第04 讲 抛物线的焦点弦
目 录
思维导图...................................................................................................................................................1
高考分析...................................................................................................................................................2
学习目标...................................................................................................................................................2
知识要点...................................................................................................................................................3
解题策略...................................................................................................................................................7
题型归纳...................................................................................................................................................8
题型01：焦半径的坐标公式.....................................................................................................................8
题型02：焦半径的倾斜式.......................................................................................................................12
题型03：焦点弦的弦长公式................................................................................................................... 13
题型04：焦点弦长的倾斜式................................................................................................................... 17
题型05：抛物线的通径问题................................................................................................................... 18
题型06：AF,BF 数量关系.......................................................................................................................19
题型07：与抛物线焦点弦有关的比例问题..............................................................................................20
题型08：面积........................................................................................................................................ 23
题型09：横纵坐标之积定值................................................................................................................... 24
题型10：焦点弦的几何性质................................................................................................................... 24
题型11：梯形转化................................................................................................................................. 27
题型12：焦点弦的最值问题................................................................................................................... 31
题型13: 解答题.....................................................................................................................................32
1.高考地位
抛物
焦点弦是
曲
最高
、套路最
、性价比极高的考点，新高考、全国卷必考：
线
圆锥
线
频
强
①
、填空
：直接考焦点弦
、角度、定
、最
、二
，
度中等偏易
选择题
题
长
值
值
级结论难
②解答
：常作
第一
或关
中
步
，
合定点、定
、范
、向量、中点弦
合考
题
为
问
键
间
骤结
值
围
综
查
③常和点差法、
达定理、焦半径、定
化捆
出
韦
义转
绑
题
2.命
特点
题
（1）. 核心依托抛物
定
（抛物
上点到焦点距离
线
义
线
=到准
距离），几乎所有焦点弦
都从定
推
。
线
结论
义
导
（2）. 高
考
方向：
频
查
①焦点弦
公式、最短焦点弦（通径）
长
②焦半径公式、
斜角表示弦
倾
长
③焦点弦端点坐
关系、倒数和
定
标
为
值
④定点、垂直、直角、中点、
迹
轨
问题
3.易
点：
错
①忽略直
斜率不存在（垂直
线
x
，通径） 特殊情况
轴
②混淆
斜角与斜率关系
倾
③直接背
不推
，大
被扣分
结论
导
题
4.
度与分
难
值
①
填空：
选择
5 分，秒
，熟
二
可直接秒
杀题
练
级结论
②解答
：
题4–6 分，中档
度，
算量适中，属于必
拿
分板
难
计
须
满
块
一.基
目
（必掌握）
础
标
1. 能熟
运用抛物
定
，把焦半径、焦点弦
化
到准
距离，不用死
硬背。
练
线
义
长转
为
线
记
2. 掌握焦点弦长2 套公式：
3.
住通径：
焦点垂直
称
的弦，是最短焦点弦。
记
过
对
轴
二.
目
（高分必
）
进阶
标
备
1. 熟
推
并能默写焦点弦
典二
（大
可
推
，小
直接用）：
练
导
经
级结论
题
简单
导
题
2. 会
理斜率存在
处
/不存在两
情况，分
不
解。
类
类讨论
丢
3. 能
合
达定理、向量、垂直、定点定
解决
合
。
结
韦
值
综
题
三．能力目标
1. 能区分焦点弦 vs 中点弦的不同解法：
①中点弦 →
先点差法
优
② 焦点弦 →
先定
优
义+
达
韦
+二级结论
2.
范
写大
步
，不直接套用
，会
推
即可得分。
规
书
题
骤
结论
简单
导
知识点一：抛物线焦点弦的常用结论
抛物
方程
设
线
为
，准线
与
相交于点
轴
，
焦点
过
的直线与抛物
相交
线
于
两点，
原点，
为
为
与
称
正向所成的角，
对
轴
的中点为
，又作
，垂足分别为
，则
（1）
．
明：因
焦点坐
证
为
标为
，当AB 不垂直于x
，可
直
轴时
设
线AB 的方程
：
为
，由
得：
，
，
．
当
，直
轴时
线AB 方程为
，则
，
，∴
，同上也有：
．
（2）焦半径
公式：
长
（坐
式）；
标
角式：
夹
（
在
上方，
轴
在
下方）．
轴
明：由抛物
的定
易得
证
线
义
．
又
，同理可证
．
（3）焦点弦
公式：
长
．
明：由（
证
2）可得弦
：
长
（4）通径
公式：
长
（通径最短）．
明：当
证
，直
轴时
线AB 方程为
，则
，
，∴通径
公式：
长
．
（5）AF，BF 的数量关系：
．
明：由
证
，得
，又
，
．
（6）三角形AOB 的面
：
积
．
明：点
证
到直线
的距离
就是的
高，
，
．
（7）中点弦斜率：若
斜率为
，
，则
．
明：
证
，由点差法得
（8）直线
的斜率之和
零
为
，即
．
明：
证
，
，
，
分子
，
直线
的斜率之和
零：
为
，即
．
（9）焦点弦与
有关的
圆
结论
①以
直径的
为
圆
与准
相切；
线
（以抛物
焦点弦
直径的
与准
相切
线
为
圆
线
）
②以
直径的
为
圆
与
相切；
轴
③以
直径的
为
圆
与
相切；
轴
④分
以
别
直径的
之
的关系：
为
圆
间
圆
与圆
外切；圆
与圆
既与
相切，又与
轴
圆
相内
切．
明：
证
过
点作
于
，则
是梯形
的中位
，由抛物
的定
知
线
线
义
，
即以
直径的
为
圆
与准
相切，同理可
②，③．
线
证
④
分
以
别
直径的
有以下关系：
为
圆
圆
与圆
外切；圆
与圆
既与
相
轴
切，又与圆
相内切．
拓展：
抛物
焦点弦的两端点向准
作垂
，以两垂足
直径端点的
与焦点弦相切
过
线
线
线
为
圆
已知AB 是抛物线
的
焦点
过
F 的弦，分
点
别过
A、B 作准
的垂
，垂足
点
线
线
为
M、N，求
：以
证
MN
直径的
与直
为
圆
线AB 相切.
