专题3.3 导数与函数的极值、最值
一、核心知识：
1.函数的极值
（1）函数的极小值
如果对
附近的所有点都有
，而且在点
附近的左侧
，右侧
，则称
是函数的一个极小值，记作
．
（2）函数的极大值
函数
在点
附近有定义，如果对
附近的所有点都有
，而且在点
附近的左侧
，右侧
，则称
是函数的一个极大值，记作
．
（3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2.函数的最大（小）值
（1）函数
在区间
上有最值的条件：
如果在区间
上函数
的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
（2）求函数
在区间
上的最大（小）值的步骤：
①求
在
内的极值（极大值或极小值）；
②将
的各极值与
和
比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
3.不等恒（能）成立问题的常用结论：
（1）若函数
在区间D 上存在最小值
和最大值
，则
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
（2）若函数
在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为
，则
不等式
在区间D 上恒成立
．
不等式
在区间D 上恒成立
．
（3）若函数
在区间Ｄ上存在最小值
和最大值
，即
，则对不等式有解问
题有以下结论：
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
；
（4）若函数
在区间D 上不存在最大（小）值，如值域为
，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
二、考点聚焦：
考点一：利用导数求函数的极值（点）
经典例题：
1．（多选）函数
2
2
( )
(
1)
2
f x
x
的极值点是（ ）
A．
1
x
B．
1
x
C．
0
x
D．
2
x
【答案】ABC
【详解】由
2
2
4
2
( )
(
1)
2
2
3
f x
x
x
x
得：
3
( )
4
4 =4
1
1
f
x
x
x
x x
x
，令
0
f
x
，则
1 0
x ，，当
1,0
1
x
x
时，
0
f
x
,当1
0,
1
x
x
时，
0
f
x
，故
1
1,0
x
，
均是函数的极值点，故选ABC
2．已知函数
，则函数
的极小值点为（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
求导得，
，因
，由
可得
或
，
当
时，
，
在
上单调递增；当
时，
，
在
上单调
递减；当
时，
，
在
上单调递增；故
在
处取得极大值,在
处
取得极小值.即函数
的极小值点为
.故选:D.
3．（多选）已知函数
1
2e
2
x
f x
x
的极值点为
0x ，则（ ）
A．
0
2, 1
x
B．
0
0,2
x
C．
0
1,0
f x
D．
0
3
1, 2
f
x
【答案】AD
【详解】对于A 项，由已知可得，
1
2e
2
x
f
x
，令
0
f
x
，则
0
ln4
x
，当
ln 4
x
时，
0
f
x
，
所以
f x 在
, ln 4
上单调递减；当
ln 4
x
时，
0
f
x
，所以
f x 在
ln 4,
上单调递增，所
以，
f x 在
ln 4
x
时，有极小值，且
0
ln4
2, 1
x
，故A 项正确；对于B 项，由A 知
0
ln4
2, 1
x
，故B 项错误；对于C 项，因为
0
0
0
0
1
1
2e
1
2
2
x
f x
x
x
，
0
2
1
x
，所以
0
1
2
x
，所以
0
1
3
1
1
2
2
x
，即
0
3
1, 2
f
x
，故C 项错误；对于D 项，由C 知
0
3
1, 2
f
x
，故D
项正确.故选：AD.
4．函数
的极值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【详解】由题知
的定义域为
，且
.当
时，
；
当
时，
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，故
的
极小值为
，无极大值，故选：A
5．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数
的极小值是
，则实数
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】
，令
得
或
，当
时，
，
在R 上单调递增，无极值；当
即
时，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，得
在
处取得极小值，
即
，解得
；当
即
时，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，得
在
处取
得极小值，即
，不满足题意；综上，实数
.故选：C.
6．函数
在
处有极小值5，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或3
【答案】A
【详解】
，由题意得
，即
，解得
或
，当
时，
，当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，所以
时，
取得极小值，符合题意；当
时，
，当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单
调递减，所以
时，
取得极大值，不符合题意；所以
，
.故选：
.
7．（2025·山东聊城·模拟预测）若
在
上的极大值大于1，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，当
时，
，
在定义域上单调递减，无极值点，当
时，
，
在定义域上单调递增，无极值点，当
时，因为
，
，
而
在
单调递减，所以存在
，使
，在
上，
，
单调递增，
在
上，
，
单调递减，于是
是
在
上的极大值点，此时
，
即
，由题意，
，即
，设
，则
，于是
在
上单调递增，又
，所以
，
.故选：
C．
变式训练：
1．函数
2
3
ln
2
f x
x
x
的极值点为 .
【答案】
3
3
【详解】函数定义域为
0
x
，求导得：
2
3
3
3
3
3
1
3
1
3
.
x
x
x
f
x
x
x
x
x
在
3
0, 3
内
0
f
x
,
f x 单调递减；在
3 ,
3
内
0
f
x
,
f x 单调递增.
3
3
x
是函数
f x 的极小值点，没
有其它极值点.故答案为：
3
3 .
2．函数
的极值点为（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】A
【详解】由题可得
，令
，解得
.因为
是函数
的变号零点，
因此
是函数
的极值点.故选：A.
3．函数
的极小值为（ ）
A．
B．
C．15
D．17
【答案】B
【详解】由函数
，求导得
,令
,得
,当
时,
,函数单调递增;当
时,
,函数单调递减;当
时,
,函数单调递增;
所以
是极小值点,所以函数的极小值为
.故选：B
4．函数
3
2
( )
3
f x
x
x
x
的极小值是 .
【答案】2
【详解】
2
( )
3
2
1
3
1
1
f
x
x
x
x
x
，令
0
f
x
，得
1
x 或
1
3
x
，令
0
f
x
，得
1
1
3
x
，
所以函数
f x 在
1
,
, 1,
3
上单调递增，在
1 ,1
3
上单调递减，所以函数
( )
f x 的极小值是
1
1 1 1 3
2
f
.故答案为：2 .
5．已知函数
，则
的极小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
的定义域为
，因为
，所以
，
令
，则
，解得
或
（舍），
x
2
－
0
＋
单调递减
极小值
单调递增
由此表可知，当
时，
的取得极小值为
.故选：D.
