第06 讲 导数与函数的极值最值
目 录
思维导图.............................................................................................................................................................2
高考分析.............................................................................................................................................................2
学习目标.............................................................................................................................................................3
知识要点.............................................................................................................................................................3
解题策略.............................................................................................................................................................5
题型归纳.............................................................................................................................................................6
题型01：求函数的极值（极值点）..............................................................................................................6
（一）极值点辨析.................................................................................................................................6
（二）求函数的极值............................................................................................................................. 7
（三）由函数图像判断极值................................................................................................................ 10
题型02：根据极值（极值点）求参数........................................................................................................14
题型03：由导数求函数的最值（不含参）.................................................................................................17
题型04：由导数求函数的最值（含参）.....................................................................................................23
题型05：由函数的最值求参数...................................................................................................................27
题型06：函数最值与恒成立问题...............................................................................................................34
题型07：函数单调性，极值，最值综合应用..............................................................................................36
1. 考纲定位
属于函数与导数核心模块，是高考数学的高频重难点，在选择、填空、解答题中均有涉及，解答题常作
为压轴题或次压轴题出现，分值占比约 10 - 17 分。
核心考查利用导数研究函数极值、最值的方法，以及与单调性、不等式证明、参数范围求解的综合应用。
2. 命题趋势
①基础题型：直接考查极值点的判定、极值与最值的计算，多以选择、填空题形式出现，侧重对导数公
式、极值判定定理的基本应用。
②综合题型：结合含参函数，考查极值点的个数、最值的取值范围，常与分类讨论思想、数形结合思想
结合；或与不等式恒成立、能成立问题联动，转化为最值求解，是解答题的核心考向。
③创新题型：近年出现结合函数图象、极值点偏移、多变量最值问题的命题，对逻辑推理和运算能力要
求提升。
3. 高频考点分布
①极值点的判定（导数为零的点与单调性的关系）。
②函数在闭区间上的最值求解步骤。
③含参函数的极值、最值与参数范围的互求。
④极值、最值在不等式证明、恒成立问题中的应用。
1. 知识目标
①理解函数极值的定义，掌握极值点的判定条件（必要条件：f'(x_0)=0；充分条件：导数在x_0 两侧异
号）。
②掌握闭区间上连续函数最值的求解方法，明确极值与最值的区别与联系（极值是局部性质，最值是整
体性质）。
③能熟练运用导数求不含参、含参函数的极值与最值。
2. 能力目标
①提升分类讨论能力，能针对含参函数的导数零点情况进行分类，求解不同情况下的极值与最值。
②强化转化与化归能力，能将不等式恒成立、存在性问题转化为函数最值问题。
③培养数形结合意识，能结合函数图象分析极值、最值的几何意义。
3. 素养目标
①通过导数与函数极值、最值的研究，渗透数学抽象和逻辑推理素养。
②在含参问题的求解中，提升数学运算素养，养成严谨的解题习惯。
知识点一：极值点与极值
1.极值点与极值
（1）极小值点与极小值
若函数
在点
的函数值
比它在点
附近其他点的函数值都小，且
,而且在
点
附近的左侧
,右侧
,就把
叫做函数
的极小值点,
叫做函数
的极小值.
（2）极大值点与极大值
若函数
在点
的函数值
比它在点
附近其他点的函数值都大，且
,而且在
点
附近的左侧
,右侧
就把
叫做函数
的极大值点,
叫做函数
的极大值.
（3）极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值.
注意：函数
可以有多个极大值和极小值，例如：函数
在
上有无数多个极大值
和极小值.
2.函数极值的求法
解方程
,当
时:
（1）如果在
附近的左侧
;右侧
,那么
是极大值;
（2）如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值
极值点与极值的区别：①函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标,而不是点:极值是函数在极值点处
取得的函数值,即函数取得极值时对应点的纵坐标.
②极值点一定在区间的内部端点不可能为极值点.
3.导数与极值的关系
一般来说,"
"是“函数
在点
处取得极值”的必要不充分条件.若可导函数
在
点
处可导,且在点
处取得极值,那么
;后之若
,则
不一定是函数
的极值点.函
数
在点
处取得极值的充要条件是
.且
在
左、右两侧的符号不同.
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为某点处的导数值等于0 不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根
的合理性
知识点二：函数的最大(小)值
1.
最值的存在性：
一般地,如果在区间
上函数
的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值.
最值与极值的区别：①函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数
值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者.
