第03 讲 抛物线的中点弦问题
目 录
思维导图.........................................................................................................................................................2
高考分析.........................................................................................................................................................2
学习目标.........................................................................................................................................................2
知识要点.........................................................................................................................................................2
解题策略.........................................................................................................................................................4
题型归纳.........................................................................................................................................................4
题型01：求弦所在直线方程...........................................................................................................................4
题型02：求直线斜率......................................................................................................................................9
题型03：求与弦中点有关的轨迹方程........................................................................................................... 12
题型:04：求中点坐标问题............................................................................................................................14
题型:05：求参数问题...................................................................................................................................16
题型06：中点弦的弦长................................................................................................................................ 18
题型07: 与中点弦有关的面积问题...............................................................................................................23
题型08：曲线上两点关于直线对称问题........................................................................................................24
一. 高考地位
1. 属于
曲
高
基
考点，常出
在
填空、解答
第一
，是解决中点弦、斜率、弦中点
迹、存在性
圆锥
线
频
础
现
选择
题
问
轨
问题
的核心通法。
2.全国卷、新高考卷几乎每年都会
接或直接考
：
间
查
① 已知中点求直
斜率
线
/方程
② 已知直
求中点坐
线
标
③ 中点存在性、
迹方程、定点定
合
轨
值综
3.
度：中档偏易，
算量小、套路极
，是必
拿
分的
型。
难
计
强
须
满
题
二. 命
特点
题
1. 抛物
准方程
线标
2. 常与
达定理、判
式、直
与抛物
位置关系
合考
。
韦
别
线
线
结
查
3. 易
点：忽略判
式
、斜率不存在、点差法适用条件（直
与抛物
有两个交点）。
错
别
检验
线
线
1. 掌握抛物
点差法核心公式推
，不用死
硬背，能快速写出斜率与中点的关系。
线
导
记
2. 熟
用点差法解决
练
4
基
：
类
础题
①已知弦中点，求直
斜率
线
/方程
②已知直
，求弦中点坐
线
标
③求中点
迹方程
轨
④判断中点是否存在
3. 区分椭圆/双曲线/抛物
点差法异同，避免公式混淆。
线
4. 养成最后
判
式的
范，
避
分陷阱。
检验
别
规
规
丢
知识点一：点差法
利用中点弦求解
曲
的核心思路是通
“点差法” 或 “
达定理法” 建立中点坐
与直
斜率的关系，
圆锥
线问题
过
韦
标
线
而推
所需
。无
何种中点弦
（求直
方程、
迹、存在性等），均遵循 “
点→代入→作差
进
导
结论
论
问题
线
轨
设
/
立→推
联
导
关系→
” 的基本流程，关
是建立中点坐
与弦所在直
斜率的
系。
验证
键
标
线
联
知识点二：圆锥曲线点差法
其本
是利用
曲
的
称性和方程的整体性：
弦的两端点在曲
上，代入方程后作差，可通
平方差公式
质
圆锥
线
对
设
线
过
分解出含中点坐
和直
斜率的表达式，直接搭建二者的
梁。
标
线
桥
椭 圆：
曲
设圆锥
线x
2
a
2 +y
2
b
2 =1（a>b>0）与直线AB 交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，弦AB 中点为M(x0,y0)。
则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0。将A,B 两点代入x
2
a
2 +y
2
b
2 =1得：x1
2
a
2 +y1
2
b
2 =1，x2
2
a
2 +y2
2
b
2 =1
两
式
作
差
得
：
x1
2−x2
2
a
2
+y1
2−y2
2
b
2
=0 进一步
⇔
(x1−x2)(x1+x2)
a
2
+(y1−y2)(y1+y2)
b
2
=0 进一步
⇔
(x1−x2)2∙
x0
a
2
+k(x1−x2)2∙
y0
b
2
=0
所以得：x0
a
2 +ky0
b
2 =0，即kAB=−b
2
a
