文档文本内容
第02 讲 常用逻辑用语
易错分析
易错点一 求参数取值问题时范围大小混淆
题型方法
题型一 充分、必要条件的判断
题型二 已知充分、必要条件求参数
题型三 全称量词命题与存在量词命题
题型四 已知命题真假求参数
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
2．全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
题型梳理
知识清单
3．全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M 中任意一个x，p(x)成立
存在M 中的元素x，p(x)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，p(x)
否定
∃x∈M，﹁p(x)
∀x∈M，﹁p(x)
常用结论
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
若
以集合
的形式出现，
以集合
的形式出现，即
：
，
：
，则
（1）若
，则
是
的充分条件；
（2）若
，则
是
的必要条件；
（3）若
，则
是
的充分不必要条件；
（4）若
，则
是
的必要不充分条件；
（5）若
，则
是
的充要条件；
（6）若
且
，则
是
的既不充分也不必要条件.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p 与p 的否定的真假性相反.
【易错点一】求参数取值问题时范围大小混淆
【例1】（2005·湖南·高考真题）集合
，
，若“
”是“
”的充分条件，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
易错分析
【分析】求出集合
，将
代入集合
，求出集合
，根据
可得出关于实数
的不等式，即可求得实数
的取值范围.
【详解】因为
，
当
时，由
可得
，此时
，
因为“
”是“
”的充分条件，则
或
，解得
.
故选：D.
【举一反三】【变式1】（2024·全国甲卷·高考真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当
时，则
，
所以
，解得
或
，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当
时，
，故
，
所以
，即充分性成立，故C 正确；
对B，当
时，则
，解得
，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当
时，不满足
，所以
不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
【变式2】（2025·辽宁·模拟预测）已知命题
“
，
”的否定为真命题，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】写出命题的否定，依题意可得
在区间
内有解，根据函数的单调性求出
，
即可得解.
【详解】由题意得
“
，
”为真命题，
所以
在区间
内有解，
又知
在区间
内单调递增，所以
，
故
的取值范围为
．
故答案为：
【变式3】（2022·福建宁德·模拟预测）已知命题
，命题
，若命题
是命题
的充分不必要
条件，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
,
【分析】将问题转化为
是
的充分不必要条件，即
所表示的集合是命题
所表示集合的真子集，即可列不等式求
解.
【详解】由
，可得
，
由于命题
是命题
的充分不必要条，故命题
是命题
的充分不必要条件，
故
所以
（等号不能同时成立），可得
，
即实数
的取值范围是
,
．
故答案为：
,
．
【题型一】充分、必要条件的判断
【例1】（2025·全国·模拟预测）“
”是“圆
截直线
所得弦长为2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据直线被圆截得的弦长可求得
的值，根据
的取值即可得结论.
【详解】圆
的圆心为
，半径为3，圆心到直线的距离为
，
由点到直线的距离公式可得
，即
，解得
或3，
所以“
”是“圆
截直线
所得弦长为2”的充分不必要条件.
故选：A．
解题技巧
充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
【举一反三】【变式1】（2025·河南·模拟预测）已知集合
，则使得“
且
”成立的一个充
分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】当
且
时求出
的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案.
【详解】由题可知
且
，解得
，
题型方法
所以使得“
且
”成立的一个充分不必要条件是集合
的一个真子集，
因为只有选项A 中的
是
的真子集，
故选：A
【变式2】（2025·上海普陀·二模）设
，函数
的表达式为
，则对任意
的实数
，皆有
成立的一个充分条件是 .
【答案】
【分析】由题意分析出区间
至少包含一个完整的周期，才能保证
能取到
时的所有函数值，再利用周
期的公式求出
的取值范围，结合充分条件的定义即可得到结果.
【详解】因为函数
，要使
，
则周期
，即
，
因为
，所以一个充分条件是
，
故答案为：
【变式3】（2024·江苏南通·一模）“
”是“
”的 ．（在“充分不必要条件”，“必要不充
分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选择一个填空）
【答案】充分不必要条件
【分析】分别从充分性、必要性两个方面，结合特殊值法判断条件间的关系即可.
