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单元集训卷02 集合、常用逻辑用语、不等式
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】已知
，
，
所以
.
2．已知命题：
，则
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】易知命题：
的否定为
：
.
3．已知
，那么下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】选项 A，因为函数
在
上是单调递增函数，
又
，所以
，A 正确.
选项 B，令
，
，
则
，
，此时
，B 错误.
选项 C，由
可得
，
函数
在
上单调递增，所以
，C 错误.
选项 D，同样取
，
，
则
，
，此时
，D 错误.
4．“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解，再根据充分性和必要性的定义判断即可．
【详解】
或
，
因为
是
或
的真子集，
所以“
”是“
”的充分不必要条件．
5．已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】直接由基本不等式的变形不等式
可得关于
的一元二次不等式，进而可得最小值.
【详解】因为
，
，且
，
由基本不等式得
，当且仅当
时等号成立，
即
，得
，因为
，所以
.
由
代入
，解得
，
因此当
，
的最小值为
.
6．若命题“存在
，使
”是假命题，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出给定命题的否定，再借助一元二次不等式恒成立列式求解作答.
【详解】命题“存在
，使
”是假命题，则
，
恒成立，
因此
，解得
，
所以实数m 的取值范围是
.
故选：D
7．已知实数
，
，且
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据基本不等式求出
的最小值，再结合条件求出参数的取值范围；
【详解】
变形为
，
则
，
由均值不等式，
，故
，
当
即
，时代入原方程
，解得
时等号成立
因为
恒成立，所以
，解得
.
故选：A.
8．已知关于x 的不等式
恰有一个整数解，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】A
【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数
，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数
得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得
的取值范围.
【详解】∵
当
，即
，不等式解集为
或
，
存在无数个整数解，不符合题意，故舍去；
当
，即
，不等式解集为
，
存在无数个整数解，不符合题意，故舍去；
当
，即
，
当
时，
，
不等式解集为
，
∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去；
当
时，
，即
，
不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去；
当
时，
，
不等式解集为
，
∴原不等式的个整数解为：
，
∴
，则
；
综上所述：
.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．不等式
的解集是
，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．不等式
的解集是
或
D．不等式
的解集是
【答案】ABD
【分析】根据题意，利用二次式的关系，结合韦达定理，求得
，且
，再由不等式的性质和解法，
逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于A，由不等式
的解集是
，
可得
，可得
，且
，所以A 正确；
对于B，因为
，代入不等式得
，所以
，所以B 正确；
对于C，因为
，不等式
即为
，
又因为
，不等式等价于
，即
，
解得
，所以不等式
的解集为
，所以C 错误；
对于D，因为
，不等式
即为
，
因为
，可得
，解得
，
所以不等式
的解集为
，所以D 正确.
10．下列结论正确的是（ ）.
A．当
时，
B．当
时，
的最大值是
C．当
时，
的最小值是
D．当
时，
的最大值是
【答案】ABD
【详解】当
时，
，当且仅当
时取到等号，由于
,故等号取不到，所以
故 A
正确；
当
时，
，当
，即
时，等号成立，故B 正确；
当
时，
，
当
，即
时，等号成立，故C 错误；
当
时，
，
当
，即
时，等号成立，故D 正确.
11．已知不等式
，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则不等式的解集为
B．若不等式对
恒成立，则整数
的取值集合为
C．若不等式对
恒成立，则实数
的取值范围是
D．若恰有一个整数
使得不等式成立，则实数
的取值范围是
【答案】ACD
【分析】根据一元二次不等式的解集求解、二次函数的性质、一元二次方程的根等知识逐项计算即可.
【详解】对于A，
时，不等式为
，
化简得
，令
，
解得
，即
或
，
所以不等式的解集为
，所以A 正确；
对于B，当
时，不等式变为
，恒成立，所以
也符合，B 错误；
对于C，令
，因为不等式对
恒成立，
且
是关于
的一次函数，所以只需满足
且
即可.
由
恒成立，由
，解得
，C 正确；
对于D，若恰有一个整数
使得不等式成立，则
，又因为
，
所以使不等式成立的整数
.
设
对应的两个根为
，则
.
