此时 ，
符合条件;
当 时， ，先减后增， ，
因为 取等号)，所以 ，
此时 ，符合条件，且 时， ；
当 时， ，在 严格增，在 严格减，在 严格增，
，因为 ，
此时， ，则 ，则 成立;
综上可知，对于任意 ，都有 ，且存在 ，使得 .
（3）必要性:若 为偶函数，则 ，
当 ，因为 ，故 ;
充分性：若对于任意正实数 ，均有 ，其中
，
因为 有最小值，不妨设 ，
由于 任意，令 ，则 ，
故 最小元素为 ， 中最小元素为 ，
又 则 对任意 成立，则 ，若 ，则 对任意 成立 是偶函数，
若 ，此后取 ，
，
综上，任意 ，即 是偶函数.
故" 是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数 ，均有 ”.
5．（2024·上海·高考真题）对于一个函数 和一个点 ，令 ，若
是 取到最小值的点，则称 是 在 的“最近点”．
(1)对于 ，求证：对于点 ，存在点 ，使得点 是 在 的“最近点”；
(2)对于 ，请判断是否存在一个点 ，它是 在 的“最近点”，且直线 与
在点 处的切线垂直；
(3)已知 在定义域R上存在导函数 ，且函数 在定义域R上恒正，设点
， ．若对任意的 ，存在点 同时是 在 的“最近
点”，试判断 的单调性．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
(3)严格单调递减
【分析】（1）代入 ，利用基本不等式即可；（2）由题得 ，利用导函数得到其最小值，则得到 ，再证明直线 与切线垂直即可；
（3）根据题意得到 ，对两等式化简得 ，再利用“最近点”的定义得到不
等式组，即可证明 ，最后得到函数单调性.
【详解】（1）当 时， ，
当且仅当 即 时取等号，
故对于点 ，存在点 ，使得该点是 在 的“最近点”．
（2）由题设可得 ，
则 ，因为 均为 上单调递增函数，
则 在 上为严格增函数，
而 ，故当 时， ，当 时， ，
故 ，此时 ，
而 ，故 在点 处的切线方程为 .
而 ，故 ，故直线 与 在点 处的切线垂直．
（3）设 ，
，
而 ，
，若对任意的 ，存在点 同时是 在 的“最近点”，
设 ，则 既是 的最小值点，也是 的最小值点，
因为两函数的定义域均为 ，则 也是两函数的极小值点，
则存在 ,使得 ，
即 ①
②
由①②相等得 ，即 ，
即 ，又因为函数 在定义域R上恒正，
则 恒成立，
接下来证明 ，
因为 既是 的最小值点，也是 的最小值点，
则 ，
即 ，③
，④
③ ④得
即 ，因为
则 ，解得 ，则 恒成立，因为 的任意性，则 严格单调递减.
6．（2023·上海·高考真题）令 ，取点 过其曲线 作切线交y轴于 ，取点
过其作切线交y轴于 ，若 则停止，以此类推，得到数列 ．
(1)若正整数 ，证明 ；
(2)若正整数 ，试比较 与 大小；
(3)若正整数 ，是否存在k使得 依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试
说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由导数的几何意义得切线方程后证明，
（2）构造函数后由导数证明不等式，
（3）由等差数列的性质，根据导数判断单调性与方程根的个数后求解，
【详解】（1） ，则 在 处的切线为 ，
当 时， ，即 ，
所以当正整数 时， ；
（2）作差得 ，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 单调递增，在 上单调递减，，故 ，
所以当正整数 时， ；
（3） ，令 ，
与 单调性相同，由（2）得 ，
当 时， ，当 时， ，
故 至多有两解，
若 成等差数列，则 ，
故最多 项成等差数列，此时 ， ．
而 ， ，
令 ， ，显然 时， ，
故 在 上单调递增，
而， ， ，故 有唯一解，
存在 使得 ，此时 ，故存在最多 项成等差数列，
7．（2023·上海·高考真题）设函数 ，其中 ，若任意
均有 ，则称函数 是函数 的控制函数”，且对于所有满足条件的函数
在 处取得的最小值记为 ．
(1)若 ，试问 是否为 的控制函数”；
(2)若 ，使得直线 是曲线 在 处的切线，证明：函数 为函数 的控制函数，并求“ ”的值；
(3)若曲线 在 处的切线过点 ，且 ，证明：当且仅当 或 时，
．
【答案】(1) 是 的控制函数
(2)证明见解析，
(3)证明见解析
【分析】（1）令 ，利用导函数求单调性进而判断 在 上的正负即可；
（2）利用导数的几何意义求得切线 的方程，再利用导函数求单调性进而判断 在 上的正
负即可；
（3）设曲线 在 处的切线为 ，利用切线过 求出 与 的关系，再利用控
制函数的定义求解即可；
【详解】（1）当 时，令 ，
所以 ，令 解得 或 ，
所以 在 单调递减，
又因为 ，所以 在 上小于等于0恒成立，
即 在 上恒成立，所以由题意 是 的控制函数.
（2）当 时， ， ，
所以 ， ，所以曲线 在 处的切线为 ，整理得 ，
令 ，则 ，
令 解得 ，所以 在 单调递增，在 单调递减，
又 ，所以 在 上小于等于0恒成立，
即 在 上恒成立，所以 是 的控制函数，
由题意 .
（3）由题意
设 在 处的切线为 ，
则 ，因为 且 ，
所以 ，
所以 ，
，
所以 ，
则 即 恒成立，
所以函数 必是函数 的“控制函数”.
是函数 的“控制函数”此时“控制函数” 必与 相切与 点， 与 在 处相切，且过点 ，
由上及 知：当且仅当 或 时等号成立，其他位置恒有 ，
所以 或 .
所以曲线 在 处的切线过点 ，且 ，
当且仅当 或 时， .
8．（2023·上海·高考真题）已知 为正比例系数，定义： 为建筑物暴露在空气中的面积（单位：
平方米）， 为建筑物的体积（单位：立方米）．
(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为 ，高度为 ，求该建筑体的 （用 表示）；
(2)现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A为底面面积，L为建筑底面周长．已知 为正比例系数，
与 成正比，定义： ，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为
．已知该建筑体推导得出 ， 为层数，层高为3米，其中 ，试求当取第
几层时，该建筑体 最小？
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中 的定义求解即可；
（2）利用导函数求 的单调性，即可求出 最小时 的值.
【详解】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：
， ，所以 .
（2）由题意可得 ， ，
所以 ，令 即 ，
解得 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 的最小值在 或 取得，
当 时， ，
当 时， ，
所以在第6层时，该建筑体 最小.