2 ∙x0
y0
双曲线：
曲
设圆锥
线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（a>b>0）与直线AB 交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，弦AB 中点为M(x0,y0)。
则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0。将A,B 两点代入x
2
a
2 −y
2
b
2 =1得：x1
2
a
2 −y1
2
b
2 =1，x2
2
a
2 −y2
2
b
2 =1
两
式
作
差
得
：
x1
2−x2
2
a
2
−y1
2−y2
2
b
2
=0 进一步
⇔
(x1−x2)(x1+x2)
a
2
−(y1−y2)(y1+y2)
b
2
=0 进一步
⇔
(x1−x2)2∙
x0
a
2
−k(x1−x2)2∙
y0
b
2
=0
所以得：x0
a
2 −ky0
b
2 =0，即kAB=b
2
a
2 ∙x0
y0
抛物线：
曲
设圆锥
线y
2=2px（p>0）与直线AB 交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，弦AB 中点为M(x0,y0)。
则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0。将A,B 两点代入y
2=2px得：y1
2=2px1，y2
2=2px2
两式作差得：(y1−y2)(y1+y2)=2p(x1−x2) 进一步
⇔
k(x1−x2)2∙
y0=2p(x1−x2)
所以：k=p
y0
知识点三：弦中点性质
椭
圆：
弦
则
AB的斜率kAB与线段OM（O为原点）的斜率kOM之
定
积为
值−b
2
a
2 ，即：
kAB·kOM =−b
2
a
2 ∙x0
y0
×y0
x0
=−b
2
a
2
双
曲
线
：
弦
则
AB的
斜
率kAB与线段OM（O为原点）的斜率kOM之
定
积
为
值b
2
a
2 ，
即
：
kAB·kOM = b
2
a
2 ∙x0
y0
×y0
x0
= b
2
a
2
抛物线：
弦
则
AB的斜率kAB与线段OM（O为原点）的斜率kOM之
定
积为
值b
2
a
2 ，即：kAB·kOM=p
y0
×y0
x0
=p
x0
知识点四：弦中点坐标或斜率求离心率
：已知中点坐
和所在弦的斜率求离心率：
椭
圆
标
则e = ❑√
1−b
2
a
2 = ❑√1+kAB·kOM= ❑√1+kAB·y0
x0
双曲
：已知中点坐
和所在弦的斜率求离心率：
线
标
则e = ❑√
1+ b
2
a
2 = ❑√1−kAB·kOM= ❑√1−kAB·y0
x0
知识点五：弦长公式
直
设
线l:y=kx+ m 与圆锥曲线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，则A，B 两点
距离
：
间
为
|AB|=
❑√(x1−x2)
2+( y1−y2)
2=
❑√1+k
2|x1−x2|=
❑√1+k
2∙
❑√(x1+x2)
2
4
−x1x2；
|AB|= ❑√1+(
1
k)
2
∙
❑√( y1+ y2)
2
4
−y1 y2；
特殊情况（焦点弦）：
：
椭
圆|A B|=
2ab
2
a
2−c
2cos
2θ
；其中θ为直
的
斜角。
线
倾
双曲
：
线|A B|=
2ab
2
|a
2−c
2cos
2θ|
；其中θ为直
的
斜角。
线
倾
抛物
：
线|A B|=
2 p
sin
2θ
；其中θ为直
的
斜角。
线
倾
注意：以上情况为焦点在x 轴情况，若焦点在y 轴，则cosθ与sinθ互换
通用解题步骤
步骤 1：明确已知条件与目标
确定
曲
型（
、双曲
、抛物
）及其
准方程；明确中点坐
（或中点
足的条件）、待求量（直
方
圆锥
线类
椭圆
线
线
标
标
满
线
程、
迹方程、参数范
等）。
轨
围
步骤 2：设点与表示中点
弦的两个端点
设
为A(x1,y1)、B(x2,y2)，弦的中点为M(x0,y0)；
根据中点坐
公式，得到：
标
x1+x2=2x0,y1+y2=2y0
步骤 3：代入曲线方程并作差（点差法核心）
代入方程：将A，B两点坐
代入
曲
方程，
标
圆锥
线
行作差化
。
进
简
步骤 4：结合条件求解目标
求直
方程：已知中点
线
(x0,y0)，用点斜式写出直
方程（斜率由步
线
骤3 得）；
求中点
迹：
中点
轨
设
为(x,y)，用斜率关系（如直
定点、斜率
足某条件）消去参数，得到
迹方程；
线过
满
轨
存在性判断：求出直
方程后，
立曲
方程，通
判
式
线
联
线
过
别
Δ>0
是否有
根。
验证
实
步骤 5：验证特殊情况与范围
直
斜率不存在的情况（如垂直
检查
线
x
的直
是否符合条件）；
轴
线
限制
迹范
：确保中点
的弦与曲
有两个交点（利用判
式或曲
范
）。
轨
围
对应
线
别
线
围
题型01：求弦所在直线方程
【典型例题1】
斜率
设
为
的直线与抛物线
交于
，
两点，若
段
为线
的中点，
直
则
线的
方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【
解】
详
设
，
，则
，由
作差得
，
得
，所以直
方程
线
为
，即
.
故
：
选C
【典型例题2】已知抛物线
，
点
过
的直
交抛物
线
线
于
两点，若
为
的中点，
直
则
线
的
方程为 .
【答案】
【分析】
出
设
，
的坐
，代入抛物
方程，利用作差法，
合中点坐
公式代入先求出直
的斜率，再利用点斜式方
标
线
结
标
线
程即可得到结论.
【
解】
详
设
，
，由
意
题
，
因为
，
在抛物
上，所以
线
，
，两式相减得，
，整理得，
，
即直线
的斜率
，
直线
的中点为
，
，
，
所以直线
的方程为
，化
得
简
.
故答案
：
为
.
【变式训练1-1】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线为y＝﹣2，点P，Q 在抛物线C 上，且
段
线
PQ 的中点
（
为﹣2，
4），
直
则
线PQ 的方程
（ ）
为
A．x+2y﹣6＝0
B．x+3y﹣10＝0
C．2x+y＝0
D．2x+3y﹣8＝0
【考点】抛物
的中点弦．版
所有
线
权
【分析】根据抛物
的几何性
，求得抛物
的方程
线
质
线
为x
2＝8y，再利用点差法，即可求解．
【解答】解：由抛物线C：x
2＝2py 的准线为y＝﹣2，
可得−p
2 =−2，
可得p＝4，
所以x
2＝8y，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
可得{
x1
2=8 y1
x2
2=8 y2)，且x1+x2＝﹣4，
两式相减，可得x2
2−x1
2=( x2−x1)( x2+ x1)=8( y2−y1)，
可得k PQ= y2−y1
x2−x1
= x2+ x1
8
=−1
2
，
所以直线PQ 的方程为y −4 =−1
2 ( x +2)，
即x+2y﹣6＝0．
故
：
选A．
【点
】本
考
了抛物
的几何性
，重点考
了直
与抛物
的位置关系，属中档
．
评
题
查
线
质
查
线
线
题
【变式训练1-2】已知
点
动
P 到定点
的距离比它到直线
的距离大1，直线与
点
动
的
迹交于
轨
A， B
两点，且
段
线
AB 的中点为
，
直
则
线的方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
意确定
题
P 点的
迹求出其方程，利用点差法求出直
轨
线AB 的斜率，即可求得答案.