②函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以
在区间端点处取得.最值与极值的联系：如果在区间
上函数
的图象是
一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那么该极值点就是最值点,这里区间
可以
是无穷区间
2.求函数y = f ( x)在区间[a,b]上的最值的步骤：
S1：
在区间
上的极值;
S2：将函数
的各极值与端点处的函数值
比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是
最小值
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．
(2)若函数在闭区间[a，b]上有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最
小的是最小值，可列表完成．
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应
用中经常用到
1. 基础题型：极值与最值的直接求解
步骤：
① 求函数f(x)的定义域；
② 求导f'(x)，解方程f'(x)=0，得到导数零点；
③ 分析导数零点两侧f'(x)的符号，判定极值点（左正右负为极大值点，左负右正为极小值点），计算极
值；
④ 若求闭区间[a,b]上的最值，需计算极值点和区间端点的函数值，比较大小得出最值。
易错点：忽略定义域；误将导数为零的点直接当作极值点（需验证两侧符号）。
2. 综合题型：含参函数的极值、最值问题
①分类讨论依据：导数零点的个数、导数零点与定义域/给定区间的位置关系。
②示例：对于f(x)= x
lnx - ax
2，求导f'(x)=lnx+1-2ax 讨论a 的取值对f'(x)零点个数的影响，进而分析极值
情况。
③技巧：可通过分离参数法，将问题转化为函数图象的交点问题，简化分类讨论。
3. 应用题型：极值、最值与不等式结合
①恒成立问题：f(x) ≥ k 在[a,b]上恒成立⟹ f(x)min ≥ k；f(x) ≤ k 恒成立 ⟹ f(x)max ≤ k。
②存在性问题：Ε x∈[a,b]，使得f(x)≥k ⟹ f(x)max≥ k；Ε x∈[a,b]，使得f(x)≤k ⟹ f(x)min≤ k。
③技巧：构造新函数g(x)=f(x)-k，将问题转化为g(x)的最值符号问题。
题型01：求函数的极值（极值点）
（一）极值点辨析
【典型例题1】已知函数f (x)的导函数为f
' (x)，则“f
'(x0)=0”是“函数f (x)在x = x0处有极值”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】根据函数在极值点处有极值时导数必为0，导数为0 不一定有极值判断即可.
若函数f (x)在x = x0处有极值，则一定有f
'(x0)=0；
反之，若f
'(x0)=0，函数f (x)在x = x0处不一定有极值，
如f (x)= x
3在x =0处满足f
' (0)=0，但f (x)在x =0处无极值，
所以“f
'(x0)=0”是“函数 f (x)在x = x0处有极值”的必要不充分条件．
故选：B
【典型例题2】已知函数f (x)在x = x0处连续，下列命题中正确的是（ ）．
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x = x0附近的左侧f
' (x)>0，右侧f
' (x)<0，那么f (x0)是极大值
C．如果在x = x0附近的左侧f
' (x)>0，右侧f
' (x)<0，那么f (x0)是极小值
D．如果在x = x0附近的左侧f
' (x)<0，右侧f
' (x)>0，那么f (x0)是极大值
【答案】B
【解析】用极值点的定义判断A 选项，用极大值和极小值的定义来判断BCD 选项
导数为0 的点不一定是极值点，还要满足导函数在这一点的左侧与右侧的函数值异号，故A 错误；
根据极值的概念，在x = x0附近的左侧f
' (x)>0，函数单调递增；在x = x0附近的右侧f
' (x)<0，函数单调递减，
所以f (x0)为极大值，故B 正确，CD 错误．
故选：B
【变式训练1-1-1】已知定义在R上的函数f ( x)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．f ( x)有极小值
B．f ( x)有最大值
C．f ( x)是奇函数
D．f ( x)是偶函数
【变式训练1-1-2】已知函数f (x)，其导函数f
' (x)的图象如图所示，则（ ）
A．f (x)有2 个极值点
B．f (x)在x =1处取得极小值
C．f (x)有极大值，没有极小值
D．f (x)在(−∞,1)上单调递减
（二） 求函数的极值
【典型例题1】已知函数
的极小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，令
得
，
令
得
，令
得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的极小值为
.
故选：D
【典型例题2】已知函数
，则
的极小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的定义域为
，
求导得
，
，
，则由
，得
或
，由
，得
，
因此函数
在
上单调递减，在
上单调递增，则当
时，
取得极小值
，
所以函数
的极小值为
.
故选：A
【典型例题3】函数f ( x)= x
3−x
2−x +3的极小值是 .
【答案】2
【解析】求导，再根据极小值的定义即可得解.
f
'( x)=3 x
2−2 x −1=(3 x +1)(x −1)，
令f
' (x)>0，得x>1或x<−1
3，令f
' (x)<0，得−1
3 < x<1，
所以函数f (x)在(−∞,−1
3),(1,+ ∞)上单调递增，在(−1
3 ,1)上单调递减，
所以函数f ( x)的极小值是f (1)=1−1−1+3=2.
故答案为：2.
【典型例题4】求函数f (x)=e
2 x−e
x−x的极值.
【答案】极小值f (0)=0，无极大值
【解析】对f (x)求导求单调性，分析导函数的正负即可得f (x)单调性，进而求得极值.