【详解】由
，即
同号，
当
，则
；
当
，则
；
所以充分性成立，
由
，存在
或
使之成立，
但此时
不成立，
所以必要性不成立，
综上，“
”是“
”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件
【题型二】已知充分、必要条件求参数
【例2】（2025·河北秦皇岛·一模）已知
，集合
，若
是
的必要不充分条件，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意得到
是
的真子集，比较区间端点，即可求解.
【详解】
，
，
因为
是
的必要不充分条件，
所以
是
的真子集,
可得
，等号不同时成立，结合
，解得
，
所以
的取值范围为
，
故选：B
解题技巧
求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的
不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
【举一反三】【变式1】（2025·江西景德镇·三模）函数
为偶函数的充要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
为偶函数，得到
对任意的
恒成立，求得
，利用函数的奇偶性的定义进行验证，
即可求解.
【详解】若
为偶函数，则
对任意的
恒成立，
即
，
所以
对任意的
恒成立，故
；
若
，则
，
所以
，故
为偶函数，
所以
为偶函数的充要条件为
.
故选：B．
【变式2】（2022·吉林长春·模拟预测）设命题
，命题
．若q 是p 的必
要不充分条件，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】化简命题
和
，利用真子集关系列式可求出结果.
【详解】由
，得
，即
；
由
，得
，
因为q 是p 的必要不充分条件，所以
是
的真子集，
所以
且两个等号不同时取，解得
.
故答案为：
【变式3】（2023·河南南阳·模拟预测）设p：实数x 满足
，q：实数x 满足
．
(1)若
，且p 和q 均为真命题，求实数x 的取值范围；
(2)若
且
是
的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据一元二次不等式求解p，q 为真命题时的范围，即可求解，
（2）根据充分不必要条件，即可列不等式求解.
【详解】（1）当
时，由
，得
，
解得
，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是
由
，解得
，
即q 为真命题时，实数x 的取值范围是
．
所以若p，q 均为真命题，则实数x 的取值范围为
．
（2）由
，得
，
因为
，所以
，故p：
．
若
是
的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，
所以
，解可得
．故实数a 的取值范围是
【题型三】全称量词命题与存在量词命题
【例3】（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．
且
B．
或
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】本题可通过
、
、
、
、
得出结果.
【详解】A 项：因为
，所以
且
是假命题，A 错误；
B 项：根据
、
易知B 错误；
C 项：由余弦函数性质易知
，C 错误；
D 项：
恒大于等于
，D 正确，
故选：D.
解题技巧
含量词命题的解题策略
判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当
一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
【举一反三】【变式1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题
，
，命题
，
，则
（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【分析】判断出
、
的真假，即可得出结论.
【详解】对于命题
，不妨取
，则
，则命题
为假命题，
对于命题
，由
可得
或
，则命题
为真命题，
因此，
和
都是真命题.
故选：B.
【变式2】（2024·四川成都·一模）命题“
，
”的否定为 ．
【答案】
，
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，即可得解.
【详解】命题“
，
”为全称量词命题，
其否定为：
，
.
故答案为：
，
【变式3】（2023·贵州遵义·模拟预测）命题
,则命题
的否定为 .
【答案】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可写出答案.
【详解】因为命题
,
所以命题
的否定为:
.
故答案为:
.
【题型四】已知命题真假求参数
【例4】（2025·河南南阳·模拟预测）已知
，若“
，
”为假命题，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题，再利用恒成立问题求解.
【详解】命题“
，
”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，
其否定为：
，
，而函数
的值域为
，
由“
，
”为假命题，得“
，
”为真命题，则
，
所以
的取值范围是
.
故选：C
解题技巧
由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围
【举一反三】【变式1】（2024·四川攀枝花·一模）命题“
”为假命题，则实数a 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可知已知命题的否定为真命题，进而根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，命题“
”的否定，
即命题“
”真命题，
根据二次函数的性质可得，应有
，
解得
.
故选：C.
【变式2】（2025·辽宁·二模）命题p:“
，
”是假命题，则m 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，
为真命题，恒成立问题分离参数求解.
【详解】由题，
为真命题，
所以
，对
，
又
在
上的最小值为
，
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意
，
”为假命题，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，问题转化为存在
，
为真命题，即
，求出
的最小值得
解.