【
解】由
意
点
详
题
动
P 到定点
的距离比它到直线
的距离大1，
点
则动
P 到定点
的距离与它到直线
的距离相等，
故
点
动
P 的
迹
以
轨
为
F
焦点的抛物
，其方程
为
线
为
，
设
，则
，
则
，则
,
由于
段
线
AB 的中点为
且在抛物
含焦点的一
区域内，
直
线
侧
则
线AB 的斜率存在，
，
故
，
故直线的方程为
，即
，
故
：
选D
【变式训练1-3】已知抛物线
，
点
过
的直线l 与C 相交于A，B 两点，且M
弦
为
的中点，
直
则
线l 的方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
出直
设
线l 的方程，与抛物
方程
立，
合中点坐
求出直
线
联
结
标
线l 的方程.
【
解】
然直
详
显
线l 不垂直于
，
直
设
线l 的方程为
，
由
消去
得，
，由弦
的中点为
，
得
，此
方程
时
有两个不等
根，
实
所以直线的方程为
，即
.
故
：
选D
【变式训练1-4】已知抛物线
上的点
到其准
的距离
线
为
，直线交抛物
于
线
，
两点，且
的中点为
，则
到直线的距离
（ ）
为
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】B
【
解】根据
意
详
题
设A
，由点差得到
故直线l 可以写成
点
到其准
的距离
线
为
，可得到M 的横坐标为4，将点代入抛物
可得到
坐
线
纵
标为4 或-4，
由点到直
的距离公式得到，
线
M 点到直
的距离
线
为
或
.
故答案为B.
【变式训练1-5】已知抛物线
的
点
坐
原点，准
顶
为
标
线为
，直线与抛物线
交于
两点，若
段
线
的
中点为
，
直
则
线的方程为 ．
【答案】
【解析】因
抛物
为
线
的
点
坐
原点，准
顶
为
标
线为
，所以易得抛物
的方程
线
为
，
设
，因
段
为线
的中点为
，
故
，则
，由
，
两式相减得
，所以
，
故直线的方程为
，即
．
【变式训练1-6】已知A，B 是抛物线
上的两点，
段
线
AB 的中点为
，
直
则
线AB 的方程为
．
【答案】
【解析】依
意，
题
设
，
若
，
直
则
线
，
由抛物
的
称性可知，
段
线
对
线
AB 的中点为
，
然不符合
意，故
显
题
，
因为A，B 是抛物线
上的两点，
所以
，两式相减得，
，整理得
，
因
段
为线
AB 的中点为
，
所以
，即
，
又
，所以
，
所以直线AB 的方程为
，即
.
【变式训练1-7】已知抛物线C : y
2=2 px( p>0)的焦点为F，点A(6, y0)在抛物线C上，且|AF|=10．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知直线l交抛物线C于M , N两点，且点(4,2)
段
为线
MN的中点，求直线l的方程．
【答案】(1)y
2=16 x
(2)4 x−y −14 =0
【分析】（1）利用抛物
定
可求得
线
义
p=8，即可求出抛物线C的方程；
（2）由弦中点坐标为(4,2)并利用点差法即可求得直线l的斜率为4，便可得直
方程
线
.
【
解】（
详
1）点A(6, y0)在抛物线C上，
由抛物
定
可得
线
义
|AF|=6+ p
2 =10，解得p=8，
故抛物线C的
准方程
标
为y
2=16 x．
（2）设M (x1, y1), N (x2, y2)，如下
所示：
图
则¿，两式相减可得y1
2−y2
2=16(x1−x2)，
即( y1−y2)( y1+ y2)=16(x1−x2)，
又
段
线
MN的中点为(4,2)，可得y1+ y2= 4；
则y1−y2
x1−x2
= 4，故直线l的斜率为4，
所以直线l的方程为y −2= 4 (x−4)，
即直线l的方程为4 x−y −14 =0．
【变式训练1-8】已知抛物线C : x
2=−2 py( p>0)的焦点为F , A(x0,−9)是抛物线C上的点，且|AF|=15．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知直线l交抛物线C于M , N两点，且MN的中点为(6,−4)，求直线l的方程．
【答案】(1)x
2=−24 y
(2)x +2 y +2=0
【分析】（1）根据抛物
的定
求解；
线
义
（2）
点代入抛物
方程，然后利用点差法求解直
的斜率，然后根据点斜式即可解得直
的方程；
设
线
线
线
【
解】（
详
1）因为|AF|=9+ p
2 =15，
所以p=12，
故抛物线C的方程为x
2=−24 y．
（2）
易知直线l的斜率存在，
直
设
线l的斜率为k , M (x1, y1), N (x2, y2)，
则¿
两式相减得x1
2−x2
2=−24( y1−y2)，整理得y1−y2
x1−x2
=−x1+ x2
24
．
因为MN的中点为(6,−4)，所以k = y1−y2
x1−x2
=−12
24 =−1
2
，
所以直线l的方程为y + 4 =−1
2
(x−6)，即x +2 y +2=0.
【变式训练1-9】已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线
上，且
．
（1）求抛物线
的方程；
（2）已知直线交抛物线
于
两点，且点
段
为线
的中点，求直线的方程．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）点
在抛物线
上，
由抛物
定
可得
线
义
，解得
，
故抛物线
的
准方程
标
为
．
（2）设
，如下
所示：
图
则
，两式相减可得
，
即
，
又
段
线
的中点为
，可得
；
则
，故直线的斜率为4，
所以直线的方程为
，
即直线的方程为
．
题型02：求直线斜率
【典型例题1】已知直线l交抛物线C : x
2=−18 y于M , N两点，且MN的中点为(3,−2)，
直
则
线l的斜率
（
为 ）
A．−3
B．−1
6
C．1
9
D．−1
3
【答案】D
【分析】
出直
设
线l的斜率为k，点M , N两点的坐
，代入抛物
方程
标
线
x
2=−18 y，作差，可得y1−y2
x1−x2
=−x1+ x2
18
，又
MN的中点为(3,−2)，即求出k.