解：因为f (x)=e
2 x−e
x−x，所以f
'( x)=2e
2 x−e
x−1=(2e
x+1)(e
x−1)，
因为x∈R，2e
x+1>0，取e
x−1=0，解得x =0，
当x<0时，f
'( x)<0，f (x)单调递减，
当x>0时，f
'( x)>0，f (x)单调递增，
所以f (x)在x =0处取得极小值f (0)=0，无极大值.
【变式训练1-2-1】已知函数
在
处取得极大值1，则
的极小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．
【变式训练1-2-2】若函数
有两个极值点且这两个极值点互为相反数，则
的极小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2-3】已知函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
则
的极小值为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1
【变式训练1-2-4】若
的一个极值点是
，则
的极大值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2-5】设函数
，若
是函数
的极大值点，则函数
的极小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2-6】若
是函数
的极值点．则
的极小值为（ ）
A．-3
B．
C．
D．0
【变式训练1-2-7】已知函数f (x)= ln x
x ．求f ( x)的极值.
【变式训练1-2-8】已知函数f ( x)= x
3−12 x．
(1)求函数f ( x)的单调区间；
(2)求函数f ( x)的极值．
（三）由函数图像判断极值
【典型例题1】设三次函数f (x)的导函数为f
' (x)，函数y = x f
' (x)的图象的一部分如图所示，则下列说法正确的
是（ ）
A．f (x)的极大值为f (❑√3)，极小值为f (−❑√3)
B．f (x)的极大值为f (−❑√3)，极小值为f (❑√3)
C．f (x)的极大值为f (3)，极小值为f (−3)
D．f (x)的极大值为f (−3)，极小值为f (3)
【答案】C
【解析】由图，根据y = x f
' (x)的符号，判断出f
' (x)的符号，从而得到f (x)的单调性，找出f (x)的极值.
由图象可知，当x =−3和x =3时，x f
' (x)=0，则f
' (−3)= f
' (3)=0；
当x<−3时， x f
' (x)>0，则f
' (x)<0；
当−3< x<0时，x f
' (x)<0，则f
' (x)>0；
当0< x<3时，x f
' (x)>0，则f
' (x)>0；
当x>3时，x f
' (x)<0，则f
' (x)<0.
所以f (x)在(−∞,−3)，(3,+ ∞)上单调递减；在(−3,3)上单调递增；
所以f (x)的极小值为f (−3)，极大值为f (3).
故选：C.
【典型例题2】（多选）函数f (x)的导函数y = f
' (x)在区间(a,b)上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f (x)在x1处有极小值
B．函数f (x)在x2处有极小值
C．函数f (x)在区间(a,b)内有4 个极值点
D．导函数f
' (x)在x3处有极大值
【答案】BD
【解析】根据导函数的图象、极值点、极值的知识求得正确答案.
A 选项，f (x)在x = x1左右两侧的f
' (x)<0，所以x1不是f (x)的极值点，A 选项错误.
B 选项，f (x)在x = x2左右两侧，左侧f
' (x)<0，右侧f
' (x)>0，
所以函数f (x)在x2处有极小值，B 选项正确.
C 选项，根据图象可知，f (x)有3个极值点，x =0左右两侧的f
' (x)>0，
所以x =0不是f (x)的极值点，C 选项错误.
D 选项，f
' (x)的图象在x = x3左右两侧，左侧单调递增，右侧单调递减，
所以f
' (x)在x3处有极大值，D 选项正确.
故选：BD
【变式训练1-3-1】如图是函数y = f (x)的导函数y = f
' (x)的图象，下列结论正确的是（ ）
A．y = f (x)在x =−1处取得极大值
B．x =1是函数y = f (x)的极值点
C．x =−2是函数y = f (x)的极小值点
D．函数y = f (x)在区间(−1,1)上单调递减
【变式训练1-3-2】已知函数f (x)的导函数f
' (x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．−1是函数f (x)的极小值点
B．−3是函数f (x)的极大值点
C．函数f (x)在(−3,1)上单调递增
D．函数f (x)在x =0处的切线斜率小于零
【变式训练1-3-3】已知函数
，其导函数
的部分图象如图，则对于函数
的描述错误
的是（ ）
A．在
上单调递减
B．在
上单调递增
C．
为极值点
D．
为极值点
【变式训练1-3-4】如图，可导函数
在点
处的切线方程为
，设
，
为
的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
，
是
的极大值点
B．
，
是
的极小值点
C．
，
不是
的极大值点
D．
，
是
的极值点
【变式训练1-3-5】定义在
上的函数
，其导函数为
，且函数
的图象如图所示，则
（ ）
A．
有极大值
和极小值
B．
有极大值
和极小值
C．
有极大值
和极小值
D．
有极大值
和极小值
【变式训练1-3-6】设函数
在R 上可导，其导函数为
，且函数
的图象如图所示，则下
列结论中一定成立的是（ ）
A．
有两个极值点
B．
为函数的极大值
C．
有两个极小值
D．
为
的极小值
【变式训练1-3-7】设函数
在
上可导，其导函数为
，且函数
的图像如图所示，则
下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数
有极大值
和极小值
B．函数
有极大值
和极小值
C．函数
有极大值
和极小值
D．函数
有极大值
和极小值
【变式训练1-3-8】如图，已知直线
与曲线
相切于两点，则
有（ ）
A．个极大值点，
个极小值点
B．
个极大值点，个极小值点
C．个极大值点，无极小值点
D．个极小值点，无极大值点
题型02：根据极值（极值点）求参数
【典型例题1】已知函数f (x)的导函数g(x)=(x−1)(x
2−3 x +a)，若1 不是函数f (x)的极值点，则实数a 的值
为（ ）．
A．－1
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【解析】根据极值点的定义即可求解.