（10）由焦点弦得出有关直
垂直关系的
线
结论
①以
直径的
的
心在准
上的射影
为
圆
圆
线
与
两点的
互相垂直，即
连线
；
②以
直径的
的
心在
为
圆
圆
上的射影
轴
与
两点的
互相垂直，即
连线
；
③以
直径的
的
心在
为
圆
圆
上的射影
轴
与
两点的
互相垂直，即
连线
；
④以
直径的
必
原点，即
为
圆
过
；
⑤
．
明：①
证
准
与
线
圆
相切，
圆
的
心在准
上的射影
圆
线
就是切点，
直径所
的
周角是直角，
对
圆
．同理可
②，③：
证
．
④由抛物
的定
知
线
义
，
//
//
，
，而
，即
．
⑤易知
，又
．
（11）点
三点共
；点
线
三点共
．
线
明：由（
证
1）知
．
点
三点共
．同理可
：点
线
证
三点共
．
线
（12）如
，点
图
A，B 是抛物线
，O
原点，若
为
，
直
则
线AB
定点
过
．
明：
证
．设
，则
，直线
方程为
，
即
，
直线AB
定点
过
．
知识点二：与抛物线焦点弦有关的比例问题
一般地，与抛物
焦半径有关的比例
，可采用构造相似三角形，
找相似比例
行
化
线
问题
寻
进
转
.
已知抛物线E：
的焦点为
，准线为.过点
的的直线m 与E 交于A，B 两点，与y
交于点
轴
C，与交于点D.
点
过
A，B，C，D 分
作两
的垂
，可构成如
的多
相似三角形，
别
轴
线
图
对
如：
~
，因此
有
；如
~
，因此有
等。一
般地，
了利用比例
行
化，需要用两个条件：一是利用抛物
的定
行
化；二是要把比例式
化成含有
为
进
转
线
义进
转
转
（即含p）的比例式.
1：选填常用解题方法
（1）定
法（核心）：利用 “抛物
上点到焦点
义
线
= 到准
距离”，
化
段
度、求最
，
迹，避开复
立，
线
转
线
长
值轨
杂联
小
秒
首
。
题
杀
选
（2）待定系数法：
抛物
准方程（先定开口方向），代入已知点，焦点，准
，求参数
设
线标
线
，快速写方程，基础
必用。
题
（3）
达定理法：直
与抛物
立，
而不求，用
达定理代
韦
线
线联
设
韦
换
，求弦
、中点、面
、定点定
长
积
值，
大
核心解法。
题
（4）性
法：熟
焦半径、焦点弦、通径、焦点弦中点坐
等
，直接套用，大幅提速（如焦点弦
质结论
记
标
结论
长
）。
（5）数形
合法：画
像分析开口、焦点位置、直
与抛物
交点，判断最
范
、位置关系，
避漏解，
解
结
图
线
线
值
围
规
错
。
（6）坐
化法：
抛物
上点坐
（如
标转
设
线
标
设为
），
化向量、距离、斜率
算，减少运算量。
简
计
2：常用解题技巧
焦点
过
的直线
（
斜角
倾
为
）与抛物
交于
线
两点，
，
，
为
中点，过
两点，分
做准
的垂
交垂
于
别
线
线
线
两点，
有以下
：
则
结论
（1）
；
．
（2）焦半径坐
式：
标
.
（3 ）焦半径
斜式：
倾
，且
.
（4）
（5）以弦AB
直径的
与准
相切，以
为
圆
线
AF 或者BF
直径的
与
为
圆
y
相切；
轴
（6）
三点共
，
线
三点共
．
线
（7）
，
.
（8）
.
（9）过
分
做抛物
的切
，切
交点在准
上，交点
别
线
线
线
线
为
，且
与
平行
轴
.
（10）
.
（11）
.
题型01：焦半径的坐标公式
（一）焦半径及焦半径求参数
x
y
O
A
B
E
F
A1
B1
M
N
【典型例题1】已知抛物线
的焦点为F，准线为，点P 为C 上一点，过P 作的垂
，垂足
线
为A，若AF 的
斜角
倾
为
，则
（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】A
【
解】由
意，得
详
题
，准
方程
线
为
，
准
与
设
线
交于点
轴
K，
，则
，如
，
图
因为AF 的
斜角
倾
为150°，所以
，
故
，所以
，
故
，解得
，
所以
.
故
：
选A.
【典型例题2】
抛物
设
线
的焦点为
点A 在C 上，过A 作
的准
的垂
，垂足
线
线
为B．若直线
BF 的方程为
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【
度】
难
0.85
【知
点】根据抛物
方程求焦点或准
、抛物
的焦半径公式
识
线
线
线
【分析】先由直线
求出焦点
和
即抛物线
的方程，
而依次得抛物
的准
方程和点
进
线
线
B，从而可依次求出
和
，再由焦半径公式即可得解.
【
解】
详
对
，令
，则
，
所以
，
即抛物线
，故抛物
的准
方程
线
线
为
，
故
，则
，代入抛物线
得
.
所以
.
故
：
选C
【典型例题3】已知
抛物
为
线
的焦点，点
（异于坐
原点）在
标
上，若点
到
的距离
轴
等于其到
的距离，且
轴
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据抛物
的定
算求参即可
线
义计
.
【
解】由
意不妨
详
题
设
，则
，
所以
，
由抛物
的定
可知，
线
义
，解得
，
故
：
选D.
【变式训练1-1-1】已知A，B 是抛物线
（
）上不同两点，点F 是抛物
的焦点，且
线
（O
坐
为
标
原点）的重心恰为F，若
，则
（ ）
A．8
B．
C．
D．
【变式训练1-1-2】设
是抛物线
的焦点，
，
是
上不同于
的
点的两点，以
顶
和
为
切点的两条切
相交于点
线
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【变式训练1-1-3】已知
坐
原点，
为
标
抛物
为
线
的焦点，点
在
上，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【变式训练1-1-4】
抛物
设
线
的焦点为F，过C 上一点A 作其准
的垂
，
垂足
线
线设
为B，若
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式训练1-1-5】如
，
图
是抛物线
上的一点，
是抛物
的焦点，以
线
始
、
为
边
的角
为终边
，则
.
【变式训练1-1-6】
直
设
线
与抛物线C：
相交于点A，B，点F
抛物
为
线C 的焦
点.若
，
点
则
F 的坐标为 .
（二）焦半径坐标式求值，最值和范围
【典型例题1】若A，B，C 均在抛物线
上，直线
与此抛物
交于
线
M，N 两点，弦MN 中点为
的重心，则
（ ）
A．12
B．15
C．18
D．24
【答案】B
【分析】先求
中点横坐
，再利用重心性
求
标
质
A，B，C 横坐
之和，
合抛物
定
即可求解
标
结
线
义
.
【
解】抛物
详
线
，准线
，焦点
.
立
联
，得
，
中点横坐标
.
设
，由重心性
可知：
质
，得
.
所以
.故
：
选B.
【典型例题2】已知直线
与抛物线
相交于A，B 两点，且点
坐标为
，则
的取
范
（
值
围为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【
解】由
可知
详
题
,所以有
，
入
带
得
，
整理得
，判
式
别
恒成立，
设
，则
易知，点
抛物
的焦点，
为
线
所以
当且
当
仅
，等号成立，所以
时
的取
范
值
围为
.