【
解】易知直
详
线l的斜率存在，
直
设
线l的斜率为k , M (x1, y1), N (x2, y2)，
则¿两式相减得x1
2−x2
2=−18( y1−y2)，整理得y1−y2
x1−x2
=−x1+ x2
18
，
因为MN的中点为(3,−2)，则x1+ x2=2×3=6，
所以k = y1−y2
x1−x2
=−6
18 =−1
3
，即直线l的斜率为−1
3
.
故
：
选D.
【典型例题2】已知
抛物
为
线
上的两点，且
段
线
AB 中点的
坐
纵
标为2，
直
则
线AB 的斜率为 .
【答案】
/0.5
【分析】
出点
设
的坐
并代入抛物
的方程，即可求出直
标
线
线AB 的斜率.
【
解】由
意，
详
题
抛物
为
线
上的两点，且
段
线
AB 中点的
坐
纵
标为2，
设
，
段
线
AB 中点为
，
∴
，
，
∴
即
∴直线AB 的斜率
：
为
故答案
：
为
【变式训练2-1】已知直线l 交抛物线C : y
2=18 x于M，N 两点，且MN 的中点为(5,3)，
直
则
线l 的斜率
（
为 ）
A．9
5
B．3
2
C．3
D．18
5
【答案】C
【分析】易知直线l 的斜率存在，设M (x1, y1), N (x2, y2)，则¿，两式相减即可得出直
的斜率
线
k = y1−y2
x1−x2
的
．
值
【
解】易知直
详
线l 的斜率存在，
直
的斜率
设
线
为k，M (x1, y1), N (x2, y2)，
则¿，两式相减得y1
2−y2
2=18(x1−x2)，整理得y1−y2
x1−x2
=
18
y1+ y2
，
因为MN 的中点为(5,3)，则y1+ y2=6，
所以k = y1−y2
x1−x2
= 18
6 =3，即直线l 的斜率为3．
【变式训练2-2】已知抛物线C：
，
点
过
的直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，若
，
直
则
线l
的斜率是（ ）
A．
B．4 C．
D．
【答案】A
【解析】设
，则
作差得
.
因为
，所以P 是
段
线
AB 的中点，所以
，
直
则
线l 的斜率
.故
：
选A
【变式训练2-3】已知抛物线C : y
2= 4 x，
点
过
M(
3
2 ,−1)的直线l与C相交于A，B 两点，且M
弦
为
AB 的中点，则
直线l的斜率
（
为 ）
A．−1
2
B．−3
4
C．−1
D．−2
【答案】D
【分析】直线l与C相交于A，B 两点，且点M(
3
2 ,−1)
弦
为
AB 的中点，利用点差法求解.
【
解】解：
详
设A(x1, y1),B(x2, y2)，
因
直
为
线l与C相交于A，B 两点，所以{
y1
2= 4 x1
y2
2= 4 x2)，
由
意得
题
k = y1
❑−y2
❑
x1
❑−x2
❑=
4
y1
❑+ y2
❑=
4
2×(−1) =−2，
故
：
选D
【变式训练2-4】已知直线
与抛物线
相交于
、
两点，点
是抛物
线
的准
与以
线
直径的
的公共点，
下列
的是（ ）
为
圆
则
结论错误
A．
B．
C．
的面积为
D．
【答案】C
【分析】求出抛物线
的准
方程，可求得
线
的
，可判断
值
A
的正
；利用点差法可求得
段
选项
误
线
的中点坐
，根据
标
勾股定理列等式可求得
的
，可判断
值
B
的正
；利用抛物
的焦点弦
公式以及三角形的面
公式可判断
选项
误
线
长
积
CD
的正
选项
误.
【
解】由
意知，抛物
详
题
线
的准线为
，即
，解得
，故选项A 正确；
因为
，所以抛物线
的方程为
，其焦点为
，
又直线
，即
，所以直线恒
抛物
的焦点
过
线
，
点
设
、
，因为
、
两点在抛物线
上，
立方程
联
，两式相碱可得，
，
设
的中点为
，则
，
因
点
为
在直线上，解得
，
所以点
是以
直径的
的
心，
为
圆
圆
由抛物
的定
知，
线
义
圆
的半径
.
因为
，所以
，
解得
，故选项B 正确；
因为
，所以
，直线为
，即
，
由点到直
的距离公式可得，点
线
到直线的距离为
，
所以
，故选项C
，
错误D 正确.
故
：
选C.
【变式训练2-5】已知抛物线Γ：y2＝2x，直线l 与Γ 交于A，B 两点，M（2，1）
弦
为
AB 的中点，
直
则
线l 的斜率
为 ．
【解答】解：
点
设
A（x1，y1），B（x2，y2），则{
y1
2=2 p x1
y2
2=2 p x2)，所以y1
2−y2
2=2 p( x1−x2)，
整理得( y1+ y2)( y1−y2)
( x1−x2)
=2p，即（y1+y2）•kAB＝2p，
由抛物
准方程
线标
为y2＝2x，以及M（2，1）
弦
为
AB 的中点知，2kAB＝2，所以kAB＝1．
故答案
：
为1．
【变式训练2-6】已知抛物线
上两点A，B 关于点
称，
直
对
则
线AB 的斜率为 .
【答案】2
【解析】设
，
代入抛物线
，
得
，则
①，
因
两点
为
A，B 关于点
称，
对
则
，
所以由①得
，
直线AB 的斜率为2.
直
则
线AB：
与代入抛物线
立，
联
得
，
，解得
.
所以直线AB 的斜率为2.
【变式训练2-7】已知F是抛物线C : x
2=2 py( p>0)的焦点，M (4 , y0)是抛物线C上一点，且| MF |= 4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l与抛物线C交于A ,B两点，且
段
线
AB的中点坐标为(8,12)，求直线l的斜率.