6．（2023·广东汕头·一模）函数
3
6
f x
ax
x
的一个极值点为1，则
f x 的极大值是 ．
【答案】4
【详解】
3
6
f x
ax
x
定义域为R，
2
3
6
f
x
ax
，由题意得，
1
3
6
0
f
a
，解得
2
a
，故
2
6
6
f
x
x
，令
0
f
x
，解得
1
x ，令
0
f
x
得，
1
x 或
1
x ，
3
2
6
f x
x
x
单调递增，
令
0
f
x
得，1
1
x
，
3
2
6
f x
x
x
单调递减，故
3
2
6
f x
x
x
在
1
x 处取得极大值，极大值
为
2
6
4
1
f
.故答案为：4
7．（2025·河南新乡·三模）已知函数
的极小值为
，则实数
的值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】A
【详解】由已知得
，令
，得
，当
时，
单调递减，
当
或
时，
单调递增，所以
的极小值为
，解得
.故选：A.
8．（2025·吉林长春·一模）已知函数
的极大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意，
，则
，令
，
解得
或
，当
时，
在
，
上满足
，
单调递增，在
上
满足
，
单调递减，所以
在
处取得极大值，
，解得
，
当
时，
在
，
上满足
，
单调递增，在
上满足
，
单调递减，所以
在
处取得极大值，
，不符合题意，当
时，
，
在R 上单调递增，无极值，不符合题意，综上所述，
.故选：D.
9．函数
在
处取得极大值
，则
的单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
，因为在
处取得极大值
，
所以
，解得
，故
，定义域为
，
，当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；故
的单调增区间为
.故选：
B.
10．函数
在
时有极值10，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】B
【详解】由题意
，因为函数
在
时有极值10，所以
，消去
可得
，解得
或
，当
时，
，
，此时
在
上单调递增，不存在极值，不符合题意；当
时，
，
，
或
，
，所以函数
在
上单调递增，在
上单
调递减，所以函数
在
处取得极小值
，故
满足题意.故选B.
11．已知函数
在
处有极值2，则
（ ）
A．
B．6
C．2
D．
【答案】B
【详解】
，因为函数
在
处有极值2，所以
，即
，
解得
，则
，故当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
处有极小值，所以
，所以
.故选：B
12．函数
在
处有极值10，则点
为（ ）
A．
B．
C．
或
D．不存在
【答案】B
【详解】
，则
，即
，解得
或
，当
时，
，此时
在定义域
上为增函数，无极值，舍去.当
,
，令
，解得
或
，当
时，
，此时
单调递减；当
时，
，此时
单调递增；则
为极小值点，符合题意.故点
为
，故选：B
考点二：利用导数求函数的最值
经典例题：
1．（2025·甘肃兰州·一模）函数
3
2
1
3
2
3
f x
x
x
x
在
2,0
上的最小值为 ．
【答案】
4
3 /
1
13
【详解】因为
2
2
3
1
3
f
x
x
x
x
x
，又
2,0
x
，由
0
f
x
，得到2
< 1
x
，由
0
f
x
，
得到1
0
x
，即
f x 在区间
2, 1
上单调递增，在区间
1,0
上单调递减，又
8
4
2
4
6
2
3
3
f
，
0
2
f
，所以
f x 在
2,0
上的最小值为
4
3 .故答案为：
4
3 .
2．（2025·江苏南京·三模）已知函数
，则当
时，
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，可得
，当
时，
；当
时，
；故
在
上单调递增，在
上单调递减，故当
时，
在
时取得极大值，也即最大值
.故选：B
3．（2025·河南驻马店·模拟预测）函数
在区间
上的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
，
，
，即
，
在
上单调递增，
.故选：D.
4．（2021 年全国新高考I 卷）函数
的最小值为 .
【答案】1
【详解】由题设知：
定义域为
，∴当
时，
，此时
单调递减；当
时，
，有
，此时
单调递减；当
时，
，有
，此时
单调递增；又
在各分段的界点处连续，
∴综上有：
时，
单调递减，
时，
单调递增；∴
故答案为：1.
5．（2024·陕西渭南·预测）已知函数
在区间
上的最小值为1，则实数a 的值为（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
【答案】D
【详解】由题意可知：
，所以当
时
，则
在
上单调递增，
所以
.故选：D.
6．（2024·宁夏·模拟预测）已知
（
为常数）在
上有最大值3，则函数
在
上的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
得
，故当
时，
，
在区
间
上单调递增，当
时，
，
在区间
上单调递减，故当
时，
取
得最大值，即
，此时
，当
，
，当
时
，故最小值为
，故选：C
7．（2025·四川成都·模拟预测）若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
．则
，此时
在
，
单调递增，
在
单调递减.当
时，若
，
当
，
，不合题意；当
时，
，
，则
值域为
符合题意；当
时，要使
的
值域是
，则要求
的最小值为
．则必定先有
，得
，即
，此时
在
上单调性为
上单调递减，
单调递增，有最小值
符合题意．
故
.故选：A.
8．（2023·安徽·三模）已知函数
e
1
,
x
f x
m
x
n
m n
R ，若
min
1
f x
，则mn 的最小值是
（ ）
A．
2
e
B．
2
e
C．
1
e
D．
1
e
【答案】B
【详解】
e
1
x
f x
m
x
n
，
e
1
x
f
x
m
，当
0
m
时，
0
f
x
恒成立，则
f x 单调递减，
0
1
f
m
n
，显然
1
f x 不恒成立；当
0
m
时，
, ln
x
m
时，
0
f
x
，函数
f x 单调递
减；
ln
,
x
m
时，
0
f
x
，函数
f x 单调递增，∴
min
ln
ln
f x
f
m
m
n
，∵
min
1
f x
，
∴ln
1
0
m
n
，∴
ln
1
m
m
mn
，令
ln
1
h m
m
m
，
0
m
，
ln
2
h m
m
，
2
0,e
m
时，
0
h m
；
2
e ,
m
时，
0
h m
.
h m 在区间
2
0,e
上单调递减，在区间
2
e ,
上单调递增，∴
2
2
min
e
e
h m
h
，即mn 的最小值是
2
e
.故选：B．
9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数
在
处有最小值，最小值小于
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
的定义域为
，且
，由于函数
在
有最小值，
则函数
在
取极小值，则
，所以
，即
，当
时，
对任意的
恒成立，
，不合乎题意；当
时，由
可得
，由
可得
,此时函数
的减区间为
，增区间为
，此时函数
在
处取得极小
值，即最小值，合乎题意；当
时，由
可得
，由
可得
，此时函数
的减区间为
，增区间为
，此时函数
在
处取得极大值，不合乎题意.所以
，由题
意可得
，则
，解得
，因此，
.故选：
C.