【详解】若命题任意“
，
”为假命题，
则命题存在
，
为真命题，
因为
时，
，
令
，则
，
则
在
上单调递增，
所以
，
所以
.
故答案为：
.
一、单选题
1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可.
【详解】命题“
，
”为全称量词命题，
好题必刷
其否定为：
，
.
故选：C
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：
，
；命题q：
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取
、
，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于
而言，取
，则有
，故
是假命题，
是真命题，
对于
而言，取
，则有
，故
是真命题，
是假命题，
综上，
和
都是真命题.
故选：B.
3．（2023·天津·高考真题）已知
，“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由
，则
，当
时
不成立，充分性不成立；
由
，则
，即
，显然
成立，必要性成立；
所以
是
的必要不充分条件.
故选：B
4．（2025·福建三明·三模）已知a，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】依次分析充分性和必要性即可得解.
【详解】若
，则
，充分性成立；
设
，则有
满足
，
此时有
，不满足
，故必要性不成立，
综上所述，“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2023·北京·高考真题）若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解法一：由
化简得到
即可判断；解法二：证明充分性可由
得到
，代入
化简即可，证明必要性可由
去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由
通分后
用配凑法得到完全平方公式，再把
代入即可，证明必要性可由
通分后用配凑法得到完全平方公式，再
把
代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为
，且
，
所以
，即
，即
，所以
.
所以“
”是“
”的充要条件.
解法二：
充分性：因为
，且
，所以
，
所以
，
所以充分性成立；
必要性：因为
，且
，
所以
，即
，即
，所以
.
所以必要性成立.
所以“
”是“
”的充要条件.
解法三：
充分性：因为
，且
，
所以
，
所以充分性成立；
必要性：因为
，且
，
所以
，
所以
，所以
，所以
，
所以必要性成立.
所以“
”是“
”的充要条件.
故选：C
6．（2024·北京·高考真题）设
，
是向量，则“
”是“
或
”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知
等价于
，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为
，可得
，即
，
可知
等价于
，
若
或
，可得
，即
，可知必要性成立；
若
，即
，无法得出
或
，
例如
，满足
，但
且
，可知充分性不成立；
综上所述，“
”是“
或
”的必要不充分条件.
故选：B.
二、多选题
7．（2025·河南·三模）若
，则“
”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据不等式相关性质即可求解.
【详解】
，故“
”是“
”的充要条件，故A 错误；
由
得
能推出
，
反之不成立，所以“
”是“
”的充分不必要条件，故B 正确；
由
可得
，
故
，反之不成立，
故“
”是“
”的充分不必要条件，故C 正确；
易知“
”是“
”的充分不必要条件，故D 正确.
故选：BCD.
8．（2025·甘肃金昌·模拟预测）在
中，
，
，
，则“
有唯一解”的充分条件可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】由正弦定理求得
，根据充分条件的规定，依次对各选项逐一判断即得.
【详解】由正弦定理可得
，即
．
对于A，当
时，
，可得
，故得
，解唯一，故A 正确；
对于B，当
时，
，因
，则
，角
有两解，解不唯一，故B 错误；
对于C，当
时，则
，则
，故
，则
，解唯一，故C 正确；
对于D，当
时，
，因
，则
，角
有两解，解不唯一，故D 错误.
故选：AC．
9．（2025·重庆·模拟预测）若
是定义域为R 的单调递增函数，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
，
B．
，
，且
，有
C．
，
，且
，有
D．
，
【答案】AB
【分析】结合函数单调性分
讨论即可判单A；由不等式性质可判断B；举例即可判断C，举例说明可判断
D.
【详解】对于A，因为
是定义域为R 的单调递增函数且
，
所以当
时，
恒成立，当
时，
恒成立，
所以
，
恒成立，故A 正确；
对于B，
，
，且
，都有
，
所以
，故B 正确；
对于C，设
，则
，
都有
，故C 错误；
对于D，例如
在定义域为R 的单调递增函数，但
所以
，
，故D 错误.
故选：AB
三、填空题
10．（2025·湖南长沙·模拟预测）命题“
”的否定是 .
【答案】
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题写出答案即可．
【详解】命题“
”的否定是“
”.
故答案为：
.
11．（2024·甘肃武威·一模）命题“
，使
成立”的否定命题是 .