由题意可知f
' (x)= g(x)=(x −1)(x
2−3 x +a)，若1 不是函数f (x)的极值点，则h(x)= x
2−3 x +a,h(1)=0，即
1−3+a=0⇒a=2，
当a=2时，f
' (x)=(x−1)(x
2−3 x +2)=(x−1)
2(x−2)，故当x>2,f
' (x)>0 ，当x<2,f
' (x)≤0，因此x =2是
f (x) 的极值点，1 不是极值点，故a=2满足题意，
故选：D
【典型例题2】若函数f (x)=a x
3+3 x
2+b在x =2处取得极值1，则a−b=（ ）
A．-4
B．-3
C．-2
D．2
【答案】D
【解析】通过对函数求导，得出a和b的参数值，即可求出a−b的值.
由题意，x∈R，
在f (x)=a x
3+3 x
2+b中，f
' (x)=3a x
2+6 x，
在x =2处取得极值1，
∴¿，解得：¿，经经验满足题意，
∴a−b=−1−(−3)=2，
故选：D.
【典型例题3】若x =e是函数y =(x−a)ln x的驻点，则实数a的值为 .
【答案】2e
【解析】根据驻点的定义可得f
'(e)=1−a
e +1=0，解得a=2e，验证即可.
由题意知，f
'( x)= ln x−a
x +1( x>0),
因为x =e是函数f ( x)的驻点，所以f
'(e)=1−a
e +1=0，
解得a=2e.
当a=2e时，f
'( x)= ln x−2e
x +1，
当0< x<e时，f
'( x)<0，函数f ( x)单调递减，
当x>e时，f
'( x)>0，函数f ( x)单调递增，
所以x =e是函数f ( x)的驻点.
综上，a=2e.
故答案为：2e.
【典型例题4】函数f (x)=(x
2−4)(x−a)在x =−1取得极值，则a= ．
【答案】1
2/0.5
【解析】由f ( x)在x =−1取得极值，得f
'(−1)=0，求出f ( x)的导数，代入求解，再检验即可．
因为f (x)= x
3−a x
2−4 x + 4 a，
所以f
' (x)=3 x
2−2ax−4，
因为f ( x)在x =−1取得极值，
所以f
' (−1)=3+2a−4 =0，
解得a= 1
2，
所以f
' (x)=3 x
2−x−4 =(3 x−4)( x +1)，
当x<−1时，f
'( x)>0，当−1< x< 4
3 时，f
'( x)<0，
所以x =−1时f ( x)取得极大值，
故答案为：1
2．
【变式训练2-1】若函数
在
上有极值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】已知函数
在
处有极值0，则实数
的值为（ ）
A．4
B．4 或11
C．9
D．11
【变式训练2-3】已知
是函数
的极大值点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-4】若函数
在
处取得极小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-5】若函数
既有极大值也有极小值，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-6】已知函数
在
处取得极值5，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．7
【变式训练2-7】已知三次函数
的极小值点为
，极大值点为
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-8】若函数
有两个极值点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-9】若函数f (x)= x
3+ x
2+mx +1不存在极值点，则实数m 的取值范围是（ ）
A．（1
3
，+∞）
B．（－∞，1
3
）
C．[1
3
，+∞）
D．（－∞，1
3
]
【变式训练2-11】已知函数
在
处有极值
，则
等于（ ）
A．
B．16
C．
或16
D．16 或18
【变式训练2-12】当
是函数
的极小值点，则
的值为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【变式训练2-13】（多选）若函数
既有极大值也有极小值，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-14】若函数f (x)= x
3−2c x
2+ x有极值点，则实数c 的取值范围为 ．
【变式训练2-15】若函数f ( x)=−x
2+ax在区间(−1,0)上恰有一个极值点，则a的取值范围是 .
【变式训练2-16】已知函数f ( x)的定义域为R，f ( x)的导函数f
'( x)=( x −a)( x −2)，若函数f ( x)无极值，则
a= ；若x=2 是f ( x)的极小值点，则a 的取值范围是 .