变式训练：
1．函数
的最小值为 ．
【答案】
【解析】函数
，当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，所以
，
，所以
的最小值为
.故答案为：
.
2．已知函数
3
2
2
3
12
1
f x
x
x
x
，则
f x 在
3,2
上的最大值为 ．
【答案】21
【详解】
2
6
6
12
6
2
1
f
x
x
x
x
x
，令
0
f
x
，得
1
x 或
2
x ．当
3, 2
1,2
x
时，
0
f
x
，当
2,1
x
时，
0
f
x
，所以
f x 在
2,1
上单调递减，在
3, 2 , 1,2
上单调递增．因
为
2
21,
2
5
f
f
，所以
max
21
f x
．故答案为：21.
3．若函数
3
( )
3
f x
x
x
在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m
n
.
【答案】20
【详解】函数
3
( )
3
f x
x
x
，
[0,3]
x
，求导得
2
( )
3
3
3(
1)(
1)
f
x
x
x
x
，当
[0,1)
x
时，
( )
0
f
x
，
函数
( )
f x
单调递减，当
(1,3]
x
时，
( )
0
f
x
，函数
( )
f x
单调递增，因此
min
( )
(1)
2
n
f x
f
，而
(0)
0,
(3)
18
f
f
，则
max
( )
18
m
f x
，所以
20
m
n
.故答案为：20
4．（2025·陕西安康·三模）函数
2 ln
1
f x
x
x
的最小值为 ．
【答案】
2
e
/
1
2 e
【详解】
2
ln
1
2ln
1
f
x
x
x
x
x
x
，
0
x
，令
0
f
x
，得
e
x
，当0
e
x
时，
0
f
x
，
f x 单调递减，当
e
x
时，
0
f
x
，
f x 单调递增，所以当
e
x
时，函数
f x 取得最小值
e
2
.
故答案为：
e
2
5．函数
在区间
上的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，求导得
，当
时，
，当
时，
即
在
上单调递增，
在
上单调递减，故
．故选：C.
6．函数
cos
sin
f x
x
x
x
在区间
π,0
上的最大值为 ．
【答案】π
【详解】由
cos
sin
f x
x
x
x
，所以
cos
sin
cos
sin
f
x
x
x
x
x
x
x
，当
π,0
x
时，sin
0
x
，
所以
( )
sin
0
f x
x
x
，则
( )
f x 在
π,0
单调递减，所以
max( )
π
π
f
x
f
.故答案为：π .
7．已知函数
在区间
上的最小值为
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
，当
时，则
，所以
在
单调递增，此时函数最小值为
，解得
，不符合题意，舍去；当
时，
令
，得
；令
，得
；所以
在
上单调递减，在
单调递减增，
①当
时，
在区间
上单调递增，所以最小值为
，不符合题意舍去；②当
时，
在
上先减后增，所以最小值为
，解得
；③当
时，
在
上单调递减，所以最小值为
，解得
，不符合题意，舍去，综上所述
.故选：D.
8．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）当
时，函数
取得最大值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【详解】因为函数
定义域为
，所以依题可知，
，而
，所以
，即
，所以
，因此当
时，
,故函
数在
递增；
时，
,故函数在
上递减，
时取最大值，满足题意，即有
；故选：C．
9．若函数
有最大值
，则实数
的值是（ ）
A．1
B．
C．4
D．
【答案】B
【详解】
， 令
，得临界点
（因
，舍去
），当
时，当
时，
，当
时，
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，此时
无最大值，当
时，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，又因为
，所以
，满足题意，故选：
.
10．（2025·重庆·模拟预测）若
，
的最小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】A
【详解】令
，则
，令
，则
，当
时，
，则
在
上单调递减，显然无最小值，不符；当
时，令
，则
，若
，
时，
，则
在
上单调递增，故
，不符；若
，
时，在
上
，即
在
上单调递减，在
上
，即
在
上单调递增，所以
，则
，可得
，
又
，可得
；综上，
.故选：A
11．已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
时，
在
上单调递增，
，
，则
在
上值的集合是
，当
时，
，
，当
时，
，当
时，
，即
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，则
在
上值的集合为
，因函数
的值域
为
，于是得
，则
，解得
，所以实数
的取值范围是
.故选D
12．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
的值域为
，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．
【答案】A
【详解】当
时，
是单调减函数.∴
的值
域为
；当
时，
若
，则
，
是单调增
函数，
的值域为
，不符合题意，当
时，令
，得
，令
，得
，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
,由题意知
，即
，解得
，
所以
.故选：A.
13．（2022·辽宁丹东·一模）设
，若函数
的最小值为
，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】若
，当
时，
为增函数，且
，不符合题意.若
，最小值为
.若
，当
时，
的最小值为
.当
时，
，若
，则
，若
，则
，
在
在，在
上递增，故
的最小值为
.由
，
，
，设
，它
在
上是增函数，且
，所以
的解是
．可得
综上，常数
的取值范围
为
.故选B．
考点三：利用导数判断函数单调性及极值
经典例题：
1．已知函数
的导函数
图象如图所示，则（ ）
A．
在
上单调递增
B．
在
处取得极大值
C．
在
上单调递增
D．
在
处取得最小值
【答案】B
【详解】由图可知，当
时，
，
单调递减，故A 错误；当
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，所以
在
处取得极大值，故B 正确；C
错误；
时，
，
单调递增，所以
和
处取得极小值，最小值不能确定，故D 错
误；故选：B.