【答案】“
，
”
【分析】根据存在量词命题的否定形式可得.
【详解】命题“
，使
成立”的否定命题是“
，
”
故答案为：
，
12．（2023·吉林·二模）若命题：“
，
”为假命题，则实数a 的取值范围为 .
【答案】
【分析】分析可知命题“
”为真命题，对实数
的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立
即可求解.
【详解】由题意可知，题“
”为真命题，
当
时，由
可得
，不符合题意，
当
时，根据题意知不等式恒成立则
，
解之可得
.
故答案为：
13．（2024·上海长宁·一模）已知
，若
是
的充分条件，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】通过构造函数
，利用
的单调性解不等式，再由题意将
是
的充分条件转
化为包含关系，进而求得参数
范围.
【详解】设
，
则
在
单调递增，又
，
所以
，即
，故
.
则
.
由题意
是
的充分条件，则
，
所以有
，故实数m 的取值范围是
.
故答案为：
.
14．（2020·全国II 卷·高考真题）设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l
平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是 .
①
②
③
④
【答案】①③④
【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题
的真假；利用三点共线可判断命题
的真假；利用异面直线可
判断命题
的真假，利用线面垂直的定义可判断命题
的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】对于命题
，可设与
相交，这两条直线确定的平面为
；
若
与相交，则交点
在平面
内，
同理，
与
的交点
也在平面
内，
所以，
，即
，命题
为真命题；
对于命题
，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题
为假命题；
对于命题
，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题
为假命题；
对于命题
，若直线
平面
，
则
垂直于平面
内所有直线，
直线
平面
，
直线
直线，
命题
为真命题.
综上可知，
，
为真命题，
，
为假命题，
为真命题，
为假命题，
为真命题，
为真命题.
故答案为：①③④.
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.
四、解答题
15．（2024·河南·模拟预测）设函数
，
且
，证明：对于
，
的充要条
件是
.
【答案】证明见解析
【分析】先求出函数的最小值，再分别证明充分性和必要性即可.
【详解】证明：因为
，所以函数
图象的对称轴为直线
，
所以
.
先证充分性：因为
，且
，所以
；
再证必要性：因为对于
，
，所以
，即
，从而
.
综上可知，对于
，
的充要条件是
.
16．（2023·重庆酉阳·一模）命题
：任意
，
成立；命题
：存在
，
+
成立.
(1)若命题
为假命题，求实数
的取值范围；
(2)若命题
和
有且只有一个为真命题，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
或
或
【分析】（1）由q 真,由判别式求得m 的取值范围，进而得到q 假的条件；
（2）求得p 真的条件，由
和
有且只有一个为真命题，得到
真
假，或
假
真，然后分别求的m 的取值范围，
再取并集即得.
【详解】（1）由q 真：
，得
或
，
所以q 假：
；
（2）p 真：
推出
，
由
和
有且只有一个为真命题，
真
假，或
假
真，
或
，
或
或
.
17．（2023·上海普陀·一模）设函数
的表达式为
.
(1)求证：“
”是“函数
为偶函数”的充要条件；
(2)若
，且
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
或
.
【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义、结合充要条件的意义推理即得.
（2）利用偶函数性质及在
的单调性求解不等式即可.
【详解】（1）函数
的定义域为R，
不恒为0，
函数
为偶函数
，
所以“
”是“函数
为偶函数”的充要条件.
（2）当
时，
，求导得
，函数
在R 上单调递增，
当
时，
，即函数
在
单调递增，又
是偶函数，
因此
，
即
，解得
或
，
所以实数
的取值范围是
或
.
18．（2024·上海·一模）（1）在用“五点法”作出函数
的大致图象的过程中，第一步需要将五个
关键点列表，请完成下表：
0
0
1
（2）设实数
且
，求证：
；（可以使用公式：
）
（3）证明：等式
对任意实数
恒成立的充要条件是
【答案】（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.
（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.
（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.
【详解】（1）“五点法”作函数
的图象的5 个关键点的横坐标为
，
所以表格如下：
0
0
0
1
0
1
0
1
2
1
（2）实数
且
，则
，
因此
，
所以
.
（3）
，
依题意，
对任意实数
恒成立，
因此
，
所以等式
对任意实数
恒成立的充要条件是
.