【答案】(1)x
2=8 y
(2)2
【分析】（1）根据点在抛物
上及焦半径公式，列方程
求解即可；
线
组
（2）
出
设
A ,B坐
，代入抛物
方程，
合弦中点，利用点差法即可求得直
的斜率
标
线
结
线
.
【
解】（
详
1）由
可知，
题
¿，解得¿，故抛物线C的方程为x
2=8 y.
（2）设A(x1, y1),B(x2, y2)，则¿，两式相减得x1
2−x2
2=8( y1−y2)，
即y1−y2
x1−x2
= x1+ x2
8
.因
段
为线
AB的中点坐标为(8,12)，所以x1+ x2=16，则y1−y2
x1−x2
=2，
故直线l的斜率为2.
题型03：求与弦中点有关的轨迹方程
【典型例题1】已知斜率为2 的直
与曲
线
线
交于
两点，
段
则线
的中点
的
迹方程
（
轨
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用点差法，即可求得
，
直
设
线
的方程，与抛物
方程
立，运用
达定理求解取
范
线
联
韦
值
围.
【
解】
详
设
,则
，
两式相减得：
，
即
，
因
直
为
线
的斜率为2，所以
，所以
，
因为
，所以
.
直
设
线
的方程为
，由
,
可得：
，
，解得：
.
在直线
上，则
，
，所以
.
所以
.
故
：
选C
【典型例题2】直线
（
是参数）与抛物线
的相交弦是
，
弦
则
的中点
迹方
轨
程是 .
【答案】
【解析】设
，
中点
，则
.
，
定点
过
，
.
又
，（1）
，（2）
得：
，
. 于是
，即
.
又弦中点
迹在已知抛物
内，
轨
线
立
联
故弦
的中点
迹方程是
轨
故直线的方程为
，即
．
【变式训练3-1】已知抛物线
（
），
其焦点且斜率
过
为2 的直
交抛物
于
线
线
A，B 两点，若
段
线
AB 的中
点的
坐
纵
标为1，
抛物
的准
方程
（
则该
线
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，
而根据
意，
合中点弦的斜率得
进
题
结
，
而求解准
方程即可
进
线
.
【
解】根据
意，
详
题
设
，所以
①，
②，
所以，①
②得：
，即
，
因
直
为
线AB 的斜率为2，
段
线
AB 的中点的
坐
纵
标为1，
所以
，所以抛物线
，准
方程
线
为
.
故
：
选B
【变式训练3-2】已知抛物线C : y
2=2 x的焦点为F，平行于x
的两条直
轴
线l1，l2分
交
别
C 于A，B 两点，交C 的准线l
于P，Q 两点.
(1)若F 在
段
线
AB上，R 是PQ的中点，AR与FQ平行
？
吗
(2)若△PQF的面
是
积
△ABF的2 倍，求AB中点的
迹方程
轨
.
【答案】(1)AR // FQ；
(2)y
2= x−1.
【分析】（1）求出抛物线C的焦点坐
、准
方程，
出直
标
线
设
线l1,l2的方程，并求出点A ,B , P ,Q , R的坐
，利用共
向
标
线
量的坐
表示推理作答
标
.
（2）根据
定条件，求出直
给
线AB与x
的交点坐
，
出
轴
标设
AB的中点坐
，利用共
向量的坐
表示求解作答
标
线
标
.
【
解】（
详
1）抛物线C : y
2=2 x的焦点F( 1
2 ,0)，准线l: x =−1
2
，如
，
图
设l1: y =a，l2: y =b，则ab≠0，得A( a
2
2 ,a)，B( b
2
2 ,b)，P(−1
2 ,a)，Q(−1
2 ,b)，R(−1
2 , a+b
2
)，
则⃗BA =( a
2
2 −b
2
2 ,a−b),⃗FA =( a
2
2 −1
2 ,a)，由F 在
段
线
AB上，得⃗BA //⃗FA，
于是a( a
2
2 −b
2
2 )=(a−b)( a
2
2 −1
2 )，
然
显
a≠b，整理得ab=−1，⃗
RA =( a
2+1
2
, a−b
2
)= 1
2 (a
2−ab,a−b)= a−b
2
(a,1)，⃗QF =(1,−b)=(−ab,−b)=−b(a,1)，
因此⃗RA //⃗QF，
然点
显
R不在直线QF上，
所以AR // FQ.
（2）如
，
直
图设
线AB 与x
相交于点
轴
D(x1,0)，
由（1）知，△ABF的面积S△ABF = 1
2|a−b||FD|= 1
2|a−b||x1−1
2|，△PQF的面积S△PQF =|a−b|
2
，
依
意，
题
S△PQF =2S△ABF，即|a−b|
2
=|a−b||x1−1
2|，而a−b≠0，解得x1=0或x1=1，
由于x1=0
，点
时
D与A ,B之一重合，有ab=0，矛盾，
点
则
D 的坐标为(1,0)，
设AB的中点为E (x , y)，则⃗DE =( x−1, y)，由⃗DE //⃗BA，得y( a
2
2 −b
2
2 )=(a−b)( x−1)，
即a+b
2
y = x−1，又a+b
2
= y，于是y
2= x−1，
所以所求的
迹方程
轨
为y
2= x−1.
题型:04：求中点坐标问题
【典型例题1】直线
被抛物线
截得的
段
线
的中点坐
是（
标
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
立直
与抛物
方程，由
达定理和中点坐
公式即可得解
联
线
线
韦
标
.
【
解】
立
详
联
，则
，
直
设
线
与抛物
交点
线
，
则
，故
，
所以
段
线
的中点坐
是
标
.
故
：
选B.
【变式训练4-1】若直线
抛物
经过
线
焦点，且与抛物
相交于
线
两点，且
，则
的中点横坐标为
.