2．（多选）已知函数
f x 的定义域为R 且导函数为
f
x
，如图是函数
y
xf
x
的图象，则下列说法正
确的是（ ）
A．函数
f x 的单调递增区间是
2,0 , 2,
B．函数
f x 的单调递增区间是
, 2 , 2,
C．
2
x 是函数的极小值点 D．
2
x
是函数的极小值点
【答案】BD
【详解】由图可得函数
y
xf
x
的零点为2,0,2
，当
2
x 时，
0,
0
y
f
x
，故
f x 在
, 2
上
单调递增；当2
0
x
时，
0,
0
y
f
x
，故
f x 在
2,0
上单调递减；当0
2
x
时，
0,
0
y
f
x
，故
f x 在
0,2 上单调递减；当
2
x
时，
0,
0
y
f
x
，故
f x 在
2,上单调
递增，故A 错误，B 正确；
2
x
是函数的极大值点，
2
x
是函数的极小值点，故C 错误，D 正确.
故选：BD.
3．（多选）已知函数
3
2
( )
f x
ax
bx
cx
d
，
0
ac
，则
( )
f x 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】
2
( )
3
2
0
f
x
ax
bx
c
，则
2
4
12
0
b
ac
，所以
( )
f x 有两个极值点
1
x ，
2x ，且
1
2
0
3
c
x x
a
．
故选：BD.
4.（2024·辽宁·三模）下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对A，
，
，故
为偶函数，不符题意；对B，
，
为奇函数，
，得
，当
时，
，
时
，故
的极小值，故B 正确；对C，
为偶函数，不符题意；对D，
无极值，不符题意，故选：B
5．（多选）设函数
2
( )
e (
1) (
2)
x
f x
x
x
，则（ ）
A．
( )
f x
有两个极大值点
B．
( )
f x
有两个极小值点
C．
1
x
是
( )
f x
的极大值点
D．
1
x
是
( )
f x
的极小值点
【答案】BC
【详解】根据题意，可得
2
( )
e (
1)
3
x
f
x
x
x
，于是
x
,
3
3
3,1
1
1, 3
3
3,
f
x
0
0
0
f x
极小值
极大值
极小值
因此函数
( )
f x 有2 个极小值点
3, 3
x
，以及1 个极大值点
1
x ．故选：BC
变式训练：
1．已知函数
，其导函数
的图象如图所示，则（ ）
A．
有2 个极值点
B．
在
处取得极小值
C．
有极大值，没有极小值
D．
在
上单调递减
【答案】C
【详解】由导函数
的图象可知，当
时，
，仅
时，
；当
时，
，所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，所以函数
只有
一个极
值大点，无极小值点，所以
有极大值，没有极小值，故ABD 错误，C 正确.故选：C.
2．如图是函数
的导函数
的图象，下列结论正确的是（ ）
A．
在
处取得极大值
B．
是函数
的极值点
C．
是函数
的极小值点
D．函数
在区间
上单调递减
【答案】C
【详解】由图象可知：当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
故
是函数
的极小值点，
无极大值.故选：C
3．（多选）（2022 年新高考全国I 卷）已知函数
，则（ ）
A．
有两个极值点
B．
有三个零点
C．点
是曲线
的对称中心
D．直线
是曲线
的切线
【答案】AC
【详解】由题，
，令
得
或
，令
得
，
所以
在
，
上单调递增，
上单调递减，所以
是极值点，故A 正
确；因
，
，
，所以，函数
在
上有
一个零点，当
时，
，即函数
在
上无零点，综上所述，函数
有
一个零点，故B 错误；令
，该函数的定义域为
，
，则
是奇函数，
是
的对称中心，将
的图象向上移动一个单位得到
的图象，所以点
是曲线
的对称中心，故C 正确；令
，可得
，又
，当切点为
时，切线方程为
，当切点为
时，切线方程为
，故D 错误.故选：AC.
4．（多选）（2024 年新课标全国Ⅰ卷题）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
【答案】ACD
【详解】对A，因为函数
的定义域为R，而
，易知当
时，
，当
或
时，
，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，故
是函数
的极小值点，正确；对B，当
时，
，所以
，而由上可知，函数
在
上单调递增，所以
，
错误；对C，当
时，
，而由上可知，函数
在
上单调递减，
所以
，即
，正确；对D，当
时，
，所以
，正确；
故选：ACD.
5．（2024 年新课标全国Ⅱ卷）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
【答案】AD
【详解】A 选项，
，由于
，故
时
，故
在
上单调递增，
时，
，
单调递减，则
在
处取到极大值，在
处取到极小值，由
，
，则
，根据零点存在定理
在
上
有一个零点，又
，
，则
，则
在
上各有一个零点，于是
时，
有三个零点，A 选项正确；B 选项，
，
时，
，
单调递减，
时
，
单调递增，此时
在
处
取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的
，使得
为
的对称轴，即存在这样的
使
得
，即
，根据二项式定理，等式右边
展开
式含有
的项为
，于是等式左右两边
的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是
不存在这样的
，使得
为
的对称轴，C 选项错误；D 选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的
，使得
为
的对称中心，则
，事实上，
，于是
即
，解得
，即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，
，
，由
，于是该三次函数的对称中心为
，
由题意
也是对称中心，故
，即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
故选：AD
6．（多选）（2023 年新课标全国Ⅰ卷）已知函数
的定义域为
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
【答案】ABC
【详解】方法一：因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，令
，又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，不妨令
，显然符合题设条件，此时
无极值，故
错误.
方法二：因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，令
，又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，当
时，对
两边同时除以
，得到
，
故可以设
，则
，当
肘，
，则
，令
，得
；令
，得
；故
在
上单调递减，在
上单调递增，因为
为偶函数，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
显然，此时
是
的极大值，故D 错误.
故选：
.
考点四：由函数极值点求参
经典例题：
1．（2025 高考·全国II 卷）若
是函数
的极值点，则
【答案】
【详解】由题意有
，所以
，
因为
是函数
极值点，所以
，得
，当
时，
，当
单调递增，当
单调递减，当
单调递增，所以
是函数
的极小值点，符合题意；所以
.故答案为：
.