故
：
选B
【典型例题3】已知点F 是抛物线
的焦点，
点
过
的直线l 与曲线E 交于点A，B，若
的最小值为14，则E 的准
方程
（
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先判断直线的斜率存在，
直
设
线的方程为
，代入抛物
方程化
，根据根与系数的关系及基本
线
简
不等式即可求得
果
结
.
【
解】当直
详
线斜率存在
，
直
时设
线的方程为
，由
，得
，
，
设
，则
，且
，当直线的斜率不存在
，
直
时则
线为
，
，
所以
，
当且
当
仅
，即
取等号，所以
时
的最小值为
，
所以
，得
，所以抛物线E 的准
方程
线
为
，
故选：D
【变式训练1-2-1】已知抛物线
的焦点为
，其通径长为8，
直
动
线
点
过
且与抛物
交于
线
两点，
的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2-2】已知抛物线
的焦点是
，直线
均
焦点
过
且互相垂直，则
的
是
值
（ ）.
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2-3】
点
过
且
斜角
倾
为
的直线交曲线
于
两点（点
在点
的上方），
为
的焦点，则
（ ）
A．4
B．
C．2
D．
【变式训练1-2-4】已知抛物线
：
的焦点为
，
点
过
的直线与
交于
，
两点，
下列
法正确的
则
说
是（ ）
A．焦点
到抛物线
的准
的距离
线
为8
B．
C．若
的中点的
坐
纵
标为4，则
D．若
，则
【变式训练1-2-5】已知抛物线
(其中
)的焦点为
，点
在抛物
上，若
线
，且
的最小值为
，
点
则
到抛物线
的准
的距离
线
为
【变式训练1-2-6】已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F.
点
过
2,0 的直线l 与抛物
分
交于
线
别
A B
,
两点，则
4
AF
BF
的最小值为 .
【变式训练1-2-7】已知
抛物
为
线
：
的焦点，
，
，
为
上的三点，若
，则
.
题型02：焦半径的倾斜式
【典型例题】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C 的焦点F 的直
交
线
C 于A，B 两点，交C 的准
于
线
P，且PB
→
=3
BF
→，|AF|＝3，则C 的方程
（ ）
为
A．y2＝x
B．y2＝2x
C．y2＝4x
D．y2＝6x
【分析】作出
形，
图
过B 作BQ 垂直准
于点
线
Q，
直
设
线AB 的
斜角
倾
为θ，
根据
意易得
则
题
cosθ＝cos∠PBQ
=|BQ|
| PB| = 1
3，再根据抛物
的
斜角的焦半径公式，即可求解．
线
倾
【解答】解：如
，
图过B 作BQ 垂直准
于点
线
Q，
直
设
线AB 的
斜角
倾
为θ，
由
则
PB
→
=3BF
→，|PB|＝3|BF|＝3|BQ|，
∴cosθ＝cos∠PBQ=|BQ|
| PB| = 1
3
，
又|AF|＝p+|AF|cosθ，
∴|AF|=
p
1−cosθ =
p
1−1
3
=3，解得p＝2，
∴抛物线C 的方程为y2＝4x．
故
：
选C．
【变式训练2-1】
抛物
过
线
的焦点
的直
交
抛物
于
线
该
线
两点，若
，则
= _____________．
【变式训练2-2】已知抛物线
的焦点为
，
焦点
过
的直
交抛物
与
线
线
两点，且
，
物
的准
方程
则拋
线
线
为________.
【变式训练2-3】已知抛物线
，其焦点为
，准线为，
焦点
过
的直
交抛物
线
线
于点
、
（其中
在
上方），
轴
，
两点在抛物
的准
上的投影分
线
线
别为
，
，若
，
，则
____________.
题型03：焦点弦的弦长公式
弦长
（
弦
为
所在直
的斜率）
线
.
【典型例题1】
抛物
过
线y
2=2 px( p>0)的焦点F作
斜角
倾
为60
∘的直
，与抛物
交于
线
线
A ,B两点，若
| AB|=8，则p的
（）
值为
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B
解析：抛物
焦点
线
F(
p
2 ,0)，直
方程
线
为y = ❑√3(x−p
2)。
立
联{
y = ❑√3(x−p
2)
y
2=2 px )
，消去y得
3 x
2−5 px + 3 p
2
4 =0。设A(x1, y1),B(x2, y2)，则x1+ x2= 5 p
3
。焦点弦长
| AB|= x1+ x2+ p= 5 p
3 + p= 8 p
3 =8，解得p=3，故选B。
【典型例题2】已知抛物线
：
的焦点为F，过F 且斜率大于零的直线l 与
及抛物线
：
的所
有公共点从右到左分
点
别为
A，B，C，则
（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【解析】由
意可得
题
，
直
设
线的方程为
，
由
意可得直
题
线与抛物线
必有2 个交点，
与抛物线
相切，
立方程
联
组
，可得
，
所以
，解得
，故直线的方程为
，
与抛物线
方程
立
联
，得
，
设
，
，则
，所以
.故
：
选C.
【典型例题3】已知抛物线
的焦点为
，其通径长为8，
直
动
线
点
过
且与抛物
交于
线
两点，
的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据通径
求出
长
，可得
，设
，直线的方程为
，与抛物
方程
立，
线
联
得到
，根据抛物
的定
可得
线
义
，利用基本不等式即可求解.
【
解】因
抛物
详
为
线
的通径长为8，所以
，解得
，所以抛物线
，焦点
.
设
，直线的方程为
,
立方程
联
组
，可得
，
,
则
,
，所以
，当且
当
仅
等号成立
时
,
所以
的最小值为
.故选:D.
【典型例题4】（多选）已知抛物线
：
（
）与圆
：
相交于
，
两点，
段
线
恰为圆
的直径，且直线
抛物
过
线
的焦点
，又
是抛物线
焦点
过
的另一
弦，
以下
正
动
则
结论
确的是（ ）
A．
B．
C．
的周
可以
长
为14
D．当
，
时
【答案】AC
【知
点】抛物
定
的理解、与抛物
焦点弦有关的几何性
、直
与抛物
交点相关
、根据
达定理求参
识
线
义
线
质
线
线
问题
韦
数
【分析】对A：利用抛物
的定
和焦点弦的
度公式可得
线
义
长
，再根据
点的坐
可得
标
，列
式可得
的
，可判断
值
A 的真假；对B：
直
设
线
的方程为
，
，
，
合
达定理和焦
结
韦
半径公式，可用
表示出
，再
合基本不等式，可求其最小
，判断
结
值
B 的真假；
合抛物
定
，取抛
结
线
义
物
上一点
线
，可得
，
而求出
进
周
的最小
，可判断
长
值
C 的真假；根据两三角形的
面
关系，
合
达定理，可求弦
积
结
韦
的
，判断
长
D 的真假.