【答案】
【
解】
详
记
焦点
为
到准
的距离，
线
则
，
，
分
点
别过
作准
的垂
，垂足分
线
线
别为
，
直线
抛物
经过
线
焦点，且与抛物
相交于
线
两点，
根据抛物
的定
得到
线
义
，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
的中点
横坐标为
，
故答案
：
为
.
【变式训练4-2】已知抛物线C：y
2=2 px（p>0）上一点M (1,m)（m>0）与焦点的距离为2.
(1)求p 和m；
(2)若在抛物线C 上存在点A，B，使得MA ⊥MB，设AB的中点为D，且D 到抛物线C 的准
的距离
线
为15
2
，求点D 的
坐标.
【答案】(1)p=2，m=2
(2)(
13
2 ,1)或(
13
2 ,−3).
【分析】（1）根据抛物
的性
，求出
线
质
p=2，然后将M (1,m)代入抛物
的方程即可求出
线
m；
（2）根据D 到抛物线C 的准
的距离求出
线
D 的横坐
，将
标
MA ⊥MB转为k1k2=−1，从而得到
y1 y2=−2( y1+ y2)−20，两者
合即可求出
结
y1+ y2，即可求出点D 的坐标.
【
解】（
详
1）
抛物
设
线C 的焦点为F，根据
意可知
题
|MF|=1+ p
2 =2，解得p=2.
故抛物线C：y
2= 4 x.
因为M 在抛物线C 上，所以m
2= 4.又因为m>0，所以m=2.
（2）设A(
y1
2
4 , y1)，B(
y2
2
4 , y2)，D(x0, y0)，直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2.
易知k1，k2一定存在，则k1= y1−2
y1
2
4 −1
，k2= y2−2
y2
2
4 −1
.
由MA ⊥MB，得k1k2=−1，即
y1−2
y1
2
4 −1
⋅y2−2
y2
2
4 −1
=−1
，化
得
简
( y1+2)( y2+2)=−16，即
y1 y2=−2( y1+ y2)−20.
因为D 到抛物线C 的准
的距离
线
d1= x0+1= 15
2
，所以x0= x1+ x2
2
= 13
2
，
则x1+ x2=13，即y1
2
4 + y2
2
4 =13，y1
2+ y2
2=52.
( y1+ y2)
2=52+2 y1 y2=52+2[−2( y1+ y2)−20]，即( y1+ y2)
2+ 4( y1+ y2)−12=0，
解得y1+ y2=−6或y1+ y2=2，则y0= y1+ y2
2
=−3或y0= y1+ y2
2
=1.
故点D 的坐标为(
13
2 ,1)或(
13
2 ,−3).
题型:05：求参数问题
【典型例题1】
抛物
过
线
的焦点F，且
斜角
倾
为
的直
与抛物
交于
线
线
A，B 两点，若弦
的垂直平
分
点
线经过
，则p 等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】写出弦
所在直
方程
线
为
，可设
，
，
，
，直线
的方程和抛物
方程
立消去
线
联
可
得到关于
的一元二次方程，由
达定理即可求出弦
韦
的中点坐标为
，而弦
的垂直平分
方程可写出
线
为
，弦中点坐
入
方程便可求出
标带
该
的
．
值
【
解】抛物
的焦点
详
线
坐
是
标
,直线
方程为:
,
设
,
立
联
,则
,
所以
,
,
故
中点坐标为
,由两直
互相垂直有
线
,得
.
故
：
选C.
【典型例题2】斜率为1 的直
与双曲
线
线C ：x
2
a
2 −y
2=1(a＞0)交于A，B 两点，若
段
线
AB 的中点
（
为3，1），则a＝
（ ）
A．❑√2
B．❑√3
C．❑√6
D．2❑√3
【考点】抛物
的中点弦．版
所有
线
权
【分析】先求出直线AB 的方程，再与双曲
立，并
合
达定理，以及中点坐
公式，即可求解．
线联
结
韦
标
【解答】解：由
意可知，直
题
线AB 的方程为y﹣1＝x﹣3，即x＝y+2，
立
联{
x
2
a
2 −y
2=1
x = y +2 )
，化
整理可得，
简
y2（1﹣a2）+4y+4﹣a2＝0，
若
段
线
AB 的中点
（
为3，1），
则−4
1−a
2 =1×2，解得a= ❑√3（
舍去）．
负值
故
：
选B．
【点
】本
主要考
抛物
的中点弦，属于基
．
评
题
查
线
础题
【变式训练5-1】已知抛物线
与直线
交于
，
两点，且
段
线
中点的横坐标为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用点差法列方程可得解.
【
解】
详
设
，
，则
，
整理得
，
因
段
为线
中点的横坐标为
，
所以
段
线
中点的
坐
纵
标为
，则
，
从而可得
，
故
：
选D.
【变式训练5-2】已知抛物线
，直线
与抛物
相交于
线
两点，且
的中点为
，则
.
【答案】
【
解】根据
意，点
详
题
在直线
上，所以
，解得
.
点
设
，
则
，两式作差得
，
整理得
，
又
，且
，解得
.
故答案
：
为
.
【变式训练5-3】已知抛物线
，直线
与抛物
相交于
线
，且
的中点为
，则
．
【答案】
【
解】又中点
详
在直线
上，
所以
，即
，故直线
的方程为
设
，
立方程
联
得
，
所以
，
，
因为
的中点为
，
所以
，解得
，
足判
式，
满
别
故
.
故答案
：
为
【变式训练5-4】
抛物
过
线C : y
2=2 px( p>0)的焦点的直
与抛物
线
线C 相交于A，B 两点，若
段
线
AB中点的坐标为
(4,2❑√2)，则p=（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【分析】利用点差法及中点与焦点坐
分
表示直
标
别
线AB的斜率，可建立关于p的方程，求解可得.