2．已知函数
在
处取得极小值，则m 的值为（ ）
A．
B．1
C．
或1
D．
或2
【答案】A
【详解】求导得
，则
，解得：
或
，当
时，
，由于
，
，
，
，所以函数在
时有极小值， 当
时，
，由于
，
，
，
，所以函数在
时有极大值，故舍去
，故选：A.
3．（2024·广西·二模）已知
是函数
的极小值点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由已知
，
，令
得
或
，由题意
是极小值点，则
，若
，则
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，则
是函数的极小值点，若
，则
时，
，
单调
递减，
时，
，
单调递增，则
是函数的极大值点，不合题意，综上，
，即
.故选：A.
4．（2025·重庆·三模）已知函数
的一个极小值点为
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】已知
，当
时，
，此时
；当
时，
，此时
.所以
. 对分段函数求导，
当
时，
，对其求导，可得
；当
时，
，对其求导可得
. 因为
是函数
的一个极小值点，所以在
左侧附近
，在
右侧附近
.当
时，
，令
，即
，解得
；当
时，
，
令
，即
，解得
.要使
是极小值点，则需满足
，解这个不等式，得
.所以
实数
的取值范围是
.故选：A.
5．已知函数
在
处取得极小值，
是
的导函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A，函数
，求导得
，函数
在R 上单调递增，
由
，
，得
，
，
，A 错误；
对于B，由
，得
，则
，B 错误；
对于C，
，
，C 正确：
对于D，由
，得
，则
，D 错误.
故选：C
变式训练：
1．若函数
在
处取得极小值，则
（ ）
A．4
B．2
C．-2
D．-4
【答案】A
【详解】由题意可得
，则
，解得
.当
时，
，当
或
时，
，则
在
，
单调递增，
当
时，
，则
在
单调递减，所以，函数
在
处取得极
小值，此时
.故选：A
3．已知函数
在
处有极大值，则c 的值为（ ）
A．2
B．6
C．2 或6
D．-2
【答案】B
【详解】
，且函数
在
处有极大值，
故
，即
，解得
或2．当
时，
，令
得，
或
，令
得，
，故
在
上单调递增，在
上单调递减，故函数
在
处取得极小值，不符合题意，应舍去；当
时，
，令
得
或
，令
得，
，故
在
上单调递增，在
上单调递减，满
足
在
处取得极大值，满足要求.故
．故选：B
4．函数
ex
f x
ax
的极值点为
1
x ，则实数a .
【答案】e
【详解】
ex
f
x
a
，
1
1
e
0
f
a
，得
e
a
，此时
e
e
x
f
x
.当
1
x 时
0
f
x
，
f x 在
,1
上单调递减；
1
x 时，
0
f
x
，
f x 在
1,上单调递增.所以
f x 在
1
x 处取得极小值，符
合题意.故答案为：e
.
5．（2023·广西·模拟预测）函数
在
处取得极小值，则极小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【详解】依题意，
，因为函数
在
处取得极小值，则
，解得
，
此时
，当
或
时，
，当
，时
，因此函数
在
上单调递增，在
上单调递减，所以函数
在
处取得极小值
.故选：C
6．（2024·宁夏银川·一模）若函数
在
处取得极大值，则
的极小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为函数
在
处取得极大值，则
，
且
，即
，所以
；所以
，
，令
，则
或
，由
，
，
，所以
在
上单调递增，在
上单调
递减.所以函数
在
处取得极大值，
.故选：C.
7．函数
在
处有极小值
，则
的值等于（ ）
A．0
B．
C．
D．6
【答案】A
【详解】由题意得
，因为
在
处有极小值
，所以
，解得
，所以
，令
，解得
或
，故函数
在
和
上为增函数，令
，解得
，
故函数
在
上为减函数，所以
在
处有极小值，符合题意，所以
，故选：A.
8．（2023·贵州遵义·三模）函数
在
处取得极值0，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
【答案】A
【详解】
，所以
，解得
，经检验，
满足题意，
所以
.故选：A
9．（2024·河北秦皇岛·三模）已知0 是函数
的极大值点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，所以
，令
，可得
或
，
当
，即
时，令
，得
或
；令
，得
；所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减，所以
是函数
的极大值点，满足题意；
当
，即
时，
恒成立，则
在
上单调递增，没有极值点，不满足题意；
当
，即
时，令
，得
或
；令
，得
；所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减，所以
是函数
的极小值点，不满足题
意；综上，
，即
的取值范围为
.故选：A.
10．若
是函数
的极值点，则
（ ）
A．大于0
B．小于0
C．大于等于0
D．小于等于0
【答案】B
【详解】由函数
，得
.又因
是函数的极值点
，即
.令
，则
.
因为
，所以当
时，
；当
时，
.故
在
单调递增，在
单
调递减，故
，故
小于0．故选：B.
11．（2025·江西·二模）在等比数列
na
中，
1a ，
5a 是函数
2
( )
12
ln(3 )
f x
x
x
t
x
的两个极值点，若
2
4
3
4 2
8
a a
a
，则t 的值为 ．
【答案】16
【【详解】
2
( )
12
ln(3 )
f x
x
x
t
x
的定义域为
0,
，
2
2
12
( )
2
12
t
x
x
t
f
x
x
x
x
，由题意得
1
5
,
a a
是方程
2
2
12
0
x
x
t
的两个不相等的正根，故
144
8
0
t
，解得
18
t
，由韦达定理得
1
5
0
2
t
a a
，
故
0
t
，因为
na
为等比数列，所以
2
3
4
1
5
2
2
a
a
a
a
t
a
，其中
2
3
1
0
a
a q
，故
3
2
t
a
，所以
4 2
8
2
2
t
t
，解得
16
t
，满足要求.故答案为：16
12．设等比数列
中，
，
使函数
在
时取得极值
，则
的值是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意
，因为
在
时取得极值
，所以
，
解得
或
，当
，
时，
，所以
在
上单调递
增，不合题意，当
，
时，
，所以
时，
，
时，
，所以
在
，
上单调递增，在
上单调递
减，所以当
时
取得极小值，满足题意，所以
，又
，
，
同号，所以
.故选：
.