【
解】
于
详
对
A，如
，
图
分别过
，
，
作抛物
准
的垂
，垂足分
线
线
线
别为
，
，
，
由于
的直径
圆
焦点
过
，则
到准
的距离
线
为
，
又
，∴
，解得
，故A 正确；
于
对
B，
直
设
线
的方程为
，
，
，
又抛物线
：
，由
可得
，
则
，
，
，
（当且
当
仅
等号成立），故
时
B
；
错误
于
对
C，∵
，
，∴
，设
的周长为，
如
：
图
点
过
向抛物
准
作垂
，垂足
线
线
线
为
，
则
，
周
的最小
长
值为
，故C 正确；
于
对
D，如
：
图
∵
，∴
，
∵
，则
，解得
或
（舍），
∴
，∴
，故D 错误.
故
：
选AC
【变式训练3-1】已知抛物线
的焦点
与
的一个焦点重合，
焦点
过
的直
与
线
交于
，
两不同点，抛物线
在
，
两点
的切
相交于点
处
线
，且
的横坐标为4，
弦
则
长
（ ）
A．16
B．26
C．14
D．24
【变式训练3-2】已知抛物线
焦点为
，过
的直线与抛物
交于
线
两点（点
在第一象限），其准线
与
交于点
轴
，若
段
线
的垂直平分
恰好
线
过
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【变式训练3-3】设
坐
原点，直
为
标
线
抛物
过
线
的焦点，且与
交于
两
点，为
的准
，
线则不正确的是（ ）
A．
B．
C．以
直径的
与
为
圆
相切
D．
的面积为
【变式训练3-4】已知抛物线
的焦点是
，直线
均
焦点
过
且互相垂直，则
的
是
值
（ ）.
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-5】已知点F 是抛物线
的焦点，
点
过
的直线l 与曲线E 交于点A，B，若
的最小值为14，则E 的准
方程
（
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-6】已知抛物线
的焦点为
，准线为，点A，B 在上，直线AF 与抛物线
交于
M，N，
到准
的距离
线
为3，M，O，B 三点共
，若
线
，则
（ ）
A．1
B．9
C．1 或9
D．9 或18
【变式训练3-7】已知抛物线
的焦点为
，过
的直
交抛物
于
线
线
、
两点，若
，则
的中点到准
的距离
（
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-8】抛物线
的焦点为
，
焦点的直
过
线与抛物线
相交于
两点，则
下列
法一定正确的是（
说
）
A．
的最小值为2
B．
段
线
直径的
与直
为
圆
线
相切
轴
C．
定
为
值
D．若
，则
【变式训练3-9】
抛物
过
线y2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物
交于
线
A，B 两点．若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A．4 B． C．5 D．6
【变式训练3-10】（多选）抛物
有如下光学性
：由其焦点射出的光
抛物
反射后，沿平行于抛物
线
质
线经过
线
线对
称
的方向射出；反之，平行于抛物
称
的入射光
抛物
反射后必
抛物
的焦点．已知抛物
轴
线对
轴
线经
线
过
线
线
的焦点为
坐
原点，一束平行于
为
标
的光
轴
线从点
射入，
抛物
上的点
经过
线
反射
后，再
抛物
上另一点
经
线
反射后，沿直线
射出，
下列
中正确的是（
则
结论
）
A．
B．若点
，则
C．直线与
的距离最小
间
值为2
D．直线与直线
相交于点
，则
三点共线
【变式训练3-11】已知抛物线
的焦点为
，
点
过
且斜率为
的直线交抛物线
于
两点，
段
则线
的长为 ．
【变式训练3-12】已知抛物线
的焦点为
，
点
过
且不与
垂直的直
与
轴
线
交于
两点，过
的中点
作
的平行
交
轴
线
于
点，则
.
【变式训练3-13】已知抛物线C : x
2=2 py( p>0)的焦点为F，过F的直线l与C交于A ,B两点，AB的中点为M，
且| AB|=10，点M到x
的距离
轴
为3。
（1）求抛物线C的方程；
（2）求直线l的方程。
【变式训练3-14】已知抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，过F的直线l与C交于A ,B两点，O
坐
原点，若
为
标
∆AOB的面积为2❑√2。
（1）求直线l的斜率；
（2）求以AB
直径的
的方程。
为
圆
题型04：焦点弦长的倾斜式
【典型例题1】抛物线
的焦点为
，
焦点
过
且
斜角
倾
为
的直线与抛物线
相交于
两
点，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】抛物线
，即
，2 p=4 ,∴p=2，所以
，故选D.
【典型例题2】设
抛物
为
线
的焦点，
点
过
且
斜角
倾
为
的直
交
线
于
两点，
（ ）
A．12
B．10
C．9
D．6
【答案】A
【分析】
立直
与抛物
的方程可得
达定理，
而根据焦点弦的公式即可求解，或者利用二
求解
联
线
线
韦
进
级结论
.
【
解】方法一：由
意知抛物
焦点
详
题
线
，所以直线
.
由
得
.
设
，
,
由抛物
的几何性
，得
则
线
质
.
方法二：由于
，因为
，所以
.故
：
选A.
【变式训练4-1】设
抛物
为
线
的焦点，
点
过
且
斜角
倾
为
的直
交
线
于
两点，
（ ）
A．12
B．10
C．9
D．6
【变式训练4-2】
抛物
过
线C : y
2= 4 x的焦点F作直线l，与抛物
交于
线
A ,B两点，若| AF |=2|BF |，
直
则
线l
的斜率
（
为 ）
A．± ❑√2 B．±2❑√2 C．±
❑√2
2
D．±
❑√2
4
【变式训练4-3】
抛物
经过
线
的焦点
，
斜角
倾
为
的直线与
交于
，
两点，若线
段
的中点
的横坐标为7，那么
__________．
【变式训练4-4】抛物线y
2=2 px( p>0)的焦点为F，过F的直
与抛物
交于
线
线
A ,B两点，若∆OAB（O
原
为
点）的面积为2❑√2，且| AB|=6，则p的
（）
值为
A．❑√2 B．2❑√2 C．2 D．4
题型05：抛物线的通径问题
【典型例题1】已知点
到抛物线
的准
的距离
线
为4，那么抛物
的通径（
焦点并垂直于
的弦）
线
过
轴
是（
长
）
A．8
B．8 或24
C．12
D．12 或24
【答案】B
【分析】考虑
和
两种情况，根据点到准
的距离得到抛物
方程，再
算通径得到答案
线
线
计
.