【变式训练2-17】已知函数
在
处取到极小值
．
(1)求
的值；
(2)求曲线
在点
处的切线方程．
【变式训练2-18】已知函数
在
处取得极大值，求
的值.
【变式训练2-19】若函数
存在极值点，则实数a 的取值范围为 ．
题型03：由导数求函数的最值（不含参）
【典型例题1】已知函数
，
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，设
，则
，利用导数讨论函数
的性质求出
即可.
设
，则
，
所以
，令
，
则
，
令
，函数
单调递减，
令
，函数
单调递增，
所以
，
即
的最小值为
.
故选：C
【典型例题2】若
为函数
的极值点，则函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先由
为函数
的极值点求得a，再利用导数法求解.
，
因为
是函数
的极值点，
所以
，则
，
所以
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
．
故选：C
【典型例题3】函数
的最小值为 .
【答案】1
【解析】借助导数研究函数最小值即可.
，
，设
，
，
所以在R 上
单调递增，由
，可得
，
当
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增．
所以
，
故答案为：
【典型例题4】若
是函数
的极值点.
(1)求实数
的值及
的单调区间；
(2)求函数
在区间
上的值域.
【答案】(1)
，函数
的单调减区间为
，单调增区间为：
(2)
.
【解析】（1）因为函数的定义域为：
，
所以
，
又
是函数
的极值点，
所以
，
此时
因为
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以有
是函数的一个极小值点，
此时
，且函数
的单调减区间为
，
单调增区间为：
（2）由（1）知
，
若
，由（1）知：
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
，
又
，
，
因为
，
所以
，
所以函数
在区间
上的值域为：
【典型例题5】已知函数
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，求
在
上的最小值；
【答案】(1)极大值为
，没有极小值.
(2)0
【解析】（1）当
时，
，定义域：
，
，
令
，则
，
变化时，
，
的变化情况如下表：
0
单调递
增
极大值
单调递减
则
的极大值为：
，
没有极小值；
（2）当
时，
，定义域：
，
，
令
，定义域：
，
，
则
在
上是增函数，则
，所以
，
即
在
上是增函数，则
.
【变式训练3-1】函数f ( x)=2 x +sin x在区间[0,π]上的（ ）
A．最小值为0，最大值为π+1
B．最小值为0，最大值为2π
C．最小值为π+1，最大值为2π
D．最小值为0，最大值为2
【变式训练3-2】函数f ( x)= ln x + 2
x ( x>0)的最小值是 ．
【变式训练3-3】函数f (x)= x−2cos x在区间[0,π]上的最大值为 .
【变式训练3-4】已知函数y = x−sin x，x∈[
π
2 ,π]，则y的最大值为 ．
【变式训练3-5】已知函数
．
(1)当
时，求
在
上最大值及最小值；
【变式训练3-6】已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
在区间
上的最大值；
【变式训练3-7】已知函数
.
(1)求函数
在区间
上的最小值；
【变式训练3-8】已知函数
的图象在
处的切线方程为
.
(1)求
的值；
(2)求
在区间
上的最值.
【变式训练3-9】已知函数
．
(1)
，求函数
的最小值；
(2)若
在
上单调递减，求
的取值范围．
【变式训练3-10】设函数
(1)求
的极大值点与极小值点及单调区间；
(2)求
在区间
上的最大值与最小值．
【变式训练3-11】已知函数
，若
在点
处的切线的斜率为2.
(1)求
的解析式；
(2)求
在
上的单调区间和最值.
题型04：由导数求函数的最值（含参）
【典型例题1】已知函数
(1)当
时，求
极值：
(2)当
时，求函数
在
上的最大值．
【答案】(1)
的极大值为
，极小值为
(2)
【解析】（1）当
时，
，
，
当
或
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
故
在
处取得极大值
，在
处取得极小值
，
综上，
的极大值为
，极小值为
；
（2）
，
，
故
，
，
令
得
或
，
因为
，当
，即
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增，
所以
，
因为
，
，
所以
，所以
；
当
，即
时，
在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
因为
，
，
所以
；
综上：
【典型例题2】已知函数
，是自然对数的底数.
(1)当
，
时，求整数
的值，使得函数
在区间
上存在零点；
(2)若
，且
，求
的最小值和最大值.
【答案】(1)
(2)
，
.
【解析】（1）解：当
，
时，
，
∴
，∴
当
时，
，∴
，故
是
上的增函数，
同理
是
上的减函数，
，
，
，
故当
时，
，当
时，
，
故当
时，函数
的零点在
内，∴
满足条件.
同理，当
时，函数
的零点在
内，∴
满足条件，
综上
.
（2）由已知
①当
时，由
，可知
，∴
；
②当
时，由
，可知
，∴
；
③当
时，
，∴
在
上递减，
上递增，
∴当
时，
，
而
，设
，
∵
（仅当
时取等号），
∴
在
上单调递增，而
，
∴当
时，
，即
时，
，∴
即
.