考点五：根据函数极值的存在性求参数范围
经典例题：
1．（2025·甘肃白银·三模）若函数
在区间
上有极值点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意知
在
上有变号零点，显然
在
上单调递增，
故原条件等价于
解得
，故实数
的取值范围是
．故选：C
2．（2024·江苏南通·二模）若函数
有大于零的极值点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
，可得
，若
，此时
单调递增，无极值点，
故
，令
，解得
，当
时，
，当
时，
，
故
是
的极值点，由于函数
有大于零的极值点，
，解得
．故选：C．
3．已知函数
在
上有唯一的极值点，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为满足
的实数
有且只有一个，所以导函数
在区间
有且只有一个变号零
点.因为
，所以由对勾函数的性质可知：
在
上单调递减，在
上单调递增.
即
在
单调递减，在
上单调递增，
,
则
，解之得：
.故选：B.
4．（2025·广东汕头·二模）若函数
有两个极值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因
时，
，函数图象的对称轴为
，当
时函数在
时取得极大值，又因
时，
，由函数的性质，可知要使
还有一个极值，必须使
，
则由
，可得
.故选：B.
5．（多选）已知函数
3
2
6
1
f x
x
ax
a
x
有极大值和极小值，则实数a 的值可以是（ ）
A．4
B．3
C．6
D．8
【答案】AD
【详解】由题意知
2
3
2
6
0
f
x
x
ax
a
有两个不相等的根，所以
(
)
2
Δ=4
12
6
0
a
a
-
+
> ，
解得
6
a
或
3
a .故A、D 正确，B、C 错误.故选：AD
6．（多选）（2023 年全国Ⅱ卷）若函数
既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】函数
的定义域为
，求导得
，因为函
数
既有极大值也有极小值，则函数
在
上有两个变号零点，而
，因此方程
有两个不等的正根
，于是
，即有
，
，
，显然
，即
，A 错误，BCD 正确.故选：BCD
7．（2023·河北唐山·二模）抛掷一个质地均匀的骰子两次，记第一次得到的点数为a，第二次得到的点数
为b，则函数
没有极值点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，若
没有极值点，则
，即
．由题意知，所有的基
本事件为36 个，其中满足
的有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共有9 个，所以
．故选：A.
变式训练：
1．（2014·福建福州·一模）若函数
在区间
内有极值点，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
函数
，
，若函数
在区间
上有极值点，则
在区间
内有零点，由
可得
，因为
在
上单调递减，在
上单调递增，又
，
，
，所以
，
，当
时，
，不符合题意，所以实数
的取值范围是
.故选：C．
2．（2024·重庆·模拟预测）若函数
有极值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
的定义域为
，且
，因为函数
有极值，所以
在
上有变号零点，即
在
上有解（若有两个解，则两个解
不能相等），因为二次函数
的对称轴为
，开口向上，所以只需
，解得
，即实数
的取值范围是
.故选：C
3．已知函数
在
上存在极值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
,函数
在
上
存在极值，
在该区间有变号零点.即
,
,
单调递减,设
，
单调递
增;
单调递减;
,
,
.故选:B.
4．已知函数
，则
在区间
上存在极值的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，因此
是函数的极大值点，要想在在区间
上存在极值，只需
，显然四个选项中，只有
能推出
，但是
推不出
，
故选：A
5．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数
在
上无极值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意得，
，故
，因为函数
在
上无极值，所以
在R 上恒成立，当
时，
，设
，则
，当
时，得
，当
时，得
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，从而
，故
，当
时，
，则
.综上，
.故选：D.
6．（2024·四川绵阳·三模）若函数
有唯一极值点，则下列关系式一定成立的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，令
，
，若
，则
或
，此时
单调，不存在极值点，故不符合题意，若
，则方程
有两个实数根，由于
有唯一极值
点，故
只能有一个正实数根，若另一个实数根为0，此时
，显然满足条件，
若令一个实数根为负根，则
，故
，结合选项可知，
一定成立，故选：C
7．（2025·广西北海·模拟预测）若函数
有两个极值点，则
的取值范围是
．
【答案】
【详解】
的定义域为
，因为
有两个极值点，所以函数
在
上有两个变号零点，令
，则
，即
，所以
，令
，所以将函数
的零点问题转
化为
的图象和直线
的交点问题，求导得
，令
，则
，易知
在
上单调递增，在
上单调递减，
，则
恒成立，所以当
时，
在
上单调递减；当
时，
在
上单调递增，所以
，又因为
，则
的图象如图所示，要使
的图象和直线
有两个交
点，由图象知
，即
，所以
的取值范围为
．
8．若函数
有极大值，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，得
，当
时，
，则
在
上递增，所以
无极值，当
时，
，则
在
上递减，所以
无极
值，当
时，由
，得
，当
时，
，当
时，
，所
以
在
上递增，在
上递减，所以
时，
取得极大值，当
时，由
，得
，当
时，
，当
时，
，所以
在
上递减，
在
上递增，所以
时，
取得极小值，综上，当
时，
有极大值，故选：
B
9．（2024·广东佛山·二模）若函数
（
）既有极大值也有极小值，则下列结论一
定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
的定义域为
，
，又函数
既有极大值也有
极小值，所以函数
在
上有两个零点，由
，所以方程
有两个不同的正实
数
，所以
，即
.故选：B
10．函数
在
上存在极大值
和极小值
，且
，则实数a 的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题可得，
，当
时，方程
在
上有两个不同的实根
，
且
，则
，解得
；当
时，
，不满足题意；当
时，
的图象开口向下，若方程
在
上有两个不同的实根
，则
的极大值点
大于
极小值点
，与题意矛盾.综上所述，
.故选:C
考点六：根据函数最值的存在性求参数范围
经典例题：
1．函数
在区间
上存在最值，则实数a 的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，因为函数
，
在
上单调递增，所以题中问题
等价于
即
解得
，故选：D.