【
解】
详
，即
，
当
，准
方程
时
线
为
，故
，
，抛物
方程
线
为
，
焦点
，当
，
时
，通径长为；
当
，准
方程
时
线
为
，故
，
，抛物
方程
线
为
，焦点
，当
，
时
，通径长为
.
上所述：通径
综
长为或
.
故
：
选B
【典型例题2】抛物线
的通径长为_______
【答案】
【分析】根据抛物
的通径的定
行求解即可
线
义进
.
【
解】由
详
，所以
抛物
的焦点坐
该
线
标为
，
把
代入
中，得
，
所以抛物线
的通径长为
，
故答案
：
为
【变式训练5-1】已知抛物线
：
的焦点为
，准线与
的交点
轴
为A，
是抛物线
上的点.若
，
以
轴则
直径的
截直
为
圆
线
所得的弦长为( )
A．2
B．
C．1
D．
【变式训练5-2】直线
抛物
过
线
的焦点，且与
交于
两点，若使
的直线有且仅
有1 条，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【变式训练5-3】（多选）已知
是抛物线
上两
点，
动
抛物
为
线
的焦点，
（
则 ）
A．直线
焦点
过
，
时
最小值为4
B．直线
焦点
过
且
斜角
倾
为
（点
时
在第一象限），
C．若
中点
的横坐标为3，则
最大值为8
D．点
坐标
，且直线
斜率之和为
与抛物
的另一交点
线
为
，
直
，
则
线
方程
：
为
【变式训练5-4】若圆
与抛物线
相交于A，B 两点，且弦AB
抛物
的
过
线
焦点F，则
___________.
题型06：AF,BF 数量关系
【典型例题1】已知抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，过F的直线l与C交于A ,B两点，若| AF |=3，则|BF |的
（）
值为
A．3
2
B．2 C．5
2
D．3
答案：A
解析：抛物线y
2= 4 x的p=2，焦点F (1,0)。由抛物
焦点弦性
线
质
1
| AF | +
1
|BF | = 2
p =1，代入| AF |=3，得
1
3 +
1
|BF | =1，解得|BF |= 3
2，故选A。
【典型例题2】已知抛物线
的焦点为
，
焦点
过
的直
交抛物
与
线
线
两点，且
，
物
的准
方程
则拋
线
线
为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据
意作出
形，
直
题
图
设
线
与
的
角
轴
夹
为
，不妨设
，
抛物
的准
与
设
线
线
的交点
轴
为
，
点
过
作准
与
线
的垂
，垂足分
轴
线
别为
，
点
过
分
作准
和
别
线
的垂
，垂足分
轴
线
别为
，
一步可以得到
进
，
而求出
进
，同理求出
，最后解得答案.
【
解】
详
直
设
线
与
的
角
轴
夹
为
，根据抛物
的
称性，不妨
线
对
设
，如
所示
图
.
抛物
的准
设
线
线
与
的交点
轴
为
，
点
过
作准
与
线
的垂
，垂足分
轴
线
别为
，
点
过
分
作准
和
别
线
的垂
，垂足分
轴
线
别为
.
由抛物
的定
可知，
线
义
，
同理：
,
于是，
，
抛物
的准
方程
：
则
线
线
为
.
故答案
：
为
.
【变式训练6-1】已知抛物线
：
的焦点为
，
点
过
的直线与
交于
，
两点，
下列
法正确的是
则
说
（ ）
A．焦点
到抛物线
的准
的距离
线
为8
B．
C．若
的中点的
坐
纵
标为4，则
D．若
，则
【变式训练6-2】
抛物
过
线
的焦点
的直
交
抛物
于
线
该
线
两点，若
，则
= _____________．
【变式训练6-3】已知抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，过F的直线l与C交于A ,B两点。
（1）若| AB|=5，求直线l的方程；
（2）求
：
证
1
| AF | +
1
|BF | =1。
题型07：与抛物线焦点弦有关的比例问题
过抛物线的焦点F 的弦AB 与对称轴的夹角为
|AB|＝x1＋x2＋p＝
【典型例题1】已知抛物线C 的焦点为F，准线为l，过F 的直线m 与C 交于A、B 两点，点A 在l 上的投影为D，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】B
【分析】
合
像，分析出点
结
图
为
的中点，从而利用抛物
的定
即可求得
果
线
义
结
.
【
解】
点
详
过
作
，垂足为
，作
，垂足为
，如
，
图
.
又因为
，所以四
形
边
矩形，所以
为
，
因为
，
，所以点
为
的中点，
所以
，故
，
由抛物
的定
可得
线
义
，
，所以
，即
.
故
：
选B.
【典型例题2】已知抛物线
，
焦点
过
的直
交抛物
于
线
线
两点（其中
在第一象限），且
足
满
，下列
法
的是（
说
错误
）
A．直线
的
斜角
倾
为
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】法一：
直
设
线
的方程为
，与抛物
方程
立方程
，利用
达定理和
线
联
组
韦
，可求出
两点的坐
和
标
的
，
各
即可；
值验证
选项
法二：过
两点向准
作垂
，垂足
线
线
记为
，准
与
线
交于点
轴
，延长
交抛物
的准
于点
线
线
，设
长为，则
，
合抛物
定
利用比例
段求出
结
线
义
线
的
，
各
即可
值验证
选项
.
【
解】法一：由
意知
详
题
，当直
斜率
线
为0
不符合
意，故不妨
时
题
设
，直线
的方程为
.
立
联
，消去
，得
，则
，
由
可知
，解得
，
故直线
的方程为
，从而
斜角
倾
为
，A
正确；
选项
算得到
计
，故
，
，B
正确，
选项
C
；
选项错误
，D
正确
选项
.故
：
选C.
法二：由
意知
题
，如图过
两点向准
作垂
，垂足
线
线
记为
，
准
与
线
交于点
轴
，延长
交抛物
的准
于点
线
线
.
由
可知
，不妨设
长为，则
.
合抛物
定
，有
结
线
义
，则
，
算得
计
，
所以
，得
，由平行知直线
的
斜角也
倾
为
，A
正确；
选项
因为
，且
，即
故
，
所以
，而
，B
正确，
选项
C
；
选项错误
，D
正确
选项
.
故
：
选C.
【变式训练7-1】已知椭圆
的右焦点
是抛物线
的焦点，则过
作
斜角
倾
为45°的
直
分
交抛物
于
线
别
线
，
（
在
上方）两点，
轴
则
的
（
值为 ）
A．
B．
C．3
D．4
【变式训练7-2】已知直线
抛物
过
线
的焦点F，且与抛物
交于
线
A，B 两点，与抛物
的准
交于
线
线
C
点，若
，则
等于（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【变式训练7-3】
斜角
设倾
为α 的直线l
抛物
经过
线C：
的焦点F，与抛物线C 交于A、B 两点，设
A 在x
上方，点
轴
B 在x
下方．若
轴
，则
的
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-4】已知抛物线
的焦点为
，过
的直
与抛物
线
线C 交于点
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．12
D．
【变式训练7-5】
抛物
设
线
的焦点为
，
点
过
作直线交抛物
于
线
A，B 两点，已知
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．3
【变式训练7-6】直线/
抛物
经过
线C：
（
）的焦点F，与抛物线C 相交于A，B 两点，与y
相交于点
轴
M.若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-7】已知抛物线
：
焦点为
，
点
过
的直
与抛物
交于
线
线
，
两点，抛物
的准
与
线
线
交于点
轴
.