所以
，解得
，D 正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知p：
，q：
，若p 是q 成立的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是
______．
【答案】
【详解】由
，得
或
，
因为
是
成立的充分不必要条件，
所以
是
或
的真子集，
所以
或
，即
或
，
则实数a 的取值范围是
.
13．已知
的最小值为______．
【答案】
【分析】使用配凑法配凑出分母的
和
，再结合基本不等式即可求解.
【详解】因为
，所以
．
所以
，
当且仅当
，且
，即
时等号成立．
故
的最小值为
．
14．若不等式
的解集为
，则不等式
的解集为
_____________________________．
【答案】
【分析】分析可知
和是方程
的两个实数根，利用韦达定理求
的值，代入解分式不等式即可.
【详解】不等式
，即
的解集为
，
则
和是方程
的两个实数根，
则
，解得
，
则
，等价于
，解得
故该不等式的解集为
．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知集合
，集合
．
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出集合
，再根据集合并集求解即可.
（2）根据
得到
，再根据集合之间的包含关系求解即可.
【详解】（1）由题意得
，
所以
，
当
时，
，
，
（2）
，
，
①若
，则
，解得
；
②若
，要使
，则
应满足．
，即
，解得
，
综上所述，所求实数a 的取值范围是
．
16．已知集合
，集合
，其中
．
(1)当
时，求
；
(2)若“
”是“
”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；
(3)设命题p：
，使得
．若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【详解】（1）解不等式
，得
．
当
时，
，故
．
因此
．
（2）“
”是“
”的必要不充分条件
．
由题意得：
，列不等式组：
，解得
，
所以实数m 的取值范围为
．
（3）由
，解得
或
，
命题p 为真
或
，
即
或
得：
或
．
17．已知不等式
的解集为
，不等式
的解集为
．
(1)若
，不等式
的解集为
，求不等式
的解集；
(2)
，
，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求集合
，当
时，再求出集合
，再计算
，根据二次不等式解集与对应方程根的关系，
得到
、
的值，最后代入求解不等式
；
（2）分
和
两种情况讨论：当
时直接验证不等式是否恒成立；当
时，结合二次函数的性质，
利用二次项系数和判别式的条件确定
的取值范围
【详解】（1）
等价于
，解得
，所以
当
时，
整理得
，解得
，所以
所以
，
所以
的解集为
，
所以
的两根为
和
，
所以
，即
，
所以
可化为
，即
，
该不等式判别式
，且二次项系数为正，因此对任意
恒成立
故
解集为
（2）①
时，原不等式化为
，恒成立，符合条件；
②
时，因为
，
，所以
解得
综上，
的取值范围是
18．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，
沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为
，
且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：
屋子前面新建墙体的报价为每平方米400 元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150 元，屋顶和地面以及其他报
价共计7200 元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（
）．
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为
元（
），若无论左右两面墙的长
度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a 的取值范围．
【答案】(1)当左右两面墙的长度为4 米时，甲工程队的报价最低
(2)
【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即
可求解；
（2）由题意，转化为不等式
恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案.
【详解】（1）设甲工程队的总造价为
元，依题意，左右两面墙的长度均为
（
），
则屋子前面新建墙体长为
，
所以
即
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故当左右两面墙的长度为4 米时，甲工程队的报价最低为
元；
（2）由题意可知，当
对任意的
恒成立，
即
，所以
，即
，
因为
，
当且仅当
，
，即
时，
的最小值为12，
即
，所以
的取值范围是
.
19．已知函数
，
，
(1)当
时，求关于不等式
的解集
(2)当
时，若对任意
1，不等式
恒成立，求实数k 的取值范围
(3)若对任意
恒成立，则实数
的取值范围
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】(1)对
进行分类讨论求解不等式；
(2)利用分离参数法求k 的取值范围；
(3)把
看作自变量，构造函数
，求解实数
的取值范围.
【详解】（1）因为
，
．
①当
时，不等式为
，解集为
；
②当
时，
，不等式可化为
，解集为
；
③当
时，
，不等式可化为
，解集为
；
④当
时，
，不等式可化为
，解集为
，
综上，当
时，解集为
；当
时，解集为
；当
时，解集为
；当
时，解集为
．
（2）当
时，
，
知不等式
对任意
恒成立，只需
．
因为
，且
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，
，
故实数
的取值范围为
（3）设
，则若对任意
，
恒成立，
即
，解得
.