【
解】
详
设A( x1, y1)，B( x2, y2)，则{
y1
2=2 p x1,
y2
2=2 p x2,)，
两式作差得，y1
2−y2
2=( y1+ y2)( y1−y2)=2 p( x1−x2)，
当x1= x2
，
时则AB中点坐
焦点
标为
F(
p
2 ,0)，不
足
意；
满
题
当x1≠x2
，得
时
y1−y2
x1−x2
=
2 p
y1+ y2
．
段
设线
AB中点M，因为M坐标(4,2❑√2)，且
焦点
过
F，
所以y1+ y2= 4 ❑√2，
则AB的斜率k AB=k FM = 2 p
4 ❑√2 = 2❑√2−0
4−p
2
，
解得p= 4．
故
：
选A.
题型06：中点弦的弦长
【典型例题1】
抛物
过
线
的焦点作直线，交抛物
于
线
，
两点.若
段
线
中点的横坐标为6，则
等于
（ ）
A．20
B．16
C．12
D．8
【答案】B
【
解】由
，抛物
的焦点
详
题设
线
为
，可设
，
立
联
，可得
，则
，
所以
，
，则
，得
，
所以
.
故
：
选B
【典型例题2】已知抛物线
与
焦点的一条直
相交于
过
线
A，B 两点，若弦
的中点M 的横坐标为
，
弦
则
的长
【答案】
【解析】由
意抛物
焦点
题
线
，且直线
斜率不为0，设
，
立抛物
得
联
线
，
，故
，
，
所以
，即
，
则
.
【变式训练6-1】已知斜率为
的直线
抛物
过
线
的焦点，且与抛物线
交于
两点，抛物线
的准
上一点
线
足
满
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．6
【答案】C
【分析】先求出抛物
的方程，得到焦点坐
线
标.
直
设
线：
，用点差法表示出
的中点为
，利用半
径相等得到：
,解出k，即可求出
.
【
解】由
意知，抛物
详
题
线
的准线为
，即
，得
，
所以抛物线
的方程为
，其焦点为
.
因
直
为
线
抛物
的焦点
过
线
，
所以直线的方程为
.
因为
，
所以
在以
直径的
上
为
圆
.
点
设
，
，
立方程
联
组
，
两式相减可得
，
设
的中点为
，则
.
因
点
为
在直线l 上，
所以
，所以点
是以
直径的
的
心
为
圆
圆
.
由抛物
的定
知，
线
义
圆
的半径
，
因为
，
所以
，解得
，
所以弦长
.
故
：
选C.
【变式训练6-2】已知抛物线
上的点
到其准
的距离
线
为
，直线交抛物
于
线
，
两点，且
的中点为
，则
到直线的距离
（ ）
为
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】B
【
解】根据
意
详
题
设A
，由点差得到
故直线l 可以写成
点
到其准
的距离
线
为
，可得到M 的横坐标为4，将点代入抛物
可得到
坐
线
纵
标为4 或-4，
由点到直
的距离公式得到，
线
M 点到直
的距离
线
为
或
.
故答案为B.
【变式训练6-3】
抛物
过
线
的焦点的直
与
抛物
交于
线
该
线
两点，若
段
线
的中点的
坐
纵
标为1，则
（ ）
A．12
B．
C．
D．
【答案】C
【
解】
详
设
，则
，则
.
因
段
为线
的中点的
坐
纵
标为1，所以
，则
.
又直线
过
的焦点
，所以直线
的方程为
，
段
则线
的中点的横坐标为
，则
，故
.
故
：
选C
【变式训练6-4】已知直线
与抛物线
相交于
、
两点，点
是抛物
线
的准
与以
线
直径的
的公共点，
下列
的是（ ）
为
圆
则
结论错误
A．
B．
C．
的面积为
D．
【答案】C
【分析】求出抛物线
的准
方程，可求得
线
的
，可判断
值
A
的正
；利用点差法可求得
段
选项
误
线
的中点坐
，根据
标
勾股定理列等式可求得
的
，可判断
值
B
的正
；利用抛物
的焦点弦
公式以及三角形的面
公式可判断
选项
误
线
长
积
CD
的正
选项
误.
【
解】由
意知，抛物
详
题
线
的准线为
，即
，解得
，故选项A 正确；
因为
，所以抛物线
的方程为
，其焦点为
，
又直线
，即
，所以直线恒
抛物
的焦点
过
线
，
点
设
、
，因为
、
两点在抛物线
上，
立方程
联
，两式相碱可得，
，
设
的中点为
，则
，
因
点
为
在直线上，解得
，
所以点
是以
直径的
的
心，
为
圆
圆
由抛物
的定
知，
线
义
圆
的半径
.
因为
，所以
，
解得
，故选项B 正确；
因为
，所以
，直线为
，即
，
由点到直
的距离公式可得，点
线
到直线的距离为
，
所以
，故选项C
，
错误D 正确.
故
：
选C.
【变式训练6-5】
点
设经过
的直
与抛物
线
线
相交于
，
两点，若
段
线
中点的横坐标为，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据直
与抛物
的位置关系以及
达定理、弦
公式求解即可
线
线
韦
长
.
【
解】因
点
详
为经过
的直
与抛物
线
线
相交于
，
两点，
所以
直
的斜率不等于
该
线
0，所以可假
直
方程
设
线
为
，
设
，
立
联
，整理得
，
所以
所以
，
因
段
为线
中点的横坐标为，
所以
，所以
，
所以
，
故
：
选B.
【变式训练6-6】已知抛物线
，直线与抛物
交于
线
两点，
足
满
，
段
设线
的中点为
，则
到
的最小距离
轴
为 ．
【答案】
【
解】由抛物
详
线
，得焦点为
，准
方程
线
为
，
设
，
因
段
为线
的中点为
，所以
，且
到
的距离
轴
为
，
由抛物
定
及三角形三
关系定理，可知
线
义
边
，
当且
当
仅
三点共
等号成立，
线时
则
，即
到
的最小距离
轴
为
.