(1)
写出一
足
请
组满
的点
，
的坐
；
标
(2)
明：
证
；
(3)若
点
过
的直
与抛物
交于
线
线
，
两点，点
，若
，求
的面积.
题型08 ：面积
【典型例题1】
抛物
过
线x
2= 4 y的焦点F作直线l，与抛物
交于
线
A ,B两点，若直线l的
斜角
倾
为30
∘，则∆AOB
的面积？。
解析：抛物线p=2，∆AOB的面积S =
p
2
2sinθ =
4
2× 1
2
= 4
【典型例题2】已知抛物线
的焦点为
，
点
过
的直线与抛物
交于
线
两点，若
的面
是
积
的面
的两倍，
积
则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】有
的面
是
积
的面
的两倍可得
积
，
出直
方程
立曲
，得到相
达定理即
设
线
联
线
应韦
可
算出
计
、
，即可得解.
【
解】令
详
点
为
到直线
的距离，则
，
,由
，故
， 由抛物
定
可知，
线
义
，
，
有
则
，即
，
直
设
线
方程为
，
立抛物
方程
联
线
，有
，
，
故
，
，则
，
有
则
，故
，
有
，故
或
（
舍去），
负值
则
，
故
.故
：
选C.
【变式训练8-1】已知抛物线C：
（
）的焦点为F，直线l 与C 相交于A、B 两点，与y
相交于点
轴
E．
已知
，
，若
的面
是
积
面
的
积
2 倍，
抛物
则
线C 的方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-3】
抛物
过
线
的焦点任作一直线交抛物
于
线
两点，O
坐
原点，
为
标
则
的面
的最小
积
值为
A．2
B．
C．4
D．8
【变式训练8-4】已知抛物线C : x
2=2 py( p>0)的焦点为F，过F的直
与
线
C交于A ,B两点，且| AB|=10，
AB的中点到x
的距离
轴
为3，
下列
法正确的是（）
则
说
A．p=2
B．x1+ x2= 4 ❑√3
C．直线AB的斜率为±
❑√3
3
D．∆AOB的面积为2❑√3
答案：ACD
解析：设A(x1, y1),B(x2, y2)，中点M (x0, y0)，则y0= y1+ y2
2
=3，y1+ y2=6。焦点弦长
| AB|= y1+ y2+ p=6+ p=10，得p= 4，A
（修正：若
错误
| AB|= y1+ y2+ p=10且y0=3，则p= 4，原选项A
）；抛物
方程
错误
线
为x
2=8 y，焦点F (0,2)，
直
设
线AB: y =kx +2，
立得
联
x
2−8kx−16=0，x1+ x2=8k，
y1+ y2=k (x1+ x2)+ 4 =8k
2+ 4 =6，解得k
2= 1
4
，k =± 1
2
，C
；
错误∆AOB的面积S =
p
2
2sinθ =
16
2× 2
❑√5
= 4 ❑√5
（按正确p= 4推
），
上修正后若
干
整
导
综
题
调
p=2，则选项ACD 正确。
题型09：横纵坐标之积定值
【典型例题】已知抛物线C : x
2=2 py( p>0)的焦点为F，过F的直
交
线
C于两（）
A．1
2
B．
❑√2
2
C．
❑√3
2
D．1
答案：D
解析：抛物线x
2=2 py的焦点F(0, p
2)，
直
方程
设
线
为y =kx + p
2
，
立
联{
y =kx + p
2
x
2=2 py )
得x
2−2 pkx−p
2=0。设
A(x1, y1),B(x2, y2)，则x1 x2=−p
2。y1 y2= x1
2
2 p ⋅x2
2
2 p = (x1 x2)
2
4 p
2 = p
4
4 p
2 = p
2
4
，则y1 y2
p
2 = 1
4
，若
目求
题
x1 x2
−p
2 ，
则值为1，故选D。
【变式训练】已知抛物线C : x
2= 4 y的焦点为F，过F的直线l与C交于A ,B两点，直线AO,BO分
交抛物
的
别
线
准
于
线
M , N两点。
（1）求
：
证y1 y2=1；
（2）求∆MFN的面
的最小
；
积
值
（3）求
：
证MN的中点在抛物线C上。
题型10：焦点弦的几何性质
【典型例题1】直线
抛物
过
线
的焦点
交抛物
于
线
、
两点.若
，
原点，
为
则
的重
心的横坐
（
标为 ）
A．4.
B．8
C．16
D．24
【答案】B
【分析】
点
设
、
的横坐
分
标
别为
，
，由抛物线
的焦点弦
公式可求出
长
，即可求出
的重心的横坐标.
【
解】
点
详
设
、
的横坐
分
标
别为
，
，由
抛物
过
线
的焦点弦
公式得：
长
，所以
，
所以
的重心的横坐
：
标为
，
故
：
选B.
【典型例题2】已知抛物线
的焦点为
，圆
．如
，
点
图过
的直线与抛物
和
线
的交点依次
圆
为
，则
的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，
，由抛物
焦半径公式可得：
线
，
再由
，
合基本不等式即可求解；
结
【
解】根据
意，
详
题
圆
，可得
，所以
的
心
该圆
圆
为
，所以
，
，所以
，
点
设
，
，易知
斜率不为0，设
方程
：
为
，
立抛物
方程消去
联
线
可得：
，所以
，又
，
两式相乘可得：
，所以
，
因
，当且
当
仅
等号成立．即
时
，
时
取得最小值
.
故
：
选B
【典型例题3】（多选）设
坐
原点，直
为
标
线
抛物
过
线
的焦点，且与
交于
两点（
在第四象限），为
的准
，
（ ）
线则
A．的方程为
B．
C．以
直径的
与
为
圆
相交
D．
角三角形
为钝
【答案】AD
【分析】根据
定条件，求出焦点坐
，
而求得抛物
方程，再与直
方程
立求出点
给
标进
线
线
联
的坐
，
合抛物
标结
线
定
及数量
的坐
表示逐
判断得解
义
积
标
项
.