【典型例题3】已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
的最小值不大于0，求
的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】（1）由函数
，则其定义域为
，
求导可得
，令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
当
时，
，当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减.
综上所述，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）由（1）可知，当
时，无最小值；
则当
时，
在
单调递减，在
单调递增，
则
，
由题意可得：
，由
，则
，解得
.
【变式训练4-1】已知函数
，求函数
在区间
上的最小值．
【变式训练4-2】已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)求
在
上的最小值
．
【变式训练4-3】已知函数
．
(1)若
，
，求函数斜率为的切线方程；
(2)若
，讨论
在
的最大值．
【变式训练4-4】已知函数f (x)=a ln x + 1
2 x−a，a∈R．讨论函数f (x)的最值；
【变式训练4-5】已知函数f (x)=aln x−x．
(1)当a=1时，求函数f (x)的单调区间；
(2)当a>0时，求函数f (x)的最大值．
【变式训练4-6】（1）求函数f (x)= 1
2 x +sin x , x∈[0,2π]的最值．
（2）求函数f (x)= x
e
2 x （e=2.71828⋯是自然对数的底数）的最值．
（3）已知a 为常数，求函数f (x)=−x
3+3ax (0≤x ≤1)的最大值．
【变式训练4-7】设函数f ( x)=e
x−ax
(1)当a=1时，求函数f ( x)在x =0处的切线方程；
(2)当a=2时，求证：f ( x)>0
(3)当a>1时，求函数f ( x)在[0,1]上的最小值
题型05：重点考查由函数的最值求参数
【典型例题1】已知函数
，若
在
内存在最小值，则a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】利用导数确定函数
的单调区间及极小值为
，再令
，得
，最后由
，求解即可.
解：因为
，
所以
，
令
，解得
或
，
所以
在
，
内单调递增，在
内单调递减，
所以极小值为
．
令
，则
，
所以
，
由题意得
，
所以a 的取值范围为
.
故选:C．
【典型例2】若函数
的最小值为
，则实数
（ ）
A．
B．
C．4
D．
【答案】B
【解析】分
三种情况，利用导数讨论函数单调性，求出每种情况下的函数最小值，进而确定
的
值。
因为
，所以
，
由题意，易知
，
当
时，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
在
时，取得最小值，即
，解得
；
当
时，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
无最小值，故舍去；
综上，实数
.
故选：B.
【典型例题3】已知函数f (x)=ax−a−ln x，且f (x)的最小值为0，则a的值为 ．
【答案】1
【解析】利用导数求出f ( x)min= f ( 1
a )，结合已知最小值可得结果.
f (x)=ax−a−ln x的定义域为(0,+ ∞)，
f
'( x)=a−1
x ，
当a≤0时，f
'( x)<0，f ( x)在(0,+ ∞)上为减函数，此时f ( x)无最小值，不合题意；
当a>0时，令f
'( x)<0，得0< x< 1
a；令f
'( x)>0，得x> 1
a，
f ( x)在(0, 1
a )上为减函数，在( 1
a ,+∞)上为增函数，
所以f ( x)min= f ( 1
a )=1−a+ ln a=0，
令g(a)=1−a+ ln a，g
'(a)=−1+ 1
a ，
令g
'(a)>0，得0<a<1，令g
'(a)<0，得a>1，
所以g(a)在(0,1)上为增函数，在(1,+ ∞)上为减函数，
所以当a=1时，g(a)取得最大值g(1)=0，
故a=1.
故答案为：1.
【典型例题4】已知函数f (x)= x ln x−ax的最小值为−1．求a的值；
【答案】a=1
【解析】利用导数求得函数的单调区间可得f ( x)min= f (e
a−1)=−1，计算可得结果.
由题可知f
'( x)= ln x +1−a,
令f
'( x)>0，解得x>e
a−1；令f
'( x)<0，解得0< x<e
a−1.
所以f ( x)在(0,e
a−1)上单调递减，在(e
a−1,+∞)上单调递增，
所以f ( x)min= f (e
a−1)=(a−1)e
a−1−ae
a−1=−1，解得a=1.
【典型例题5】已知函数f ( x)= x
3−6 x
2+9 x．
(1)求函数f ( x)的单调区间；
(2)若f ( x)在区间[1,m]上的最小值为0，求m的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为(−∞,1)，(3,+∞)，单调递减区间为(1,3)
(2)m≥3
【解析】（1）首先求函数的导数，根据导数和单调性的关系，即可求解；
（2）根据（1）的结果，结合函数的最小值，即可确定m的取值范围.
（1）由题可知f
'( x)=3 x
2−12 x +9，
令f
'( x)=0，即3 x
2−12 x +9=0，解得x =1或x =3，
当x变化时，f
'( x)，f ( x)的变化情况如下表：
x
(−∞,1)
1
(1,3)
3
(3,+∞)
f '( x) +
0
−
0
+
f ( x)
单调递
增
极大值
单调递
减
极小值
单调递增
所以f ( x)的单调递增区间为(−∞,1)，(3,+∞)，单调递减区间为(1,3).