故答案
：
为
.
【变式训练6-7】若A，B 是抛物线
上不同的两点，
段
线
AB 的垂直平分
交
线
x
于点
轴
，则
的最大
值为 ．
【答案】6
【分析】设
，
，AB 中点
，利用点差法得到直线AB 的斜率，再利用中垂
求得
线
，然
后利用抛物
的定
，由
线
义
求解.
【
解】解：
详
设
，
，AB 中点
，
斜率
设
为k，则
，
相减得：
，
∵
，即
，
抛物
的焦点
设
线
为F，
，
∴
，当且
当
仅
A，B，F 三点共
等号成立，
线时
此时
足在抛物
内部，
满
线
∴
的最大值为6，
故答案
：
为6．
题型07:与中点弦有关的面积问题
【典型例题】已知
物
拋
线C : y
2=2 px( p>0)的焦点为F，点P(
1
2 ,t)在抛物线C上，且|PF)= 5
2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)
点
过
Q (4,2)的直线l与抛物
交于
线
A ,B两点，且点Q是
段
线
AB的中点，求△ABF的面积.
【答案】(1)y
2=8 x
(2)2❑√7
【分析】（1）将点P 到焦点的距离
化
到准
的距离，求出
转
为
线
p，得抛物
方程；
线
（2）利用点差法，求出直线AB 的方程，与抛物
立，求出三角形的面
线联
积.
【
解】（
详
1）由定
知
义|PF)= xP+ p
2 = 1
2 + p
2 = 5
2
，解得p= 4，
所以抛物线C的方程为y
2=8 x.
（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
因为Q (4,2)是
段
线
AB的中点，所以y1+ y2= 4，
{
y1
2=8 x1
y2
2=8 x2)，则( y2−y1)( y2+ y1)=8(x2−x1)，
所以直线AB 的斜率k AB= y2−y1
x2−x1
=
8
y1+ y2
= 8
4 =2，
所以直线l的方程为2 x−y −6=0，
直
设
线l与x
交于点
轴
M，则M (3,0)，
立
联{
2 x−y −6=0
y
2=8 x )，得y
2−4 y −24 =0，所以y1+ y2= 4，y1 y2=−24，
所以|y1−y2)= ❑√( y1+ y2)
2−4 y1 y2= 4 ❑√7，S△ABF = 1
2 ×|FM )×|y2−y1)= 1
2 ×1×4 ❑√7=2❑√7.
【变式训练】已知直线x−2 y +2=0与抛物线C：y
2=2 px ( p>0)交于M，N 两点，|MN )=8 ❑√15，O
坐
原点．
为
标
(1)求p；
(2)
点
过
P(3,2)作直线l 交抛物线C于A，B 两点，且点P 是
段
线
AB 的中点，求三角形OAB 的面
．
积
【答案】(1)4
(2)4 ❑√5．
【分析】（1）
立直
和抛物
方程，得到两根之和，两根之
，由弦
公式得到方程，求出答案；
联
线
线
积
长
（2）设A(x3, y3)，B(x4, y4)，点差法得到直线l的斜率，从而得到直线l的方程，由焦点弦弦
公式得到
长
|AB)=10，结
合点到直
距离，得到三角形面
线
积.
【
解】（
详
1）设M (x1, y1)，N (x2, y2)，
立直
与抛物
得：
联
线
线
¿，
消去x 得到y
2−4 py + 4 p=0，∴y1+ y2= 4 p，y1 y2= 4 p，
∴|MN )=
❑√1+2
2|y1−y2)= ❑√5⋅❑√( y1+ y2)
2−4 y1 y2= ❑√5⋅
❑√16 p
2−16 p=8 ❑√15．
解得p= 4或－3（舍去）．∴p= 4．
（2）设A(x3, y3)，B(x4, y4)，
∵A，B 在抛物线C 上，∴y3
2=8 x3，y4
2 =8 x4，
两式作差得( y3+ y4)( y3−y4)=8(x3−x4)．
∵AB 中点坐标为(3,2)，∴x3+ x4=6，y3+ y4= 4，
∴4( y3−y4)=8(x3−x4)，
∴y3−y4
x3−x4
=2，
∴l：y −2=2(x−3)，整理得l：y =2 x−4．
故l 过C的焦点，弦长|AB)= x3+ x4+ p=6+ 4 =10．
又O 到l 的距离为
|4)
❑√2
2+1
2 = 4 ❑√5
5
．
∴S△OAB= 1
2 × 4 ❑√5
5
×10= 4 ❑√5．
题型08：曲线上两点关于直线对称问题
【典型例题】若抛物线
上存在不同的两点关于直线
称，求
数
对
实
的取
范
值
围.
【答案】
【解析】根据
意，当
题
，
然
足
意；当
时显
满
题
，可
抛物
上关于直
时
设
线
线
称的两点分
对
别为
，
的中点为
，利用点差法得到中点
的
坐
，代入直
得到
纵
标
线
的横坐
，再
标
结
合
在抛物
内，即得解
线
.
【
解】解：当
详
，直
时
线
，存在点关于它
称，
然
足
意；
对
显
满
题
当
，
抛物
时设
线
上关于直线
称的两点分
对
别为
，且
的中点为
，则
，
而
，
，
所以
，
①
则
-②得：
，
，
，
中点
在直线
上，
，于是
，
中点
在抛物线
区域内，
，即
，解得：
，
上可知，所求
数
综
实
的取
范
是
值
围
.
【点睛】关
点点睛：本
考
直
和抛物
的位置关系中的弦中点
，以及点差法的
用，解
的关
在于利用点
键
题
查
线
线
问题
应
题
键
差法求直
的斜率，考
学生
化和分
思想，以及数学运算的能力
线
查
转
类讨论
.