【
解】由直
详
线
点
过
，得抛物线
的焦点
，方程为
，
于
对
A，抛物线
的准线的方程为
，A 正确；
由
消去
并整理得
，解得
，
于
对
B，点
，
，B
；
错误
于
对
C，
，
段
线
中点
到准线
的距离
，
因此以
直径的
与
为
圆
相切，C
；
错误
于
对
D，
，则
是
角，
钝
D 正确.
故
：
选AD.
【变式训练10-1】已知抛物线
的焦点为
为
上一点，且
在第一象限，直线
与
的准
交
线
于点
，
点
过
且与
平行的直
与
轴
线
交于点
，若
，
段
则线
的
度
（
长
为 ）
A．4
B．
C．2
D．
【变式训练10-2】已知
抛物
过
线C：y2＝4x 的焦点F 的直线l 与C 交于M，N 两点，若MF
→
= 4 F N
→，
点
则
M 的横
坐
（ ）
标为
A．2
B．4
C．5
D．6
【变式训练10-3】如
，
抛物
图设
线
的焦点为F，不
焦点的直
上有三个不同的点
经过
线
A，B，C，其中点A，
B 在
抛物
上，点
该
线
C 在y
上，若
轴
，
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．4
【变式训练10-4】已知抛物线
的焦点为
，直线与
交于A，B 两点，设
的
中点为
，
下列
法中正确的有（
则
说
）
A．若直线
焦点
过
，则
的最小值为2
B．若
，则
的最大值为5
C．若直线AB 的斜率存在，
其斜率与
则
无关，与
有关
D．若
坐
原点，直
为
标
线的方程为
，则
【变式训练10-5】若直线
抛物
过
线
的焦点
，且与抛物线
交于
、
两点，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．
B．
重心的横坐
的最小
标
值为
C．
D．以
段
线
直径的
被
为
圆
截得的弦
定
轴
长为
值
【变式训练10-6】（多选）已知抛物线
，焦点为
，过
的直
交
线
于点
，
，其中
在
第一象限，
在第四象限，
坐
原点，
接
为
标
连
交抛物
的准
于点
线
线
，
下列
法正确的是（ ）
则
说
A．
的最小
是
值
4
B．
C．直线
平行于
轴D．
的面
的最大
积
值为
【变式训练10-7】已知抛物线
的方程为
，
抛物
为
线
的焦点，
斜角
倾
为
的直线
点
过
交抛物
线
于
，
两点，
段
则线
的长为______.
【变式训练10-8】已知抛物线
的焦点为
，过
的直线与抛物线
交于
两点（
在第一象限），
若
，
直
则
线的斜率为_______.
题型11：梯形转化
【典型例题1】
斜角
倾
为
的直
抛物
线过
线
的焦点F，与
抛物
交于点
该
线
，且以
直径
为
的
与直
圆
线
相切，则
（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
意确定直
题
线
即
抛物
的准
，确定
为
线
线
,
直
方程
设
线
为
，代入
中可得根
与系数的关系，利用抛物
焦点的弦
公式即可求得答案
线过
长
.
【
解】
抛物
详
设
线
的准线为
，
点
过
分
作
别
l 的垂
，垂足
线
为
,设
的中点为M，作
，垂足为N，
则
,
即以
直径的
与
为
圆
相切，又以
直径的
与直
为
圆
线
相切，
故直线
即
抛物
的准
，∴
为
线
线
,
∴
，
直
方程
设
线
为
，代入
中，
∴
，即
，
设
，∴
，
∴
，
故
：
选B.
【典型例题2】已知抛物线
，
其焦点
过
F 的直
与
抛物
交于
线
该
线
A、B 两点，A 在第一象限，且
，
直
则
线AB 的斜率
（
为 ）
A．1
B．
C．
D．无法确定
【答案】C
【分析】
合
意及抛物
的定
，分析
几何
形，利用
结
题
线
义
该
图
直角三角形，得到
角关系，
而求得斜率
为
边
进
.
【
解】
合
意：可知抛物
详
结
题
线
的准
：
线为
，
如
所示：
图
过
分
作准
的垂
别
线
线
，垂足为
,
点
过
作
的垂
，垂足
点
线
为
,
设
，直线
的
斜角
倾
为
，
因为
,所以
，
由抛物
的定
：
线
义
，
合
形易知：
结
图
,
所以
，
在直角三角形
中，
，
所以直线AB 的斜率
.
故
：
选C.
【典型例题3】（多选）已知抛物线
，准线为，
焦点
过
的直
交抛物
线
线
于
两点，过
分
作
别
的垂
，垂足分
线
别为
，
（ ）
则
A．
B．若
，
直
则
线
的斜率为
C．
三点共
（其中
线
坐
原点）
为
标
D．
【答案】ACD
【分析】由抛物
的定
可得
线
义
，
，再利用角的关系即可得出
；根据定
可得
义
，
即可得出角
，
而得出直
进
线
的斜率为
；设
，则
，
明
证
即可；由
可得
题
，
合焦半径公式即可
明
结
证
.
【
解】
详
接
连
，根据抛物
定
可知
线
义
，所以
，
又由于
，所以
轴
，
所以
，同理可证
，
所以
，
即
，故
正确；
过
作
于
，设
，则
，
，
所以
，
所以
，由
称性可知直
对
线
的斜率为
，故B
；
错误
设
，则
，
由于
，由于
三点共
，
线
则
，
又由于
，则
，由于
，
则
，所以
，
，
所以
，
即
，所以
三点共
，故
线
C 正确；
由于
，则
，即
，所以
，
所以
，故D 正确．
故
：
选ACD．
【典型例题4】（多选）已知抛物线
的焦点为F，其准线l 与x
交于点
轴
A，O
坐
原点，
为
标
过F 的直线
与C 交于B，D 两点，过B，D 作l 的垂
，垂足分
线
别为E，G，
（ ）
则
A．若直线BD 的斜率为1，则
B．以BD
直径的
与
为
圆
y
相切
轴
C．
D．B，O，G 三点共线
【答案】ACD
【分析】
于
对
A，
立直
联
线
方程与抛物
方程，
合焦点弦
公式以及
达定理即可判断；
于
线
结
长
韦
对
B，由
抛物
的性
即可判断；
于
线
质
对
C，
合内
角相等即可得
；
于
结
错
证对
D，
直
设
线OB 与准线l 交于
，只需说
明
重合即可.