（2）因为f ( x)在区间(1,3)上单调递减，在区间(3,+∞)上单调递增，
又有f (1)= 4，f (3)=0，要使f ( x)在区间[0,m]上的最小值为0，则m≥3.
【典型例题6】已知函数
，
．
(1)若函数
在区间
内单调递增，求实数
的取值范围；
(2)记函数
，若
的最小值是
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因为
，则
，
由题意知
在区间
内恒成立，
所以，
在区间
内恒成立．
令
，
，因为
恒成立，
所以
在区间
内单调递减，
所以
，所以
，即实数
的取值范围为
．
（2）解：
，其中
．
因为
，
①当
时，
对任意的
恒成立，
所以
在区间
内单调递增，此时，
无最小值，不合题意；
②当
时，令
，则
或
（舍去），
当
时，
；当
时，
.
所以，函数
在区间
内单调递减，在区间
内单调递增，
则
是函数
的极小值点，也是最小值点，
所以
，
解得
，合乎题意.
综上所述，
.
【变式训练5-1】已知函数
在区间
上的最小值为
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-2】若函数
的最小值为
，则实数
（ ）
A．
B．
C．4
D．
【变式训练5-3】已知
是函数
的极值点，且曲线
在点
处的切线斜率为
，若
在区间
上存在最小值，求实数m 的取值范围．
【变式训练5-4】已知函数
的最小值为0，则a 的值为 .
【变式训练5-5】已知函数
的最小值为1，则
的取值范围为 .
【变式训练5-6】函数f (x)=2 x
3−6 x
2+m（m 为常数）在[−2,2]上有最大值3，那么m= ．
【变式训练5-7】已知
是函数
的极值点，若函数
在
上存在最小值，求
的取
值范围．
【变式训练5-8】设
.当
时，
在
上的最小值为－
，求
在该区
间上的最大值.
【变式训练5-9】已知函数
（
）.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)若
为
的极大值点，求
的取值范围；
(3)若
存在最小值，直接写出
的取值范围.
【变式训练5-10】已知
是函数
的极值点．
(1)求
的值；
(2)若函数
在
上存在最小值，求的取值范围．
【变式训练5-11】已知函数
.
(1)若
，求
在定义域内的极值；
(2)当
时，若
在
上的最小值为
，求实数
的值．
【变式训练5-12】已知函数
.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)当
时，函数
在
上的最小值为3，求实数
的值.
【变式训练5-13】已知函数
的定义域为
，其中
.
(1)若
是函数
的一个驻点，求a 的值；
(2)函数
在区间
上严格增，求a 的取值范围；
(3)当
时，若函数
，
在
处取得最大值，求a 的取值范围.
【变式训练5-14】已知
是函数
的极值点．
(1)求
的值；
(2)若函数
在
上存在最小值，求
的取值范围．
【变式训练5-15】已知函数
的最小值为0，则a 的值为 .
【变式训练5-16】
1.已知函数
，曲线
在点
处的切线斜率为
．
(1)求
的值；
(2)当
时，
的值域为
，求
的值．
2.已知函数
，
．
(1)若曲线
关于点
对称，求a 的值；
(2)若
在区间
上的最小值为1，求a 的取值范围．
【变式训练5-17】已知函数
，
．
(1)求证：当
时，
；
(2)已知函数
在区间
上的最小值为1，求实数
的值．
【变式训练5-18】已知函数
．
(1)若
在
上单调递减，求a 的取值范围；
(2)若
的最小值为3，求a．
题型06：函数最值与恒成立问题
【典型例题1】若
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．
B．2
C．1
D．
【答案】D
【解析】先确定
时的情况，在当
时，参变分离可得
，构造函数
，求出
函数
的最小值即可.
当
时，
，不等式成立；
当
时，
恒成立，即
，
令
，则
，
因为
时，
（后证）
所以当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递减，
故
，
所以
，即实数
的最大值为
.
证明当
时，
，
令
，
，则
，
则
在
上单调递增，所以
，即
.
故选：D.
【典型例题2】已知不等式
恒成立，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】根据给定条件，分离参数构造函数，求出函数的最大值即得.
当
时，不等式
，令
，
，
依题意，
恒成立，由
，求导得
，
当
时，
，当
时，
，
因此函数
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，
从而
，即
，所以
的取值范围是
.
故答案为：
【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题常用分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最
值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，
恒成立，只需
即可；
恒成立，只需
即可.
【典型例题3】已知函数
.
(1)若
，求
的极值；
(2)若
在
上恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)极大值为
，极小值为
；
(2)
.
【解析】（1）把
代入，利用导数探讨单调性并求出极值即可.
（2）根据给定条件，分离参数构造函数，再利用导数求出最大值即得.