2．（2022·四川凉山·三模）函数
，若
在
上有最小值，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意，函数
，可得
，若
时，当
时
在
上单调递减，此时函数
在
上没有最小值，不符合题意；当
时，令
，即
，画出函数
与
的图象，如图所示，
结合
图象，存在
，使得
，当
时
单调递减；当
时
单调递增，此时函数
在
上有最小值，符合题意．综上可得，实数a 的取值范围是
.故选：A
3．已知函数
，若
在区间
上的最大值为28，则实数k 的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，所以
，令
，解得
，所以
在
和
时，
，
在
时，
，所以函数
在
和
上单调递增，函数
在
上单调递减，则
在
内单调递增，所以
在
内，
最大；
在
时单调递减，所以在
内，
最大；
在
时单
调递增，所以在
内，
最大；因为
，且
在区间
上的最大值为
28，所以
，即k 的取值范围是
，故选：A.
4．已知函数
，
存在最小值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
，令
得
，且
时，
；
时，
，
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，又
，令
时，解得
或
，所以其图象如
下：
由图可知，
时
存在最小值，所以
，解得
，
即实数a 的取值范围为
.故选：
5．若函数
3
2
3
2
f x
x
x
在区间
2
5,
1
a
a
内有最小值，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
1
1
2
a
【详解】由题可知：
2
'
3
3
3
1
f
x
x
x
x x
，令
0
f
x
，则0
1
x
；令
0
f
x
，则
0
x
或
1
x ，所以函数
f x 在
0,1 单调递增，在
,0 , 1,+
单调递减.极小值为
0
0
f
，令
0
f x
，所以
0
x
或3
2 ，又函数
3
2
3
2
f x
x
x
在区间
2
5,
1
a
a
内有最小值，所以
2
5
0
1
1
3
2
0
1
2
a
a
a
.故答
案为：
1
1
2
a
.
6．若函数
在区间
上存在最值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【详解】
，则当
时，
，当
时，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
处取得最值，则有
，
解得
.故选：C.
7．（2025·新疆·三模）已知函数
1
ln
1
4
x
x
f x
x
，若
f x 在区间
2
,
m m
上有最大值，则实数m 的取值
范围是（ ）
A．
2, 3
B．
2,2
C．
2,3
D．
3,3
【答案】D
【详解】当
1
x 时，
1
ln
ln(
1)
ln(
1)
1
4
4
x
x
x
f x
x
x
x
，
2
1
1
1
9
1
1
4
4
1
1
x
f
x
x
x
x
x
，
当1
3
x
时，
0
f
x
，
f x 单调递增，当
3
x
时，
0
f
x
，
f x 单调递减，所以
f x 在
3
x
处
取得极大值，若
f x 在区间
2
,
m m
上有最大值，只需
2
3
1
3
m
m
即可，解得
3,3
m
；当1
1
x
时，
1
ln
ln(1
)
ln(
1)
1
4
4
x
x
x
f x
x
x
x
，
2
1
1
1
9
1
1
4
4
1
1
x
f
x
x
x
x
x
，显然此时
0
f
x
，
f x 单调递减，不存在有最大值的开区间；当
1
x 时，
1
ln
ln(
1)
ln(
1)
1
4
4
x
x
x
f x
x
x
x
，
2
1
1
1
9
1
1
4
4
1
1
x
f
x
x
x
x
x
，当3
1
x
时，
0
f
x
，
f x 单调递增，当
3
x 时，
0
f
x
，
f x 单调递减，所以
f x 在
3
x 处取得极小值，此时也不存在最大值的开区间，故选：D.
8．（2024·新疆·模拟预测）已知函数
存在最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，函数
单调递减，
无最小值；当
时，函数
当
时，函数
，所以
单调递增，
当
时
，要使函数
存在最小值，即
.故选：C.
变式训练：
1．已知函数
在
上的最大值为，则实数
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
可得
，函数
，
的导函数
，
，若
，当
时，
，函数
在
上单调
递增，
的最大值为
，不符合题意；若
，当
时，
，函数
在
上单调递减，当
时，
，函数
在
上单调递增，由函数
在
上的最大值为，可得
，所以
，又
，所
以
；若
，当
时，
，函数
在
上单调递减，函数
在
上的
最大值为
，满足条件，所以
时，函数
在
上的最大值为.综上所述，
的范围是
.故选：D.
2．（24-25 高三上·湖南·开学考试）已知函数
在区间
上有最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
，求导得
，由
在区间
上有最小值，得
在区间
上有变号零点且在零点两侧的函
数值左负右正，令
，则
在区间
上有变号零点且在零点两侧的
函数值左负右正，因此
，解得
，所以实数
的取值范围是
.故选：D
3．函数
在区间
上有最小值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以当
或
时
，当
时
，
所以
在
，
单调递增，在
单调递减，又
，
，
，
，故
的图象如图：
函数
在区间
上有最小值，则
由图可知
，即
的取值范围是
.故选：D.
4．函数
在区间
内存在最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，则
，则
得
或
；
得
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减，因
，则当
在
内
存在最小值时，有
得
，则实数
的取值范围是
.故选：C.
5．（23-24 高三下·福建·开学考试）已知函数
在区间
上存在最小值，则实数a 的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意得
．当
时，得
或
，当
时，
，
可得函数的单调增区间为
，
．减区间为
，即
时，函数取得极小值
，
当
时，即
，解得
或
，
故要使函数
在区间
上存在最小值，需有
，解得
，即实数a
的取值范围为
.故选：A．
6．（23-24 高三上·辽宁·阶段）已知函数
，若
在
内存在最小值，则
a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
，令
，解得
或
，所以
在
，
内单调递增，在
内单调递减，所以极小值为
．令
，则
，所以
，由题意得
，所以a 的取值范围为
.故选:C．
7．已知函数
在区间
内有最值，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，其中
，当
时，
，故
在
上单调递减，此时
在
内无最值，当
时，若
，则
，若
，则
，故
在
上为增函数，在
上为减函数，故
在
处取最大值，综上所述，实数a 的取值范围是
.
故选：A.