【
解】抛物
详
线
的焦点
，准线
，点
，设
，
于
对
A，直线
，由
，
消去y 得
，所以
，所以
，故A 正确：
于
对
B，
，
段
线
BD 中点横坐标
，
弦BD 中点到准
的距离
线
为
，因此以BF
直径的
与准
相切，故
为
圆
线
B
；
错误
于
对
C，由
，得
，同理
，
则
，故C 正确．
于
对
D，
直
设
线
，
立
联
，得
，则
，
直线
，直线OB 与准线l 交于
，
立
联
，解得
，
又
，所以
，即H 与G 重合，所以B，O，G 三点共
．故
线
D 正确．
故
：
选ACD
【变式训练11-1】已知抛物线
的焦点为
，准线为，
点
过
作斜率为
的直
与
线
相交于
两点，
弦
为
的中点，
于点
，
为
与
的交点，则不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，且
，则
的取
范
值
围为
【变式训练11-2】
抛物
过
线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于点A，B，若AF
→
=2 FB
→，若直线l
的斜率为k，则k＝
（ ）
A．2❑√2
B．﹣2❑√2
C．2❑√2或−2❑√2
D．❑√2或−❑√2
【变式训练11-3】已知抛物线
的焦点为
，过
的直
交抛物
于
线
线
，
两点，若
，则
（ ）
A．12
B．10.5
C．9
D．7.5
【变式训练11-4】已知抛物线
：
的焦点为
，准线为，
、
是
上异于坐
原点的两点，若
标
，过
的中点
作的垂
，垂足
线
为
，则
的最小
（
值为 ）
A．1
B．
C．2
D．
【变式训练11-5】如
，
抛物
图过
线
焦点
的直线与抛物
交于
线
两点，且与圆
交于
两点，则
的最小
（
值为 ）
A．
B．1
C．
D．
【变式训练11-6】
抛物
过
线
的焦点F 且斜率为
的直线l 交抛物
于点
线
A、B.若
，且λ∈(
1
3 , 1
2)，则k 的取
范
值
围为 .
【变式训练11-7】（多选）已知
，
是抛物线
上的两点，若直线
抛物
过
线
的焦点
且
斜角
倾
为
.
下列命
正确的是（
则
题
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练11-8】（多选）已知抛物线
的焦点为
，准线为，过
的直
与
线
交于
，
两点，分别过
，
作的垂
，垂足
线
为
，
，
，
，
为
中点，
下列
正确的是
则
结论
（ ）
A．直线
的斜率为
B．
等腰直角三角形
为
C．
D．
，
，
三点共线
【变式训练11-9】（多选）已知抛物线
的焦点为
，准线为，过
的直
交抛物
于
线
线
两
点，
段
线
的中点为
，
在上的射影分别为
，下列
正确的
（
结论
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练11-10】（多选）已知
，
是抛物线
上的两点，若直线
抛物
过
的焦点
线
且
斜角
倾
为
.
下列命
正确的是（
则
题
）
A．
B．
C．
D．
题型12：焦点弦的最值问题
【典型例题】已知抛物线
的焦点为
，直线
与抛物线
交于
两点，则
的最小
是（
值
）
A．40
B．36
C．28
D．24
【答案】B
【分析】利用抛物
定
加
达定理以及基本不等式即可求解
线
义
韦
.
【
解】方法一
详
:
设
,由抛物
的定
，知
线
义
,
立
联
化
得
简
，
由
达定理得
韦
，
，
所以
的最小值为36.
故选:B.
抛物
的焦点
线
在直线
上，
，（
：
结论
抛物
的焦点弦，
为
线
定
为
值
）
故选:B.
【变式训练12-1】已知抛物线
：
的焦点为
，圆
：
，
点
过
的直线与抛物线
交
于
，
两点，与圆
交于
，
两点，且点
，
在同一象限，则
的最小
（
值为 ）
A．8
B．12
C．16
D．20
【变式训练12-2】已知
抛物
过
线
的焦点F 的
直
交抛物
动
线
线C 于A，B 两点，Q
段
为线
的
中点，P
抛物
为
线C 上任意一点，若
的最小值为6，则
（ ）
A．2
B．3
C．6
D．
【变式训练12-3】
点
过
作抛物线
的两条切
，切点分
线
别为
和
，又直线
物
经过拋
线
的焦点
，那么
的最小值为_________．
题型13: 解答题
【典型例题1】已知抛物线
的焦点为
，斜率为
的直线与
交于
两点，与
交点
轴
为P.
(1)若
，求的方程；
(2)若
，求
.
【解析】（1）由
意，直
题
线的方程设为
，
立直
与抛物
方程
联
线
线
，可得
，
，可得
，
设
,
，
,
，
，
，
因为
，所以
，可得
，可得
，
所以直线的方程
：
为
．即
．
（2）直线的方程设为
，
令
，可得
，所以
，所以
,
，
,
，
因为
，所以：
,
,
，所以，
，
，
，
，
化
可得
简
，
，
，可得
，
，
，
．
【典型例题2】已知直线与抛物线
相交于
、
两点.
(1)若直线
点
过
，且
斜角
倾
为
，求
的
；
值
(2)若直线
点
过
，且弦
恰被
平分，求
所在直
的方程
线
.
【解析】（1）因直线的
斜角
倾
为
，所以直线的斜率
，
又因直线
点
过
，所以直线的方程
：
为
，即
，
立
联
得
，设
，
，所以
，
，
所以
（2）因
、
在抛物线
上，所以
，
，
两式相减得：
，得
，故直线的斜率为4，
所以直线的方程
：
为
，即
【变式训练13-1】已知直线
，垂足
轴
为x
半
上的点
轴负
轴
E，点E 关于原点O 的
称点
对
为F，且
，直
线
，垂足为A，
段
线
AF 的垂直平分
与直
线
线
交于点B，
点
记
B 的
迹
曲
轨
为
线C.
(1)求曲线C 的方程；
(2)已知点
，不
点
过
P 的直线l 与曲线C 交于M，N 两点，以
段
线
MN
直径的
恒
点
为
圆
过
P，点P 关于x
的
轴
称点
对
为Q，若
的面
是
积
，求直线的斜率.
【变式训练13-2】
抛物
设
线C：
的焦点为F，P 是抛物
外一点，直
线
线PA，PB 与抛物线C 切于A，B 两点，
点
过
P 的直
交抛物
线
线C 于D，E 两点，直线AB 与DE 交于点Q.
(1)若AB
焦点
过
F，且
，求直线AB 的
斜角；
倾
(2)求
的值.
【变式训练13-3】已知
是抛物线
的焦点，
点
过
的直
交抛物
线
线
于
两点，当
平
行于
，
轴时
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)若
坐
原点，
点
为
标
过
作
的垂
交直
轴
线
线
于点
，
点
过
作直线
的垂
与抛物
线
线
的另一交点为
的中点为
，
明：
证
三点共线.
【变式训练13-4】已知抛物线
：
上一点
到焦点的距离为2.
(1)求抛物线
的方程；
(2)
点
过
的直
交抛物
线
线
于
，
两点，点
，
接
连
交抛物线
于另一点
，
接
连
交抛物线
于另一点
，且
与
的面
之比
积
为
，求直线
的方程.