（1）当
时，函数
定义域为R，求导得
，
当
时，
；当
时，
，
函数
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
，
所以
的极大值为
，
的极小值为
.
（2）由
在
上恒成立等价于
在
上恒成立，
令
，求导得
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
，于是
，
所以
的取值范围为
.
【变式训练6-1】已知
，设函数
，若关于
的不等式
在
上恒成立，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-2】已知函数
，若不等式
对于所有
恒成立，则实数
的取值范围是 .
【变式训练6-3】已知函数
(1)当
时，求
的最小值；
(2)若关于x 的不等式
恒成立，求a 的取值范围．
题型07：重点考查函数单调性，极值，最值综合应用
【典型例题1】已知函数
若
有3 个实数解，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
时，
，利用导数求函数单调区间，可证得此时
有2 个实数解，则
时，
，
在定义区间内有1 个实数解，利用函数单调性和最值列不等式求实数
的取值
范围.
时，
，
，
解得
，
解得
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
，
所以方程
在
和
上各有1 个实数解，
时，
，函数在
上单调递减，
依题意，
在
上有1 个实数解，
则
，解得
.
实数
的取值范围为
.
故选：B
【典型例题2】已知函数
，若
在
存在零点，则实数
的最小值是 .
【答案】1
【解析】构造函数
，
，利用导数求解函数的单调性，进而求解函数的最值，即
可求解.
令
，即
，
令
，
，
而
，
令
，
，
则
，即函数
在
上单调递增，
因为
，
，即
，
所以存在唯一的
，使得
，即
，即
，
，
所以当
时，
，
，函数
单调递减；
当
时，
，
，函数
单调递增，
所以
，
又
时，
，
所以要使
在
存在零点，则
，所以实数a 的最小值为1.
故答案为：1
【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
8．已知函数
．
(1)当
，求
的单调区间；
(2)若
有三个零点，求
的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
(2)
【解析】（1）利用导数研究函数的单调性即可得到答案；
（2）由
，把函数
的零点个数问题等价转化为，两个函数的交点个数问题，令
，
利用导数法研究函数
的单调性和极值，进而结合函数图象得到实数
的取值范围．
（1）将
代入可得
，其定义域为R，则
.
和
都在
上增函数，所以
在
上单调递增且
，
因此，当
时，
，函数
为单调递减；
当
时，
，函数
为单调递增；
综上所述，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
（2）（2）由
得，
，令
，
则
，
时，
单调递减；
时，
单调递增；
时，
单调递减；
由单调性可知，当
时，
；
当
时，
；
当
时，取得极小值，即
；
当
时，取得极大值，即
.
所以
和
的大致图象如下：
综上所述，若
有三个零点，则
的取值范围为
．
【典型例题3】已知函数
在
处有极值-1.
(1)求
的值；
(2)若函数
在
上单调递增，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）求出函数的导数，根据题意可列出相应方程，即可求得
的值，验证后即可确定答案；
（2）由题意得
在
上恒成立，继而参变分离得
在
内恒成立.，构造函数
，求出函数的最小值，即可求得答案.
（1）由题意知
，
因为
在
处取得极值-1，
所以
，
解得
，
即
，
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
即
在
处取得极小值-1，符合题意，
故
.
（2）
在
上恒成立，
即
在
内恒成立.
令
，
则
，令
，得
或
，
令
，得
或
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，所以
，
所以
，经验证
时，
，即
符合题意，
即
的取值范围为
.
【点睛】方法点睛：解答第二问根据函数的单调区间求解参数取值范围，得到不等式
在
上恒成立，即可参变分离，转化为不等式
在
内恒成立，继而构造函数，将问题转化为求解函
数的最值问题.
【变式训练7-1】已知函数
有两个极值点为
，
.
(1)当
时，求
的值；
(2)若
（为自然对数的底数），求
的最大值.
【变式训练7-2】已知函数
．
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)若函数
在
上恰有一个极小值点，求实数
的取值范围；
(3)若对于任意
恒成立，求实数
的取值范围．
【变式训练7-3】已知函数
在
处有极值-1.
(1)求
的值；
(2)若函数
在
上单调递增，求
的取值范围.
【变式训练7-4】已知函数
.
(1)证明：曲线
在点
处的切线经过定点.
(2)证明：当
时，
在
上无极值.
【变式训练7-5】已知向量
（
为常数，是自然对数的底数），曲线
在点
处的切线与y 轴垂直，
．
(1)求
的值及
的单调区间；
(2)已知函数
（a 为正实数），若对于
，总存在
，使得
，求实
数
的取值范围．
【变式训练7-6】已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)设
，当
时，若存在
，对任意
，使
成立，求实数
的取
值范围；
(3)当
时，恒有
成立，求实数
的取值范围．
【变式训练7-7】已知函数
有两个极值点为
，
.
(1)当
时，求
的值；
(2)若
（为自然对数的底数），求
的最大值.