8．（2025·四川自贡·三模）函数
，若
在
有最大值，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，则
，令
，得
或
，当
，即
时，
，函数
在
上单调递增，此时
在
上没有最大值，不符合题意；当
，即
时，令
，得
或
，令
，得
，则函数
在
和
上
单调递增，在
上单调递减，又
，则
在
没有最大值，不符合题意；
当
，即
时，令
，得
或
，令
，得
，则函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，又
，
，要使
在
有最大值，则
，解得
.综上所述，实数
的取值范围是
.故选：B.
9．（2025·江苏宿迁·二模）若函数
有最大值，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，
，则
，当
时，
，此时，函数
单调递
增，当
时，
，此时，函数
单调递减，则函数
在
处取得极大值，且极大值为
，因为函数函数
有最大值，则
，解得
，因此，实数
的最大值为
.故选：
.
10．（2022·河南·模拟预测）已知函数
无最大值，则实数a 的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，则
，
令
，解得
或
；令
，解得
，
∴
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，g(－1)＝2，g(1)＝－2，
据此，作出
和y＝－2x 的图像，
由图可知，当x＝a＜－1 时，函数f(x)无最大值.故选：D.
三、达标检测：
《导数与函数的极值、最值》小题检测
（限时30 分钟，满分73 分）
一、单选题（每小题5 分，共40 分）
1．已知函数
的导函数的图象如图所示，则
的极值点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【详解】因为在
左、右两边的导数值均为负数，所以0 不是极值点，故由图可知
只有2 个极值
点.故选：C
2．（2025·江苏南京·三模）已知函数
，则当
时，
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，可得
，
当
时，
；当
时，
；
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
故当
时，
在
时取得极大值，也即最大值
.
故选：B
3．（2019·四川眉山·三模）已知函数
，则
的极大值点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，故可得
，
令
，因为
，故可得
或
，则当
时，
；
当
时，
；所以
在区间
单调递增，在
单调递减，在
单调
递增，故
的极大值点为
.故答案为：
.
4．（2021·河南开封·三模）设函数
，若
的极小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【详解】由已知得：
，令
，有
，且
上递减，
上递增，∴
的极小值为
，即
，得
.故选：B.
5．若函数
在
内有极小值，则
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
解得
.因为函数f(x)=x3-3bx+3b 在（0，1）内有极小值，所以
.极
值点在(0,1)上,所以在
递增，在
递减；
递增；所以
在
取极小值，
,
,故选A.
6．（2023·河北唐山·二模）抛掷一个质地均匀的骰子两次，记第一次得到的点数为a，第二次得到的点数
为b，则函数
没有极值点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，若
没有极值点，则
，即
．由题意知，所有的基
本事件为36 个，其中满足
的有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共有9 个，所以
．故选：A.
7．（2024·陕西铜川·三模）若函数
有两个极值点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，令
，得
.令
，则
.令
，则
，即
，即
.当
时，
在
单调递增；当
时，
在
单调递减.
，又当
时，
；当
时，
，
当
时，方程
有两个正根，从而函数
有两个极值点.故选：B
8．（2021·宁夏银川·三模）已知函数
，
.对于任意
，
且
，都有
.则实数
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【详解】因为
，所以
同号，因此
与
的单调性相同，
因为
，所以函数
单调递增，因此
也单调递增，
，因为
是增函数，故
恒成立．即
恒成立．
，则
，因为
故
单调递增，
，故
最小值
为
．故
，则
的最大值是
.故选：C
二、多选题（每小题6 分，共18 分）
9．函数
的定义域为R，它的导函数
的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在
上函数
为增函数
B．在
上函数
为增函数
C．在
上函数
有极大值
D．
是函数
在区间
上的极小值点
【答案】AC
【详解】由图象可知
在区间
和
上
，
递增；在区间
上
，
递减.所以A 选项正确，B 选项错误.在区间
上，
有极大值为
，C 选项正确.在区间
上，
是
的极小值点，D 选项错误.故选：AC
10．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
有两个极值点 B．
有一个零点
C．点
是曲线
的对称中心 D．直线
是曲线
的切线
【答案】BC
【详解】选项A：
则
恒成立，故
单调递增，故
不存在两个极值点，故选项
A 错误.选项B:
又
单调递增，故
有一个零点，故选项B 正确，选项C：
故点
是曲线
的对称中心，故选项C 正确，选项D：令
，
即
，令
，则令
，则
当
则当切线斜率为
切点为
则切线方程为：
与
不
相等，当
时同样切线方程不为
，故选项D 错误.故选：BC.
11．（2022·全国·模拟预测）已知函数
（a 为实数），
且
，则
在区间
上的极值点的个数可能为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】AC
【详解】由
得到
，因此
或
，由a 的取值范
围可知
或
.当
时，函数的导函数
.
，而
恒
大于0，即
严格单调递增，因此
在
上只有1 个极值点，当
时，导函数为
.而
在
上单调递增，
，
，
所以
在
上仅有一个零点.因此函数
在
上先单调递减再单调递增，又
，
，即
在
上存在一个极值点.同理可知
在
上也存在一个极值点，因此
在
上共有3 个极值点.综上，此函数在目标区间可能有1 或3 个极值点.故选：AC
三、填空题（每小题5 分，共15 分）
12．若函数
在
处取极值，则
【答案】3
【详解】
=
．因为f（x）在1 处取极值，所以1 是f′（x）=0 的根，将x=1
代入得a=3．故答案为3 .
13．若函数
在区间
内恰有一个极值点，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意，
，则
，解得
14．（2022·河北·模拟预测）已知
，函数
在
上的最小值为1，则
．
【答案】1
【详解】由题意得
，当
，即
时，
，
在
上递增，故
，解得
；当
，即
时，当
时，
，
递减，当
时，
，
递增，故
，解得
，
不符合
，舍去，综上，
.故答案为：1
答题卡
班级：
姓名：
总分：
题号:
1
2
3
4
5
6
7
8
答案:
C
B
A
B
A
A
B
C
题号:
9
10
11
题号:
12
13
14
答案:
AC
BC
AC
答案:
3
1
